Dijkstra算法

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dijkstra算法

Dijkstra算法（Dijkstra算法）由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出，因此也称为Dikstra算法。

从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。

Dijestela算法的主要特征是从起点开始，采用贪婪算法的策略。

每次，它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点，直到起点为止。

Dijkstra的算法通常以两种方式表示，一种使用永久和临时标签，另一种使用OPEN和CLOSE表，两者都使用永久和临时标签。

请注意，该算法不需要图形中的负边缘权重。

1.首先，引入一个辅助数组（向量）D，其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点（即源点）到其他每个顶点的长度。

例如，D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。

这里的重点是相对的，这意味着D在算法执行期间近似于最终结果，但不一定相等执行期间的长度。

2. D的初始状态为：如果存在一个从to的弧（即，存在一个从to的连接边），则D是弧上的权重（即，从to的边的权重）；否则，将D设置为无穷大。

显然，长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径，即（）。

3.那么，下一个最短的长度是？即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点，并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。

假设子短路径的终点是，则可以想象路径是（）或（）。

它的长度是从PI到PI的弧上的权重，或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。

4.通常，假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点，则可以证明下一条最短路径（令其终点为）是arc（）或仅从源点穿过中间的S顶点，最后到达顶点。

因此，具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s}，其中D是arc（）上的权重，或者D（∈S）和arc（，）上的权重之和。

该算法描述如下：1）让圆弧代表圆弧上的重量。

如果弧不存在，则将弧设置为无穷大（在这种情况下为MAXCOST）。

Dijkstra算法

最短路径—Dijkstra算法Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。

（单源最短路径）2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。

此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。

U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

dijkstra算法

Dijkstra算法是荷兰计算机科学家Dijkstra在1959年提出的，因此也称为Dijkstra算法。

它是从一个顶点到其他顶点的最短路径算法，解决了加权图中最短路径的问题。

Dijkstra算法的主要特征是它从起点开始使用贪婪算法策略。

每次，它遍历最近的顶点的相邻节点，直到起点延伸到终点，该节点才被访问。

算法思路
该算法是根据路径长度的递增顺序生成的
顶点集V分为两组
（1）S：一组计算的顶点（最初仅包含源点V0）
（2）V-s = t：一组不确定的顶点
T中的顶点以递增顺序添加到，以确保：
（1）从源点v0到S中其他顶点的长度不大于从v0到t的任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中的顶点：从v0到顶点的长度
t中的顶点：从v0到顶点的最短路径长度，仅包括s中的顶点作为中间顶点
基础：可以证明，t中从v0到VK的直接路径的权重是从v0到VK的直接路径的权重，或者是从v0到VK的路径权重之和，即通过S中的顶点。

（可以通过相反的证明方法证明）
寻找最短路径的步骤
算法步骤如下：
G = {V，E}
1.初始条件为s = {V0}，t = V-s = {其他顶点}，相应的顶点距离值以t为单位
如果存在<V0，VI>，则D（V0，VI）是<V0，VI> arc的权重如果没有<V0，VI>，则D（V0，VI）为∞
2.从t中选择一个具有与S中的顶点关联的边且权重最小的顶点W，并将其添加到s
3.修改t中其余顶点的距离值：如果将W添加为中间顶点，则缩短了从v0到VI的距离，然后修改了距离值
重复上述步骤2和3.直到s包含所有顶点，即w = VI。

最短路dijkstra算法详解

最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。

Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。

一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。

具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。

初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。

接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。

重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。

最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。

二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。

由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。

以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。

迪杰斯特拉(dijkstra)算法

初始时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}

Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)

Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法）算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述算法描述虚拟码时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。

是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。

其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。

当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

不过根据这个原理，被改变，因而保证了算法的正确性。

不过根据这个原理，用 Dijkstra 求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

不会改变的性质。

举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。

Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。

我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。

每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。

(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。

我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。

Dijkstra算法

Dijkstra算法定义G=(V,E)，定义集合S存放已经找到最短路径的顶点，集合T存放当前还未找到最短路径的顶点，即有T=V-SDijkstra算法描述如下：(1) 假设用带权的邻接矩阵edges来表示带权有向图，edges[i][j]表示弧<Vi, Vj>上的权值。

