第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法教案新人教B版必修5

3.3 一元二次不等式及其解法(1)

【教学目标】

1. 知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法

解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括 能力和逻辑思维能力；

2.过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象 探究一元二次不等式与相应函数、

方

程

的

联

系，获得一元二次不等式的

解

法

；

3•情态与价值：

激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，冋时体 会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重、难点】

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 【教学过程】 1 •课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 课本P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：

x 2

- 5x ：：: 0 .

2. 讲授新课1

(1) 一元二次不等式的定义

象x 2

-5x ：：:0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为

元二次不等式.

(2) 探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式x 2

-5x ：：:0的解集呢？ 探究：

① 二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：

捲=0, x 2 =5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点. ② 观察图象，获得解集

画出二次函数y =x 2

-5x 的图象，如图，观察函数图象，可知: 当x ：：：0,或x 5时，函数图象位于 x 轴上方，此时，y 0

当0 : x ：：：5时，函数图象位于 x 轴下方，此时，y ：：：0，即x 2

-5x ：：：0 ； 所以，不等式x 2

-5x ：0的解集是〈X |0 ：：： x ：：： 5^，从而解决了本节开始

时提出的问题.

(3) 探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式:

2

ax bx c ：

：0 (a 0).

般地，怎样确定一元二次不等式

ax 2 bx c 0与ax 2

bx 0的解集呢?

组织学生讨论:

二次函数有两个零点： 论=0, x 2 =5

2

ax bx c 0，或

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要

考虑以下两点：

①抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2 - bx • c = 0的根的情况；

②抛物线y =ax2 bx c的开口方向，也就是a的符号.

总结讨论结果：

①抛物线y=ax2・bx c (a 0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二

次方程ax2 bx c 0的判别式厶二b2 _4ac三种取值情况(二0, A - 0 , ：0 )来确定.因此，要分二种情况讨论.

② a ：：：0可以转化为a 0

分；、0, .1 =0 ,厶：：：0三种情况，得到一元二次不等式ax2 bx c 0与

ax2 bx c ：：0 (a 0)的解集.

设相应的一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a =0)的两根为x1> x2且捲_x2，厶=b2—4ac ,

例1 (课本第78页)求不等式4x2 -4x 1 0的解集.

2 1

解：因为厶=0 ,方程4x —4x ■ 1 = 0的解是x,=冷：

2

、、「「

所以，原不等式的解集是如x式-

I 2J

评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确.

变式训练：课本第80页第1题(1) , (4) , (6).

例2 (课本第78页)解不等式-X? ■ 2x - 3 0 .

解：整理，得x^2x 3 <0 .

因为L ：0，方程x -2x，3=0无实数解，

所以不等式x2 - 2x • 3 ：：：0的解集是•-.

从而，原不等式的解集是...

评述：将—X 2

• 2x ； 0转化为X 2

_2x • 3 ::： 0的过程注意符号的变化, 处，讲课要放慢速度.

变式训练：课本第80页第1题⑵，⑶，⑸⑺

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“ +”： A 丑+ > 0(或< 0) (a>0).

② 计算判别式分析不等式的解的情况：

元二次不等式及其解法(1)

课前预习学案

【知识准备】

1 •我们把 ____________________ ，并且 ______________________ 不等式，称为一元二次不等式.

2 .不等式ax

3 0的解集是 __________________________ •

3•若将不等式—X 2

bx c . 0的二次项系数化为正数，则不等式化为 ________________________________.

【预习内容】

课本第76-78页.

1. 尝试写出课本 P76三个实例对应的不等式.

2. 探究方程的根与二次函数的零点的关系.

这是解题关键之

八、0时，求根为:::X ,,

若A . 0,则x .为或.x 2; 若

A ::: 0,则 X i ：：：

ii. 若A A 0,贝UxHx 0的一切实数;

.-■： =0 时，求根， 若A ：：：0,则x 「_ ;

若A _0,贝Ux =心

iii. — 0时，方程无解,

③写出解集. 【作业布置】

课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】

一元二次不等式的定义 探究一元二次不等式 x 2

-5x ：：:0的解集

【教学后记】

一元二次不等式的解的各种 情况列表

范例讲解 例1 练习 例2 练习