第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法教案新人教B版必修5

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高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.3 一元二次不等式及其解法》2

课题一元二次不等式及其解法1 授课人苏冬青时间2021年5月
教学目标
知识与技能
理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的
能力。

过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二
次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会
事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点一元二次不等式的解法
教学难点理解三个二次之间的关系
教学方法自主探究、合作交流、启发引导、讲练结合
教学环节教学内容师生活动
创设情境，
引入课题
讲授新课一．课前回顾：
1.让学生明确本节课的教学任务
2.回顾二次函数图像，探讨函数，方程，不等式三者关系
引领学生找到函数，不等式，方程之间的处理方法及注意事项。

二．新课探究
1.学生观察二次函数图像，探讨分类讨论的数学思想，引出函数值
大于0，小于0，等于0的解。

2.通过图像观察得到一元二次不等式的解集的端点值即为相应的
方程的根。

3.建立一元二次函数，不等式，方程之间的思维导图，再一次强调
本节的重点和难点，强调本节的关键及注意事项（二次项的系数与0
的关系）
学生动手实验
教师引导提问
学生观察图像，写
出的取值范围
教师引导
学生归纳总结三个
二次关系
学生思考
独立完成。

高中数学 3-3一元二次不等式及其解法课件同步导学新人教B版必修5

的解集是什么？
【提示】 (1)当 a>0 时，f(x)≥0 的解集为(－∞，x1]∪ [x2，＋∞)；f(x)≤0 的解集为[x1，x2]．
(2)当 a<0 时，f(x)≥0 的解集为[x1，x2]， f(x)≤0 的解集为(－∞，x1]∪[x2，＋∞)． (3) 不相同，当 a>0 时，axx－－xx21≥0 的解集为(－∞，x1] ∪(x2，＋∞)；当 a<0 时，其解集为[x1，x2)，与 f(x)≥0 的解集相比，均差一个端点 x2，这是因为当 x＝x2 时，axx－－xx21无意义．
集
(x1，x2)
∅
∅
• 3.求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：
(3)f(x)≥0 与axx－－xx21≥0 的解集相同吗？
• 设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，(x1<x2)则 • (1)当a>0时，f(x)≥0的解集是什么？f(x)≤0
的解集是什么？ • (2)当a<0时，f(x)≥0的解集是什么？f(x)≤0
a2－1<0
.
Δ<0
【解析】 ①当 a2－1＝0，即 a＝±1 时，若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立．若 a＝－1，则原不等式为 2x－1＜0，即 x＜12，不符合题目要求，舍去． ②当 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a＜－012＋4a2－1＜0 ，解得－35＜a＜1. 综上所述，当－35＜a≤1 时，原不等式的解为全体实数．
(1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；
当 a≠0 时，aΔ＞＜00 . (2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数(或恒成立) 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；当 a≠0 时，aΔ＜＜00 .类似地，还有 f(x)≤a 恒成立⇔ [f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法同步训练新人教B版必修5-新人教B版高二必

