最小二乘拟合实验报告材料
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
最小二乘法的实验报告
最小二乘法的实验报告最小二乘法的实验报告引言：最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和求解最优解。
它适用于各种领域，如统计学、经济学、工程学等。
本实验旨在通过实际案例，探讨最小二乘法在实际问题中的应用和效果。
一、实验目的本实验旨在通过最小二乘法，对一组实际数据进行拟合，得出最佳拟合曲线，并分析拟合结果的合理性和可靠性。
二、实验材料与方法1. 实验材料：- 一组实际数据：包含自变量和因变量的数据对。
- 计算机软件：如MATLAB、Python等，用于进行最小二乘法计算和绘制拟合曲线。
2. 实验方法：- 数据处理：对实际数据进行预处理，包括数据清洗、异常值处理等。
- 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适当的拟合模型。
- 参数估计：利用最小二乘法，求解模型参数的最优估计值。
- 拟合效果评估：通过计算残差平方和、确定系数等指标，评估拟合效果的好坏。
三、实验过程与结果1. 数据处理：在本实验中，我们选择了一组汽车销量与广告投入的数据。
首先，我们对数据进行了清洗，排除了异常值和缺失值。
2. 模型选择：根据实际问题和数据特点，我们选择了线性模型进行拟合。
即假设广告投入与汽车销量之间存在线性关系。
3. 参数估计：利用最小二乘法，我们求解了线性模型的参数估计值。
具体计算过程如下： - 建立线性模型：y = β0 + β1x，其中y表示汽车销量，x表示广告投入。
- 最小化残差平方和：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2，其中yi为实际销量，xi为实际广告投入。
- 对β0和β1求偏导，并令偏导数为0，得到最优解的估计值。
4. 拟合效果评估：通过计算残差平方和和确定系数等指标，我们评估了拟合效果的好坏。
结果显示，残差平方和较小，确定系数较接近1，表明拟合效果较好。
四、实验讨论1. 拟合效果的合理性：通过对拟合效果的评估，我们认为拟合结果较为合理。
然而，我们也要注意到，拟合结果仅仅是对观测数据的一个估计，并不能完全代表真实情况。
最小二乘拟合实验报告
实验名称： 最小二乘拟合1 引言在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m =出发，寻求函数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟合的问题。
多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。
首先，由实验提供的数据往往有测试误差。
如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。
其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。
在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。
定义()i i i x y δϕ=-为拟合函数在i x 处的残差。
为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。
在最小二乘法中，我们选取()x ϕ，使得偏差平方和最小，即2211[()]min mmi i i iix y δϕ===-=∑∑，这就是最小二乘法的原理。
2 实验目的和要求运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。
以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。
数据如下：3 算法原理与流程图（1） 原理最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2,,)i i x y i m =，要求存在某个函数类01{(),(),()}()n x x x n m ϕϕϕΦ=<中寻求一个函数：****0011()()()()n n x a x a x a x ϕϕϕϕ=+++，使得*()x ϕ满足*22()11[()]min[()]nni i i i x iix y x y ϕϕϕ∈Φ==-=-∑∑。
根据以上条件可知，点***01(,,,)n a a a 是多元函数2011(,,,)[()]m nn k k i i i kS a a a a x y ϕ===-∑∑ 的极小点，从而***01,,,na a a 满足方程组 0(0,1,,)kSk n a ∂==∂即00111111()()()()()()()mmmmk i i k i i n k i n i k i i i i i ia x x a x x a x x x y ϕϕϕϕϕϕϕ====+++=∑∑∑∑， 记1(,)()()mi i ih g h x g x ==∑，则上述方程组可表示成0011(,)(,)(,)(,)k k n k n k a a a f ϕϕϕϕϕϕϕ+++=，(k=0,1,…，n)写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，这个方程组成为法方程组，可以证明，当01(),(),()n x x x ϕϕϕ线性无关时，它有唯一解。
最小二乘法实验报告
MA ATLAB 实现最小 实 小二乘多项式拟合 合实验报 报告某田水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间是否 否有一个确定 定性的关系？ 在 7 块并排，形状大小相 相同的试验田 田上进行施肥 肥量对水稻产 产量影响的实 实验。
得到如 如下的一组数 数据。
施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 2 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 5目标：用最小 小二乘方法求 求得水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间的确 确定性关系。
