哈工大威海校区2015春集合图论试题A
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
哈工大集合论习题
第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===4.设{,{}}S φφ=，试求2S？5.设S 恰有n 个元素，证明2S有2n个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立？ （1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\AB C A B C =（3）\()()\A B C A B B = 16．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C ，若AB BC =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A BAB =。
d)对任何集合A,B ，222A B AB =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A BA B =。
f)对任何集合A,B ，222A BAB∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R ST R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()RS T RS R T ∆⊇∆ 18．设A 为任一集，{}IB ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()IIA B A B ξξξξ∈∈=19．填空：设A,B 是两个集合。
哈工大(威海)模电习题册(一)答案
第三章 多级放大电路一．解：（a ）共射，共基 （b ）共射，共射 （c ）共射，共射 （d ）共集，共基 （e ）共源，共集 （f ）共基，共集二．解：（1）R W 的滑动端在中点时A d 的表达式为beWc IOd )2( r R R u u A +-=∆∆=β（2）R W 的滑动端在最右端时I beW c C2C1O IbecC2I beW c C1)2( 2 2)( u r R R u u u u r R u u r R R u ∆⋅+-=∆-∆=∆∆⋅+=∆∆⋅+-=∆βββ所以A d 的表达式为beWc IOd )2( r R R u u A +-=∆∆=β比较结果可知，两种情况下的A d 完全相等；但第二种情况下的C21C u u ∆∆＞。
三．解：R W 滑动端在中点时T 1管和T 2管的发射极静态电流分析如下：mA 517.02222e WBEQEE EQEE e EQ WEQ BEQ ≈-==+⋅+R R U V I V R I R I U ＋ A d 和R i 分析如下：Ω≈++=-≈++-=Ω≈++=k 5.20)1(2972)1( k 18.5mV26)1(W be i Wbe cd EQbb'be R r R R r R A I r r ββββ四． 解：电路的共模输入电压u I C 、差模输入电压u I d 、差模放大倍数A d 和动态电压△u O 分别为V67.0672 mV 10mV 152Id d O becd I2I1Id I2I1IC -≈=∆-≈-==-==+=u A u r R A u u u u u u β由于电路的共模放大倍数为零，故△u O 仅由差模输入电压和差模放大倍数决定。
第五章 放大电路的频率响应一.解:（1）1be b s )(π21C r R R ∥+ 。
①；①。
（2）'s b bb'e b')]([21ππC R R r r ∥∥+ ；①；①，①，③。
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
哈工大集合与图论习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
2015年山东省威海市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析
2015年山东省威海市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2B23．（5分）（2015•威海模拟）设单位向量的夹角为120°，，则|=5．（5分）（2015•威海模拟）双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）B6．（5分）（2015•威海模拟）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值7．（5分）（2015•威海模拟）周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）8．（5分）（2015•威海模拟）已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；9．（5分）（2015•威海模拟）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）B10．（5分）（2015•威海模拟）设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015•威海模拟）用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为．12．（5分）（2015•威海模拟）右面的程序框图输出的S的值为．13．（5分）（2015•威海模拟）已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为．14．（5分）（2015•威海模拟）若f（x）+∫01f（x）dx=x，则．15．（5分）（2015•威海模拟）函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•威海模拟）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．17．（12分）（2015•威海模拟）一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．18．（12分）（2015•威海模拟）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且S n 为a n与的等差中项．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•威海模拟）如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，BF=2，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅱ）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．20．（13分）（2015•威海模拟）已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．21．（14分）（2015•威海模拟）如图，过原点O的直线l1，l2分别与x轴，y轴成30°的角，点P（m，n）在l1上运动，点Q（p，q）在l2上运动，且．（Ⅰ）求动点M（m，p）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设A，B是轨迹C上不同两点，且，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．2015年山东省威海市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2B=的虚部为，23．（5分）（2015•威海模拟）设单位向量的夹角为120°，，则|=，|==（5．