3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1＜0，关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解集是( ) A.{x|x ＞5a 或x ＜-a} B.{x|x ＜5a 或x ＞-a} C.{x|-a ＜x ＜5a} D.{x|5a ＜x ＜-a} 解析：x 2-4ax-5a 2＞0⇒（x-5a ）（x+a ）＞0.∵a＜21-，∴5a＜-a.∴x＞-a 或x ＜5a.故选B.答案：B2.不等式x 2-x-2＜0的解集是___________.解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x ＜2}. 答案：{x|-1＜x ＜2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析：423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x ＜2或x≥37}. 答案：{x|x ＜2或x≥37} 4.)1(-x x ＜0的解集为____________.解析：根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0＜x ＜1,解集为:{x|0＜x ＜1}.答案：{x|0＜x ＜1}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}，则不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为( ) A.{x|-3＜x ＜21} B.{x|x ＜-3或x ＞21}C.{x|-2＜x ＜31}D.{x|x ＜-2或x ＞31}解法一：ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}⇔3x 2-5x-2＜0⇔-3x 2+5x+2＞0.设a=-3k ，b=5k ，c=2k （k ＞0），则cx 2+bx+a ＜0⇔2kx 2+5kx-3k ＜0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，故选A.解法二：由题意知a ＜0，且a b -=（31-）+2，a c =（31-）×2，即a b =35-，a c =32-，而cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+a b x+1＞0⇔32-x 235-x+1＞0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，所以应该选A.答案：A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1＞0 B.2x ＞0C.(31)x +1＞0 D.xx 121<- 解析：因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x＞0,所以(31)x+1＞1＞0(x∈R ). 答案：C3.不等式21-+x x ＞0的解集是______________. 解析：21-+x x ＞0⇔（x+1）（x-2）＞0⇔x ＜-1或x ＞2.答案：{x|x ＜-1或x ＞2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2＞0(2)-2x 2+x+3＞0解:(1)∵Δ＞0，对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1，2.∴不等式x 2-x-2＞0的解集：{x|x ＜-1 或x ＞2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3＜0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1，23. ∴原不等式的解集为{x|-1＜x ＜23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2＞0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x ＜65-; (2)当m+3＞0,即m ＞-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x ＜36+---m m m 或x ＞36+-+-m mm ;当Δ＜0,即m ＞6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3＜0,即m ＜-3时,Δ=4(6-m)＞0所以,解为:36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm .综上所述,当m ＜-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x ＜65-};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x ＜36+---m m m }或x ＞36+-+-m mm .6.已知a ＞1，P ：a （x-2）+1＞0，Q ：（x-1）2＞a （x-2）+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1＜a ＜2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-（2-a 1）=a+a 1-2＞0，所以a ＞2-a 1.故x∈{x|x＞2或2-a1＜x ＜a}. 若a=2，则有x∈{x|x＞21且x≠2}. 若a ＞2，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或故x∈{x|x＞a 或2-a1＜x ＜2}. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.函数f （x ）=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf （x ）-x≤2的解集为( )A.［-2，2］B.［-2，-1］∪［1，2］C.［1，2］D.［-1，2］解法一：（排除法）∵x=0时，xf （x ）-x=0≤2成立，而B 、C 中均不含有0，故排除B 、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf （x ）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A 而选D.解法二：（直接法）①当x ＞1时，xf （x ）-x≤2可化为x 2-x≤2，即x 2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x ＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf （x ）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］. 答案：D2.不等式11-x ＞x+1的解集为( ) A.{x|x ＜-3} B.{x|x ＞1} C.{x|x ＜2-|∪{x|1＜x ＜2}D.{x|34＜x ＜2} 解析：原不等式可以化为11-x -(x+1)＞0,即122--x x ＞0,即(x+2)(x 2-)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案：C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6＞0}，则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7} C.{x|x≤-2或x ＞3} D.{x|x ＜-2或x≥3}解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或x ＞3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案：A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），则有( )A.a-b-c ＞0B.a+b+c ＜0C.a+c ＜bD.3b ＜2c解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f （-1）＞0，即a-b+c ＞0（*）.又知ab2-=1，得a=2b -，代入（*）式得21-b-b+c ＞0，即3b ＜2c.故选D. 答案：D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4k 2-2（1-k 2）=6k 2-2.由①式得k 2≥21， ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案：C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是___________________.解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出a ＞0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第_______________层. 解析：设电梯停在第x 层（2≤x≤20），则 S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x ）+（20-x ）］×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×（20-x ） =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数，∴取x=14即可. 答案：148.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.解析：设风暴中心坐标为（a ，b ），则a=3002，所以22)2300(b +＜450，即-150＜b ＜150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215（22-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时. 答案：215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式： f(x)＜xkx k --+2)1(.解:（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2＜0, 即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k ＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），求实数a 、b 的值. 解法一：（换元法）设u=x （u≥0），则原不等式可化为u ＞232+au ，即au 2-u+23＜0. ∵原不等式的解集为（4，b ），∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二：（图象法）设y 1=x ，y 2=23+ax （x≥0），其图象如上图所示，不等式x ＞ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23（x≥0）的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为（4，b ），故方程x =ax+23有一个解x=4，将x=4代入得2344+=a ，∴a=81，再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36，即b=36.。

说课标说教说课稿人教版高中数学必修5第三章不等式

说课标，说教材说课稿人教版高中数学必修5第三章《不等式》各位评委、各位老师，大家好：今天我“说课标、说教材”的内容是人教版高中数学必修5第三章《不等式》。

下面我将从说课标、说教材、说建议三大方面面进行研说。

其中说课标包括数学课程的总体目标、必修五《不等式》课程目标、必修五《不等式》内容标准。

说教材包括教材的编写特点、教材编写体例、目的、教材的内容结构及知识与技能的立体式整合一、说课标（一）、数学课程的总体目标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下：1、获得数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动2、培养学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应用意识、创新意识3、提高兴趣、树立信心、树立辩证唯物主义世界观这三个目标分别体现了数学课程在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观上对学生提出的要求。