首先描点作图460440420400380360340320 15202530354045点分布呈现“S”型，考 考虑用多项式 式函数拟合 写出最小二乘 乘拟合的函数 数形式： function [A]= =leastsquaren nihe(X,Y,n,w) mx=size(X,2 2); my=size(Y,2) ); if mx~=my error('D Data not enoug gh.X and Y dismatch.'); d end m=mx; if nargin==3 w=ones(1,m); end Q=zeros(n+1 1,1); P=zeros(n+1,n+1); f=@(x,p,y,q,w,t)(x(t)^p)*(y(t)^q)*w(t) ); for i=1:n+1 for j=1:n n+1 sum m=0; for r t=1:m sum=sum+ +f(X,i-1,X,j-1 1,w,t); end d P(i i,j)=sum; end sum=0; for t=1:m m sum m=sum+f(X,i i-1,Y,1,w,t); end Q(i,1)=s sum; end A=P\Q; xx=min(X):0 0.01:max(X); yy=zeros(1,s size(xx,2)); for i=1:size(x xx,2) for j=1:n n+1 yy( (i)=yy(i)+A(j j)*xx(i)^(j-1) ); end end plot(X,Y,'r.'); ; hold on; plot(xx,yy); title('最小二乘法多项式拟 拟合'); xlabel('x'),yla abel('y'); X=[15 20 25 30 35 40 45] ] Y=[330 345 365 405 445 450 455] 运行结果如下 下： 4 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+002 * 6.084523 3809758176 -0.423712121248494 0.020787 7878789875 -0.000351515151561 0.000001 1818181819 即对应的函数 数关系式为： ：y=608.4523 38-42.37121x+2.07879x2-0.03515 x3+0 0.00018x4最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x3540455 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+003 * -1.756547676480133 0.416562 2132318929 -0.032046212944121 0.001184 4015180810 -0.000020818182321 0.000000 0140000003 即函数关系式 式为 y=-1756.54768+416.5621 13x-32.04621x2+1.18402x3+0.02082x4+0.00014 + x5 最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x354045。
实验4 最小二乘拟合法
实验名称实验4 最小二乘拟合法实验题目：在某化学反应里，测得某物的浓度y（单位：%）随时间t(单位：min)的变化数据如下：t y t y t y t y1 4.00 5 9.22 9 10.00 13 10.502 6.40 6 9.50 10 10.20 14 10.553 8.00 7 9.70 11 10.32 15 10.584 8.80 8 9.86 12 10.42 16 10.60理论上已知y与r间的关系为y=ae b/t,其中a>0和b<0为待定系数。
上式两端取对数可得ln y=ln a+b/t.做变量替换z=ln y,x=1/t,并记A=ln a,B=b,则有z=A+Bx.根据所测数据，利用最小二乘直线拟合法先确定系数A和B，进而给出y与t的关系。
实验目的：掌握最小二乘法，熟练掌握求函数的近似最小二乘拟合多项式.基础理论：在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据求出自变量x与因变量y的函数关系，这是a i为待定参数, 由于观测数据总有误差，且待定参数a i的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点x i 上的误差,的平方和最小。
这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法。
实验环境：操作系统：Windows XP；实验平台：Visual C++ 6.0实验过程：附录：#include<stdio.h>int main(){double a0,a1,sumTi=0,sumTi2=0,sumRi=0,TiRi=0;double T[100],R[100];int n,m,i,j;printf("输入数据的个数n:");scanf("%d",&n);printf("输入各组数据T[i]与R[i]:\n");m=n;i=0;j=0;while(n--)scanf("%lf%lf",&T[i],&R[i++]);printf("%d\n",i);for(j=0;j<i;j++){sumTi+=T[j];sumRi+=R[j];sumTi2+=T[j]*T[j];TiRi+=T[j]*R[j];}a0=-(sumTi*TiRi-sumTi2*sumRi)/(m*sumTi2-sumTi*sumTi);a1=(m*TiRi-sumTi*sumRi)/(m*sumTi2-sumTi*sumTi);printf("a0=%.3lf a1=%.3lf\n",a0,a1);printf("最小二乘拟合曲线为:R=%.3lf+%.3lfT\n",a0,a1);return 0;}。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告最小二乘法实验报告引言最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计模型参数。
它通过最小化观测值与理论值之间的误差平方和，寻找最优解。
本实验旨在通过实际数据拟合的方式，探索最小二乘法的原理和应用。
