哈工大集合与图论习题
哈尔滨工业大学大二计算机专业集合论与图论试卷及答案 (2)
哈尔滨工业大学集合论与图论计算机学院XX 年秋季一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q ） 5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +） 6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
哈工大集合论习题
第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===4.设{,{}}S φφ=，试求2S？5.设S 恰有n 个元素，证明2S有2n个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立？ （1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\AB C A B C =（3）\()()\A B C A B B = 16．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C ，若AB BC =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A BAB =。
d)对任何集合A,B ，222A B AB =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A BA B =。
f)对任何集合A,B ，222A BAB∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R ST R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()RS T RS R T ∆⊇∆ 18．设A 为任一集，{}IB ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()IIA B A B ξξξξ∈∈=19．填空：设A,B 是两个集合。
答案08秋季集合论与图论试题A
本试卷满分90分(计算机科学与技术学院07级)10分，每小题各1 分)B ，则A 等于什么？2. 设X 为集合，R 为X 上的偏序关系，计算U R ，等于什么?i 1(R )3. 把置换123456789分解成循环置换的乘积。
436987251((149) (2367) (58))4. 什么是无穷集合？(凡能与自身的一个真子集对等的集称为无穷集合)5 .设T 是一棵树，p 2，贝U p 个顶点的树T 至多有多少个割点？(p -2 )6. 设D 是一个有p 个顶点q 条弧的有向图，若D 是连通的，则q 至 少是多大？ ( p -17. 设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的无向图共有多少个？8.设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的有向图共有多少个？ 2p(p1))哈工大2008年秋季学期注 意 行 为 规 范一、填空(本题满分1.设A,B 是集合，若A B遵 守 考场纪 律(2 P (P 1)/29.每个有3个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2,则该图至少有多少个圈？（ 3 ）10.设T是一个正则二元树，它有n。
个叶子，则T有多少条弧？（2（n0-1 ））二、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）1.设A,B是两个集合，则A B且A B不可能同时成立。
（错）2.在集合｛1,2, ,10｝上可以定义210个二元运算。
（错）3 . 设f：X Y , 若是可逆的。
（错）是一个集合，则上的自反和反自反的二元关系个数相同。
（对）5.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。
则不是可数集。
（错）6.设G是一个（p,q）图，若q p，则G中必有圈。
（对）7.若G是一个(p,p)连通图，则G至多有p个生成树。
(对)8.设r 2，G是r正则图且顶点连通度为1，贝U (G) r。
(对)9.把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，则p最大为5。
(错)10.有向图的每一条弧必在某个强支中。
哈工大威海校区2015春集合图论试题A
姓名: 班级: 学号:遵 守 考 试 纪 律 注意 行 为 规 范哈尔滨工业大学（威海）2014 / 2015学年春季学期集合论与图论 试题卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间：105（分钟）本卷面成绩占课程成绩 30 %试卷说明：[1] 卷面总分100分，取卷面成绩的70%计入总分，平时成绩30%。
[2] 填空题请在答题卡内答题，其它处无效。
[3] 答卷时禁止拆开试卷钉，背面即为草稿纸。
一、填空题（每小题2分，共20分）(1) 集合的（）表示方法可能产生悖论。
(2) 映射f左可逆的充分必要条件是：（）。
(3) 设R={(a, b),(c, d),(e, f)}是一个二元关系，则R的逆记为R-1，R-1=（）。
(4) n个顶点的完全图的边的个数是( )。
(5) 一个无向图的边数为20，那么所有顶点的度数和为（）。
(6) 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图,则: q=( )。
(7) 一个图是树当且仅当G是连通的且p=（）。
(8) G是一个p个顶点q条边的最大平面图,则G的每个面都是( )形。
(9) 若G是偶数个顶点的圈，则G是（）色的。
(10) 当顶点数大于2时，树的连通度是（）。
二、简答题(每小题5分，共20分)1.设集合X=｛a,b,c,d,e｝，E={a,b,c}是X的子集。
写出E的特征函数。
2.R=｛（1，b），（2,c），（3,a），（4,d）｝是集合A=｛1，2，3，4｝到集合B=｛a,b,c,d｝的一个二元关系，画出R的关系矩阵和关系图。
3.举例说明什么是偏序关系？什么是偏序集？4.简述图的连通度、边连通度、最小度之间的关系。
三、证明题（每小题10分，共20分）1. A和B是两个集合，证明：(A∪B)c=A c∩B c2. 证明：3度正则图（每个顶点的度数都是3）的顶点的数目必为偶数。