（5分）（2015•威海模拟）双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）B解：双曲线的顶点（y==6．（5分）（2015•威海模拟）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值注意圆心，半径的运用得出满足约束条件，7．（5分）（2015•威海模拟）周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（），8．（5分）（2015•威海模拟）已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；9．（5分）（2015•威海模拟）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）BabsinC=，代入（cosC=，或C=10．（5分）（2015•威海模拟）设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（），，，=，得二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015•威海模拟）用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800．=，该批次产品总数为：=480012．（5分）（2015•威海模拟）右面的程序框图输出的S的值为．的值为：S=S=S=的值为：故答案为：；13．（5分）（2015•威海模拟）已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为3．由基本不等式可得++的最小值14．（5分）（2015•威海模拟）若f（x）+∫01f（x）dx=x，则．x|=x，=|；故答案为：．15．（5分）（2015•威海模拟）函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为2．2x+x2x+|=2x+|三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•威海模拟）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．）由题意知，．，）的单调增区间为．）的图象向左平移个单位，得到再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，，∴，∴，17．（12分）（2015•威海模拟）一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．，2 3 4数学期望为18．（12分）（2015•威海模拟）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且S n 为a n与的等差中项．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设，求{b n}的前n项和T n．即可说明，通过（Ⅲ）化简，即式得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（由（Ⅰ）可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，∴（Ⅲ）．19．（12分）（2015•威海模拟）如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，BF=2，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅱ）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．，且，∴，∴，中有则所成二面角的余弦值为20．（13分）（2015•威海模拟）已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．，推出（Ⅰ），的最小值为时，﹣﹣或，当）的极小值为由题意可知法一：令，根据图象可知：，整理得﹣﹣，﹣﹣﹣由题意可知解得21．（14分）（2015•威海模拟）如图，过原点O的直线l1，l2分别与x轴，y轴成30°的角，点P（m，n）在l1上运动，点Q（p，q）在l2上运动，且．（Ⅰ）求动点M（m，p）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设A，B是轨迹C上不同两点，且，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．的斜率不存在时，由；（Ⅰ）由题意知，由，整理得．的方程；，∴，∴；，得（．，则．，带入整理得的面积为定值参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；lincy；刘长柏；qiss；sdpyqzh；尹伟云；w3239003；吕静；changq；caoqz；sxs123（排名不分先后）菁优网2015年7月11日。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
山东省威海市2015届高三下学期第二次高考模拟数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为( ) （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）425【答案】D 【解析】试题分析：由213434(2)1(34)134(34)(34)2525i i z i z z i i i i +-⋅=⇒-=⇒===+--+，所以复数z 的虚部为425，故答案选D . 考点：1.复数的计算；2.复数的定义.2. 已知集合2{|},{1,0,1}A x x a B ===-，则1a =是A B ⊆的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由A B ⊆得集合A 是空集或者非空集合， 当集合A 是空集时，0a <，当集合A 是非空集合时，1x =-或1或0，此时1a =或0， 故答案选A .考点：1.集合之间的关系；2.命题的充分必要性.3. 设单位向量12,e e 的夹角为120，122a e e =-，则 ||a =( )（A ）3 （B （C ）7 （D 【答案】D考点：1.向量的模；2.数量积.4. 已知等差数列{}n a 满足61020a a +=，则下列选项错误的是( ) （A ）15150S = （B ）810a = （C ）1620a =（D ）41220a a += 【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以6108220a a a +==，得810a =，11515815()151502a a S a +===；4128220a a a +==故答案选C .考点：等差数列的性质.5. 双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为( )（A （B （C （D【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线22124x y -=，得其顶点坐标，(，渐近线方程y =，点到y =的距离为3d ==，由双曲线的性质得双曲线22124x y -=B .考点：双曲线的性质.6. 已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )（A ）2 （B（C ）4 （D）【答案】D 【解析】试题分析：如图所示阴影部分为不等式组224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的可行域，由图可知，当直线20x y z +-=与圆224x y +=相切时，z 取得最大值，2z =⇒=±max z =D .