（二）、必修五《不等式》课程目标：1、知识与技能：了解不等式（组）的实际背景。

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式二元一次不等式组模型的过程。

探索并了解基本不等式的证明过程。

会用基本不等式解决简单的最值问题。

2、过程与方法：通过本章学习培养和发展学生勇于自主探索，合作学习，勇于创新精神，体会事物之间普遍联系的思想。

3、情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，拓展学生视野，培养良好的学习习惯。

（三）、必修五《不等式》内容标准：在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

二、说教材：（一）、教材的编写特点1、关注数学情境的建立，注重兴趣培养。

一元二次不等式及其解法教案

重能力培养——让学生在参与过程中探究问题方法，理解数形结合的思想方法，进一步培养学生的猜想能力、动手能力、分析问题解决问题能力、阅读理解能力，以及三种语言转化能力和逻辑推理能力。
重文化渗透——结合生活实例，让学生体会数学源于生活；数学美在生活中无处不在，提升学生文化素养。
本设计创新点：1.通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，有利于学生学会探究方法；2.丰富的动手实践活动，有利于培养发散思维。
再对一般的一元二次不等式 (a≠0)与 (a≠0)来进行讨论。为简便起见，暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：
如果相应的一元二次方程分别有两不等实根，两相等实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？
【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图像，并写出相应一元二次不等式的解。
【2】画出二次函数的图象，观察函数图象可知，当或时函数图象位于轴上方，此时即当时，函数图象位于轴下方，此时，即所以，一元二次不等式的解集是
【哪位同学还能写出的解集？
我们通过二次函数的图像，不仅求得了的解，还求出了的解，可见利用二次函数的图像很容易得到一元二次不等式的解。
“一元二次不等式及其解法”教学设计方案
课题
名称
一元二次不等式及其解法
教学
对象
高一学生
教学
时间
40分钟
教材
信息
人教版高中《数学》必修5第三章《不等式》第二节
教学
目标
（1）正确理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而掌握图象法解一元二次不等式，并能解决一些有关不等式的简单问题。

高中数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二

2．2 一元二次不等式的应用知识点一简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一根的分布问题【例1】已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图．若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0，即27－m <0，解得m >27.规律方法一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二高次不等式的解法【例2】解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号．在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四一元二次不等式的应用【例4】当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0，解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)．解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。

高中数学一元二次不等式的解法教案新人教B版必修5

一元二次不等式的解法教学目的:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。

初步树立"数形结合"的观念。

掌握一元二次不等式的解法及步骤。

教学重点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。

教学难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系。

教学方式：发现、讨论法；数形结合。

教学进程：一．温习引入：1．当x 取什么值的时候，y=3x －15的值（l ）等于0；（2）大于0；（3）小于0 2．你可以用几种方式求解上题？3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系4．像3x －15＞0(或＜0＝这样的不等式，常常利用的有两种解法 (1)图象解法：利用一次函数y ＝3x －15的图象求解注：①直线与x 轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根 ②图象在x 轴上面的部份表示3x －15＞0(2)代数解法：用不等式的三条大体性质直接求解二．探索与研究：问题：（1）利用"要素法"作出二次函数62--=x x y 的图象？（2）按照（1）的图象求出一元二次方程062=--x x 的解是。

（3）按照二次函数62--=x x y 的图象和一元二次方程062=--x x 的解可以求出一元二次不等式062>--x x 的解集是。

还能得出一元二次不等式062<--x x 的解集是。

三．组织讨论：从上面的例子动身，综合学生的意见，可以归纳出肯定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况(2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号总结讨论结果：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来肯定因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，取得一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各类情况如下表：(讲义第19页)0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根a b x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x <<∅ ∅∅三．例题讲解：例1．解下列不等式（1）02322>--x x （2）2632>+-x x（3）01442>+-x x （4）0322>-+-x x 例2：已知函数c bx x y ++=2的图象与X 轴的两个交点横坐标为-1，2，则当∈x 时，0>y ，当∈x 时，0<y 。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.3 一元二次不等式及其解法》4

含参数一元二次不等式的解法三维目标:1知识与技能掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有字母参数的一元二次不等式的解法2过程与方法通过体验解题的过程，提高学生的逻辑分析能力3情感态度价值观通过分类讨论的过程培养学生思维的严密性教学重点:含有参数一元二次不等式的解法教学难点:分类讨论标准的划分,在求函数单调区间上的应用。

教学过程:一复习练习1复习解一元二次不等式的一般步骤2解不等式:预习案中的习题二新课讲授解含参数的一元二次不等式，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？这就是我们本节课需要探究的下面我们通过几个例子找出其中的奥妙！1．二次项系数为常数例1解关于的分析：二次项系类小结：对跟踪训练1 解分析:二次项系小结：讨论 a的不等式2x分析:不能分解类对于两根大小关对以上例1和根据根的大小分类大于0分类对于两2二次项系数含参例2.解关于的不分析: 二次项论，然后能分解因跟踪训练3 解关于分析: 先对二先分解因式，再根小结:上述两题同点是二次项系数总结:解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下三种情况:1二次项的系数；（2）判别式；（3）根的大小三练习巩固的不等式：（1）2212aaxx>-)(Ra∈（2）02)1(>--xxa)0(≠a（3）12)1(>--xxa)0(>a2已知两个函数2)(axxf=且xxg ln2)(=，讨论函数)()()(xgxfxF-=的单调性。

四课堂小结1解含参一元二次不等式的类型;2分类讨论的标准:①二次项系数,②判别式,③根的大小比较五作业布置1课后巩固练习。

151—152。

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5

2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 �� < -2 或�� > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ��2 = 1.
2.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元二次不等式.
1.一元二次不等式形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.

