迪克斯特拉(Dijkstra)算法
dijkstra算法
Dijkstra算法（Dijkstra算法）由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出，因此也称为Dikstra算法。
从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。
Dijestela算法的主要特征是从起点开始，采用贪婪算法的策略。
每次，它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点，直到起点为止。
Dijkstra的算法通常以两种方式表示，一种使用永久和临时标签，另一种使用OPEN和CLOSE表，两者都使用永久和临时标签。
请注意，该算法不需要图形中的负边缘权重。
1.首先，引入一个辅助数组（向量）D，其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点（即源点）到其他每个顶点的长度。
例如，D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。
这里的重点是相对的，这意味着D在算法执行期间近似于最终结果，但不一定相等执行期间的长度。
2. D的初始状态为：如果存在一个从to的弧（即，存在一个从to的连接边），则D是弧上的权重（即，从to的边的权重）；否则，将D设置为无穷大。
显然，长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径，即（）。
3.那么，下一个最短的长度是？即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点，并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设子短路径的终点是，则可以想象路径是（）或（）。
它的长度是从PI到PI的弧上的权重，或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。
4.通常，假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点，则可以证明下一条最短路径（令其终点为）是arc（）或仅从源点穿过中间的S顶点，最后到达顶点。
因此，具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s}，其中D是arc（）上的权重，或者D（∈S）和arc（，）上的权重之和。
该算法描述如下：1）让圆弧代表圆弧上的重量。
如果弧不存在，则将弧设置为无穷大（在这种情况下为MAXCOST）。
迪杰斯特拉算法（Dijkstra）
迪杰斯特拉算法（Dijkstra）模板⼀：时间复杂度O（n2）1int dijkstra(int s,int m) //s为起点,m为终点2 {3 memset(dist,0,sizeof(dist)); //初始化，dist数组⽤来储存s到各个点的距离4 memset(v,0,sizeof(v)); //初始化v数组，是否已标记5for(int i=1;i<=n;++i) //++i返回的是引⽤，稍微快⼀点6 {7 dist[i]=e[s][i]; //初始化，e[s][i]数组表⽰是点s到点i的权值，数组e⽤来存有向图或⽆向图的权值，⽤INF初始化8 }9for(int i=1;i<=n;++i)10 {11 k=INF,u=0;12for(int j=1;j<=n;++j) //找出当前dist最⼩的点13 {14if(!v[j]&&dist[j]<k)15 {16 k=dist[j];17 u=j;18 }19 }20 v[u]=1; //标记21for(int j=1;j<=n;++j) //更新与点u相连的点的权值和22 {23if(!v[j]&&e[u][j]<INF&&dist[u]+e[u][j]<dist[j]) //⽐较从点s到点u载到点j的权值和点s直接到点j的权值24 {25 dist[j]=dist[u]+e[u][j];26 }27 }28 }29return dist[m];30 }模板⼆：时间复杂度 O（mlogn）m为边数，n为顶点数。
对于稀疏图的效果显著，对稠密图慎⽤。
1const int INF = 0x3f3f3f3f;2const int maxn = 150;3struct Edge4 {5int from, to, dist;6 Edge(int u, int v, int d) :from(u), to(v), dist(d) {}7 };8struct HeapNode9 {10int d, u;11 HeapNode(int D,int U):d(D),u(U){}12bool operator < (const HeapNode& rhs) const {13return d > rhs.d;14 }15 };16struct Dijkstra17 {18int n, m;19 vector<Edge> edges;20 vector<int> G[maxn]; //maxn要⼤于顶点数21bool done[maxn];22int d[maxn];23int p[maxn];2425void init(int n)26 {27this->n = n;28for (int i = 0; i < n; ++i)29 G[i].clear();30 edges.clear();31 }3233void addEdge(int from, int to, int dist)34 {35 edges.push_back(Edge(from, to, dist));36 m = edges.size();37 G[from].push_back(m - 1);38 }40void dijkstra(int s, int kk) //s为起点 kk为终点41 {42 priority_queue<HeapNode> Q;43for (int i = 0; i < n; ++i)44 d[i] = INF;45 d[s] = 0;46 memset(done, 0, sizeof(done));47 Q.push(HeapNode( 0, s ));48while (!Q.empty())49 {50 HeapNode x = Q.top();51 Q.pop();52int u = x.u;53if (u == kk) //到终点就退出54 {55 printf("%d\n", x.d);56break;57 }58if (done[u])59 {60continue;61 }62 done[u] = true;63for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i)64 {65 Edge& e = edges[G[u][i]];66if (d[u] + e.dist < d[e.to])67 {68 d[e.to] = d[u] + e.dist;69 p[e.to] = G[u][i];70 Q.push(HeapNode(d[e.to], e.to ));71 }72 }73 }74 }7576 };放⼀道模板题AC代码1 #include <iostream>2 #include <stdio.h>3 #include <cstring>4 #include <algorithm>5 #include <vector>6 #include <queue>7using namespace std;8const int INF = 0x3f3f3f3f;9const int maxn = 150;10struct Edge11 {12int from, to, dist;13 Edge(int u, int v, int d) :from(u), to(v), dist(d) {}14 };15struct HeapNode16 {17int d, u;18 HeapNode(int D,int U):d(D),u(U){}19bool operator < (const HeapNode& rhs) const {20return d > rhs.d;21 }22 };23struct Dijkstra24 {25int n, m;26 vector<Edge> edges;27 vector<int> G[maxn]; //maxn要⼤于顶点数28bool done[maxn];29int d[maxn];30int p[maxn];3132void init(int n)33 {34this->n = n;35for (int i = 0; i < n; ++i)36 G[i].clear();37 edges.clear();38 }3940void addEdge(int from, int to, int dist)42 edges.push_back(Edge(from, to, dist));43 m = edges.size();44 G[from].push_back(m - 1);45 }4647void dijkstra(int s, int kk) //s为起点 kk为终点48 {49 priority_queue<HeapNode> Q;50for (int i = 0; i < n; ++i)51 d[i] = INF;52 d[s] = 0;53 memset(done, 0, sizeof(done));54 Q.push(HeapNode( 0, s ));55while (!Q.empty())56 {57 HeapNode x = Q.top();58 Q.pop();59int u = x.u;60if (u == kk)61 {62 printf("%d\n", x.d);63break;64 }65if (done[u])66 {67continue;68 }69 done[u] = true;70for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i)71 {72 Edge& e = edges[G[u][i]];73if (d[u] + e.dist < d[e.to])74 {75 d[e.to] = d[u] + e.dist;76 p[e.to] = G[u][i];77 Q.push(HeapNode(d[e.to], e.to ));78 }79 }80 }81 }8283 };84int n, m, x, y, k;85 Dijkstra d;86int main()87 {88while (cin>>n>>m)89 {90 d.init(n);91if (n == 0 && m == 0)92break;93while (m--)94 {95 cin >> x >> y >> k;96 d.addEdge(x - 1, y - 1, k);97 d.addEdge(y - 1, x - 1, k);98 }99 d.dijkstra(0, n - 1);100 }101return0;102 }View Code持续更新……。
迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉算法介绍迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展(⼴度优先搜索思想)，直到扩展到终点为⽌。
基本思想通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外，引进两个集合S和U。
S的作⽤是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，⽽U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。
然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
操作步骤(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加⼊到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。
之所以更新U中顶点的距离，是由于上⼀步中确定了k是求出最短路径的顶点，从⽽可以利⽤k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能⼤于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上⾯的理论可能⽐较难以理解，下⾯通过实例来对该算法进⾏说明。
迪杰斯特拉算法图解以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进⾏算法演⽰(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！第1步：将顶点D加⼊到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。
dijkstra最短路径 应用案例
Dijkstra算法是一种用于解决图的单源最短路径问题的算法，由荷兰计算机科学家埃德斯格·迪克斯特拉提出。
该算法被广泛应用于网络路由算法、城市交通规划、通信网络等领域。
本文将从几个具体的案例出发，介绍Dijkstra最短路径算法的应用。
一、网络路由算法在现代计算机网络中，Dijkstra算法被应用于路由器之间的数据传输。
路由器之间通过Dijkstra算法计算出最短路径，以确保数据包能以最短的路径传输，从而提高网络的传输效率和稳定性。