考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.7. 周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2(2014)(50342)(2)log 212f f f =⨯+==+=，2(2015)(50441)(1)(1)11f f f f =⨯-=-=-=-=-，(2014)+(2015)1f f =，故答案选B .考点：1.函数求值；2.函数的周期性和奇偶性.8. 已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是( )①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； （A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④ 【答案】B 【解析】试题分析：如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AD B C ,AD ⊂平面ABCD ,11B C ⊂平面11BB C C ,但平面ABCD 与平面11BB C C 相交于BC ，故选项①错误；平面//ABCD 平面1111A B C D ，AD ⊂平面ABCD ,11D C ⊂平面11BB C C ，CD AD ⊥,但CD 与11D C 不垂直，，故选项②错误；选项③是线面垂直的一个性质定理，故选项③是正确的；平面ABCD ⊥平面11BB C C ，11//B C 平面ABCD ，//AD 平面11BB C C ，但11//B C AD ，故选项④错误.故答案选B考点：点、线、面的位置关系.9. 在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为2，则C =( ) 3π23π6π56π（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A考点：解三角形.10. 设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是 ( )（A ）()f x 在(0,)+∞单调递增 （B ）()f x 在(0,)+∞单调递减 （C ）()f x 在(0,)+∞上有极大值 （D ）()f x 在(0,)+∞上有极小值 【答案】D 【解析】 试题分析：22ln ln 1()()ln ()()[()]()(ln )2x x x f x xf x x xf x f x xf x xf x x c x x '''+=⇒+=⇒=⇒=+ 所以2ln ()2x c f x x x =+，又1()f e e =，得12c =，即2ln 1()22x f x x x=+所以222222ln ln 1(ln 1)()0222x x x f x x x x---'=-=≤，所以()f x 在(0,)+∞单调递减 故答案选D考点：1.导数的应用；2.构造函数.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为________. 【答案】4800 【解析】试题分析：由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=考点：分层抽样.12. 右面的程序框图输出的S 的值为_____________.【答案】2512【解析】试题分析：1n =时，1011s =+=；2n =时，13122s =+=；3n =时，3111236s =+=；4n =时，111256412s =+=；5n =时,输出2512s =. 考点：程序框图的识别.13. 已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为______.【解析】试题分析：2222222221111111()()[4()3()]24x y y x y xx y xy x y xy x y x y+++=++=++++11[423(426)344y x x y ≥+⋅⋅+⋅=++=，当且仅当""x y =时，等号成立.考点：基本不等式.14. 若1()()f x f x dx x +=⎰， 则1()f x dx =⎰_________.【答案】14【解析】试题分析：因为1()f x dx ⎰是一常数，即可设1()f x dx m =⎰，所以()f x x m =-()f x 的原函数2(1()2g x x m c x c =-+为常数）所以1()(1)(0)f x dx g g =-⎰，即得12m m =- 解得14m =，即11()4f x dx =⎰考点：1.定积分. 15. 函数213()|2|122f x x x x =-+-+的零点个数为___________. 【答案】2 【解析】试题分析：令()0f x =，即213|2|122x x x -+=- 则函数21()|2|2h x x x =-+和函数3()12g x x =-的交点个数即为函数()f x 的零点个数，如上图所示，()h x 与()g x 有两个交点，所以函数()f x 的零点个数为2. 考点：1.函数的零点；2.数形结合.三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x x ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.【答案】（Ⅰ）Z k k k ∈+-],83,8[ππππ；（Ⅱ）[.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换得())4f x x πω=-，由函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π，所以函数)(x f 的周期为π，利用周期公式即可求得1ω=，即())4f x x π=-，令Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解之即可求出函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）由三角函数图像变换得)44sin(2)(π+=x x g ，因为]2,6[ππ∈x ，即得1194[,]4124x πππ+∈，根据三角函数的性质得22)44sin(1≤+≤-πx ，最后求得函数)(x g 在]2,6[ππ∈x 的值域.试题解析：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-，由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， )42sin(2)(π-=∴x x f .由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ,∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ.（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ∴函数()g x的值域为[.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像；3.三角函数的值域.17. （本小题满分12分）一汽车4S 店新进A ,B ,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A ,B ,C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）518; （Ⅱ）分布列略，209.