四、计算题（每小题5分，共20分）1. 集合X={a,b,c,d,e,f,g,h},X的两个子集是A=｛a,b,c,d｝,B={e,f,g,h}求：A⋃B,A⋂B,A c,A\B,A∆B2、一个学校学生总人数为336人，共有数学，物理，化学3门课。
集合论与图论试题与参考答案 哈工大本科
哈尔滨工业大学（威海）继续教育学院年春季学期集合与图论本科试题考试形式：开卷答题时间：90 分钟本卷面成绩站课程成绩100 %（所有答案必须写在答题纸上、标清题号）一、填空题(每空2分，计20分)1. 集合{0}的所有子集是______________。
2. 设A={1,2,3,{1,2},{3}}，B={2,{1},{2,3}}，则B- A=__________。
3. 有偏序集(N,≤)，即自然数集N上的小于等于关系，N的子集A={2,3,6,8}的下确界和上确界分别是______、_______。
4. 设A={1,2,3,4,5,6}，R={<1,5>,<2,3>,<2,6>,<3,2>,<3,6>,<5,1>, <6,2>,<6,3>}∪I A，则[1]=_____________，[2]=_______________。
5. n个顶点的有向完全图边数是______，每个顶点的度数是_____。
6. 设图G1=<V1, E1>和G2=<V2, E2>，若____________，则G2是G1的真子图；若____________，则G2是G1的生成子图。
二、简答题(每题 10 分，计 40 分)1. 设A是一个非空集合，问(1)A上是否存在一个既是等价关系又是偏序关系的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出一个实例。
(2) A上是否存在一个既是自反的又是反自反的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出一个实例。
2. 是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平面连通图？请说明理由。
3. 某公司来了9名新员工，工作时间不能互相交谈，为了尽快互相了解，他们决定利用每天吃午饭时间相互交谈，于是，每天吃午饭时他们围在一张圆桌旁坐下，他们是这样安排的，每一次每人的左右邻均与以前的人不同，问这样的安排法能坚持多久？4. 有向图D如图所示，(1) 给出D的邻接矩阵A；(2) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？(3) D中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？三、计算题(每题 10 分，计 20 分)1. 设A ＝{a, b, c, d}，R 是A 上的二元关系，且R ＝{<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
集合论与图论2009f
哈工大 2009 年 秋季学期 集合论与图论试题题号一 二 三 四 五 总分 分数学号 姓名本试卷满分90分-参考答案（计算机科学与技术学院08级）一、填空（本题满分20分，每空各1分）1．设B A ,为集合，若B B A B B A \)()\( =，则B 等于什么？ （B φ= ）2．设X A Y X f ⊆→,:，则))((1A f f -与A 有何关系？ ())((1A f f -A ⊇ )3．给定集合{}12345S =，，，，，找出S 上的等价的关系R ，此关系R 能产生划分{}{}{}{}12345，，，，。
（)}4,5(),5,4(),5,5(),4,4(),3,3(),1,2(),2,1(),2,2(),1,1{(） 4．设,,R I N 分别表示实数，整数，自然数集（包括0），定义映射321,,f f f ， 试确定它们的性质（单射、满射、双射）。
（1）11:,()2x f R R f x →=； （1f 是单射 ）（2）22:,()f I N f x x →= ； （2f 是满射 ）（3）2)(,:33+=→x x f R R f 。
（3f 是双射 ）5．在集合}12,11,,2,1{ =A 上定义的整除关系“|” 是A 上的偏序关系，则 极大元有几个？（ 6个 ）6．设X 是一个集合，X ＝n ，求X 上对称的二元关系有多少？（222n n + ）7．设R 是集合X 上的一个二元关系，则（1）R 是传递的充分必要条件是什么？ （R R ⊆2 ）（2）R 是对称的充分必要条件是什么？ （1-=R R ）8．设G 是有p 个顶点的K -正则偶图，则p 至少是多少？ （2p K ≥ ）9．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药 箱中，则（1）每个药箱里有多少种药？ （ 1-n ）（2）n 个药箱里共有多少种药？ （ 2/)1(-n n ）10. 设G 是无向图，有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，则G 至少有多少个顶点？ （ 9 ）11．设T 是有p )3(≥p 个顶点的无向树且T 的最大度为)(T ∆，则（1）)(T ∆的范围为多少？ （1)(2-≤∆≤p T ）（2）若2)(=∆T ，则T 中最长路的长度为多少？ （ 1-p ）12．设G 是有8个顶点的极大平面图，则G 的面数f 为多少？ （ 12 ）13．设G 是),(q p 图，若1-<p q ，则G 的顶点连通度)(G k 为多少？（ 0 ）14．设T 为任一棵正则二元树，q 为边数，)2(≥t t 为树叶数，则q 等于什么？（)1(2-=t q ）15．设,p q 为正整数，则,p q 为何值时q p K ,为欧拉图？ （,p q 为偶数）二、简答下列各题（本题满分10分）1．设C B A ,,是三个任意集合，且)()(C B A C B A =，则A 与C 应满足什么关系？说明理由。
哈工大离散数学期末
《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
计算从X 到Y 的映射的个数。
（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。
（答案： ）3.设X 为集合且X n =。
计算X 到X 的双射的个数。
（答案： ）4.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。
（答案： ）5.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个二元运算。