假设有一个由多个路由器组成的网络，每个路由器之间存在多条连接线路，而每条线路都有一个权重值，代表数据传输的成本。
当一个路由器需要发送数据时，Dijkstra算法可以帮助它找到到达目的地最短且成本最小的路径。
这样，网络中的数据传输就能以最高效的方式进行，从而提升了整个网络的性能。
二、城市交通规划Dijkstra算法也被广泛应用于城市交通规划领域。
在城市交通规划中，人们通常需要找到最短路径以及最快到达目的地的方法，而Dijkstra算法正是能够满足这一需求的算法之一。
假设某城市有多条道路，每条道路都有不同的行驶时间。
当一个人需要从城市的某个地点出发到达另一个地点时，可以利用Dijkstra算法计算出最短行驶时间的路径。
这样，城市交通规划部门就可以根据这些信息对城市的交通流量进行合理分配和调度，提高城市交通的效率。
三、通信网络另一个Dijkstra算法的应用案例是在通信网络中。
通信网络通常是由多个节点和连接这些节点的线路组成的。
而节点之间的通信是通过传送数据包来实现的。
在这种情况下，Dijkstra算法可以帮助确定数据包传输的最短路径，以提高通信网络的效率和稳定性。
在一个由多个节点组成的通信网络中，当一个节点需要向另一个节点发送数据时，Dijkstra算法可以帮助确定最短路径，从而确保数据包能够以最短的路径传输到目的地。
这样一来，通信网络就能够更加稳定地进行数据传输，提高了通信网络的效率。
dijkstra算法代码实现
Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的经典算法，由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪克斯特拉在1956年提出。
该算法主要用于计算一个顶点到其余各个顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是：假设图G中顶点集合为V，边集合为E，从源点s开始，初始时只有s的已知最短路径，用集合S记录已找到最短路径的顶点。
利用S中顶点的最短路径来更新其余顶点的最短路径，直到找到从s到其余所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法具体实现过程如下：1. 创建两个集合，一个用来保存已找到最短路径的顶点集合S，另一个用来保存未找到最短路径的顶点集合V-S。
2. 初始化距离数组dist[]，将源点到各个顶点的距离初始化为无穷大，源点到自身的距离初始化为0。
3. 从源点s开始，将s加入S集合，更新源点到其余各个顶点的距离，如果存在边(u,v)，使得dist[v] > dist[u] + w(u,v)，则更新dist[v] = dist[u] + w(u,v)，其中w(u,v)表示边(u,v)的权值。
4. 重复第3步，直到将所有顶点加入S集合为止，此时dist数组即为源点到各个顶点的最短路径。
根据以上实现思路，我们可以使用代码来实现Dijkstra算法。
以下是Python语言的Dijkstra算法实现示例：```pythondef dijkstra(graph, src):dist = [float('inf')] * len(graph)dist[src] = 0visited = [False] * len(graph)for _ in range(len(graph)):u = min_distance(dist, visited)visited[u] = Truefor v in range(len(graph)):if graph[u][v] > 0 and not visited[v] and dist[v] > dist[u] + graph[u][v]:dist[v] = dist[u] + graph[u][v]print_solution(dist)def min_distance(dist, visited):min_dist = float('inf')min_index = -1for v in range(len(dist)):if dist[v] < min_dist and not visited[v]:min_dist = dist[v]min_index = vreturn min_indexdef print_solution(dist):print("顶点\t最短距离")for i in range(len(dist)):print(f"{i}\t{dist[i]}")```在上面的示例代码中，我们首先定义了一个dijkstra函数，该函数接受图的邻接矩阵表示和源点的索引作为参数。
堆优化的Dijkstra算法
堆优化的Dijkstra算法 堆优化的Dijkstra算法 迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机于1959 年提出的，因此⼜叫狄克斯特拉算法。
是从⼀个顶点到其余各顶点的算法，解决的是有权图中最短路径问题。
迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采⽤的，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为⽌。
这⾥的Dijkstra算法是经过堆优化的算法，⽤于解决稀疏图问题。
基本思想是通过邻接表储存每个点所能到达的点。
⽤⼀个dist[]数组来储存初始点到达每个节点的最短距离，并初始化为⽆穷⼤。
⾸先将初始点推⼊队列中，然后通过这个点来遍历每⼀个⼦节点并将每个使得初始节点到当前点的距离加上这个点到每个⼦节点的距离⼩于当前dist[]的值替换掉，并推⼊队列中，由于这⾥是⼩根堆，所取到的队⾸的值⼀定是当初始节点距离的点并开始下⼀轮遍历，以此类推直⾄找到⽬标节点的最短距离。
代码：#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;typedef pair<int,int> PII;const int N=200010;int ne[N],h[N],e[N],idx;//邻接表储存⽅式int n,m;int w[N],dist[N];//w储存每条边的权值，dist储存初始节点到每⼀个节点的最短距离bool st[N];//储存每个点是否找到了最短距离priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;//⼩根堆的定义void insert(int a,int b,int c){e[idx]=b;w[idx]=c;//储存权值ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;}int dijkstra(){memset(dist,0x3f,sizeof dist);//将距离初始初始化为正⽆穷heap.push({0,1});//将初始节点推⼊队列中while(!heap.empty()){auto t=heap.top();heap.pop();int cnt=t.second,distance=t.first;//t.first代表当前节点到初始节点的最短距离，second代表当前是哪⼀个节点if(st[cnt]) continue;st[cnt]=true;for(int i=h[cnt];i!