实验步骤1. 数据采集在实验开始前，我们选择了一个简单的线性回归模型进行拟合。
为了收集数据，我们在实验室里设置了一个简单的装置，用于测量物体的运动距离和所需时间。
通过多次重复实验，我们得到了一组数据，包括物体运动距离和所需时间的测量值。
2. 数据处理在进行最小二乘法拟合之前，我们需要对数据进行处理。
首先，我们计算每次实验的平均速度，通过将运动距离除以所需时间得到。
然后，我们将平均速度作为自变量，所需时间作为因变量，得到一组有序的数据点。
3. 拟合模型接下来，我们使用最小二乘法来拟合线性回归模型。
线性回归模型可以表示为：y = a + bx，其中y是因变量（所需时间），x是自变量（平均速度），a和b是待估计的模型参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的a和b的估计值。
4. 拟合结果分析通过最小二乘法拟合得到的模型参数估计值，我们可以进一步分析拟合结果的准确性和可靠性。
首先，我们计算拟合优度，即拟合值与观测值之间的相关系数。
较高的拟合优度表明模型拟合效果较好。
此外，我们还可以计算参数估计的标准误差，用于评估参数估计值的可靠性。
结果与讨论在本实验中，我们使用最小二乘法对一组实际测量数据进行了线性回归拟合。
通过计算拟合优度，我们发现拟合效果较好，相关系数接近1。
这表明我们选择的线性回归模型较为合适，并且可以用于预测因变量（所需时间）。
此外，我们还计算了参数估计的标准误差。
标准误差是对参数估计值的精度进行评估的指标。
较小的标准误差表示参数估计值较可靠。
通过计算，我们发现参数估计值的标准误差较小，说明我们得到的模型参数估计值较为准确。
结论通过本实验，我们深入了解了最小二乘法的原理和应用。
《数学实验》实验报告——最小二乘法
《数学实验》实验报告１x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];q[a_,b_,c_] :=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0, D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]t1=ListPlot[xy,PlotStyle->PointSize[0.02]];f[x_] :=27.56+ -0.0574286*x+0.000285714*x^2;t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->{5,25}];Show[t1,t2]首先得到a，b，c三个值： {{a->27.56,b->-0.0574286,c->0.000285714}}然后得到同一坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形：试验过程（含详细试验步骤、程序清单及异常情况记录等）输入以下mathematica语句求解参数a,b,c:运行后可得解：２为求得数据点的散点图及拟合函数的图形，输入以下语句，并将两个图画在同一坐标下：运行得：３在最开始时，我输入的程序是这样的：x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];q[a_,b_,c_] :=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0, D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]t1=ListPlot[xy,PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity];f[x_] :=27.56+ -0.0574286*x+0.000285714*x^2;t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->{5,25},DisplayFunction->Identity];Show[t1,t2, DisplayFunction->$ DisplayFunction]然而得到的结果没有图形（如下）：我比照了老师的讲义，改动了“DisplayFunction->Identity”，可是，结果还是一样，没有图形。
Matlab实验报告七(最小二乘拟合曲线拟合)
4.结论及分析
经过实验验证，结果正确，实验无误。
三、实验小结
通过本次实验我发现matlab的用处很广范，能解决生活中的很多问题，预测一些还未发生的事情，越来越感觉这门课用处很大，也渐渐地喜欢这门课了。
t Q K L
1900 1.05 1.04 1.05
1901 1.18 1.06 1.08
1902 1.29 1.16 1.18
1903 1.30 1.22 1.22
1904 1.30 1.27 1.17
1905 1.42 1.37 1.30
1906 1.50 1.44 1.39
1907 1.52 1.53 1.47
Qdata=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58];
x0=[0.2 0.3 0.3];
2.y=polyval（Βιβλιοθήκη ，x）：可用以计算多项式在x处的值y。
3.x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata)：用以求含参量x（向量）的向量值函数。
4.x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）：用以求含参量x（向量）的向量值函数。
【实验环境】
MatlabR2010b
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系 。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
（*）
式中 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数 。
计算方法实验报告 拟合
南京信息工程大学实验（实习）报告
一、实验目的:
用最小二乘法将给定的十个点拟合成三次多项式。
二、实验步骤：
用matlab编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi=1)
给定直线方程为：y=1/4*x3+1/2*x2+x+1