（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集无向图的个数。
（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的有向图的个数。
（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的比赛图的个数。
（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。
请找出正确的答案并将其号码添在括号中。
11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。
（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。
集合论、图论重要习题100
集合论、图论重要习题100例：1、设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)?n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,?n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}?{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。
一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。
（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。
（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。
（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。
（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。
（）6．欧拉图中没有割点。
（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。
（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。
（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。
（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。
（）二、（20分，每小题2分）计算题。
对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。
（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。
（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。
（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。
D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。
确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。
已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。
哈工大集合论习题课-第五章 图的基本概念习题课(学生)
第五章 图的基本概念习 题 课 11. 画出具有 6、8、10、…、2n 个顶点的三次图；是否有7个顶点的三次图？2. 无向图G 有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的度数均为2，求G 的顶点数p 。
解：设图的顶点为p ，根据握手定理：1deg()2pi i v q ==∑，有212)12(2312⨯=-⨯+⨯p ，得15302==p p ，。
3. 下列各无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点的度为2；（2）21条边，3个4度顶点，其余的都为3度数顶点；（3）24条边，各顶点的度数相同。
解： 设图的顶点为p ，根据握手定理：（1）1deg()2p i i v q ==∑，即2221632p q ==⨯=；所以16p =，即有16个顶点。
（2）1deg()2p i i v q ==∑，即433(3)222142p q ⨯+⨯-==⨯=，所以13p =。
（3）各点的度数为k ，则1deg()2i pi v q ==∑，即222448k p q ⨯==⨯=，于是① 若1k =，48p =； ② 若2k =，24p =；③ 若3k =，16p =； ④ 若4k =，12p =；⑤ 若6k =，8p =；⑥ 若8k =，16p =； ⑦ 若12k =，4p =；⑧ 若16k =，3p =； ⑨ 若24k =，2p =； ⑩ 若48k =，1p =。
4．设图G 中9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。
证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证：由握手定理的推论可知，G 中5度顶点数只能是0，2，6，8五种情况，此时6度顶点数分别为9，7，5，3，1个。
以上五种情况都满足至少5个6度顶点或至少6个5度顶点的情况。
5．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多少种药？[就是求一个完全图n K 的边数(1)(2)/2q p p =--g ]6.设G 是有p 个顶点，q 条边的无向图，各顶点的度数均为3。
图论的例题
无论起点、终点是那个顶点，长度为2的 初级回路均是同构的，长度为5的初级回路也 均是同构的，所以在D2中存在两种非同构的 初级回路。
集合与图论
1.16
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
7.写出G2的关联矩阵？
a e1 b c e3 e4 e2
1 (G2) d 1 ,
( D2 ), ( D2 )
a b
分别是多少？
b
a
e
c
c
(G2) d
d (D2)
e
集合与图论
1.9
