Dijkstra最短路径算法
迪杰斯特拉求最短路径算法
通过使用迪杰斯特拉算法，我们可以找到这些最短 路径，从而帮助决策者做出更好的决策
在这些应用中，我们需要找到从一个地点到另一个 地点的最短路径，以便优化成本、时间和路线等
应用
Tarjan
Robert E. "A Class of Algorithms for Decomposing Disconnected Graphs". Journal of the ACM (JACM) 16.3 (1969): 430-447
在图论中，我们通常用节点表示地点，用边表 示两个地点之间的路径。每条边都有一个与之 相关的权重，表示从一个地点到另一个地点的 距离。迪杰斯特拉算法可以找到从源节点(出 发节点)到目标节点(目的地)的最短路径，即 使在图中存在负权重的边
算法步骤
算法步骤
初始化
01
将源节点的距离设置为0，将所有其他节点的距离
设置为正无穷。创建一个空的优先队列，并将源节
点放入队列
从优先队列中取出距离最小的节点
02
这个节点就是当前最短路径的起点
遍历从这个节点出发的所有边
03
对于每条边，如果通过这条边到达的节点的距离可
以通过当前节点更新(即新距离小于原距离)，那么
就更新这个节点的距离，并将其加入优先队列
如果队列中仍有节点
04
回到步骤2。否则，算法结束
算法步骤
这个算法的时间复杂度是O((E+V)logV)，其中 E是边的数量，V是节点的数量
这是因为每个节点和每条边都需要被处理和比 较，而这个过程是在一个优先队列中进行的，
需要O(logV)的时间复杂度
优点和缺点
优点和缺点
迪杰斯特拉算 法的优点在于 它可以在大多 数情况下找到 最短路径，而 且实现起来相 对简单
迪杰斯科拉算法
迪杰斯科拉算法
迪杰斯科拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种最短路径算法，用于在图中找到从初始节点到目标节点的最短路径。
此算法广泛应用于路由及其他网络协议中。
迪杰斯科拉算法是基于贪心思想的一种算法，通过不断地扩展已找到的最短路径来逐步确定从初始节点到其他所有节点的最短路径。
该算法的基本思路是，首先将初始节点到自身的距离设为0，其他节点到初始节点的距离设置为无穷大。
然后，对于当前节点的所有邻居节点，计算通过当前节点到达邻居节点的距离，如果该距离比已知的最短路径更短，则更新该邻居节点的最短路径。
重复此过程，直到找到目标节点或者所有节点都被遍历过。
迪杰斯科拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中节点的数量。
这意味着当节点数量很大时，算法的运行时间将变得非常长。
为了提高算法的效率，可以使用堆优化的迪杰斯科拉算法（Dijkstra's algorithm with heap optimization），其时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示图中边的数量。
在这种算法中，使用优先队列来存储待处理的节点，每次选择距离最小的节点进行扩展，从而减少重复计算和
不必要的遍历。
迪杰斯科拉算法是一种强大且常用的算法，可以用于许多应用程序中，例如路由、网络设计和电力网络优化等。
该算法的实用性和广泛应用
使其成为计算机科学的重要组成部分。
迪杰斯特拉算法最短路径求解
迪杰斯特拉算法最短路径求解【最新版】目录一、迪杰斯特拉算法简介二、迪杰斯特拉算法原理三、迪杰斯特拉算法应用实例四、迪杰斯特拉算法的优缺点五、总结正文一、迪杰斯特拉算法简介迪杰斯特拉算法，又称 Dijkstra 算法，是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于 1959 年提出的一种求解最短路径的算法。
该算法主要应用于有向图中最短路径问题的求解，其特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率较低。
二、迪杰斯特拉算法原理迪杰斯特拉算法的核心思想是贪心，每次都查找与该点距离最近的点。
算法的基本流程如下：1.创建一个集合 S，用于存储已确定最短路径的顶点；2.初始化源顶点到其他所有顶点的距离为无穷大，源顶点到自身的距离为 0；3.从未确定最短路径的顶点中选择距离源顶点最近的顶点，将其加入集合 S；4.更新与该顶点相邻的顶点的距离：如果从源顶点经过这个被访问的顶点可以更新它们的距离，则更新它们的距离；5.重复步骤 3 和 4，直到所有顶点的最短路径都确定为止。
三、迪杰斯特拉算法应用实例迪杰斯特拉算法可以应用于各种最短路径问题的求解，例如：1.在社交网络中，找到两个用户之间的最短路径；2.在地图导航系统中，为用户规划最短行驶路线；3.在物流配送中，计算货物从起点到终点的最短运输距离等。
四、迪杰斯特拉算法的优缺点迪杰斯特拉算法的优点是能得出最短路径的最优解，可靠性较高。
然而，它也存在以下缺点：1.算法需要遍历计算的节点较多，效率较低；2.由于算法是以贪心思想为基础，因此无法解决存在负权边的图的最短路径问题。
五、总结迪杰斯特拉算法是一种求解最短路径的经典算法，它适用于有向图中最短路径问题的求解。
虽然该算法的效率较低，但在一些特定的应用场景中，它仍然具有较高的实用价值。
dij最短路存路径
dij最短路存路径Dijkstra最短路径算法引言：Dijkstra最短路径算法是一种常用且经典的算法，用于求解加权有向图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍Dijkstra算法的基本原理、算法流程以及应用场景，并通过实例展示算法的具体应用过程。