若<Vi, Vj>不存在则置edges[i][j]=∞（计算机上用一个允许的最大值代替）。

S为已经找到的从Vs出发的最短路径的终点集合，它初始化为空集。

那么，从Vs出发到图上其余各顶点（终点）Vi可能达到的最短路径长度的初值为：D[i]=deges[s][i] Vi∈V(2) 选择Vj，使得D[j]=Min{D[i]|Vi∈V-S}，Vj就是当前求得的一条从Vs出发的最短路径的终点。

令S=S∪{Vj}(3) 修改从Vs出发到集合V-S上任一顶点Vk可达的最短路径长度。

如果D[j]+edges[j][k]<D[k]则修改D[k]为D[k]=D[j]+edges[j][k]重复操作(2)(3)共n-1次。

由此求得从Vs到图上其余各顶点的最短路径。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用O PEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的A* 算法和D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。

其采用的是贪心法的算法策略大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。

OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。

dijkstra算法

dijkstra算法这个算法是通过为每个顶点v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。

初始时，原点s 的路径权重被赋为0 （d[s] = 0）。

若对于顶点s 存在能直接到达的边（s,m），则把d[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于所有顶点的集合V 中的任意顶点v，若v 不为s 和上述m 之一，d[v] = ∞）。

当算法结束时，d[v] 中存储的便是从s 到v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。

边的拓展是Dijkstra 算法的基础操作：如果存在一条从u 到v 的边，那么从s 到v 的最短路径可以通过将边（u, v）添加到尾部来拓展一条从s 到v 的路径。

这条路径的长度是d[u] + w(u, v)。

如果这个值比目前已知的d[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v] 中的值。

拓展边的操作一直运行到所有的d[v] 都代表从s 到v 的最短路径的长度值。

此算法的组织令d[u] 达到其最终值时，每条边（u, v）都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集合S 和Q。

集合S 保留所有已知最小d[v] 值的顶点v ，而集合Q 则保留其他所有顶点。

集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q 移动到S。

这个被选择的顶点是Q 中拥有最小的d[u] 值的顶点。

当一个顶点u 从Q 中转移到了S 中，算法对u 的每条外接边(u, v) 进行拓展。

下面的伪代码计算并保留图G中原点s到每一顶点v的最短距离d[v]，同时找出并保留v在此最短路径上的“前趋”，即沿此路径由s前往v，到达v之前所到达的顶点。

其中，函数Extract_Min(Q) 将顶点集合Q中有最小d[u]值的顶点u从Q中删除并返回u。

1 function Dijkstra(G, w, s)2 for each vertex v in V[G] // 初始化3 d[v] := infinity // 将各点的已知最短距离先设成无穷大4 previous[v] := undefined // 各点的已知最短路径上的前趋都未知5 d[s] := 0 // 因为出发点到出发点间不需移动任何距离，所以可以直接将s到s的最小距离设为06 S := empty set7 Q := set of all vertices8 while Q is not an empty set // Dijkstra算法主体9 u := Extract_Min(Q)10 S.append(u)11 for each edge outgoing from u as (u,v)12 if d[v] > d[u] + w(u,v) // 拓展边（u,v）。

Dijkstra算法详细介绍

Dijkstra算法详细介绍Dijkstra算法详细介绍1,算法特点：迪科斯彻算法使⽤了⼴度优先搜索解决赋权有向图或者⽆向图的单源最短路径问题，算法最终得到⼀个最短路径树。

该算法常⽤于路由算法或者作为其他图算法的⼀个⼦模块。

2.算法的思路Dijkstra算法采⽤的是⼀种贪⼼的策略，声明⼀个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和⼀个保存已经找到了最短路径的顶点的集合：T，初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 (dis[s] = 0）。

若对于顶点 s 存在能直接到达的边（s,m），则把dis[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为⽆穷⼤。

初始时，集合T只有顶点s。

然后，从dis数组选择最⼩值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加⼊到T中，OK，此时完成⼀个顶点，然后，我们需要看看新加⼊的顶点是否可以到达其他顶点并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否⽐源点直接到达短，如果是，那么就替换这些顶点在dis中的值。