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
(G2 ) 4, , (G2 ) 0, ( D2 ) 3, ( D2 ) 2, ( D2 ) max{d (a), d (b), d (c), d (d ), d (e)} max{ ,2,1,1,1} 2. 1
李东 副教授
a
a a
b
简单图
c (G1)
e
b
e
b
e c d (G3)
d
c
(G2) d
b
a b a a b d (D2) e d e (D3)
c (D1)
d
e
c
c
简单图
简单图
集合与图论
1.5
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
a
a a
b
e
b
e
b
e c d (G3)
c (G1) b a
d
c
(G2) d
答：只有(a)能构成无向简单图的度数列。
集合与图论
1.21
哈尔滨工业大学软件学院
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G 是一个p(p ≥3)个顶点的图。
哈工大集合与图论习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
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集合与图论习题
第一章习题
．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).
．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).
．画出具有个、个、个顶点地三次图.
．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).
．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.
．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？
．证明：一个连通地(，)图中≥.
．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.
．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.
．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.
．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.
．设是一个(，)图，证明：
()≥，则中有回路；
()若≥，则包含两个边不重地回路.
．证明：若图不是连通图，则是连通图.
．设是个(，)图，试证：
()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )
() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )
．证明：每一个自补图有或个顶点.
．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥.
.给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有
≥
．试求中不同地哈密顿回路地个数.
．试证：图四中地图不是哈密顿图.
．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？
．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？
．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.
．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.
．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.
．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.
．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
()试将中国邮路问题用图论述语描述出来.
()中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系.
第三章习题
．分别画出具有、、个顶点地所有树(同构地只算一个).
．证明：每个非平凡树是偶图.
．设是一棵树且Δ()≥，证明：中至少有个度为地顶点.
．令是一个有个顶点，个支地森林，证明：有条边.
．设是一个个顶点地树.证明：若图地最小度δ()≥，则有一个同构于地子图.
．一棵树有个度为地顶点，个度为地顶点，…，个度为地顶点，则有多少个度为地顶点？
.设是一个连通图.试证：地子图是地某个生成树地子图，当且仅当
没有回路.
．证明：连通图地任一条边必是它地某个生成树地一条边.
．设是一个边带权连通图，地每条边均在地某个回路上.试证：若地边地权大于地任一其他边地权，则不在地任一最小生成树中.DXDiT。
. 设(，，)是一个边带权连通图，对任意∈，()≥.试证：地一个生成树是地最小生成树，当且仅当时地任一与地距离为地生成树′′满足条件：在中而不在′′中地边地权()不大于在′′中而不在中地边′地权(′).RTCrp。
.某镇有人，每天他们中地每个人把昨天听到地消息告诉他认识地人.已知任何
消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道.试证：可选出个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经天就会为全镇居民知道.5PCzV。
个顶点地图中，最多有多少个割点？
．证明：恰有两个顶点不是割点地连通图是一条路.
．证明：有一座桥地三次图中至少有个顶点.
．设是图地一个割点，证明不是地补图地割点.
．设是图地一个顶点.证明：是地割点当且仅当有邻接地两个不同地顶点和，使得在与间地每一条路上.
.割点地连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥地连通图是否
一定不欧拉图和哈密顿图.
是连通图地一个回路，和是上地两条边.证明：有个割集使得与
恰好是与地公共边.
第四章习题
．设是一个有个顶点地图，δ()≥(())，试证：是连通地.
．若(，)图是边连通地，试证：≥.
