立体几何及空间想象能力真题赏析

第16讲 立体几何及空间想象能力真题赏析

题一：将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3

π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；

（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成角的大小.

题二：如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.

(Ⅰ)求证：EG ∥平面ADF ；

(Ⅱ)求二面角O -EF -C 的正弦值；

(Ⅲ)设H 为线段AF 上的点，且AH =23

HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.

题三：如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，=90ACB ∠︒，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3.

(I)求证：BF ⊥平面ACFD ；

(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.

题四：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，

CD 上，54

AE CF ==，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，OD '(I)证明：D H '⊥平面ABCD ；

(II)求二面角B D A C '--的正弦值.

第1讲立体几何及空间想象能力真题赏析

题一：（12）45°.

题二：（Ⅰ）证明：法一：找AD中点M，

连接GM，FM，如图

因为点G为AB的中点，

所以GM//BO，GM=BO，

又因为四边形OBEF为矩形，

所以BO//EF，BO=EF，

所以GM//EF，GM= EF，即四边

形MGEF为平行四边形，

所以FM//EG，

因为EG⊄面ADF，

FM⊂面ADF，

所以EG∥平面ADF；

法二：连EO，OG，OD，如图

因为O为正方形ABCD的中心，

所以OD=OB且二者在一条直线

上，

因为四边形OBEF为矩形，

所以BO//EF，BO= EF，

所以DO//EF，DO= EF，

即四边形DOEF为平行四边形，

所以FD//OE，

又因为点G为AB的中点，

所以GO//AD，

所以面EGO//面F AD，

所以EG∥平面ADF；

法三：因为四边形OBEF为矩形，所以BO⊥OF，

又因为平面OBEF⊥平面ABCD，

平面OBEF ∩平面ABCD=OB ，

所以OF ⊥平面ABCD ，

又因为四边形ABCD 为正方形，所以可建立如图所示坐标系， 依题意可得(1,1,0),(1,1,0),A D -

(0,0,2),(1,1,2),(1,0,0),F E G ---(0,1,2),(2,0,0),EG AD =-= (1,1,2),AF =- 设平面ADF 的法向量为

(,,)n x y z =，则

2020

x x y z =⎧⎨-+=⎩，不妨设1z =，解得(0,2,1)n =， 可得0EG n ⋅=，

又因为EG ⊄面ADF ，

所以EG ∥平面ADF ；

(Ⅱ)3；(Ⅲ)21

题三：(I)证明：因为=90ACB ∠︒，所以AC ⊥BC ， 因为平面BCFE ⊥平面ABC ，所以

AC ⊥面BCFE ，所以AC ⊥BF ，

在平面BCFE 内作高FM ，如图

因为BE =EF =FC =1，BC =2，所以12

MC =，

所以FM =，FB = 在△FBC 中，

222BC FC FB =+，

所以BF ⊥FC ，

所以BF ⊥平面ACFD .

(II) 题四：(I)证明：∵54AE CF ==

， ∴AE CF AD CD

=， ∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，

∴EF BD ⊥，

∴EF DH ⊥，

∴EF D H '⊥．

∵6AC =，

∴3AO =；

又5AD =，AO OD ⊥， ∴4OD =， ∴1AE OH OD AD

=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，

∴'D H OH ⊥．

又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ．

(II)