∴其分布列为数学期望为23414631269E ξ=⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型的分布列及期望.18. （本小题满分12分）已知 {}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （Ⅰ）求证：数列2{}n S 为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1),nn nb a -=求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）n a ；（Ⅲ）(1)n T =-【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，当1n =时，可得11S =;又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，得2112()()1n n n n n S S S S S -----=，整理得2211,(2)n n S S n --=≥，2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=，{}n a 是各项都为正数，n S =1n n n a S S -=-=2n ≥），又111a S ==,∴n a =；（Ⅲ）由（Ⅱ）得(1)(1),n n nn n b a -===-当n 为奇数时，n T =当n 为偶数时，n T ={}n b 的前n 项和(1)n T =-试题解析：（Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =;又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，代入①式得2112()()1n n n n n S S S S S -----=整理得2211,(2)n n S S n --=≥． ∴ 2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列. （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=，∵{}n a 是各项都为正数，∴n S∴1n n n a S S -=-=2n ≥），又111a S ==,∴n a（Ⅲ）(1)(1),n n nn n b a -===-当n 为奇数时，11)(1n T n =-+-++--=当n 为偶数时，11)(1n T n =-+-+--+=∴{}n b 的前n 项和(1)n T =-考点：1.等差数列的判定；2.通项公式的求法；3.数列求和.19. （本小题满分12分）如图：BCD 是直径为O 为圆心，C 是BD 上一 点，且2BC CD =.DF CD ⊥，且2DF =，BF =，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点,且3FR RC =.(Ⅰ) 求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明略；. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM CD ⊥,则OQ //DF ,且12OQ DE =，又DF CD ⊥，所以//RM FD ，又3F R R C =,则14RM CR DF CF ==,所以14RM DF =，因为E 为FD 的中点，所以12RM DE =，故OQ //RM ,且OQ RM =，即得OQRM 为平行四边形，得RQ //OM ，即证QR //平面BCD ；（Ⅱ）可证得DF ⊥平面BCD ，以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.BED试题解析：(Ⅰ) 连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM CD ⊥ ∵,O Q 为中点，∴OQ //DF ,且12OQ DE = ∵DF CD ⊥ ∴//RM FD又3FR RC =,∴14RM CR DF CF ==,∴14RM DF = ∵E 为FD 的中点，∴12RM DE =.∴OQ //RM ,且OQ RM = ∴OQRM 为平行四边形，∵RQ //OM又RQ ⊄平面BCD , OM ⊂平面BCD , ∴QR //平面BCD .（Ⅱ）∵2DF =,BF =BD =∴222BF BD DF =+,∴BD DF ⊥,又DF CD ⊥,∴DF ⊥平面BCD . 以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系B考点：1.线面平行的判定；2.二面角的求法. 20. （本小题满分13分）已知函数(),ln xf x ax x=+1x >. （Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2a =，求函数()f x 的极小值；（Ⅲ）若存在实数a 使()f x 在区间1(,)(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不同的极值点，求n 的最小值.【答案】（Ⅰ）14a ≤-;（Ⅱ）()f x 的极小值为1122()4f e e =;（Ⅲ）3.【解析】试题分析：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立；2111()ln 24a x ≤--， 即2min 111[()]ln 24a x ≤--，求得函数2111()ln 24y x =--在()1,+∞的最小值即可； （Ⅱ）当2a =时，()2ln x f x x x =+，求得222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+=令()0f x '=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e =，当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>，()f x 的极小值为1122()4f e e =；（Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知22ln 1ln ()ln x a x f x x-+'=，即2l n l n 10a x x +-=在1(,)n ne e 上有两个不等实根，令1ln ,()x u u n n =<<，2()1g u au u =+-在1(,)n n上有两个不等实根，根据二次函数根的分别列出不等式组，即可求出n 的最小值.试题解析：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立； ∴2211111()ln ln ln 24a x x x ≤-=--， ∵()1,x ∈+∞，∴()ln 0,x ∈+∞，∴110ln 2x -=时函数t =2111()ln 24x --的最小值为14-， ∴14a ≤-(Ⅱ) 当2a =时，()2ln xf x x x=+ 222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+=令()0f x '=得22ln ln 10x x +-=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e =当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>∴()f x 的极小值为11112222()242e f e e e =+= （Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知222ln 1ln 1ln ()ln ln x x a xf x a x x--+'=+= 即2ln ln 10a x x +-=在1(,)nne e 上有两个不等实根.