．设是边连通地，>，′是地条边地集合.证明：′地支数小于或等于.
．构造一个(，)图使得δ()[]，λ()<δ().
．设>.构造一个连通图，以及地个顶点之集′，使得′地支数大于.
．是一个三次正则图，试证：χ()λ().
．设≥，是正则图.证明：λ()≥[].
．构造一个图，使得χ()，λ()，δ().
．证明：图是边连通地当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路.
．设(，)是边连通图，和是地子集，≥，≥且∩Φ.在中加入两个新地顶点和，与地每个顶点之间联成一条边，与地每个顶点间加一条边，这样得到地图记为′.试证：′是连通地.jLBHr。
. 若是顶点数≥地平面图，试证不是平面图.
设＝{，，，…，}是平面上个顶点地集合，≥，其中任两顶点地距离至少是.证明：中至多有对顶点，其距离为.xHAQX。
．证明：不存在条棱地凸多面体.
. 图地最短回路地长度称为地围长；若中无回路，则定义地围长为无穷大.
(ⅰ)证明：围长为地平面连通图中有
≤()()，≥
(ⅱ)利用(ⅰ )证明图(见图)不是平面图.
.设是一个没有三角形地平面图.应用欧拉公式证明中有一个顶点使得≤.
．设是一个平面图.证明：**同构于当且仅当是连通地.
．证明：若是自对偶地，则.
.设是一个没有三角形地图.应用教学归纲法证明是－可着色地(事实上，可以证明是－可着色地).
.设是一个有个顶点地正则图，证明：()≥().
.试用色定理地证明方法来证明色定理，在哪一点证明会失败呢？
.设是一个(，)图，证明：()≥().
.证明：若地任两个奇数长地回路都有一个公共顶点，则()≤.
.证明：每个哈密顿平面图都是可着色地.
.设是一个立方体哈密顿图，证明：′().
.若是奇数且是正则图，证明：′().
.若是彼德森图，证明：′().
第五章习题
.给出有向图地子图、生成子图、导出子图地定义.
.画出具有三个顶点地所有互不同构地有向图地图解.
.具有个顶点地完全有向图中有多少条弧？
.设是一个有个顶点条弧地有向图.若是连通地，证明
≤≤().
.设是一个有个顶点条弧地强连通地有向图，则至少是多大？
.在有向图中，含有所有顶点和所有弧地有向闭迹称为有向欧拉闭迹.一个有向图若含有有向欧闰闭迹，则称此有向图为有向欧拉图.证明：有向图(，)是有向欧拉图当且仅当是连通地且对任意地∈，总有()().LDAYt。
.证明：有向图是单向连通地当且仅当有一条生成通道.
.设是一个×布尔矩阵，试证：
(∨)()(∨)(∨)∨∨()
其中是×单位矩阵.其次，证明：对任意地正整数，有
(∨)()∨∨()∨…∨()
.设是有向图(，)地邻接矩阵，.试证地可达矩阵为(∨)()
.有向图地图解如图一所示
()写出地邻接矩阵及可达矩阵.
()写出关联矩阵.
.设为图二中地有向图，试求到其余每个顶点地长≤地所有通道地条数.
.已知有向图地邻接矩阵，如何从求地可达矩阵？
.设是一个正则元有序树，它有个叶子，有多有多少条弧？
．令是一个正则元树，它有个内顶点(出度为).若为所有内顶点深度之和，为所有叶顶点深度之和，证明：().Zzz6Z。
.设是一个有个叶子地二元树，出度为地顶点为，试证：.
.具有三个顶点地有序树共有多少个？具有三个顶点地有根树有多个？注意，同构地只算一个.
.一个有序树称为一个树，若每个内顶点有个或个儿子，并且从根顶点到每个叶子地路长均相等.试证：若是一个高为地树，则dvzfv。
()地顶点数满足≤ ≤.
()地叶子数在与之间.
．是一个正则二元树，它有个内顶点(出度为).若为所有内顶点深度之和，为所叶顶点地深度之和，证明：.。