人教B版高中数学必修五《3.3 一元二次不等式及其解法》_39

《一元二次不等式的解法》教学设计一．教学内容分析：1．本节课内容在整个教材中的地位和作用．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化．许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用．2．教学目标定位．第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与分类讨论等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力．第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神．3．教学重点、难点确定．本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法．只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可．因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．二．教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感．为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动．我设计了①回忆旧知，服务新知，②合作交流，探究新知，③数学运用，深化认知，④练习检测，反馈新知, ⑤谈谈收获，强化思想，⑥布置作业，实践新知，环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．三．教学过程分析：（一）联系旧知，构建新知设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆．问题1：一元二次方程的解法有哪些呢？（意图：让学生回顾一元二次方程的解法，为解一元二次不等式做准备．）问题2：同学们还记得二次函数吗？二次函数的形式是怎样的？你记得二次函数的性质吗？（意图：引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备）（二）合作交流，探究新知1．探究一元二次不等式260x x --<的解．容易知道：一元二次方程260x x --=的有两个实数根：1223x x =-=或．二次函数26y x x =--与x 轴有两个交点：()()2,03,0-和．思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？思考2：观察图象，当x 为何值时，0y =；当x 为何值时，0y >；当x 为何值时，0y <．（设计意图 : ①体现学生的主体性；②有利于加强对图象的认识，从而加强数形结合的数学思想；③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素；④为归纳解一元二次不等式做好准备．根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解．）2．探究一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或的解法．组织讨论：从上面的例子出发，综合小组同学的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式ac b 42-=∆三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<）来确定．（设计意图：这里学生通过小组合作交流，在探究中建立知识间的联系并归纳出一元二次不等式解法的步骤，体会数形结合，强调突出本节的难点．）（三）数学运用，深化认知．例1．求不等式22320x x -->的解集．变式为：求不等式22320x x --<的解集．例2．解不等式0322>-+-x x ．（设计意图：先让学生来解答例题，若教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬．）（四）练习检测，巩固收获（1）求下列一元二次不等式的解集：2514.x x ->24 6.x x -+>（2）函数y =( ) A ．{}21.x x x ≤-≥或B ．{}21.x x -<<C ．{}21.x x -≤≤D ．.∅ （设计意图：为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）（五）归纳小结，强化思想设计意图：梳理本节课的知识点，总结一元二次不等式解法的步骤：“一化，二判，三求根，四画图，五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳，让学生掌握严谨的做题方法，知晓本节课的重难点．（六）布置作业，拓展延伸必做题：课本第34页第一题.选做题：（1）若关于m 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）已知不等式20x ax b --<的解集为}{23x x <<，求,a b 的值.（设计意图：以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的反馈，选做题是对本节课知识的延伸，整体的设计意图是反馈教学，巩固提高．）。