令1ln ,()x u u n n=<<，2()1g u au u =+- ∵(0)10g =-<，根据图象可知：1401121()0()0a a n n a g n g n ⎧⎪<⎪∆=+>⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<⎪⎪<⎪⎩，整理得2210412211a n a n a n n a n n ⎧-<<⎪⎪⎪-<<-⎪⎨⎪<-⎪⎪<-⎪⎩ - 即2min 21111{,,}24n n n n n --->-，解得2n >， ∴n 的最小值为3. 考点：1.导函数的应用；2.函数的极值；3.二次函数根的分布.21. （本小题满分14分）如图，过原点O 的直线12,l l 分别与x 轴，y 轴成30︒的角，点(,)P m n 在1l 上运动，点(,)Q p q 在2l上运动，且||PQ =（Ⅰ）求动点(,)M m p 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上不同两点，且13OA OB k k ⋅=-， （ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；(ⅱ)判断OAB ∆的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.【答案】（Ⅰ）22162m p +=；（Ⅱ）（ⅰ）22OA OB -≤⋅< ；(ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12:,:,3l y x l y ==可得(),(,)3P m m Q p p，由||PQ =22()()83m p -+=，整理得22162p m +=，所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=；（Ⅱ）（ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ，当l 斜率不存在时，1111(,),(,),A x y B x y -则1111,OA OB y yk k x x ==- 由22211121133OA OBy k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y =，21212122OA OB x x y y y ⋅=+==， 当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-=2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+>且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++由121213OA OB y y k k x x ⋅==-，整理得2213................()m k b =+，又1212242OA OB x x y y m⋅=+=-由(),()a b 得22131m k =+≥，可得22OA OB -≤⋅<；(ⅱ) 由（i ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆== 当l斜率存在时，1||2OABS AB d ∆== 将2213m k =+带入整理得OAB S ∆=，所以OAB ∆试题解析：（Ⅰ）由题意知12:,:,l y x l y ==∴(),(,)P m m Q p，由||PQ =22()()83m p -+=，整理得22162p m += 所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=. （Ⅱ）（ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ， 当l 斜率不存在时，则11111111(,),(,),,OA OB y yA x yB x y k k x x -∴==- 由22211121133OA OBy k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y ∴= 21212122OA OB x x y y y ∴⋅=+==当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-= 2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+>且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++ 由1212121212133()()3OA OB y y k k x x y y kx m kx m x x ⋅==-⇒=-=-++ 221212(13)3()30k x x km x x m ⇒++++=整理得2213................()m k b =+221212122222242442313m m OA OB x x y y x x k m m --∴⋅=+====-+由(),()a b 得2224131,04m k m=+≥∴<≤，22OA OB ∴-≤⋅< 综上：22OA OB -≤⋅≤.(ⅱ)由（i ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆==当l斜率存在时，121||2OABS AB d x x ∆==-=将2213m k =+带入整理得OAB S ∆=所以OAB ∆考点：1.椭圆的标准方程；2.向量在圆锥曲线中的应用；3.圆锥曲线中的定值问题.。
哈工大集合论与图论作业题答案
第六章图的根本概念P206习题1.画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个).11个2.画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)o16个3.画出具有4个、6个、8个顶点的三次图.略4.某次宴会上,许多人互相握手.证实：握过奇数次手的人数为偶数(注意,0是偶数)o把实际问题转化为图论问题,然后用握手定理的推论.P209习题1.设u与v是图G的两个不同顶点.假设u与v间有两条不同的通道(迹),那么G 中是否有圈假设u与v间有两条不同的通道,G中无圈假设u与v间有两条不同的迹,G中有圈2.证实：一个连通的(p , q)图中q?p-1.数学归纳法3.设G是一个(p, q)图,且q (p 1)(p 2)/2,那么G是连通的.征2用反征法口假咬囹G是小庄逋叼,那么图G至少狂仕两?逢逋分支.尸⑵⑼)和&二仇必)时,G 的最大可能边数勺二名+公式T)'2 +p式1)/2 ,其中曲三户一］,1 < < p-1 ?所以〞(pZp-W2,与题设矛盾n所以假设.是简单图,那么仃是连通的.6.在一个有n个人的宴会上,每个人至少有m个朋友(2&m< n).试证：有不少于m+1个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁, 每人的左、右均是他的朋友. 证实：把实际问题转化为图论问题,就和下面的题一样了.8.设G是图.证实：假设5 (G) >2,那么G包含长至少是6(G)+1的圈.这两个题和这个题一样的证实方法.例3设行=(匕均是无向图,证实：假设久⑴之出,那么行包含长至少为中+ 1的|口1路, iiF：设上是G中最长的路, £:v t P2L v…a由于WE—d次置之所以必自Z上的m个顶点工门,,…,叫(2 = «o,VQ与耳邻接,干是马巧…%巧便是G中的一个回路,且长至少为2去晨假设上上不存在陋个顶点与耳邻接,那么在最长路L外必有一个顶点与巧邻接,于是有更长路矛盾.P216习题1.证实：假设图G不是连通图,那么GC是连通图.由于G不连通,故G至少有两个分支对于G,中任意两个顶点把和v ：(1)假设"匕匕,¥曰匕,那么仃与野不在G中邻接.由补图的定义可知：N与F必在T中邻接；(2)假设以廿三艮(或匕),取WE匕(或昨),那么廿与w, w与在G都不邻接,故"与1#, w与廿在G'必邻接.