三、实验结论：
最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
一般地。
当测量数据的散布图无明显的规律时，习惯上取n次代数多项式。
程序运行结果为：
a =
0.9731
1.1023
0.4862
0.2238
即拟合的三次方程为：y=0.9731+1.1023x+0.4862*x2+0.2238*x3
x 轴
y 轴
拟合图
结论：
一般情况下，拟合函数使得所有的残差为零是不可能的。
由图形可以看出最小二乘解决了残差的正负相互抵消的问题，使得拟合函数更加密合实验数据。
优点：曲线拟合是使拟合函数和一系列的离散点与观测值的偏差平方和达到最小。
缺点：由于计算方法简单，若要保证数据的精确度，需要大量的数据代入计算。
最小二乘法实验报告
MA ATLAB 实现最小 实 小二乘多项式拟合 合实验报 报告某田水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间是否 否有一个确定 定性的关系？ 在 7 块并排，形状大小相 相同的试验田 田上进行施肥 肥量对水稻产 产量影响的实 实验。
得到如 如下的一组数 数据。
施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 2 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 5目标：用最小 小二乘方法求 求得水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间的确 确定性关系。
首先描点作图460440420400380360340320 15202530354045点分布呈现“S”型，考 考虑用多项式 式函数拟合 写出最小二乘 乘拟合的函数 数形式： function [A]= =leastsquaren nihe(X,Y,n,w) mx=size(X,2 2); my=size(Y,2) ); if mx~=my error('D Data not enoug gh.X and Y dismatch.'); d end m=mx; if nargin==3 w=ones(1,m); end Q=zeros(n+1 1,1); P=zeros(n+1,n+1); f=@(x,p,y,q,w,t)(x(t)^p)*(y(t)^q)*w(t) ); for i=1:n+1 for j=1:n n+1 sum m=0; for r t=1:m sum=sum+ +f(X,i-1,X,j-1 1,w,t); end d P(i i,j)=sum; end sum=0; for t=1:m m sum m=sum+f(X,i i-1,Y,1,w,t); end Q(i,1)=s sum; end A=P\Q; xx=min(X):0 0.01:max(X); yy=zeros(1,s size(xx,2)); for i=1:size(x xx,2) for j=1:n n+1 yy( (i)=yy(i)+A(j j)*xx(i)^(j-1) ); end end plot(X,Y,'r.'); ; hold on; plot(xx,yy); title('最小二乘法多项式拟 拟合'); xlabel('x'),yla abel('y'); X=[15 20 25 30 35 40 45] ] Y=[330 345 365 405 445 450 455] 运行结果如下 下： 4 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+002 * 6.084523 3809758176 -0.423712121248494 0.020787 7878789875 -0.000351515151561 0.000001 1818181819 即对应的函数 数关系式为： ：y=608.4523 38-42.37121x+2.07879x2-0.03515 x3+0 0.00018x4最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x3540455 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+003 * -1.756547676480133 0.416562 2132318929 -0.032046212944121 0.001184 4015180810 -0.000020818182321 0.000000 0140000003 即函数关系式 式为 y=-1756.54768+416.5621 13x-32.04621x2+1.18402x3+0.02082x4+0.00014 + x5 最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x354045。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告1. 引言最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于求解线性回归问题。
本实验旨在通过使用最小二乘法，从一组给定的数据点中拟合出一条最优的直线。
本报告将详细介绍实验的步骤和思路。
2. 实验步骤2.1 数据收集首先，我们需要收集一组数据点作为实验的输入。
可以通过实地调查、采集历史数据或利用模拟工具生成数据集。
为了简化实验过程，我们假设已经收集到了一组包含 x 和 y 坐标的数据点，分别表示自变量和因变量。
2.2 数据可视化在进行最小二乘法拟合之前，我们先对数据进行可视化分析。
使用数据可视化工具（如Matplotlib），绘制出数据点的散点图。
这有助于我们直观地观察数据的分布特征，并初步判断是否适用线性回归模型。
2.3 参数计算最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
为了实现这个目标，我们需要计算直线的参数。
设直线的方程为 y = ax + b，其中 a 和 b 是待求的参数。
为了求解这两个参数，我们需要利用数据集中的 x 和 y 坐标。
首先，我们计算x 的均值（记作 x_mean）和 y 的均值（记作 y_mean）。
然后，计算 x 与 x_mean的差值（记作 dx）和 y 与 y_mean 的差值（记作 dy）。