=-1;i=ne[i])//遍历这个链表{int j=e[i];if(dist[j]>distance+w[i])//如果当前节点到⼦节点的距离加上这条边的权值⼩于之前头结点到⼦节点的距离{dist[j]=distance+w[i];heap.push({dist[j],j});}}}if(dist[n]!=0x3f3f3f3f) return dist[n];return -1;}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);insert(a,b,c);}printf("%d",dijkstra());return0;}。
迪杰斯特拉(dijkstra)算法
初 始 时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则 退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}
Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)
Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理， 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用 Dijkstra 求最短路的图不能有 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 不会改变的性质。
不会改变的性质。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。
我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
迪杰斯特拉算法代码
迪杰斯特拉算法代码迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的算法。
它是以荷兰计算机科学家狄克斯特拉的名字命名的。
算法思路：1. 创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的顶点。
2. 初始化距离数组dist，表示从起点到每个顶点的距离，起点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
3. 从未找到最短路径的顶点中选出距离起点最近的顶点u，并将其加入集合S中。
4. 对于u相邻的每个顶点v，如果v未被访问过且通过u可以到达v，则更新dist[v]为dist[u]+u到v的距离。
5. 重复步骤3和4直到所有顶点都被访问过。
代码实现：以下是使用Python实现迪杰斯特拉算法的代码：```pythondef dijkstra(graph, start):# 初始化dist = {node: float('inf') for node in graph}dist[start] = 0visited = set()while len(visited) != len(graph):# 找到当前未访问过且距离起点最近的节点node = min(set(dist.keys()) - visited, key=dist.get)# 更新与该节点相邻的节点的距离for neighbor, distance in graph[node].items():if neighbor not in visited:new_distance = dist[node] + distanceif new_distance < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_distance# 标记该节点为已访问visited.add(node)return dist```输入参数是一个字典graph，表示图的邻接表，以及起点start。
输出结果是一个字典dist，表示从起点到每个顶点的最短距离。
迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进
迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进1引言20世纪中后期，随着计算机的出现和发展，图论的理论和应用研究得到广泛重视，图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立。
它与运筹学、离散数学、拓扑等紧密结合，互辅互助，共同前进。
同时，图论的应用已经深入到众多领域，比如gis网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[10]，此外，在城市规划、电子导航、电子通讯、企业管理、工农业生产以及军事等方面也有着较为广泛的应用。
最短路径问题是图论中的一个典范问题[12]。
主要研究成果有dijkstra、floyd等优秀算法[9，12]，dijkstra还被认为是图论中的好算法[12]。
但是值得注意的是，在理论上最优的算法不一定在实践中最优,仍然存在着某些局限性。
比如网络特征可能时刻会发生变化,要求最短路径算法必须能够实时地自动更新。
这类问题主要集中在交通网络的实时导航、通勤、调度和计算机互联网的数据传递路由等方面[7，8]。
自然，人们目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面，使得一个好的算法能够提高价值，解决实际生活更多、更复杂的问题。
本文在对前人所做的改进算法综合基础上做了改进，使得一个算法能够解决多种局限性，在问题解决方面范围要更进一步。
2 新算法设计2.1新算法描述及实现2.1.1符号说明若干符号分别定义为:（1）g=（v，e）为简单赋权图，其中v为g的顶点集，e为g 的边集。
（2）︱v︱=n为图g的顶点数。
（3）（u,v）表示边uv的权，一条路径的长度即为该路上各边的权和。
（4）n(u)表示无向图中含在s补集中的，与u相邻的顶点；n+(u)表示有向图中含在s补集中u的出邻域（与u相邻且边以u为起点的顶点集合）。
（5）r为迭代次数；k(v)r表示在第r轮迭代中顶点v的标号；k(v)表示顶点v的最终标号,该标号就是起点v1至v最短路径的长；ur表示在第r轮迭代中获得最终标号的顶点。
（6）s为已经获得最终标号的顶点集；t为标号集。
最短路算法
一 、狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