于是ww窜就是G'中的一条踏.综上可知,由于对G『中任意两个加点〞和% .和y之间都有路连接,故G, 连通.2.证实：每一个自补图有4n或4n+1个顶点.(3)由于每个自补图G的对应的完全图的边数必为偶数,即q-p(p-1)/2为偶数.而当p二123时,图G无自补图,只有p之4时,图G才有自补图;于是「可写成如下形式,4/4〃+ L4叱2刈】+3,其中〃为正整数；代入〞风p -1)2中,只有加也十1才能使&为偶数r故每个自补图必有4“成4"】个顶点.例4证实：在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点口证】设乙与乙是图中的两条最长的路r 4飞打4 J上上：叫的力—但设心与心没有公共顶点*由于<7是连通的,所以心与上上之间必TT一条路尸连接且|尸岸1 0令尸与4上的匕连接,与&上的2连接,那么假设,之J*那么路先岭次〃产产1%比4长,矛盾：假设,,J f那么路修/…%7VM.I…/比4长,矛盾.故假设不成立,即两条最长的路必有公共顶点,P228习题1.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有：degu+degv> 9.下列图中任意一对不邻接的顶点u和v ,均有：degu+degv> 9 .2.试求Kp中不同的哈密顿圈的个数.〔p-1〕!/2 4.完全偶图Km n为哈密顿图的充分必要条件是什么?〔2〕=＞假设|匕＜|匕,有〔1〕可知区门不是哈密顿图；假设IRWI/I,同理有K〞不是哈密顿图.故&◎是哈密顿图时只有14 1=1/ I,即一-*U假设加二〃,那么匕扇即斗廛gv=|1I/2+|炉］,2二/卜由定理知：?明,是哈密顿图二10.证实具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图.证：〔1〕设G是,个具有奇数顶点的偶图,那么G的顶点集了有•个二划分, 即展的匕｝H有因周匕I,不妨设| - K彩|,那么有印〔0—=1七忸匕I,由哈密顿图的必要条件可知：G不是哈密顿图.。
哈工大集合论习题课-第五章 图的基本概念习题课(学生)
第五章 图的基本概念习 题 课 11. 画出具有 6、8、10、…、2n 个顶点的三次图；是否有7个顶点的三次图？2. 无向图G 有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的度数均为2，求G 的顶点数p 。
解：设图的顶点为p ，根据握手定理：1deg()2pi i v q ==∑，有212)12(2312⨯=-⨯+⨯p ，得15302==p p ，。
3. 下列各无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点的度为2；（2）21条边，3个4度顶点，其余的都为3度数顶点；（3）24条边，各顶点的度数相同。
解： 设图的顶点为p ，根据握手定理：（1）1deg()2pi i v q ==∑，即2221632p q ==⨯=；所以16p =，即有16个顶点。
（2）1deg()2p i i v q ==∑，即433(3)222142p q ⨯+⨯-==⨯=，所以13p =。
（3）各点的度数为k ，则1deg()2i pi v q ==∑，即222448k p q ⨯==⨯=，于是① 若1k =，48p =； ② 若2k =，24p =；③ 若3k =，16p =；④ 若4k =，12p =； ⑤ 若6k =，8p =；⑥ 若8k =，16p =； ⑦ 若12k =，4p =； ⑧ 若16k =，3p =；⑨ 若24k =，2p =； ⑩ 若48k =，1p =。
4．设图G 中9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。
证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证：由握手定理的推论可知，G 中5度顶点数只能是0，2，6，8五种情况，此时6度顶点数分别为9，7，5，3，1个。
以上五种情况都满足至少5个6度顶点或至少6个5度顶点的情况。
5．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多少种药？[就是求一个完全图n K 的边数(1)(2)/2q p p =--]6.设G 是有p 个顶点，q 条边的无向图，各顶点的度数均为3。
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。
一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。
（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。
（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。
（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。
（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。
（）6．欧拉图中没有割点。
（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。
（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。
（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。
（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。
（）二、（20分，每小题2分）计算题。
对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。
（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。
（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。
（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。
D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。
确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。
已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
集合论与图论试题与参考答案哈工大本科
集合论与图论试题与参考答案哈⼯⼤本科哈尔滨⼯业⼤学（威海）继续教育学院年春季学期集合与图论本科试题考试形式：开卷答题时间：90 分钟本卷⾯成绩站课程成绩100 %（所有答案必须写在答题纸上、标清题号）⼀、填空题(每空2分，计20分)1. 集合{0}的所有⼦集是______________。
2. 设A={1,2,3,{1,2},{3}}，B={2,{1},{2,3}}，则B- A=__________。
3. 有偏序集(N,≤)，即⾃然数集N上的⼩于等于关系，N的⼦集A={2,3,6,8}的下确界和上确界分别是______、_______。
4. 设A={1,2,3,4,5,6}，R={<1,5>,<2,3>,<2,6>,<3,2>,<3,6>,<5,1>, <6,2>,<6,3>}∪I A，则[1]=_____________，[2]=_______________。
5. n个顶点的有向完全图边数是______，每个顶点的度数是_____。
6. 设图G1=和G2=，若____________，则G2是G1的真⼦图；若____________，则G2是G1的⽣成⼦图。
⼆、简答题(每题 10 分，计 40 分)1. 设A是⼀个⾮空集合，问(1)A上是否存在⼀个既是等价关系⼜是偏序关系的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出⼀个实例。