接下来，我们计算直线的斜率 a，使用以下公式：a = sum(dx * dy) / sum(dx^2)最后，计算直线的截距 b，使用以下公式：b = y_mean - a * x_mean2.4 拟合直线通过上述步骤，我们得到了直线的斜率 a 和截距 b 的值。
现在，我们将利用这些参数将直线绘制在散点图上，以观察拟合效果。
使用绘图工具，绘制出散点图和拟合的直线。
直线应当通过散点的中心，并尽可能贴近这些点。
通过观察可视化结果，我们可以初步评估拟合的效果。
2.5 评估拟合效果为了定量评估拟合的效果，我们需要引入误差指标。
最常用的误差指标是均方误差（Mean Squared Error，简称MSE），定义如下：MSE = sum((y - (ax + b))^2) / n其中，y 是实际的因变量值，(ax + b) 是拟合直线给出的因变量值，n 是数据点的数量。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告【实验目的】：观察最小二乘多项式的数值不稳定现象【实验内容】：1 在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上x e 的值做为数据样本，以21,,,,l x x x 为基函数作出3,5,7,9,11,13,15l =次的最小二乘多项式，画出2ln(())cond A ～l 之间的曲线，其中A 是确定最小二乘多项式的系数矩阵。
计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差21()(())niii l y x y σ==-∑2 在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上x e 的值做为数据样本，以121,(),(),()l p x p x p x 为基函数作出3,5,7,9,11,13,15l =次的最小二乘多项式，其中，()i p x 是勒让德多项式。
画出2ln(())cond A ～l 之间的曲线，其中A 是确定最小二乘多项式的系数矩阵。
计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差21()(())niii l y x y σ==-∑，把结果与1比较【实验步骤及结果】：在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，步长h=2/19，计算出以相应节点上xe 的值做为数据样本，数据如表格1。
表格 1 数据样本值（1）以21,,,,lx x x 为基函数拟合x e在matlab 中编写函数lsmex （x, y, l ）,生成最小二乘法的系数矩阵A 、右端向量d ，求出系数a =[a 0,a 1,a 2,…,a l ]T =A −1d ，得不同阶数下的最小二乘多项式y l x = a i x ll i =0=a T X ，其中，X =[1,x ,x 2,…,x l ]T 。
计算系数a 的结果如下：①l=3，a=0.9955489867169420.9975790016896890.5403514958744690.176998749075551②l=5，a=1.0000385524900931.0000200232735780.4992468083082510.1664971114258690.0437538102273870.008681888224899③l=7，a=0.9999998328590330.9999999168306320.5000057659443580.1666678539174880.0416364317252140.0083288507266840.0014385132646550.000204569079642④l=9，a=1.0000000004096801.0000000001936090.4999999775598710.1666666623932540.0416668593915860.0083333592774580.0013883192520920.0001983493275470.0000254781225020.000002822438546⑤l=11，a=1.0000000000087061.0000000000027290.5000000000509660.1666666666715170.0416666660046380.0083333331858740.0013888917549870.0001984115224330.0000247953487620.0000027562491600.0000002815437980.000000025378540 ⑥ l=13，a = 0.999999999770700 0.999999998584826 0.500000000002793 0.166666666744277 0.041666666993633 0.008333334699273 0.001388894421398 0.000198394060135 0.000024799884896 0.000002682209015 0.000000272755242 0.000000014901161 0.000000003426662 0 ⑦ l=15，a = 1.000000006592917 1.000000012805685 0.500000000015796 0.166666664183140 0.041666662936834 0.008333325386047 0.0013888428039190.0001977682113650.000025072928111 0.000001430511475 0.000000863215519 0.000001907348633 0.000000217004981 -0.000002384185791 0.0000000115726380.000000238418579计算出不同阶最小二乘多项式的误差并比较得到最小误差，最后计算cond (A )2，绘出2ln(())cond A ～l 之间的曲线如图1，拟合误差与阶数的关系曲线如图2。
数值分析最小二乘拟合法实验报告
一实验名称：实验五最小二乘拟合法二.实验题目：在某化学反应中，测得某物质的浓度y(单位：%)随时间t(单位：min)的变化数据如表。