的直接距离(两点之间有边 两点之间有边)， 令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离 两点之间有边 ，若两点之间 没有边， 两点之间是有向边， 没有边，则令 dij = ∞，若两点之间是有向边，则 dji = ∞； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 ， 表示始点，
j dij i dik djk k
4
6.3.2 Floyd-Warshall 算法 (1962) for i=1 to n do dii=∞; ∞ for all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if i≠j then ≠ for k=1 to n do if k≠j then ≠ begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end;
1
例1 狄克斯特拉算法 ∞ 10 11 ∞
2 10
0 s
1 8 9 3 4
12 15 ∞
5 20 2 2 30
∞ t 31
பைடு நூலகம்15
8 4 ∞ 8
7
6
13 ∞ 15
2
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 最短路算法的特点和 最短路算法的特点
• 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上 每次迭代只有一个节点获得永久标记， 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记； 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij≥0， 的最短路， ， 次迭代得到的永久标记， 条边， 第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因 此最多有n 此最多有 −1 次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻 可以应用于简单有向图和混合图 在临时标记时， 简单有向图和混合图， 必须是箭头指向的节点； 必须是箭头指向的节点；若第 n−1 次迭代后仍有节点的标记 为 ∞，则表明 vs 到该节点无有向路径 • 如果只求 vs 到 vt 的最短路，则当 vt 得到永久标记算法就结束 的最短路， 了；但算法复杂度是一样的 • 应用 Dijkstra 算法 n−1 次 ，可以求所有点间的最短路 • vs 到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树 到所有点的最短路也是一棵生成树，
【算法】狄克斯特拉算法（Dijkstra’salgorithm）
【算法】狄克斯特拉算法（Dijkstra’salgorithm）狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）找出最快的路径使⽤算法——狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）。
使⽤狄克斯特拉算法步骤(1) 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。
(2) 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。
(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
(4) 计算最终路径。
术语权重（weight）：狄克斯特拉算法⽤于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。
加权图/⾮加权图（weighted graph）带权重的图称为加权图（ weighted graph），不带权重的图称为⾮加权图（unweighted graph）。
要计算⾮加权图中的最短路径，可使⽤⼴度优先搜索。
要计算加权图中的最短路径，可使⽤狄克斯特拉算法。
环可从⼀个节点出发，⾛⼀圈后⼜回到这个节点。
⽆向图意味着两个节点彼此指向对⽅，其实就是环！狄克斯特拉算法只适⽤于有向⽆环图（directed acyclicgraph，DAG）。
负权边不能将狄克斯特拉算法⽤于包含负权边的图狄克斯特拉算法这样假设：对于处理过的海报节点，没有前往该节点的更短路径。
这种假设仅在没有负权边时才成⽴。
实现⽰例：求起点到终点的最短路径#创建所有节点和路径的散列表graph={'start': {'a': 6, 'b': 2}, 'a': {'fin': 1}, 'b': {'a': 3, 'fin': 5}, 'fin': {}}#创建已知节点花销的散列表costs={'a': 6, 'b': 2, 'fin': float("inf")} #float('inf') 表⽰正⽆穷#储存⽗节点的散列表parents={'a': 'start', 'b': 'start', 'fin': None}#存储已访问过节点的列表processed=[]#定义⼀个寻找最⼩花销的函数def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs: #遍历所有节点cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed: #寻找花销最⼩，且没有访问过的点 lowest_cost = costlowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_nodenode = find_lowest_cost_node(costs) #找到花销最⼩的节点while node is not None: #这个while循环在所有节点都被处理过后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys(): #遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n] #该节点到达该邻居的花销总和if costs[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost #更新该邻居的花销parents[n] = node #同时将该邻居的⽗节点设置为当前节点processed.append(node) #将当前节点标记为处理过node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下来要处理的节点，并循环print(parents)⼩结⼴度优先搜索⽤于在⾮加权图中查找最短路径。