(2) A上是否存在⼀个既是⾃反的⼜是反⾃反的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出⼀个实例。
2. 是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平⾯连通图？请说明理由。
3. 某公司来了9名新员⼯，⼯作时间不能互相交谈，为了尽快互相了解，他们决定利⽤每天吃午饭时间相互交谈，于是，每天吃午饭时他们围在⼀张圆桌旁坐下，他们是这样安排的，每⼀次每⼈的左右邻均与以前的⼈不同，问这样的安排法能坚持多久？4. 有向图D如图所⽰，(1) 给出D的邻接矩阵A；(2) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？(3) D中长度⼩于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？1。
图论试卷及参考答案A-13级数学本科
**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》试卷A（本试卷满分100分，考试时间110分钟）一、填空题 （每小题2分，共20分） 1．5阶完全图G 的边的个数是___________．2．如果图G 的每个顶点的度数都相同，则称图G 为________图． 3．当且仅当无向连通图G 的顶点个数比边的个数多1时，图 G 是___． 4．无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通，并且所有顶点的度都是 ． 5．(p ,q ) 图G 的向量空间的维数是_________．6．图G 的任意一个顶点的关联集都是其余各顶点关联集的____． 7．5阶完全图的边连通度是 ．8．已知M 是图G 的一个 ，若从G 中一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路径由属于M 和不属于M 的边交替出现组成的，则称此路径为M -交错道路．9．图G 是2-色的当且仅当G 是 ． 10．极大平面图所有面的次数均为 ． 二、判断题（每小题2分，共20分）1．图的所有顶点的度数之和是边数的2倍．2．连通图的一个生成树是边数最少的连通生成子图． 3．若一个图是欧拉图，那它也一定是哈密顿图．4．图的秩等于图的完全关联矩阵的秩，也等于其关联矩阵的秩． 5．r 一定是r —正则图的一个特征值． 6．图的点连通度小于等于图的边连通度．7．若一个图G 存在完美匹配，则该匹配必定是最大匹配． 8．图G 的一个M —可增广道路未必是一个M —交错道路． 9．图的边着色问题可以转化成图的点着色问题．10．设G 为p 阶、q 条边、f 个面的连通平面图，则 p -q +f =2．专业：__________ 班级：______ 学号：_______________________ 姓名：_____________________——————————————密——————————————封————————————————线———————————专业：________ 班级：___________ 学号：_______________________ 姓名：_____________________ ——————————————密——————————————封————————————————线———————————三、解答题（每小题5分，共30分） 1．试判断下列两个图是否同构．2．写出下图G 的一个生成树T 并写出图G 关于T 的基本圈组．3．求下图的完全关联矩阵并以v 2为参考点写出关联矩阵和一个可逆大子阵．4．简述图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系，并举例说明．5．下面的图中加粗的边构成最大匹配吗？如果不是请说明理由．v 143 v e 2 e 34 e AB CDGF4v5v 6v 1v2v 3v 15 u u43 u u26 u u6．试写出下图的一个着色方案，并回答该图的色数．四、应用题（每小题5分，共10分）1．下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？2．试建立下列问题的数学模型：有两组化学药品X 和Y ，每组各三类，设{}123,,x x x 和{}123,,y y y ，已知不同组的化学药品不能放在一起，否则会发生爆炸．现在将这些物品存放在三个仓库1，2，3中，但由于物品的特性及仓库自身的物理条件（如有无空调、通风条件等），1x 和1y 只允许放在1号和2号仓f 1 f 2 m 1f 3 f 4f 5m 2 m 3 m 4 m 5v 2v 3v 4v 1v 5库内，2x 和2y 只允许放在2号和3号仓库内，3x 和3y 只允许放在1号和3号仓库内，问：满足要求的存放方案是否存在？若存在，如何存放？ 五、证明题（每小题10分，共20分）1．设T 是一个无向（p ,q ）图，证明T 是树则T 无圈且q =p -1．2．设G 为p 阶连通平面图, 有q 条边, 且每个面的次数不小于l (l ³3), 证明 ()≤lq p -2l -2．**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》参考答案与评分标准A命题教师：***二、填空题 （每小题2分，共20分）参考答案：1．120；2．正则图；3．树；4．偶数；5．q ;6．环和；7．4；8．匹配；9．二部图；10．3 评分标准：本部分每小题2分．凡与答案一致或意义相同的得2分，不一致（含空白）的不得分．三、判断题（每小题2分，共20分）参考答案：1-5.√√×√√ 6-10.√√×√√ 评分标准：本部分每小题2分．凡与答案一致的得2分，不一致（含未做判断）的不得分．三、解答题（每小题5分，共30分）参考答案：1.解：建立一一映射,1,2,3,4,5,6i i v u i =a ，可知两图同构． ……（5分）2.解：因为图的生成树即其连通无圈的生成子图，因此，去掉图的一些边使其保持连通无圈即得其生成树．下图是其中的一种做法． …………（2分）关于这棵树的基本圈有6个：AEG ，ABG ，EFG ，BCE ，DEF ，CDF ．（5分）3.解： ………………（3分）其中一个可逆的大子阵100011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123e e e …………………………………………（5分） 4.解：图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系为k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（3分）下图是无向连通图，点连通度k (G )=1，边连通度l(G )=2，最小度d(G )=3，此图满足k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（5分）100110110100110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2完全关联矩阵关联矩阵(v 为参考点)1001111000→0110100110EAB CDGF5.解：不是最大匹配，因为该图中存在M-可增广道路． ………………（5分） 6.该图是3色的，颜色1：v 1，v 5，颜色2：v 2，v 4，颜色3：v 3． ………（5分） 本部分每小题5分，由于某些题的结果不唯一，因此要求只要运用理论正确，结果与答案等价，即得满分；如果有些偏差，酌情扣分；如果关键部分错误，该得分点不得分．四、应用题（每小题5分，共10分）参考答案：1.这个问题可以归结为一笔画问题，一个连通图存在欧拉圈当且仅当图的顶点的度数是偶数．H 点和B 点是奇点，其余都是偶点，所以入口和出口应设在H 点和B 点． ………………（5分）2.