一、基本原理：Dijkstra算法基于贪心策略，通过不断更新起点到各个顶点的最短距离来求解最短路径。
算法维护一个距离数组，初始时将起点到各个顶点的距离设为无穷大，然后从起点开始，依次将距离最短的顶点加入已访问集合，并更新起点到其它顶点的距离，直到找到终点或者所有顶点都被访问。
二、算法流程：1. 初始化距离数组dist，将起点到各个顶点的距离设为无穷大，起点到自身的距离设为0。
2. 将起点加入已访问集合visited。
3. 更新起点到所有邻接顶点的距离，如果新的距离比原来的距离更短，则更新距离数组。
4. 从未访问的顶点中选择距离最短的顶点，将其加入已访问集合visited。
5. 重复步骤3和步骤4，直到找到终点或者所有顶点都被访问。
6. 根据距离数组dist，回溯得到最短路径。
三、应用场景：Dijkstra算法在实际生活中有着广泛的应用，下面以城市交通网络为例，展示算法的具体应用过程。
假设有一张城市交通网络图，其中每个交叉路口表示一个顶点，每条道路表示一条边，边上的数字表示两个交叉路口之间的距离。
现在需要从起点A到达终点B，求解最短路径。
初始化距离数组dist，将起点A到各个顶点的距离设为无穷大，起点A到自身的距离设为0。
然后，将起点A加入已访问集合visited。
接下来，更新起点A到所有邻接顶点的距离，如果新的距离比原来的距离更短，则更新距离数组。
例如，更新起点A到顶点B的距离为5，更新起点A到顶点C的距离为3。
然后，从未访问的顶点中选择距离最短的顶点，将其加入已访问集合visited。
在这个例子中，选择顶点C加入已访问集合visited。
继续重复更新距离和选择最短路径的步骤，直到找到终点B或者所有顶点都被访问。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
最短路径算法的原理和方法
最短路径算法的原理和方法最短路径算法是一类解决图中节点最短路径问题的算法，例如在网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径，或者在地图中找到从一个地点到另一个地点的最短路线。
最短路径问题可以用图论来描述，即在有向或无向的图中，根据边的权重找到连接两个顶点的最短路径。
最短路径算法可以分为以下几种：1. Dijkstra 算法Dijkstra 算法是最常用的找到单源最短路径的算法，它适用于没有负权边的有向无环图或仅含正权边的图。
算法步骤：（1）初始化，将起点到所有其他顶点的距离初始化为正无穷，将起点到自己的距离初始化为0。
（2）选择一个起点，将其距离设为0。
（3）将起点加入已知最短路径集合。
（4）遍历与起点相邻的所有顶点，将它们到起点的距离更新为起点到它们的距离。
（5）从未加入已知最短路径集合中的顶点中选择最小距离的顶点，将它加入已知最短路径集合中。
（6）重复步骤4和步骤5直到所有顶点都被加入已知最短路径集合中。
2. Bellman-Ford 算法Bellman-Ford 算法是一种解决有负权边的单源最短路径问题的算法。
算法步骤：（1）初始化，将起点到所有其他顶点的距离初始化为正无穷，将起点到自己的距离初始化为0。
（2）遍历每条边，将该边起点的距离加上该边的权重，如果得到的距离比该边终点的距离小，则更新该终点的距离为该距离。
（3）重复步骤2 V-1 次，其中V 是图中的顶点数。
（4）检查是否存在负环，即在V-1 次迭代后，仍然可以更新顶点的距离。
如果存在负环，算法无法执行。
3. Floyd-Warshall 算法Floyd-Warshall 算法是一种解决所有顶点对之间的最短路径问题的算法。
算法步骤：（1）初始化，将每个顶点到其他顶点的距离初始化为边权，如果两个顶点之间没有边相连，则初始化为正无穷。
（2）依次加入每个顶点，如果通过加入该顶点可以得到更短的路径，则更新路径。
（3）输出结果，即每个顶点对之间的最短路径。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
dijkstra算法最短路径
《求解最短路径：应用迪杰斯特拉算法》一、介绍Dijkstra算法的概念和基本原理Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1959年发明，用于求解从源点到其他所有结点的最短路径。
它的基本原理是：在一张图中，从源点到每一个结点的最短路径是从源点开始，经过最少的边到达每一个结点的路径。
Dijkstra算法的实现过程中，首先要建立一个有向图，该图由顶点和边组成，每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离。
然后，从源点开始，每次选择最小权值的边，继续查找下一个顶点，直到找到终点。
最后，将所有路径之和求出，即为源点到目标点的最短路径。
举例来说，假如有一张有向图，其中有A，B，C，D四个结点，以及AB，AC，BD，CD四条边，其中AB，AC，BD边的权值分别为2，3，1，CD边的权值为4。
如果要求求出从A到D的最短路径，则可以使用Dijkstra算法，首先从A出发，选择权值最小的边，即BD，则A-B-D的路径长度为3，接着从B出发，选择权值最小的边，即CD，则A-B-D-C的路径长度为7，因此，从A到D的最短路径为A-B-D，路径长度为3。