Python实现Dijkstra算法
Python实现Dijkstra算法Dijkstra算法迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此⼜叫狄克斯特拉算法。
是从⼀个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。
迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展，直到扩展到终点为⽌。
迪杰斯特拉算法是求从某⼀个起点到其余所有结点的最短路径，是⼀对多的映射关系，是⼀种贪婪算法⽰例：算法算法实现流程思路：迪杰斯特拉算法每次只找离起点最近的⼀个结点，并将之并⼊已经访问过结点的集合（以防重复访问，陷⼊死循环），然后将刚找到的最短路径的结点作为中间结点来更新相邻结点的路径长度，这样循环找到图中⼀个个结点的最短路径。
"""输⼊graph 输⼊的图src 原点返回dis 记录源点到其他点的最短距离path 路径"""import jsondef dijkstra(graph,src):if graph ==None:return None# 定点集合nodes = [i for i in range(len(graph))] # 获取顶点列表，⽤邻接矩阵存储图# 顶点是否被访问visited = []visited.append(src)# 初始化disdis = {src:0}# 源点到⾃⾝的距离为0for i in nodes:dis[i] = graph[src][i]path={src:{src:[]}} # 记录源节点到每个节点的路径k=pre=srcwhile nodes:temp_k = kmid_distance=float('inf') # 设置中间距离⽆穷⼤for v in visited:for d in nodes:if graph[src][v] != float('inf') and graph[v][d] != float('inf'):# 有边new_distance = graph[src][v]+graph[v][d]if new_distance <= mid_distance:mid_distance=new_distancegraph[src][d]=new_distance # 进⾏距离更新k=dpre=vif k!=src and temp_k==k:breakdis[k]=mid_distance # 最短路径path[src][k]=[i for i in path[src][pre]]path[src][k].append(k)visited.append(k)nodes.remove(k)print(nodes)return dis,pathif __name__ == '__main__':# 输⼊的有向图,有边存储的就是边的权值，⽆边就是float('inf')，顶点到⾃⾝就是0graph = [[0, float('inf'), 10, float('inf'), 30, 100],[float('inf'), 0, 5, float('inf'), float('inf'), float('inf')],[float('inf'), float('inf'), 0, 50, float('inf'), float('inf')],[float('inf'), float('inf'), float('inf'), 0, float('inf'), 10],[float('inf'), float('inf'), float('inf'), 20, 0, 60],[float('inf'), float('inf'), float('inf'), float('inf'), float('inf'), 0]]dis,path= dijkstra(graph, 0) # 查找从源点0开始带其他节点的最短路径print(dis)print(json.dumps(path, indent=4))总结以上就是这篇⽂章的全部内容了，希望本⽂的内容对⼤家的学习或者⼯作具有⼀定的参考学习价值，谢谢⼤家对的⽀持。
狄克斯特拉算法
狄克斯特拉算法
狄克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）是由荷兰计算机科学家艾兹贝尔·狄克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）于1959年提出的一种最短路径算法，它可以解决单源最短路径问题（Single Source Shortest Path），是最常被使用的路由算法之一。
狄克斯特拉算法的基本思想是，从源点出发，每次选择最近的邻接点，然后以该点为中心，不断更新整个图的最短路径。
它的运行原理是：首先，将源点标记为已访问；然后，从源点出发，搜索图中的所有邻接点，更新每个邻接点的最短路径；最后，重复上述步骤，直至所有节点都被标记为已访问。
由于狄克斯特拉算法具有较强的适应性和可扩展性，因此它可以被广泛应用于多种复杂的路由问题中，如最近邻居（Nearest Neighbor）、最佳路径（Best Path）和最低成本路径（Lowest Cost Path）等。
此外，它还可以被用于解决无穷源最短路径问题（Infinite Source Shortest Path）。
狄克斯特拉算法的具体实现方法有很多，如堆优化的Dijkstra算法（Heap Optimized Dijkstra）和双向Dijkstra算法（Bidirectional Dijkstra）等。
狄克斯特拉算法在许多行业中都得到了广泛的应用，如交通和物流、社会网络分析、机器学习等。
它是一种非常实用的路由算法，可以帮助用户快速找到最短路径，从而提高效率和准确性。
迪克斯特拉算法
P[j]=P[k]; P[j][j]=1; } } } }
void main( ) { Graph<char> G;
G.ReadGraph("sctest.dat"); int n=G.NumberOfVertices( ); int *D=new int[n]; int **P=new (int**[n])[n]; ShortestPathDijkstra(G,0,D,P); for(int i=0;i<n;i++) { cout<<"P["<<i<<"]={ ";
if(D[j]<min) { k=j; min=D[j];}
final[k]=1; //marked vertex k, v=GetVertex(G,k); //found the shortest path for(j=1;j<n;j++) { w=GetVertex(G,j); l=G.GetWeight(v,w)+min;
S中只有一个源点v0，以后每求得的一条最短路 径就将终点加入S，直到全部顶点都加入到S.