理论上已知y和t的关系为Y=ae b/t,其中a>0和b<0为待定系数，上式两端取对数lny=lna+b/t.做变量替换z=lny,x=1/t,并记A=lna,B=b,则有z=A+Bx.根据所测数据，利用最小二乘直线拟合法确定A和B，进而给出y和t的关系。
三.实验目的：（1）要求我们掌握逐次最小二乘拟合法的原理和运用方法。
（2）培养编程和上机调试能力。
四.基础理论：要求会熟练运用C语言中的基本数学函数和逐次超松弛迭代法的具体操作思路。
五.实验环境：必须要有一台PC机，并且装有winXP，win7及以上版本的操作系统，还必须有Visual C++6.0或其他编程软件。
六实验过程：理解题意，然后试着在草稿纸上写出伪代码，接着再用C语言编译，接着要在编程环境中调试。
在实验过程中，经常遇到一些棘手的问题，需要通过百度才能够解决，最后还是很艰难的把代码都做好，最后写成实验报告。
七．实验完整代码：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int i,n;doubletx,ty,x[16],y[16],sum_x=0,sum_y=0,sum_x2=0,sum_xy=0,D,a,b, A,B;for(i=0;i<16;i++){scanf("f%f",&tx,&ty);x[i]=1/tx,y[i]=log(ty);}for(i=0;i<15;i++){sum_x=sum_x+x[i];sum_x2=sum_x2+x[i]*x[i];sum_y=sum_y+y[i];sum_xy=sum_xy+x[i]*y[i];}D=sum_x2*15-sum_x*sum_x;a=(n*sum_xy-sum_x*sum_y)/D;b=(sum_x2*sum_y-sum_x*sum_xy)/D;A=log(a);B=b;printf("A=%.6f B= %.6f\n");}八实验结果：y=11.343e-1.057/t.。
实验三 曲线拟合最小二乘法
实验三曲线拟合最小二乘法一、实验目的（1）掌握最小二乘法，（2）熟练掌握求函数的近似最小二乘拟合多项式（3）掌握数据拟合的思想，清楚数据拟合与插值法的区别及最小二乘法原理在数据拟合中的重要作用及最小二乘法解的求法。
二、实验（或算法）原理最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法拟合:对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中，求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。
从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(XiYi)}(i=0,1,…，m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。
函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
三、实验步骤（1）根据算法事先写出相应程序。
（2）启动PC机，进入vc集成环境，输入代码。
（3）编译调试。
（4）调试通过，计算出正确结果。
四、代码#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>float cf(int i,float f){float g=1.0;while(i--)g*=f;return g;}void ColPivot(float a[99][99], int n, float b[99][1],float x[99]){float max,m,temp;int k,q=0,i,j,I;for(k=0;k<n && q==0;k++){max=a[k][k];for(i=k+1;i<n;i++)if(fabs(max)<fabs(a[i][k])){max=a[i][k];I=i;}if(max==0)q=1;else{if(I!=k){temp=b[I][0]; b[I][0]=b[k][0];b[k][0]=temp;for(j=k;j<n;j++){temp=a[I][j]; a[I][j]=a[k][j];a[k][j]=temp;}}for(i=k+1;i<n;i++){m=a[i][k]/a[k][k];b[i][0]=b[i][0]-b[k][0]*m;for(j=0;j<n;j++)a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*m;}}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(j=n-1;j>=i+1;j--)b[i][0]=b[i][0]-a[i][j]*x[j];x[i]=b[i][0]/a[i][i];}}void main(){float x[99],y[99],z[99],s[99][99],t[99][1]; int n,m,i,j,k;printf("n=");scanf("%d",&n);printf("m=");scanf("%d",&m);printf("y[%]=",n);for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&y[i]);printf("z[%d]=",n);for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&z[i]);for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m;j++){s[i][j]=0.0;for(k=0;k<=n-1;k++)s[i][j]+=cf(i+j,y[k]);}t[i][0]=0.0;for(j=0;j<=n-1;j++)t[i][0]+=z[j]*cf(i,y[j]);}for(i=0;i<=m;i++)s[i][m+1]=t[i][0];for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m+1;j++) printf("%f\t",s[i][j]);printf("\n");}ColPivot(s,m+1,t,x);printf("\n\n");for(i=0;i<=m;i++)printf("\na[%d]=%f",i,x[i]); printf("\n\n");}四、实验结果、实验体会通过实验的验证，可以更深刻地理解曲线拟合最小二乘法在数值计算的重要性，同时了解了其基本原理在计算机数值拟合的应用，更深刻地理解了曲线拟合最小二乘法的计算原理。