Dijkstra算法的优点是算法简单，实现方便，时间复杂度低，它可以用于解决路径规划，车辆调度，网络路由等问题，同时，它也可以用于解决复杂的最短路径问题。
因此，Dijkstra算法在计算机科学中有着重要的应用价值。
二、讨论Dijkstra算法的应用及其优势Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它的应用和优势非常广泛。
首先，Dijkstra算法可以用于解决交通路网中的最短路径问题。
例如，在一个城市的交通路网中，如果一个乘客要从一个地方到另一个地方，那么他可以使用Dijkstra算法来查找最短的路径。
这样可以节省乘客的时间和金钱，也可以减少拥堵。
此外，Dijkstra算法还可以用于解决计算机网络中的最短路径问题。
最短路径dijkstra算法过程
最短路径dijkstra算法过程（实用版）目录1.Dijkstra 算法的背景和基本概念2.Dijkstra 算法的计算过程3.Dijkstra 算法的实际应用正文Dijkstra 算法是一种用于寻找图中最短路径的算法，由荷兰计算机科学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
这种算法主要应用于有向图和无向图中，目的是找到从起点到终点的最短路径。
在这个过程中，Dijkstra 算法通过不断更新节点的距离和父节点，最终得到整个图的最短路径。
Dijkstra 算法的计算过程可以分为以下几个步骤：1.初始化：首先，我们需要初始化一个集合 S，用于存储已经确定最短路径的节点。
同时，将起点到起点的距离设置为 0，其他节点的距离设置为无穷大。
2.迭代：在迭代过程中，我们首先从集合 S 中找到距离最小的节点 u。
然后，对于 u 的每一个邻接节点 v，计算从 u 到 v 的距离，并与当前已知的从 u 到 v 的距离进行比较。
如果从 u 到 v 的距离更小，那么更新从 u 到 v 的距离，并将节点 v 加入集合 S。
3.重复步骤 2，直到所有节点都被加入集合 S。
此时，我们便得到了整个图的最短路径。
Dijkstra 算法在实际应用中具有广泛的应用，例如在社交网络中寻找影响力最大的节点、在物流行业中寻找最短路径以降低运输成本等。
这种算法的优势在于其简单、易于理解和实现，但同时也存在一定的局限性，例如在处理大规模的图时，计算量较大，可能会影响算法的效率。
总的来说，Dijkstra 算法是一种重要的图算法，对于理解图结构和寻找最短路径问题具有重要的意义。
迪杰斯特拉算法最短路径
迪杰斯特拉算法最短路径迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于计算图中最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）于1956年提出的，并且被广泛应用于网络路由和地图导航等领域。
迪杰斯特拉算法可以解决的问题是，给定一个带有非负权重的有向图和一个起始节点，找出从起始节点到其他所有节点的最短路径。
该算法采用了贪心的策略，即每次选择当前离起始节点最近的节点进行扩展，直到扩展到目标节点为止。
算法的具体步骤如下：1.初始化：将起始节点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。
2.创建一个优先队列（通常是最小堆），用于存储待扩展的节点。
将起始节点加入队列。
3.循环以下步骤直到队列为空：-从队列中取出距离起始节点最近的节点，记为当前节点。
-如果当前节点已被访问过，则跳过该节点。
-更新与当前节点相邻节点的距离。
如果经过当前节点到达某个相邻节点的路径比之前计算的路径短，则更新这个节点的距离。
-将未访问过的相邻节点加入队列。
4.循环结束后，所有节点的最短路径已被计算出。
迪杰斯特拉算法的核心思想是不断扩展距离起始节点最近的节点，通过更新节点的距离，逐步获取最短路径。
算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数量。
这是因为每次循环需要查找距离起始节点最近的节点，而在最坏情况下，这个操作需要遍历所有节点。
以下是一个简单的例子来说明迪杰斯特拉算法的使用：假设有一个有向图，如下所示：```A ->B (1)A -> C (4)B ->C (2)B -> D (5)C ->D (1)C -> E (3)D ->E (4)```起始节点为A，我们希望找到到达其他节点的最短路径。
首先，初始化距离：A到A的距离为0，A到B/C/D/E的距离均为无穷大。
然后，将A加入优先队列。
从队列中取出A，更新A的邻居节点的距离。
Dijkstra算法求解单源最短路径问题
Dijkstra算法求解单源最短路径问题一、单源最短路径问题描述给定一个带权有向图G=(V,E),其中每条边的权都是非负数。
给定V中的一个顶点，称为源。
计算从源到所有其他定点的最短路径长度。
这里的路径长度就是指各边权之和。
该问题称为单源最短路径问题（Single-Source Shortest Paths）。
二、Dijkstra算法思想将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。
以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v, T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。
然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。