高中数学3.3一元二次不等式及其解法教案新人教B版必修5

3.3 一元二次不等式及其解法整体设计教学分析1．本节内容对学生来说不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表现的数学基本思想也不复杂．但是，一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具．由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑．要使学生通过学习本节内容后，达到《新课标》所规定的要求却并非易事．因此在教学中要根据学生的实际情况，通过大量的实例，引导学生抽象概括，逐步理解掌握有关概念及思想方法，不可期待一蹴而就．要通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想的内涵，避免陷入烦琐的计算与人为技巧之中，要重视引导学生经历探索、解决问题的过程．教师要充分阅读《新课标》，深刻理解本节的编写意图．(1)意图一是数形互补，强化直观，突出精简实用．对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数方法，而是结合二次函数的图象，采取简洁明了的数形方法，体现删繁就简的意图．淡化解(证)不等式的技巧性要求，凸现了不等式的实际情境、几何意义及实际应用．(2)意图二是总结方法，提炼思想，鼓励创新实用．对一元二次不等式求解“尝试设计求解程序框图”的要求，融入了算法的思想．其一是为算法找到了用武之地，其二是不但实现了不等式的上机求解，而且对不等式结构的认识显得更加清晰，更能看清问题的本质．其他如优化思想、化归思想、分类讨论思想、方程思想等．(3)意图三是注重联系，更新观念，建立创新数学观．在教学中要积极引导学生，将所学内容与日常生活、生产实际、其他学科联系起来．通过类比、联想、知识迁移等方式，使学生体会本章知识间与其他知识间的有机联系，注意函数、方程、不等式的联系，数与形的联系，算法思想、优化思想、化归思想在有关内容中的渗透以及不同内容中的应用等．2．本节分为三个课时．第一课时，理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，求解一元二次不等式的步骤，求解一元二次不等式的程序框图．根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系．第二课时通过例题的讲解和学生的练习，更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固．第三课时通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法．通过例题的探究和变式训练，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．实际教学时用两条途径研讨二次不等式的解法：一是对函数式配方并作出二次函数的图象；二是当函数存在零点时，对函数式进行因式分解．应当把第二条途径理解为是对第一条途径依据原理的加深理解．另外第二条途径的方法是把二次转化为一次来求解，化难为易，高次转化为低次求解，这是研究代数问题的一条基本途径．我们教学的目的，不仅仅是让学生掌握解法，更重要的是让学生掌握研究问题的方法和技能．三维目标1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式“三个二次”之间的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论．并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观．3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质．重点难点教学重点：突出体现数形结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法，并理解解法的几何意义．教学难点：深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(类比导入)让学生回忆解方程3x＋2＝0的方法．作函数y＝3x＋2的图象，解不等式3x＋2＞0.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系．利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集．类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？思路 2.(直接导入)教师利用多媒体展示两个不等式：15x2＋30x－1＞0和3x2＋6x－1≤0.让学生观察这两个不等式的共同点是什么？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题什么是一元二次不等式？回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？活动：为了探究一元二次不等式的解法，教师可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系．这样做不仅仅是为探究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握．一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系：可通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集．函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标．类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y＝x2－5x，当x为何值时，y＝0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？因此二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间有着非常密切的联系．教师利用多媒体让学生探究一元二次不等式x2－5x＞0和x2－5x＜0的解法．先考察二次函数y＝x2－5x＝(x－52)2－254的图象和性质，如下图．当x＝0或x＝5时，y＝0，即x2－5x＝0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2－5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2－5x＞0.这就是说，若抛物线y＝x2－5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0)，则一元二次方程x2－5x＝0的解就是x1＝0，x2＝5.一元二次不等式x2－5x＜0的解集是{x|0＜x＜5}；一元二次不等式x2－5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}．这样，我们通过对函数式配方、画图就能解出一元二次不等式的解集．另一种方法，教师可引导学生对函数式进行分解，即x 2－5x ＝x(x －5)．因此解不等式x 2－5x ＞0，等价于解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，x －5>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x<0，x －5<0.解这两个不等式组，得x ＞5或x ＜0.这种化高次为低次的研究方法，也是我们研究问题的重要方法．但把这两种方法进行比较，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些．今后我们解一元二次不等式时就可用第一种方法来解．由一元二次不等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．由于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式Δ＝b 2－4ac 上分别为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况．