然后，⼜从dis中找出最⼩值，重复上述动作，直到T中包含了图的所有顶点。

3.举例实现这次来介绍指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。

例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

我们⾸先要建⽴⼀个⼆维数组来记录点与点之间的关系，如下图所⽰：同时我们还需要⽤⼀个⼀维数组 dis 来存储源点（这⾥我们⽤使⽤1号点）顶点到其余各个顶点的初始路程，我们可以称 dis 数组为“距离表”，如下图所⽰：既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找⼀个离 1 号顶点最近的顶点。

通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。

当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。

迪克拉斯算法

迪克拉斯算法1. 算法思想Dijkstra算法的基本思想是通过已知距离最短的顶点来逐步确定到其他顶点的最短路径。

具体来说，算法维护一个集合S，初始时S中只包含源顶点，并且对所有顶点v，记录从源顶点到v的最短路径长度。

然后每次从S中选取一个距离最短的顶点u，并将该顶点加入S中，更新所有与u相邻的顶点v的最短路径长度。

2. 算法步骤Dijkstra算法的具体步骤如下：1）初始化：设置源顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。

2）逐步确定最短路径：重复以下步骤，直到所有顶点都被添加到集合S中。

a) 从未加入S集合的顶点中选取距离最短的顶点u。

b) 将u加入S集合。

c) 更新以u为起点的所有顶点v的最短路径长度，如果路径长度更短，则更新v的距离。

3）输出最短路径：当所有顶点都被添加到集合S中后，输出从源顶点到每个顶点的最短路径。

3. 示例为了更好地理解Dijkstra算法的运行过程，我们通过一个示例来演示算法的执行步骤。

假设有以下有向带权图G，其中顶点集合为{A, B, C, D, E, F, G}，边集合为{(A, B, 10), (A, C, 15), (B, D, 12), (C, F, 5), (D, E, 10), (E, F, 5), (F, G, 15)}，源顶点为A。

首先，初始化源顶点A的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。

然后依次选取距离最短的顶点，逐步确定最短路径。

第一步：选取源顶点A，添加到集合S中，更新与A相邻的顶点B和C的距离。

此时距离最短的顶点是B。

第二步：选取顶点B，添加到集合S中，更新与B相邻的顶点D的距离。

此时距离最短的顶点是C。

第三步：选取顶点C，添加到集合S中，更新与C相邻的顶点F的距离。

此时距离最短的顶点是D。

第四步：选取顶点D，添加到集合S中，更新与D相邻的顶点E的距离。

此时距离最短的顶点是F。

第五步：选取顶点F，添加到集合S中，更新与F相邻的顶点G的距离。

此时距离最短的顶点是E。

dijkstra算法平均最短路径公式

Dijkstra算法（Dijkstra's algorithm）是一种用来确定图中起点到其他每个顶点的最短路径的算法。

它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）在1956年提出的，是广泛应用于计算机科学和工程领域的重要算法之一。

1. 问题描述在一个带权重的有向图中，每一条边都有一个权重值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。

给定一个起点，我们希望找到从起点到其他每个顶点的最短路径。

2. Dijkstra算法原理Dijkstra算法的基本原理是通过每次选择具有最小路径长度的顶点来逐步确定最短路径。

算法的具体步骤如下：1）初始化：将起点到其他每个顶点的最短路径长度初始化为无穷大，起点的最短路径长度初始化为0。

2）选择起点：选择起点作为当前顶点。

3）更新路径长度：对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果通过当前顶点到达邻接顶点的路径长度小于目前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。