直到T集合为空为止。
三、算法描述（步骤）1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径：①记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。
②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[]，path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点。
2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。
3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。
因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。
调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。
4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。
四、算法实现（数据结构）1、算法实现输入：一个大于1的整数n.输出：●一个随机生成的有向图G=（V，E），对于每一条边，有一个非负数字c(u，v)与之相关。
●对于每个顶点v∈V,得到从v0到v的最短路径的长度。
最短路径四大算法
最短路径四大算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径问题中最常用的一种算法，它利用贪心策略寻找起点到终点的最短路径。
算法的核心是维护一个集合S，用于存放已经求得最短路径的点，以及一个距离数组d，记录每个点到起点的距离，每次选择距离最小的点加入S集合，然后更新其他点的距离，直到找到终点或者所有点都被加入S集合。
Dijkstra算法主要应用于带权图中的单源最短路径问题，时间复杂度为O(N^2)，其中N为顶点数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是针对Dijkstra算法不能处理带负权边的情况而提出的一种算法。
该算法利用动态规划思想，通过迭代更新每个节点的最短路径距离来求解最短路径。
算法的具体实现为从起点开始，遍历所有的边E，通过以下公式计算每个节点i到起点的最短路径长度d[i]：d[i] = min(d[i],d[j]+w(j,i))其中w(j,i)为边(j,i)的权值，如果存在一条从起点到终点的路径使得d[i]可以被进一步更新，则说明图中存在负权环。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点数，E为边数。
3. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，用于解决任意两点间的最短路径问题。
该算法利用一个二维数组dp[i][j]记录从i到j的最短路径长度，然后遍历整个图，通过dp[i][k]+dp[k][j]来更新dp[i][j]的值，直到遍历完所有的节点。
Floyd算法的时间复杂度为O(N^3)，其中N为顶点数。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于解决具有地图结构的最短路径问题。
该算法利用目标节点与当前节点间的启发式估价函数来快速收敛到最短路径。
具体实现为将每个节点标记为开放集、关闭集或者路径节点，按照估价函数对每个开放集中的节点进行排序，然后选择距离起点最近的节点进行拓展，直到找到终点或者开放集为空。
A*算法的时间复杂度与估价函数相关，通常情况下为O(b^d)，其中b为平均分支数，d为起点到终点的最短路径长度。
最短路径算法―Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(
Dijkstra( 迪杰斯特拉算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时，S中仅含有源。
设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
Dijkstra 算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S 中，同时对数组dist作必要的修改。
一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra 算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