解：以药品为点，两药品不能放在一起则连边，则得到一个二部图，然后再对图中每个点x ，指定一个集合()L x ，用以表示允许存放的仓库和集合，即令()(){}111,2L x L y ==，()(){}222,3L x L y ==，()(){}331,3L x L y ==，如下图所示，于是问题转化为对3,3K 的点着色，但要求对每个点x 的着色，应选用各自的中所罗列的“颜色”，如下图所示：f 1f 2m 1 f 3f 4f 5m 2 m 3 m 4 m 5{}11,2x{}22,3x{}31,3x实际上，本问题的着色不存在． ………………（5分） 评分标准：本部分每小题5分，考生每解出一个步骤，得相应的分数．由于某一步单纯计算错误而导致其后数据错误，但方法正确的，酌情给分． 五、证明题（每小题10分，共20分）参考答案：1.证明:由树的定义可知T 无圈．下证q =p -1．对p 进行归纳证明． 当p=1时，q=0，显然q =p -1．假设p=k 时结论成立，现证明p=k+1时结论也成立． ………… （2分）由于树是连通而无圈的，所以至少有一个度数为1的顶点v ，在T 中删去v 及其关联边，便得到k 个顶点的连通无圈图． ………… （4分）由归纳假设它有k-1条边．再将顶点v 及其关联边加回得到原图T ，所以T 中含有k+1个顶点和k 条边，故结论q =p -1成立．所以树是无圈且q =p -1的图．即q =k +1时结论成立． ……………… （10分）2.证明：由于在计算面数之和时，每个边被计算了两次，因此各面次数之和等于边数的2倍，再由欧拉公式得： ……………… （5分） 2q ³ lf = l (2+q-p )()1⎛⎫≥⇒≥⇒≤ ⎪⎝⎭2q 2l 2+q -p -q 2-p q p -2l l l -2 …… （10分）评分标准：本部分每小题10分，根据参考答案的答题要点给分。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G 是一个p(p ≥3)个顶点的图。
2014-2015学年第二学期考试试题A
哈尔滨理工大学第二学期考试试题A 卷考试科目：高等数学（一）-Ⅱ 考试时间：100分钟 试卷总分100分考试班级：工科类各专业一、填空题（每小题4分，总计40分）1、设单位向量x 与向量{}212-=，，a 和{}011，，b =都垂直，则向量= .2、设222lnz y x u ++=，则=∂∂+∂∂+∂∂zu z y u y x u x. 3、螺旋线θπθθ8,s in 2,c o s 2===z y x 在点),,(211处的法平面方程为 .4、设22(,)(1)cos π2xy f x y x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则grad (1,1)f = . 5、设()yxy x z arctan22+=，则=z d . 6、极限=⎰⎰≤+++∞→y x t y x y xt t d d e e1lim222222.7、微分方程0=-''y y 的通解为 .8、曲线L 为14922=+y x ，记L 的弧长为m ，则=++⎰s y x L d )941(22 .9、设nn nx a)2(1-∑∞=在5=x 处条件收敛，则n n n x a ∑∞=1的收敛半径=R ．10、设)(x f 是周期为2的周期函数，且⎩⎨⎧<<-≤≤-=10,201,)(x ，x x x x f ，)(x f 的傅里叶级数的和函数记为)(x S ，则=)2(S .二、解答下列各题（每小题8分，总计56分）1、 设()xyy x z e 22-=，求yx z∂∂∂2.2、 求微分方程xy y y 2e 127=+'-''的通解。
3、判别级数∑∞=-12)1(n n nn的收敛性，若收敛，指出是条件收敛，还是绝对收敛。
4、设D 是由2y x =，y 轴及1=y 所围成的区域，计算y x Dy d d e3⎰⎰.5、计算曲线积分()()y x y x x y y xLd 2d 32332++-⎰，其中L 为任意一条正向光滑封闭曲线，且曲线L 所围成区域的面积为2.6、将()2()ln 1f x x=+展开成x 的幂级数，指出收敛区间.7、计算⎰⎰⎰Ω+v zd 114，其中Ω为22y x z +=与1=z 围成.三、证明题（本题4分）已知级数∑∞=12n n a ，证明级数∑∞=+121n n n a 绝对收敛.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
姓名: 班级: 学号:
遵 守 考 试 纪 律 注
意 行 为 规 范
哈尔滨工业大学（威海）2014 / 2015学年春季学期
集合论与图论 试题卷（A ）
考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间：105（分钟）本卷面成绩占课程成绩 30 %
试卷说明：
[1] 卷面总分100分，取卷面成绩的70%计入总分，平时成绩30%。
[2] 填空题请在答题卡内答题，其它处无效。
[3] 答卷时禁止拆开试卷钉，背面即为草稿纸。
一、填空题（每小题2分，共20分）
(1) 集合的（）表示方法可能产生悖论。
(2) 映射f左可逆的充分必要条件是：（）。
(3) 设R={(a, b),(c, d),(e, f)}是一个二元关系，则R的逆记为R-1，R-1=（）。
(4) n个顶点的完全图的边的个数是( )。
(5) 一个无向图的边数为20，那么所有顶点的度数和为（）。
(6) 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图,则: q=( )。
(7) 一个图是树当且仅当G是连通的且p=（）。
(8) G是一个p个顶点q条边的最大平面图,则G的每个面都是( )形。
(9) 若G是偶数个顶点的圈，则G是（）色的。
(10) 当顶点数大于2时，树的连通度是（）。
二、简答题(每小题5分，共20分)
1.设集合X=｛a,b,c,d,e｝，E={a,b,c}是X的子集。
写出E的特征函数。
2.R=｛（1，b），（2,c），（3,a），（4,d）｝是集合A=｛1，2，3，4｝到集合B=｛a,b,c,d｝的一个二元关系，画出R的关系矩阵和关系图。
3.举例说明什么是偏序关系？什么是偏序集？
4.简述图的连通度、边连通度、最小度之间的关系。
三、证明题（每小题10分，共20分）
1. A和B是两个集合，证明：(A∪B)c=A c∩B c
2. 证明：3度正则图（每个顶点的度数都是3）的顶点的数目必为偶数。
四、计算题（每小题5分，共20分）
1. 集合X={a,b,c,d,e,f,g,h},X的两个子集是A=｛a,b,c,d｝,B={e,f,g,h}
求：A⋃B,A⋂B,A c,A\B,A∆B
2、一个学校学生总人数为336人，共有数学，物理，化学3门课。
已知参加这3门课的学生人数分别有170,130,120人；同时参加数学、物理两门课的学生有45人；同时参加数学、化学的有20人；同时参加物理、化学的有22人；
问同时参加三门课的学生有多少人？
3. 集合X=｛1, 2, 3, 4, 5｝，Y=｛a, b, c, d, e, f｝，f是X到Y的一个映射，其中：f(1)=b, f(2)=a, f(3)=a, f(4)=c, f(5)=d, A和B分别是X和Y的子集，其中：
A=｛1, 2, 3｝, B={a, c, f}。
求：f(A), f-1(B)
4. 设集合X={a, b, c, d, e, f}, R和S是X上的二元关系，其中：
R={(a, b), (c, d), (e, f)}, S={(b, c), (d, a), (b, a), (f, d)}
求：R︒S和S︒R
1、
（1）举例说明什么是偶图？（2分）
（2）一个图是偶图的充分必要条件是什么？（3分）
（3）已知图G是偶图，写出图G的顶点划分过程。
（5分）
2、
（1）举例说明什么是欧拉图？（2分）
（2）一个图G是欧拉图的充分必要条件是什么？（3分）（3）已知图G是欧拉图，写出求G的欧拉闭迹的过程。
（5分）。