相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况(如下图)．因此，对相应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集我们也分这三种情况进行讨论．(1)若Δ＞0，此时抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴有两个交点〔图(1)〕，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2(x 1＜x 2)，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是{x|x ＜x 1或x ＞x 2}；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}．(2)若Δ＝0，此时抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)有两个相等的实根x 1＝x 2＝－b 2a，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是{x|x≠－b 2a}；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集是． (3)若Δ＜0，此时抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)无实根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是R ；不等式ax 2＋bx ＋c＜0(a＞0)的解集是．x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2aØ{x|x≠－b}ØØ这样根据二次函数图象及一元二次方程根的情况，就可迅速求解一元二次不等式的解集，但教师需点拨学生注意：一是不要死记上表中的一元二次不等式的解集，对具体的一元二次不等式，首先想到的是二次函数图象，想到的是判别式Δ的情况；二是不等式的解集一定要书写规范，只能用集合或区间表示，避免出现似是而非的错误．对于ax2＋bx＋c ＞0(a＜0)的情况，只需将二次项系数化为正值再求解即可．讨论结果：(1)含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．(2)略．(3)两条途径探究一元二次不等式的解法：一条是对函数式配方、画图解决；另一条是对函数式进行因式分解解决．应用示例例1(教材本节例1)活动：本例的目的是让学生熟悉怎样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集．本例可让学生自己解决，待充分暴露问题后，教师进行一一点拨纠正．点评：解完此例后，教师可结合多媒体回顾前面探究的一般一元二次不等式的解集，进一步加深学生对一元二次不等式解法的理解. 变式训练1．解不等式4x 2＋4x ＋1＜0.解：∵Δ＝42－4×4＝0，由二次函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象，可知原不等式的解集为．2．解不等式(1)x 2＋4x ＋4≥0；(2)x 2＋4x ＋4≤0.解：∵Δ＝42－4×1×4＝0，∴原不等式可化为(1)(x ＋2)2≥0；(2)(x ＋2)2≤0.∴原不等式(1)的解集为R ；不等式(2)的解集为{－2}.例2解不等式－3x 2＋15x ＞12.活动：本例的二次项系数为负，教师引导学生先将不等式变为标准形式，即3x 2－15x ＋12＜0.进一步化简得x 2－5x ＋4＜0，然后结合二次函数图象及一元二次方程即可求解．可由学生自己完成．解：原不等式可化为x 2－5x ＋4＜0.∵Δ＞0，且方程x 2－5x ＋4＝0的两根为x 1＝1，x 2＝4，∴原不等式的解集为{x|1＜x ＜4}．〔或写成(1,4)〕点评：点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系.例3不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是{x|－12＜x ＜13}，则a －b 等于( ) A ．－4 B ．14 C ．－10 D ．10答案：C解析：由ax 2＋bx ＋2＞0的解集是{x|－12＜x ＜13}，知x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，且知a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13.∴a＝－12，b ＝－2.∴a－b ＝－10. 点评：已知不等式的解集求相应系数，此类问题应转化为相应方程对应根的问题．运用根与系数的关系求解. 变式训练1．解不等式4(2x 2－2x ＋1)＞x(4－x)．解：原不等式整理，得9x 2－12x ＋4＞0.∵Δ＝144－4×9×4＝0，方程9x 2－12x ＋4＝0的解是x 1＝x 2＝23，∴原不等式的解集是{x|x≠23}． 2．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx －2＞0的解集相等，则实数a 、b 的值为( )A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－4，b ＝－9C ．a ＝－1，b ＝9D ．a ＝－1，b ＝2答案：B解析：由|8x ＋9|＜7，得－2＜x ＜－14， ∴－2，－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．故⎩⎨⎧ －2－14＝－b a ，－－14＝－2a ，解得{ a ＝－4，＝－9.例4解不等式(12)22x 5x 6－＋≤(12)2x x 6.＋＋活动：本例需要根据指数函数的性质，这对学生来说有点难度，教师可根据学生的探究情况适时点拨，将不等式等价转化为一元二次不等式．解：由指数函数y ＝(12)x 是单调递减函数可知，原不等式等价于2x 2－5x ＋6≥x 2＋x ＋6，即x 2－6x≥0.解这个一元二次不等式得x≤0或x≥6.∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥6}．知能训练1．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，则( )A．M∩N＝Ø．M∩N＝MC．M∪N＝M D．M∪N＝R2．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B等于( ) A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3} D．{x|－1＜x＜3}3．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是，则实数a的取值范围是________．答案：1．B 解析：∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，＝M.2．C 解析：由x2－5x＋6≤0，解得2≤x≤3.由|2x－1|＞3，解得x＜－1或x＞2，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}．3．－1＜a＜3 解析：原不等式可化为x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为．∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，即a2－2a－3＜0.解得－1＜a＜3.课堂小结1．由学生回顾本节课的探究过程，再次领悟通过二次函数图象解一元二次不等式的方法要领．点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用，要重视数形结合思想．解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象，抓住抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的交点，从而确定不等式的解集．