定义一个数组 D[n]; n是图的顶点数。 D[i]=从源点v0到顶点vi最短路经的长度。
第一步 取D[i]为v0到vi的边的权值，无边时取值∞， 取一个最小值 D[j1]=min{D[i], i<n}
D[j1]是v0到vj1的最短路径的长度。
const T & eVertex) { PQueue< PathInfo< T > > PQ(MaxGraphSize);
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解Dijkstra算法是⼀种计算单源最短⽆负边路径问题的常⽤算法之⼀，时间复杂度为O(n2)算法描述如下：dis[v]表⽰s到v的距离，pre[v]为v的前驱结点，⽤以输出路径,vis[v]表⽰该点最短路径是否已经确认初始化：dis[v]=INT dis[s]=0 pre[s]=0 执⾏n次 在没有确定的点中找到⼀个路径最短的，并修改为已经确认 通过这个点修改其他所有没有确定的点 直到所有点已经确认为最短路径，退出循环现在证明算法的正确性：⾸先，我们说明两条性质：1.确定任何⼀个点为最短路径时，前驱p⼀定已经是最短路径（假设源点的前驱是它本⾝）。
2.任意时刻在还没有确定最短路径的点的集合中路径最短的点就是可以被确定的点。
稍微证明⼀下这两条性质（反证法）：证明1：假如前驱p还不是最短路径，那么显然当p是最短路径时到当前节点的路径更短，即不是最短路径的节点所确定的节点⼀定不是最短路径（好像很显然）证明2：为了⽅便描述，我们定义已经确定的点为⽩点，没有确定的点为蓝点。
若是蓝点中路径最短x还不能确定为⽩点，那么x的最短路径上必定存在⼀个蓝点y。
即dis[x]>dis[y]+edge[y][x]。
⽽dis[y]处于两种状态：(1)dis[y]已经是y点的最短路径，那么显然与dis[x]为蓝点中最短的相⽭盾。
(2)dis[y]还不是y点的最短路径，那么它的前驱显然是另外⼀个蓝点，即dis[y]>=dis[x]（这⾥省略了⼀些步骤，不过⾃⼰稍微想⼀下，我觉得挺显然的），也⽭盾。
综上，性质2得证。
回过头再看我们的算法：在刚开始的时候，⾸先确定的最短路（就是直接和源点相连的点）进⼊⽩点集合，满⾜性质1，2。
此后每个过程都满⾜以上两个性质，所以算法正确。
算法实现：1 memset(vis,0,sizeof(vis));2 vis[s]=1;3 dis[s]=0;4 for(int i=1;i<n;i++)5 {6 int m=INT_MAX;7 int k=0;8 for(int j=1;j<=n;j++)9 {10 if(!vis[j] && dis[j]<m)11 {12 m=dis[j];13 k=j;14 }15 }16 if(k==0)17 break;18 vis[k]=1;19 for(int j=1;j<=n;j++)20 {21 if(dis[k]+e[k][j]<dis[j])22 dis[j]=dis[k]+e[k];23 }24 }View Code。
Dijkstra算法
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
6
下面给出该算法的框图：
通过框图，容易计算该算法计算量 f ( p, q) ( p
2
)
。
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
下面通过一个实例来说明Dijkstra算法是如何工作的。 ∞
7
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7.4 .1 Dijkstra算法
8
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图) {G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞} for i:＝1 to n dij L(vi)＝∞
L(a):＝0 S:＝ （初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
Dijkstra算法基本思想:把图中所有结点分为两组， 每一个结点对应一个距离值。 第一组：包括已确定最短路径的结点，结点对应 的距离值是由v0到此结点的最短路径长度； 第二组：包括尚未确定最短路径的结点，结点对 应的距离值是v0经由第一组结点（中间结点）至 此结点的最短路径长度。 • 按最短路径长度递增的顺序把第二组的结点加到 第一组中去，直至v0可达的所有结点都包含于第 一组。在这个过程中，总保持从v0到第一组各结 点的最短路径长度都不大于从v0至第二组任何结 点的路径长度。
3
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
4
设源点为v0 初始时v0进入第一组，v0的距离值为0；第二组包含其它所有结点， 这些结点对应的距离值这样确定（设vi为第二组中的结点）
迪克斯特拉算法
迪克斯特拉算法《迪克斯特拉算法》(DijkstraAlgorithm)是由荷兰计算机科学家克劳斯迪克斯特拉（EdsgerW.Dijkstra）于1959年发明的一种最短路径算法，它可用于计算从一个结点到另一个结点的最短路径。
它是一种基于贪心算法的图论算法，有效地求解有权重的图中最短路径问题。
本文介绍了《迪克斯特拉算法》的基本原理，以及它的实现方法、应用场景、算法复杂度及优缺点等。
第一部分，介绍了《迪克斯特拉算法》背景知识和基本原理，包括克劳斯迪克斯特拉的故事、关于图论和最短路径算法的基本概念、以及迪克斯特拉算法的基本原理等。
第二部分，按照算法的实现流程，阐述了《迪克斯特拉算法》的实现方法，并详细介绍了每一步骤的内容。
第三部分，介绍了《迪克斯特拉算法》常见的应用场景，包括最常见的地图最短路径查询等。
第四部分，详细介绍了《迪克斯特拉算法》的算法复杂度，以及它的优缺点。
第五部分，总结了本文中涉及的知识，并且指出了迪克斯特拉算法在图算法领域的重要性及其对科学的贡献。
迪克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）由荷兰计算机科学家克劳斯迪克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）于1959年提出，它是一种基于贪心算法的图论算法，可用于计算从一个结点到另一个结点的最短路径。