4）选择下一个顶点：从尚未确定最短路径的顶点中，选择具有最小路径长度的顶点作为当前顶点。

如果所有的顶点都已经确定了最短路径，算法结束；否则继续执行步骤3。

5）重复步骤3和步骤4，直到所有的顶点都确定了最短路径。

3. 算法的实现Dijkstra算法可以使用不同的数据结构来实现，包括数组、优先队列（如最小堆）等。

这里以使用数组和最小堆为例介绍算法的实现。

3.1 使用数组实现使用一个数组dist[]来存储当前起点到每个顶点的最短路径长度，初试化为无穷大。

使用一个数组visited[]来标记每个顶点是否已经确定了最短路径。

使用一个数组parent[]来记录每个顶点的前驱顶点。

具体实现步骤如下：1）初始化dist[]为无穷大，起点的dist值为0。

2）重复以下步骤n次，其中n为顶点数：a）选择dist[]中值最小且对应的顶点未被确定最短路径的顶点u。

b）标记顶点u为已确定最短路径。

最短路问题Dijkstra算法

2-
0-
vs
v1
2
27
- 54
5 v2 5
- ∞9
-∞
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
-4
-∞
考察v1 , T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]= min[5,2+2]=4 T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=97
迭 Step 3: 比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为代 P 标号，即 P(vi)=min[T(vi)]. 2
v4 5
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7-
14
最短路
2-
v1
2
27
0-
4-
8-
13 -
vs
5 v2 5
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
4-
7-
• Dijkstra算法不仅找到了所求最短路，而且找到了从 vs 点到其他所有顶点的最短路；这些最短路构成了图的一个连通无圈的支撑子图，即图的一个支撑树。
T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=9
(5) 全部 T 标号中,T(v2),T(v3)最小,令P(v2)=4, P(v3)=4, 记录路径(v1 ,v2), (v1 ,v4),. .…………
17
有些最短路问题也可以求网络中某指定点到其余所有结点的最短路、或求网络中任意两点间的最短路.
1
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法

数据结构迪杰斯特拉算法

数据结构迪杰斯特拉算法什么是迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法，也称为Dijkstra算法，是一种用于计算图中单个源点到其他所有顶点的最短路径的算法。

它是一种贪心算法，通过不断选择当前最优解，逐步求得全局最优解。

迪杰斯特拉算法的基本原理1.初始化：定义一个数组dist用于存储起始顶点到其他顶点的最短路径长度，初始值为无穷大；定义一个数组visited用于标记该顶点是否已经找到了最短路径，初始值为False；起始顶点的最短路径长度为0.2.选择起始顶点：从图中选择一个起始顶点作为当前顶点，并将其加入到已访问的顶点集合中，将起始顶点与其相邻的顶点的最短路径长度更新为起始顶点到其相邻顶点的距离。

3.更新最短路径长度：对于当前顶点的所有未访问邻接顶点，如果通过当前顶点到达邻接顶点的路径长度小于dist中记录的最短路径长度，则更新dist中的值为新的路径长度。

4.选择下一个顶点：在未访问的顶点中选择一个距离起始顶点最近的顶点作为下一个当前顶点，并将其加入到已访问的顶点集合中。

5.重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被访问过或者没有未访问的顶点可供选择。

6.输出最短路径：根据dist数组得到起始顶点到各顶点的最短路径。

迪杰斯特拉算法的应用迪杰斯特拉算法主要应用于网络路由问题、地图导航、推荐系统等需要求解最短路径的场景。

其中，网络路由问题中的路由器可以看作图的顶点，网络连线可以看作图的边。

通过运用迪杰斯特拉算法可以找到从一个路由器到另一个路由器的最短路径，从而实现数据的快速传输。

地图导航问题中，道路可以看作图的边，交叉口可以看作图的顶点。

通过运用迪杰斯特拉算法可以找到从一个地点到另一个地点的最短路径，从而指导用户行进。

推荐系统中，用户可以看作图的顶点，用户之间的关系可以看作图的边。

通过运用迪杰斯特拉算法可以发现与用户最相关的其他用户，从而进行个性化推荐。

迪杰斯特拉算法的优缺点优点1.可以求解单源最短路径问题，适用于各种类型的图。

DIJKSTRA算法详细讲解

DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。

它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。

DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。

下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。

初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。

2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。

首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。

3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。

如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。

重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。

4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。

5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。

根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。

下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。

将集合S设为空。

开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。

2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。

4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。

6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解Dijkstra算法是⼀种计算单源最短⽆负边路径问题的常⽤算法之⼀，时间复杂度为O(n2)算法描述如下：dis[v]表⽰s到v的距离，pre[v]为v的前驱结点，⽤以输出路径,vis[v]表⽰该点最短路径是否已经确认初始化：dis[v]=INT dis[s]=0 pre[s]=0 执⾏n次在没有确定的点中找到⼀个路径最短的，并修改为已经确认通过这个点修改其他所有没有确定的点直到所有点已经确认为最短路径，退出循环现在证明算法的正确性：⾸先，我们说明两条性质：1.确定任何⼀个点为最短路径时，前驱p⼀定已经是最短路径（假设源点的前驱是它本⾝）。