Dijkstra 算法的迭代过程:主题好好理解上图!以下是具体的实现（C/C++:A ]***************************************2.* About: 有向图的Dijkstra 算法实现3. * Author: Tanky Woo4. * Blog: 6.7. #i nclude8. using n amespace std;9.9. con st i nt maxnum = 100;10. con st i nt maxi nt = 999999;12.13.11. void Dijkstra(i nt n, int v, int *dist, int *prev, int c[max nu m][max num]12. {13. bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到 S 集合中14. for(i nt i=1; i<=n; ++i15. {16. dist[i] = c[v][i];17. s[i] = 0; // 初始都未用过该点18. if(dist[i] == maxi nt19. prev[i] = 0;20. else21. prev[i] = v;22. }23. dist[v] = 0;24. s[v] = 1;28.29. // 依次将未放入S 集合的结点中，取 dist[] 最小值的结点，放入结合 S 中5. *************************************30. // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度31.for(i nt i=2; i<=n; ++i32.{33.i nt tmp = maxi nt;34.i nt u = v;35.// 找出当前未使用的点j的dist[j] 最小值36.for(int j=1; j<=n; ++j37.if((!s[j] && dist[j]38.{39.u = j; // u 保存当前邻接点中距离最小的点的号码40.tmp = dist[j];41.}42.s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中43.43.// 更新dist44.for(i nt j=1; j<=n; ++j45.if((!s[j] && c[u][j]46.{47.int newdist = dist[u] + c[u][j];48.if( newdist < dist[j]49.{50.dist[j] = n ewdist;51.prev[j] = u;52.}53.}54.}55.}58.void searchPath(i nt *prev,i nt v, int u59.{60.int que[max nu m];61.i nt tot = 1;62.que[tot] = u;63.tot++;64.int tmp = prev[u];65.while(tmp != v66.{67.que[tot] = tmp;68.tot++;69.tmp = prev[tmp];70.}71.que[tot] = v;72.for(int i=tot; i>=1; --i73.if(i != 174.cout << que[i] << "-> ";75.else76.cout << que[i] << en dl;77.}78.78.int main(79.{80.freopen("input.txt", "r", stdin;81.II各数组都从下标1开始82.i nt dist[max num]; II 表示当前点到源点的最短路径长度83.i nt prev[max nu m]; II 记录当前点的前一个结点记录图的两点间路径长度84.i nt c[max nu m][max nu m]; II87.88. II输入结点数89. cin >> n;90. II输入路径数91. cin >> line;92. i nt p, q, le n; II 输入p, q93.94. II 初始化c[][] 为maxi nt95. for(i nt i=1; i<=n; ++i96. for(i nt j=1; j<=n; ++j97. c[i][j] = maxi nt;98.99. for(i nt i=1; i<=li ne; ++i100. {101. cin >> p >> q >> len;102. if(len < c[p][q] II 有重边103. {104. c[p][q] = le n; II p 指向q 105. c[q][p] = le n; II q指向p，106. }107. }108.109. for(int i=1; i<=n; ++i110. dist[i] = maxi nt;111. for(i nt i=1; i<=n; ++i112. {113. for(i nt j=1; j<=n; ++j 两点及其路径长度这样表示无向图114.printf("%8d", c[i][j];115.prin tf("\n";116.}117.117.Dijkstra(n, 1, dist, prev, c;119.118.// 最短路径长度119.cout << " 源点到最后一个顶点的最短路径长度:"<< dist[ n] << endl;122.120.// 路径121.cout << " 源点到最后一个顶点的路径为："；122.searchPath(prev, 1, n;123.}复制代码输入数据：571 2 101 4 301 5 1002 3 503 5 104 3 204 5 60输出数据：999999 10 999999 30 10010 999999 50 999999 999999 999999 50 999999 20 1030 999999 20 999999 60100 999999 10 60 999999源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5。
最短路径 算法
最短路径算法在计算机科学和图形学中，最短路径算法是一种用于找到一组节点之间最短路径的算法。