最小二乘拟合实验报告
工程学院《计算方法》实验报告课 程 名 称 计算方法 系 院 理 学 院 专 业 信息与计算科学 班 级 12级一班 学 生 姓 名 志辉 学 号 2012101316《最小二乘求解》1 引言在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m 出发，寻求函数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟合的问题。
多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。
首先，由实验提供的数据往往有测试误差。
如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。
其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。
在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。
定义()i i i x y δϕ=-为拟合函数在i x 处的残差。
为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。
在最小二乘法中，我们选取()x ϕ，使得偏差平方和最小，即 2211[()]min mmi i i i ix y δϕ===-=∑∑，这就是最小二乘法的原理。
2 实验目的和要求运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。
以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。
数据如下：3 算法原理与流程图（1） 原理最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2,,)i i x y i m =，要求存在某个函数类01{(),(),()}()n x x x n m ϕϕϕΦ=<中寻求一个函数：****0011()()()()n n x a x a x a x ϕϕϕϕ=+++，使得*()x ϕ满足*22()11[()]min[()]nni i i i x iix y x y ϕϕϕ∈Φ==-=-∑∑。
最小二乘法曲线拟合实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除最小二乘法曲线拟合实验报告篇一：实验3曲线拟合的最小二乘法实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。
这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。
充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。
2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1)给定数据如下：x：0.15，0.4，0.6，1.01，1.5，2.2，2.4，2.7，2.9，3.5，3.8，4.4，4.6，5.1，6.6，7.6；y：4.4964，5.1284，5.6931，6.2884，7.0989，7.5507，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403，8.5303，8.7394，8.9981，9.1450，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。
2)已知一组数据：x：0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1y：-0.447，1.978，3.28，6.16，7.08，7.34，7.66，9.56，9.48，9.30，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。
由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。
若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。
2T 作为误差度量的标准。
F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。
如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。
这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。
这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。
?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
曲线拟合的最小二乘法实验
Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit 和函数lsqcurvefit 功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。
【实验内容】1．在Matlab 命令窗口，用help 命令查询函数polyfit 和函数lsqcurvefit 功能和使用方法。
2．用多项式y =x 3-6x 2+5x-3，产生一组数据(x i ，y i )(i =1，2，…，n)，再在y i 上添加随机干扰(可用rand 产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn 产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对x i 和添加了随机干扰的y i 用Matlab 提供的函数ployfit 用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。