2.任意时刻在还没有确定最短路径的点的集合中路径最短的点就是可以被确定的点。

稍微证明⼀下这两条性质（反证法）：证明1：假如前驱p还不是最短路径，那么显然当p是最短路径时到当前节点的路径更短，即不是最短路径的节点所确定的节点⼀定不是最短路径（好像很显然）证明2：为了⽅便描述，我们定义已经确定的点为⽩点，没有确定的点为蓝点。

若是蓝点中路径最短x还不能确定为⽩点，那么x的最短路径上必定存在⼀个蓝点y。

即dis[x]>dis[y]+edge[y][x]。

⽽dis[y]处于两种状态：(1)dis[y]已经是y点的最短路径，那么显然与dis[x]为蓝点中最短的相⽭盾。

(2)dis[y]还不是y点的最短路径，那么它的前驱显然是另外⼀个蓝点，即dis[y]>=dis[x]（这⾥省略了⼀些步骤，不过⾃⼰稍微想⼀下，我觉得挺显然的），也⽭盾。

综上，性质2得证。

回过头再看我们的算法：在刚开始的时候，⾸先确定的最短路（就是直接和源点相连的点）进⼊⽩点集合，满⾜性质1，2。

此后每个过程都满⾜以上两个性质，所以算法正确。

算法实现：1 memset(vis,0,sizeof(vis));2 vis[s]=1;3 dis[s]=0;4 for(int i=1;i<n;i++)5 {6 int m=INT_MAX;7 int k=0;8 for(int j=1;j<=n;j++)9 {10 if(!vis[j] && dis[j]<m)11 {12 m=dis[j];13 k=j;14 }15 }16 if(k==0)17 break;18 vis[k]=1;19 for(int j=1;j<=n;j++)20 {21 if(dis[k]+e[k][j]<dis[j])22 dis[j]=dis[k]+e[k];23 }24 }View Code。

迪克斯特拉算法

if(!final[j]&&(l<D[w])) { D[w]=l; //renew D[w]
P[j]=P[k]; P[j][j]=1; } } } }
void main( ) { Graph<char> G;
G.ReadGraph("sctest.dat"); int n=G.NumberOfVertices( ); int *D=new int[n]; int **P=new (int**[n])[n]; ShortestPathDijkstra(G,0,D,P); for(int i=0;i<n;i++) { cout<<"P["<<i<<"]={ ";
if(D[j]<min) { k=j; min=D[j];}
final[k]=1; //marked vertex k, v=GetVertex(G,k); //found the shortest path for(j=1;j<n;j++) { w=GetVertex(G,j); l=G.GetWeight(v,w)+min;
S中只有一个源点v0，以后每求得的一条最短路径就将终点加入S，直到全部顶点都加入到S.
定义一个数组 D[n]; n是图的顶点数。 D[i]=从源点v0到顶点vi最短路经的长度。
第一步取D[i]为v0到vi的边的权值，无边时取值∞，取一个最小值 D[j1]=min{D[i], i<n}
D[j1]是v0到vj1的最短路径的长度。
const T & eVertex) { PQueue< PathInfo< T > > PQ(MaxGraphSize);