同时运用二次函数图象的直观性帮助记忆．2．教师强调，一元二次不等式的解集可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集．作业课本习题3—3A组2(1)～(4)、3.设计感想本课时设计体现新课标理念．由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯．同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．本课时设计强化了直观．由于本节教材内容有着丰富的几何背景，充分利用二次函数图象解一元二次不等式是新课标的特色．对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数的方法，而是结合二次函数的图象，采取简洁明了的数形结合方法．本课时设计突出二次函数的作用．一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会．必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质．让学生明确，画二次函数图象只要关键点把握准即可，我们是利用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.让学生回顾利用一元二次方程、二次函数间的关系求解一元二次不等式的操作过程，尝试自己独立画出求解一元二次不等式求解的基本过程的程序框图，由此导入新课．思路2.让学生思考回答一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么呢？一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象是抛物线l，则不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分别是抛物线l在x 轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线l 与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，本节课进一步熟悉这种关系．推进新课新知探究提出问题回忆一元二次不等式的解法，并说明一元二次不等式与一元二次方程、二次函数具有怎样的关系？回忆一般一元二次不等式的求解过程，你能用一个程序框图把这个求解过程表示出来吗？根据所学知识探究简单的分式不等式与简单的高次不等式的解法这不是教材上的重点，但需要学生知道其变形原理且课后习题有分式不等式活动：教师引导学生回顾一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线l，则不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根就是抛物线l 与x 轴的公共点的横坐标，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点，一元二次不等式的求解步骤，即程序是：(1)将二次项系数化为正数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(a ＞0)．(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎪⎨⎪⎧ 若y>0，则x<x 1或x>x 2，若y<0，则x 1<x<x 2；②Δ＝0时，求根x 1＝x 2＝x 0，⎩⎪⎨⎪⎧ 若y>0，则x≠x 0的一切实数，若y<0，则，若y ＝0，则x ＝x 0；③Δ＜0时，方程无解，⎩⎪⎨⎪⎧ 若y>0，则x∈R，若y≤0，则(3)写出解集．为突出算法在数学中的应用，体会算法的基本思想及算法的重要性和有效性，可鼓励学生自行设计一个程序框图，将上述求解一元二次不等式的基本过程表示出来．结合多媒体给出下面的框图，让学生与教材78页程序框图比较异同．分式不等式的同解变形有如下几种：(1)＞0 ⇔f(x)·g(x)＞0；(2)＜0 ⇔f(x)·g(x)＜0；(3)≥0 ⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0；(4)≤0 ⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应是不等式的等价变形．在等价变形时，要注意什么时候取交集，什么时候取并集．带等号的分式不等式，要注意分母不能为零．另外，在取交集、并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可避免出错．关于分式不等式与简单的高次不等式的解法，课本没作要求，但需了解其变形原理．简单高次不等式的解法可在备课资料中参阅．讨论结果：(1)～(3)略．应用示例例1(教材本节例5)活动：教师可引导学生对函数定义域稍作回顾复习，点拨学生明确要使函数f(x)有意义，必须2x2＋x－3≥0，且3＋2x－x2＞0同时成立．然后由学生自己完成此例.例2解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1＜3. 活动：对于这种分子、分母含x 的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，然后转化为整式不等式来解．本例让学生自主探究，教师适时点拨．解：(1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式(x ＋1)(x －3)≥0且x≠3，解得x≤－1或x ＞3.∴原不等式的解集为{x|x≤－1或x ＞3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1＜3可等价转化为－＋＜0，即(x －1)(x ＋1)＜0.解得－1＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}．点评：本例体现了分式不等式与整式不等式之间的转化．提醒学生注意转化的等价性.例3函数y ＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1)活动：教师引导学生根据定义域的要求写出相应的不等式，本例可由学生自己完成．答案：D解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x≠0x 2－3x ＋2≥0－x 2－3x ＋4≥0x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0⎩⎪⎨⎪⎧x≠0x≥2或x≤1－4≤x≤1－4≤x<1，所以－4≤x＜0或0＜x ＜1.点评：本例作为选择题，也可用特值排除法，明显排除A.取x ＝1，－4可排除B 、C. ＝－x 2＋x ＋6的定义域是解析：由{ －x 2＋x ＋6≥0，－1≠0，解得{ －2≤x≤3，知能训练1．已知集合M ＝{x|x 2＜4}，N ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则集合M∩N 等于( ) A ．{x|x ＜－2} B ．{x|x ＞3} C ．{x|－1＜x ＜2} D ．{x|2＜x ＜3} 2．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋8>0，x ＋3x －1>2.答案：1．C 解析：M ＝{x|－2＜x ＜2}，N ＝{x|－1＜x ＜3}，故M∩N＝{x|－1＜x ＜2}．2．解：由x 2－6x ＋8＞0，得(x －2)(x －4)＞0，所以x ＜2或x ＞4. 由x ＋3x －1＞2，得－x ＋5x －1＞0，即1＜x ＜5.故原不等式组的解集为(1,2)∪(4,5)．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节所学知识点．归纳求解简单不等式的转化方法及程序框图的应用等．2．教师进一步强调，一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”．我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它，它是函数与方程思想的应用范例．作业习题3—3A 组2(5)(6)、4；习题3—3B 组1.设计感想1．