再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。
3．用电压V =10伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压为τte V V V t v ---=)()(0，其中V 0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
对于下面的一组t ，v 数据，用Matlab 提供的函数lsqcurvefit 确定V 0和τ。
t (秒) 0.5 1 2 3 4 5 7 9 v (伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师： 200 年 月 日问题及算法分析：1、利用help命令，在MATLAB中查找polyfit和lsqcurvefit函数的用法。
2、在一组数据(x i，y i)(i=1，2，…，n)上，对y i上添加随机干扰，运用多项式拟合函数，对数据进行拟合（分别用2次，3次，4次拟合），分析拟合的效果。
3、根据t和V的关系画散点图，再根据给定的函数运用最小二乘拟合函数，确定其相应参数。
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工程学院
《计算方法》实验报告
课 程 名 称 计算方法 系 院 理 学 院 专 业 信息与计算科学 班 级 12级一班 学 生 姓 名 志辉 学 号 2012101316
《最小二乘求解》
1 引言
在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m 出发，寻求函
数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟
合的问题。
多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。
首先，由实验提供的数据往往有测试误差。
如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。
其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。
在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类
问题。
定义()i i i x y δϕ=-为拟合函数在i x 处的残差。
为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。
在最小二乘法中，我们选取()x ϕ，使得偏差平方和最小，即 2
2
1
1
[()]min m
m
i i i i i
x y δϕ===
-=∑∑，这就是最小二乘法的原理。
2 实验目的和要求
运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。
以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。
数据如下：
3 算法原理与流程图
（1） 原理
最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2,
,)i i x y i m =，要求存在某个函数类
01{(),(),
()}()n x x x n m ϕϕϕΦ=<中寻求一个函数：
**
**
0011()()()()n n x a x a x a x ϕϕϕϕ=++
+，使得*()x ϕ满足
*
2
2
()1
1
[()]min
[()]n
n
i i i i x i
i
x y x y ϕϕϕ∈Φ
==-=-∑∑。
根据以上条件可知，点*
**
01(,,,)n a a a 是多元函数
2
011
(,,
,)[()]m n
n k k i i i k
S a a a a x y ϕ===
-∑∑ 的极小点，从而*
**
01,,
,n
a a a 满足方程组 0(0,1,,)k
S
k n a ∂==∂
即00111
1
11
()
()()()()()()m
m
m
m
k i i k i i n k i n i k i i i i i i
a x x a x x a x x x y ϕϕϕϕϕϕϕ====+++=
∑∑∑∑，
记1
(,)()()m
i i i
h g h x g x ==
∑，则上述方程组可表示成0011(,)(,)(,)(,)k k n k n k a a a f ϕϕϕϕϕϕϕ+++=，(k=0,1,…，n)
写成矩阵形式为
0001000101111101(,)(,)
(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，这个方程组成为法方程组，可以证明，当01(),(),()n x x x ϕϕϕ线性无关时，它有唯一解。
特别地，曲线拟合的一种常用情况为代数多项式，即取
01()1,(),()n
n x x x x x ϕϕϕ===，则1
1
(,)m
m
j
k j k
j k i
i
i i
i
x x
x ϕϕ+===
=
∑∑
1
(,)m
k k i i i
f x y ϕ==
∑ (k=0,1,…，n) 故相应的法方程组变为
1
1
102
111
111
21
1
11m
m
m n i i
i i
i i m
m
m
m n i i i
i i i i
i i m
m
m
m n n n n n i i i i i i i
i i m x x x a a x x x x y a x x x x y ===+====+====⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑，这就是最小二乘法的原理。
在解决本题时，为了简便起见，我们将指数转变成代数多项式去计算。
在bx y ae =两边取对数，得到ln ln y a bx =+，取(1)(1)ln ,y y x x ==，可见(1)(1),y x 是呈线性关系的。
这样我们可以方便地利用最小二乘法求取参数。
（2）流程图
整体流程图
生成矩阵C 流程图
4 程序代码及注释
及m ,2,,)m
0,1,
,)
n 0,1,,)n
5算例分析
6讨论与结论
2、直观展示：
参考文献
[1] 易大义，云宝，有法. 计算方法(第2版)，大学. p.29-53.
[2] 琨高思超毕靖编著 MATLAB2010从入门到精通电子工业。