这些算法广泛应用于路由算法、GIS系统、模拟导航系统等领域。
在许多实际应用中，最短路径算法提供了许多实用的功能，如确定两点之间的距离和导航路径等。
下面将介绍几种最短路径算法的基本原理和实现方法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种基于贪婪策略的最短路径算法，适用于图中不含负权边的图。
该算法的基本思想是从一个源节点开始，逐步计算源节点到其他节点的最短路径。
算法的核心思想是每次选择当前已知最短路径的节点，并更新其邻居节点的距离。
实现步骤如下：1. 初始化：将源节点的距离设为0，将所有其他节点的距离设为无穷大。
2. 遍历所有与源节点相邻的节点，并更新其到源节点的距离。
3. 对于每个相邻节点，如果通过源节点到达该节点的距离小于当前距离，则更新该节点的距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点的距离都得到更新。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种适用于包含负权边的图的最短路径算法。
该算法通过多次迭代来更新节点的距离，并使用松弛操作来检测负权环。
该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是图中节点的数量。
实现步骤如下：1. 初始化：将源节点的距离设为0，并将所有其他节点的距离设为可能的最长距离（例如正无穷）。
2. 对于每个相邻节点u，从图中移除边(u, v)，并更新v的距离（如果存在）。
3. 在没有剩余边的情况下，重新初始化所有节点的距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有边的长度被增加到所有v的权重的加和+ε或被更改为新权重的节点变为可达状态。
如果某个节点的权重减小或为负数（因此没有负权环），那么就从结果集中移除它，并将邻居的权重减小对应的数量到其它节点中对应邻居的权重处（对权重相同的情况仍然可采用轮转机制确保统一更新）以优化该点下一步的可能选择空间和对应的下一个邻居的可能状态下的可能性一致。
dijkstra算法平均最短路径公式
Dijkstra算法（Dijkstra's algorithm）是一种用来确定图中起点到其他每个顶点的最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）在1956年提出的，是广泛应用于计算机科学和工程领域的重要算法之一。
1. 问题描述在一个带权重的有向图中，每一条边都有一个权重值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
给定一个起点，我们希望找到从起点到其他每个顶点的最短路径。
2. Dijkstra算法原理Dijkstra算法的基本原理是通过每次选择具有最小路径长度的顶点来逐步确定最短路径。
算法的具体步骤如下：1）初始化：将起点到其他每个顶点的最短路径长度初始化为无穷大，起点的最短路径长度初始化为0。
2）选择起点：选择起点作为当前顶点。
3）更新路径长度：对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果通过当前顶点到达邻接顶点的路径长度小于目前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。
4）选择下一个顶点：从尚未确定最短路径的顶点中，选择具有最小路径长度的顶点作为当前顶点。
如果所有的顶点都已经确定了最短路径，算法结束；否则继续执行步骤3。
5）重复步骤3和步骤4，直到所有的顶点都确定了最短路径。
3. 算法的实现Dijkstra算法可以使用不同的数据结构来实现，包括数组、优先队列（如最小堆）等。
这里以使用数组和最小堆为例介绍算法的实现。
3.1 使用数组实现使用一个数组dist[]来存储当前起点到每个顶点的最短路径长度，初试化为无穷大。
使用一个数组visited[]来标记每个顶点是否已经确定了最短路径。
使用一个数组parent[]来记录每个顶点的前驱顶点。
具体实现步骤如下：1）初始化dist[]为无穷大，起点的dist值为0。
2）重复以下步骤n次，其中n为顶点数：a）选择dist[]中值最小且对应的顶点未被确定最短路径的顶点u。
b）标记顶点u为已确定最短路径。
最短路径算法——Dijkstra 算法
最短路径算法——Dijkstra算法一、最短路径问题最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
在带权图（即网络）G=（V,E）中，若顶点v i，v j是图G的两个顶点，从顶点v i到v j 的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。
从顶点v i到v j可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点v i到v j的最短路径。
求最短路径具有很高的实用价值，在各类竞赛中经常遇到。
一般有两类最短路径问题：一类是求从某个顶点（即源点）到其他顶点（即终点）的最短路径；另一类是求图中每一对顶点间的最短路径。
本讲主要讲述一种单源最短路径（Single source shortest path）算法——Dijkstra 算法，用于解决非负权有向图的单源最短路径问题。