Dijkstra算法

Dijkstra算法朴素版Dijkstra算法⼀.适⽤范围：单源最短路，所有边权都是正数，（朴素版Dijkstra 时间复杂度O（n的平⽅） )，稠密图（边数远远⼤于点数）⼆.算法思路: 1.初始化距离各个顶点到源点的距离为正⽆穷（memset(dist,0x3f,dist）源点本⾝到源点的距离为0（dist[1]=0); 2.循环遍历 s:当前已经确定最短距离的点； t:不在s中的，距离最近的点；将t加⼊到s中去；⽤t更新其他点的距离；for(int i=0;i<n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!str[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) t=j;}str[t]=1;for(int j=1;j<=n;j++) { dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);}}三：算法⽰例演⽰　邻接矩阵存图⽤⼀维数组dist[N]存储点1到各个顶点的距离距离点1最近的点是点2，点2确定距离点2最近的点是点4，点4确定... ...#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int n,m;const int N=505;int g[N][N],dist[N],str[N];int dijkstra(){memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;for(int i=0;i<n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!str[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) t=j; }str[t]=1;for(int j=1;j<=n;j++){dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);}}if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];}int main(){cin>>n>>m;memset(g,0x3f,sizeof g);while(m--){int x,y,z;cin>>x>>y>>z;g[x][y]=min(g[x][y],z);}int k=dijkstra();cout<<k<<endl;return 0;}。

Dijkstra算法

Dijkstra算法这⾥介绍 Dijkstra 算法，它是⼀个应⽤最为⼴泛的、名⽓也是最⼤的单源最短路径算法Dijkstra 算法有⼀定的局限性：它所处理的图中不能有负权边「前提：图中不能有负权边」换句话说，如果⼀张图中，但凡有⼀条边的权值是负值，那么使⽤ Dijkstra 算法就可能得到错误的结果不过，在实际⽣活中所解决的问题，⼤部分的图是不存在负权边的如：有⼀个路线图，那么从⼀点到另外⼀点的距离肯定是⼀个正数,所以，虽然 Dijkstra 算法有局限性，但是并不影响在实际问题的解决中⾮常普遍的来使⽤它看如下实例：（1）初始左边是⼀张连通带权有向图，右边是起始顶点 0 到各个顶点的当前最短距离的列表，起始顶点 0 到⾃⾝的距离是 0（2）将顶点 0 进⾏标识，并作为当前顶点对当前顶点 0 的所有相邻顶点依次进⾏松弛操作，同时更新列表从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 2，就可以说，起始顶点 0 到顶点 2 的最短路径即 0 -> 2因为：图中没有负权边，即便存在从顶点 1 到顶点 2 的边，也不可能通过松弛操作使得从起始顶点 0 到顶点 2 的距离更⼩图中没有负权边保证了：对当前顶点的所有相邻顶点依次进⾏松弛操作后，只要能从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，就能确定起始顶点到该顶点的最短路径（3）将顶点 2 进⾏标识，并作为当前顶点（4）对当前顶点 2 的相邻顶点 1 进⾏松弛操作，同时更新列表（5）对当前顶点 2 的相邻顶点 4 进⾏松弛操作，同时更新列表（6）对当前顶点 2 的相邻顶点 3 进⾏松弛操作，同时更新列表从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 1，就可以说，起始顶点 0 到顶点 1 的最短路径即 0 -> 2 -> 1（7）将顶点 1 进⾏标识，并作为当前顶点（8）对当前顶点 1 的相邻顶点 4 进⾏松弛操作，同时更新列表从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 4，就可以说，起始顶点 0 到顶点 4 的最短路径即 0 -> 2 -> 1 -> 4（9）将顶点 4 进⾏标识，并作为当前顶点当前顶点 4 没有相邻顶点，不必进⾏松弛操作从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 3，就可以说，起始顶点 0 到顶点 3 的最短路径即 0 -> 2 -> 3（10）将顶点 3 进⾏标识，并作为当前顶点对当前顶点 3 的相邻顶点 4 进⾏松弛操作，发现不能通过松弛操作使得从起始顶点 0 到顶点 4 的路径更短，所以保持原有最短路径不变⾄此，列表中不存在未标识顶点，Dijkstra 算法结束，找到了⼀棵以顶点 0 为根的最短路径树Dijkstra 算法的过程总结：第⼀步：从起始顶点开始第⼆步：对当前顶点进⾏标识第三步：对当前顶点的所有相邻顶点依次进⾏松弛操作第四步：更新列表第五步：从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，作为新的当前顶点第六步：重复第⼆步⾄第五步，直到列表中不存在未标识顶点Dijkstra 算法主要做两件事情：（1）从列表中找最值（2）更新列表显然，借助最⼩索引堆作为辅助数据结构，就可以⾮常容易地实现这两件事情最后，Dijkstra 算法的时间复杂度：O(E*logV)。