本课时设计充分体现学生的主体地位，引导学生积极参与课堂探究，使教学过程由封闭型向开放型转化．在教学过程中由教师到学生的单向交流，变成师生之间多向交流，使教学成为一个探索、发现、创造的过程．2．本课时重视了探究过程的操作，使教学过程设计更优化更合理．因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在教学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题、新高考将束手无策．3．本课时设计“注意联系，注重概括，重视应用，提高学生数学能力”的侧重．我们常说“教学有法、教无定法、因材施教、贵在得法”，教学作为一门科学应当有规律可循，但是教学作为一门艺术，不应该也不能依靠某一种教学方法来实现它的全部功能，更重要的是应博采众长，优化课堂环境，注重提高学生的数学素质．(设计者：郑吉星)第3课时导入新课思路1.(复习导入)教师展示一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系图表，点拨学生观察发现关于ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)恒成立问题的条件．在学生精心凝思的探究中引入新课．思路2.(问题导入)我们解决x2－5x＋4＞0这样的一元二次不等式的求解问题，如果题目中含有字母参数怎么办呢？如解这样的不等式： ax2－5x＋4＞0.在学生的思考探究中自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题回忆一元二次不等式的解法，简单分式不等式的解法.你能快速解决以下不等式吗？①－x2＋5x＞6；②x2－4x＋4＞0；③x2＋2x＋3＜0；④x3x5－＋＞2.观察一元二次方程的根、一元二次不等式的解集与二次函数的图象的关系图表，你能有什么独到的发现吗？活动：教师引导学生回顾一元二次不等式的求解过程，体会数形结合的威力．对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度，即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”，得出相应方程的解，再在脑海中想象出其二次函数的图象，立即得到原不等式的解．关键是深刻理解“三个二次”之间的关系．教师引导学生观察图表(多媒体课件演示)．[课件]一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比如下表．有两相异实根x 1,2＝－b±b 2－4ac有两相等实根 b没有实根Ø Ø观察上表，引导学生进一步观察出：ax 2＋bx ＋c ＞0对一切x∈R 都成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c ＜0对一切x∈R 都成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.讨论结果： (1)略．(2)①(2,3)；②(－∞，2)∪(2，＋∞)；；④(－13，－5)．(3)ax 2＋bx ＋c ＞0(a≠0)对一切x∈R 都成立，则a ＞0且Δ＜0；ax 2＋bx ＋c ＜0(a≠0)对一切x∈R 都成立，则a ＜0，Δ＜0.应用示例例1解不等式mx 2－2x ＋1＞0.活动：本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分类讨论，而且极易漏解或重复．较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策．显然本题首先要讨论m 与0的大小，又由Δ＝4－4m ＝4(1－m)，故又要讨论m 与1的大小．我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏．解：∵Δ＝4－4m ＝4(1－m)， ∴当m ＜0时，Δ＞0，此时x 1＝1＋1－m m ＜x 2＝1－1－mm. ∴解集为{x|1＋1－m m ＜x ＜1－1－mm}．当m ＝0时，方程为－2x ＋1＞0，解集为{x|x ＜12}，当0＜m ＜1时，Δ＞0，此时x 1＝1＋1－m m ＞x 2＝1－1－mm， ∴解集为{x|x ＞1＋1－m m 或x ＜1－1－mm}．当m ＝1时，不等式为(x －1)2＞0， ∴其解集为{x|x≠1}；当m ＞1时，此时Δ＜0，故其解集为R.点评：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. {x|－k －＋4≤x≤－k ＋＋}；例2已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1＜0的解集为R ，求a 的取值范围．活动：原不等式的解集为R ，即对一切实数x 不等式都成立，故必然有y ＝ax 2＋(a －1)x ＋a －1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a ＜0且Δ＜0.解：由题意，知要使原不等式的解集为R ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<0－2－－⇔⎩⎪⎨⎪⎧a<03a 2－2a －1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a<0a>1或a<－13 ⇔a＜－13.∴a 的取值范围是(－∞，－13)．点评：本题若无“一元二次．．．．不等式”的条件，还应考虑a ＝0的情况，但对本题讲a ＝0时式子不恒成立．(想想为什么) 若函数f(x)＝kx 2－6kx ＋＋的定义域为R ，求实数k 的取值范围．{Δ＝36k 2－＋＜k≤1.例3解关于x 的不等式x 2－x －a(a －1)＞0.活动：对应的一元二次方程有实数根1－a 和a ，不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论．(1)当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零．(2)整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏．解：原不等式可以化为(x ＋a －1)(x －a)＞0，若a ＞－(a －1)，即a ＞12，则x ＞a 或x ＜1－a.∴x∈(－∞，1－a)∪(a，＋∞)；若a ＝－(a －1)，即a ＝12，则(x －12)2＞0.∴x∈{x|x≠12，x∈R}；若a ＜－(a －1)，即a ＜12，则x ＜a 或x ＞1－a.∴x∈(－∞，a)∪(1－a ，＋∞)．点评：解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关．一般地，一元二次不等式的解集(以ax 2＋bx ＋c ＞0为例)常与以下因素有关：(1)a ；(2)Δ；(3)两根x 1、x 2的大小．其中系数a 影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x 1、x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏. ，a ) ，a ) ，a ) ，a )解析：(1－a i x)2＜2ix 2－2a i x ＜2ix(x －2a )＜0.例4若关于x 的方程22x＋2x·a＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．活动：教师引导学生思考探究，因为2x＞0，故问题等价于关于2x的二次方程有正根时，求实数a 的取值范围．因而可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解．解：设f(t)＝t 2＋at ＋a ＋1，当t ＝2x ＞0时，方程f(t)＝0有实根，就转化为求函数f(t)在t 轴正方向上至少有一个交点的条件，所以f(0)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧，Δ≥0，－a 2>0.解得a＜－1或－1≤a≤2－2 2.故所求a 的取值范围是a≤2－2 2.点评：注意换元法与转化法的运用，充分利用数形结合思想.。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。