二、Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率偏低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想对于图G=（V，E），假设（u，v）是E中的边，c u,v是边的长度（即边权）。
如果把顶点集合V划分为两个集合S和T：S中所包含的顶点，他们到u的距离已经确定；T中所包含的顶点，他们到u的距离尚未确定。
dijkstra最短路径算法步骤
dijkstra最短路径算法步骤Dijkstra最短路径算法是一种用于在加权图中查找两个节点之间最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出的。
该算法通过维护一个距离数组，记录每个节点到源节点的距离，并不断更新距离数组来寻找最短路径。
一、基本概念在介绍Dijkstra算法的具体步骤之前，我们需要了解一些基本概念。
1.加权图：加权图是指每条边都有一个权值的图。
2.距离数组：距离数组是指记录每个节点到源节点的当前最短距离的数组。
3.已访问集合：已访问集合是指已经找到最短路径的节点集合。
二、算法步骤1.初始化首先，我们需要将所有节点的距离初始化为无穷大，表示当前还没有找到任何一条路径。
同时，将源节点的距离设为0，表示从源节点到自己的距离为0。
2.选择最小值接下来，在未访问集合中选择一个当前距离最小的点，加入已访问集合中。
这个点就是当前最优解所在位置。
3.更新邻居节点然后，我们需要更新所有与该节点相邻的节点的距离。
具体来说，对于每个相邻节点，我们需要计算从源节点到该节点的距离是否比当前距离更短。
如果更短，则更新距离数组中该节点的值。
4.重复步骤2和3重复执行步骤2和3，直到所有节点都被加入已访问集合中。
此时，距离数组中存储的就是源节点到所有其他节点的最短路径。
三、示例假设我们有以下加权图：现在我们要从A点出发，找到到达其他各点的最短路径。
1.初始化首先，我们将所有点的距离初始化为无穷大，除了A点为0。
2.选择最小值我们从未访问集合{B,C,D,E}中选择当前距离最小的B点，并将其加入已访问集合中。
3.更新邻居节点接下来，我们需要更新与B相邻的所有点（C和D）的距离。
解最短路径问题的两种方法及其应用
解最短路径问题的两种方法及其应用
最短路径问题是指在一张带权图中找到两个节点之间最短的路径。
最短路径问题是许多计算机科学和应用领域中的一个基本问题。
以下是解决这个问题的两种方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种
基本算法，它是基于贪心思想的。
该算法首先确定起始点到其他节
点的距离（记为d），然后不断扩大已确定最短距离的节点集，直
到覆盖所有节点。
Dijkstra算法适用于单源最短路径，即从一个节
点到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd算法：Floyd算法也是一种经典的解决最短路径问题
的算法，它是一个动态规划算法。
该算法利用动态规划的思想，通
过比较任意两个节点之间经过第三点（中转点）的路径长度，更新
路径长度。
Floyd算法适用于多源最短路径，即从任意两个节点之
间的最短路径。
这两种算法可广泛应用于各种计算机科学和应用领域，如网页
排名算法、图像处理、计算机网络等。
在实际应用中，我们需要根
据实际问题的特点，选择最适合的算法。
dijkstra最短路径算法步骤离散数学
一、概述在计算机科学领域中，图论算法是一类非常重要的算法之一。
而Dijkstra最短路径算法则是其中的经典之作。
本文将介绍Dijkstra算法的步骤，以及其在离散数学中的应用。
二、Dijkstra最短路径算法的基本概念1. Dijkstra最短路径算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫·迪克斯特拉于1956年提出的，用于求解一个图中从起始顶点到其他各顶点的最短路径。
2. Dijkstra算法采用贪婪的策略，每次找到当前到起点距离最短的顶点，并将其纳入最短路径中。
3. 在Dijkstra算法中，需要维护一个到起点的距离数组dist[]和一个标记数组visited[]，分别用于记录当前已知最短路径的距离和是否已访问过该顶点。
三、Dijkstra最短路径算法的步骤1. 初始化a. 将起点到各顶点的距离数组dist[]初始化为无穷大，将标记数组visited[]初始化为false。
b. 将起点到自身的距离初始化为0。
2. 更新距离a. 从待访问的顶点中选择dist[]最小的顶点v，将该顶点标记为已访问。
b. 遍历v的所有相邻顶点，更新其距离：如果通过顶点v到达该相邻顶点的距离比当前已知距离小，则更新dist[]数组。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被标记为已访问。
四、Dijkstra算法在离散数学中的应用1. 在网络路由中，Dijkstra算法被用于寻找网络中最短路径，以确保数据包能够以最快的速度传输到目的地。
2. 在地图导航系统中，Dijkstra算法被用于寻找最短驾驶路径，以节省行驶的时间和成本。
3. 在通信网络中，Dijkstra算法被用于寻找最短路径，以确保通信的高效和稳定。
五、总结Dijkstra最短路径算法是一种十分有效的图论算法，在实际应用中具有广泛的用途。
通过本文的介绍，相信读者对Dijkstra算法的步骤和在离散数学中的应用有了更加深入的了解。