该算法以克劳斯迪克斯特拉本人为主体，由背景知识、基本原理、实现方法、应用场景、算法复杂度和优缺点等内容组成。
首先介绍下克劳斯迪克斯特拉本人的故事：克劳斯迪克斯特拉出生于荷兰的海牙，他是一位卓越的数学家、计算机科学家，于1959年发表了他最著名的论文《解除我的假设约束》，提出了迪克斯特拉算法。
他的研究成果对计算机科学及程序设计有着深远的影响，被誉为“现代计算机科学之父”。
在讲解迪克斯特拉算法之前，我们先来介绍一下图论和最短路径算法的基本概念。
图论是表示复杂连接关系的一种数学模型，它以结点（Node）和边（Edge）的形式表示网络结构，可表示复杂的社会关系和科学模型。
dijkstra 算法的起源
dijkstra 算法的起源
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）于1956年提出的。
当时，戴克斯特拉是荷兰莱顿大学的博士生，他的研究课题是关于最短路径问题的解法。
最短路径问题是指在一个加权有向图中，找到两个顶点之间的最短路径。
戴克斯特拉的目标是开发一种高效的算法来解决这个问题。
在当时，计算机的运算能力非常有限，因此戴克斯特拉需要设计一种能够在有限资源下运行的算法。
戴克斯特拉在研究过程中发现，如果从起点开始，不断选择当前最短路径的顶点，然后更新其邻居节点的距离，直到到达目标顶点，就可以找到最短路径。
他将这个过程形式化为一种算法，即Dijkstra 算法。
Dijkstra算法的提出对图论和计算机科学领域有着重要的影响。
它不仅解决了最短路径问题，还为后续的图算法研究奠定了基础。
戴克斯特拉也因为他在计算机科学领域的贡献而成为计算机科学的先驱之一。
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两个指定顶点之间的最短路径
问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。
对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。
G 的子图的权是指子图的各边的权和。
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。
这条轨叫做00,v u 间的最短路，
它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。
求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。
(ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用
)}()(),({min uv w u l v l i
S u +∈ 代替)(v l 。
计算)}({min v l i
S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。
(iii). 若1||-=V i ，停止；若1||-<V i ，用1+i 代替i ，转(ii)。
算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。
在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号，v 进入i S 时
的标号)(v l 叫P 标号。
算法就是不断修改各项点的T 标号，直至获得P 标号。
若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各项点的
最短路也在图上标示出来了。
例9 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最
便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞
05525251055010202525100102040
2010015252015050102540500 用矩阵n n a ⨯（n 为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量pb 、1index 、2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量
⎩⎨⎧=顶点未标号
当第顶点已标号当第i i i pb 01)(； )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号；
)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下：
clear;
clc;
M=10000;
a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];
a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];
a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];
a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];
a(5,:)=[zeros(1,5),55];
a(6,:)=zeros(1,6);
a=a+a';
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=o nes(1,length(a));
d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1;
while sum(pb)<length(a)
tb=find(pb==0);
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
temp=tb(tmpb(1));
pb(temp)=1;
index1=[index1,temp];
index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp ,index1)));
if length(index)>=2 index=index(1);
end
index2(temp)=index; end
d, index1, index2。