希望本文可以为学习和研究算法的读者提供一些帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.3.4 附录E 最短路径算法——Dijkstra算法
在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。
最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。
这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。
我们在下面只介绍Dijkstra算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。
应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。
因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。
下面以图E-1的网络为例来讨论这种算法，即寻找从源结点到网络中其他各结点的最短路径。
为方便起见，设源结点为结点1。
然后一步一步地寻找，每次找一个结点到源结点的最短路径，直到把所有
点1, j)为结点i
(1) 初始化
令N表示网络结点的集合。
先令N = {1}。
对所有不在N中的结点v，写出
不直接相连与结点若结点直接相连
与结点若结点 1 1 ),1()(v v v l v D ⎩
⎨
⎧∞= 在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。
对于上述例子，可以使D (v ) = 99。
(2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。
把w 加入到N 中。
然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即：
D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )]
(E-1)
(3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。
表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。
可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。
表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。
当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。
表E-1 计算图E-1的网络的最短路径
现在我们对以上的最短路径树的找出过程进行一些解释。
因为选择了结点1为源结点，因此一开始在集合N中只有结点1。
结点1只和结点2, 3和4直接相连，因此在初始化时，在D(2)，D(3)和D(4)下面就填入结点1到这些结点相应的距离，而在D(5)和D(6)下面填入∞。
下面执行步骤1。
在结点1以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w，这应当是w = 4，因为在D(2)，D(3)和D(4)中，D(4) = 1，它的之值最小。
于是将结点4加入到结点集合N中。
这时，我们在步骤1这一行和D(4)这一列下面写入①，数字1表示结点4到结点1的距离，数字1的圆圈表示结点4在这个步骤加入到结点集合N中了。
接着就要对所有不在集合N中的结点（即结点2, 3, 5和6）逐个执行（E-1）式。
对于结点2，原来的D(2) = 2。
现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 2) = 1 + 2 = 3 > D(2)。
因此结点2到结点1距离不变，仍为2。
对于结点3，原来的D(3) = 5。
现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 3) = 1 + 3 = 4 < D(3)。
因此结点3到结点1的距离要更新，从5减小到4。
对于结点5，原来的D(5) = ∞。
现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 5)
= 1 + 1 = 2 < D(5)。
因此结点5到结点1的距离要更新，从∞减小到2。
对于结点6，现在到结点1的距离仍为∞。
步骤1的计算到此就结束了。
下面执行步骤2。
在结点1和4以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w。
现在有两个结点（结点2和5）到结点1的距离一样，都是2。
我们选择结点5（当然也可以选择结点2，最后得出的结果还是一样的）。
以后的详细步骤这里就省略了，读者可以自行完成剩
最后就得出以结点1为根的最短路径树。
图E-2给出了各步骤执行后的结果。
从最短路径树可清楚地找出从源结点(结点1)到网内任何一结点的最短路径。
图E-2还给出了在结点1的路由表。
此路由表指出对于发往某个目的结点的分组，从结点1发出后的下一跳结点（在算法中常称为“后继结点”）和距离。
当然，像这样的路由表，
在所有其他各结点中都有一个。
但这就需要分别以这些结点为源结点，重新执行算法，然后才能找出以这个结点为根的最短路径树和相应的路由表。