高考数学一轮复习不等式知识点讲解

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2023届高考数学一轮复习讲义：第5讲基本不等式

第5讲基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a ，b 的算术平均数，称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y 有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当时，xy 有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++，则22a b +的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（） A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C D ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．➢考点4 基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（） A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a ba b ++，则22a b +的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++≥33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；(22224m ⎡⎤+≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，令t ＝x ＋1x，则t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立，故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5．故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（） A ．40 B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确；对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21212++=++x x y x x y，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥ CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确；对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u ab b =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________．【答案】 6-3【解析】a ,b 为正实数, 且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=++++2111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331ba ab ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭ (1133≥++=当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-38．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy yx y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥，当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________. 【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭. 因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23. 故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274.➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥，当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝ ()19322222=+++=，当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++. [举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥，所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>，又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】(1)111abc abc abcbc ac ab a b c a b c++=++=++ 222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号．又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a xx >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x ==++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.故选：C. [举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥．故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++，当a b =时，不等式恒成立；当ab时，222aba b a b ab a bλ+≥=+-+12=，a b =时等号成立，a b12=，故12λ≥. 故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AB【解析】因为0x >，0y >，所以222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立．因为()222111m m k m k k -++=--++≤+．若2222y xm m k x y+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <．故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．【答案】1 【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥，解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2【解析】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．【答案】2【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >>0x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max2x ya y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭ 22222x x y x yx y x y ++≤=++max2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2➢考点4 基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+，当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈，当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +=+≥，当且仅当12sin sin x x=，即2sin 2x 时取“=”，则有423a ≤，当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214sin [(2sin )]233sin 3sin 3x x x x +=--+≤--，当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-，综上得，424233a -≤≤所以实数a 的取值范围是4242[,]33-. 故答案为：4242,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×12(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米.故选：C. [举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+23060≥=⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=，两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误．故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+，则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48．即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。

高考数学一轮总复习不等式与参数方程

高考数学一轮总复习不等式与参数方程在高考数学中，不等式和参数方程是一轮总复习中非常重要的部分。

通过掌握这两个知识点，学生们可以更好地应对考试，并在解题过程中展现他们的数学能力。

本文将深入讨论不等式和参数方程的定义、性质以及解题方法，帮助大家更好地理解和掌握这两个知识点。

一、不等式不等式是数学中用于表示数量大小关系的一种表达方式。

不等式中的符号可以是大于、小于、大于等于、小于等于等，利用不等式可以描述两个或多个数的大小关系。

在高考数学中，不等式通常与方程一起出现，要求学生求出不等式的解集或者判断不等式的真假。

1.1 不等式的基本性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解决不等式问题非常有帮助。

首先，两个不等式的加法仍然是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到a+c<b+d。

同样地，两个不等式的乘法也还是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到ac<bd。

此外，如果一个不等式两边都乘以一个正数，那么不等号的方向不变；如果一个不等式两边都乘以一个负数，那么不等号的方向会发生改变。

1.2 不等式的解集求解一个不等式就是要找到该不等式的所有满足条件的解。

对于简单的不等式，可以通过画数轴或者列出数表等方法来找到解集。

但是在高考中，我们经常遇到复杂的不等式，这时就需要运用一些解不等式的常用方法，如区间判断法、辅助方程法和换元法等。

二、参数方程参数方程是一种描述曲线或者曲面上各点的方法。

在参数方程中，自变量通常是一个参数，通过改变参数的值，我们可以得到不同的点。

参数方程在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

在高考数学中，参数方程通常与直线、曲线的性质和方程求解相关，掌握参数方程的概念和应用是解题的关键。

2.1 参数方程的定义参数方程由参数关于未知量的表达式组成。

例如，对于平面上的一条直线，我们可以使用两个参数x和y来表示该直线上的不同点。

通常情况下，我们会使用t作为参数，直线上的点可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。

高三一轮复习数学不等式的性质

不等式的性质一、学习目标:1．会比较两个数(式)的大小．2．掌握不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用二、重难点：重点：理解不等式的性质难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题三、知识梳理知识点一两个实数比较大小的方法方法关系作差法作商法a>b a－b>0>1(a，b>0)或<1(a，b<0)a＝b a－b＝0＝1(b≠0)a0)或>1(a，b<0)自查自测1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为()A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定2．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为．3．比较两数的大小：7+1014.知识点二不等式的性质自查自测1．已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A．＜1B．ax＞ay C．x＋a＞y＋a D．x2＞y22．下列命题中，是真命题的是()A．如果ac>bc，那么a>b B．如果ac2>bc2，那么a>b C．如果>，那么a>b D．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d 3．已知－1<a+b<2，－3<a－b<5，则3a－b的取值范围是．知识点三一元二次不等式的解法有两个相异的实数自查自测1.设x Rx x+-<成立的x的取值范围为∈，使不等式23202.不等式2340--+>的解集为x x【常用结论】1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1＜1．(2)a＜0＜b⇒1＜1．(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞．(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1＜1＜12.分数性质若a>b>0,m>0,则(1)真分数性质:<r r;>K K(b-m>0).(2)假分数性质:>r r;<K K(b-m>0).3.分式不等式的解法(1)op op>0⇔opop>0(2)op op≥0⇔opop>0op≠0(3)op op>o≠0)⇔op op−>0自查自测1.不等式2301xx ->-的解集为()A ．3(,4-∞B ．2(,3-∞C ．2(,)(1,)3-∞+∞ D ．2(,1)32.下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是()A ．2(8)(23)2x x x ++++四、典例分析考点一不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1．(多选题)已知实数a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．cb 2<ab 22．(多选题)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是()A ．a 12<b12B ．1>1C ．r2r2>D ．ac 3<bc 33．(2024·潍坊调研)()A ．若1＜1，则a 3＞b 3B 2a ＜2bC ．若ln a 2＞ln b 2，则2|a |＞2|b |D ．若tan a ＞tan b ，则a ＞b 4.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是()A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若a>b，则ac 2>bc2C.若a>b>0，则(a −b)c>0D.若a>b，则a +c>b +c考向2利用不等式的性质求取值范围5．若－2<a −2x ≤−2或x ≥− D.x −2≤x2.已知关于x 的不等式B−1r1>0的解集是x <−1或x >a =考点三含参及综合类问题1.已知关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≥0(a∈R).（1）若不等式的解集为{x|x≤−1或x≥2}，求a的值；（2）若不等式的解集只包含一个元素，求a的值和该不等式的解集.2.已知关于x的不等式x2−ax+b<0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式x2−bx+a<0的解集为()A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<5}C.{x|2<x<5}D.{x|1<x<3}3.设a∈R，解关于x的不等式2x2+ax+2>0.4.若关于x的不等式(m−1)x2+(m−1)x+2>0的解集为R，求实数m的取值范围随堂检测1.若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥12.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).3.若对于−2≤m≤2，不等式mx>−mx−1<−m+5恒成则实数x是.4.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(）A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤-1}D．{a|－4≤a≤1}5.函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是.若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是.。

2023年高考数学一轮复习讲义——等式性质与不等式性质

§1.3 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2．若a >b >0，m >0⇒b a a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则b >a .( × ) (3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b，则b <a .( × ) 教材改编题1．(多选)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．1122a b ＜B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 3<bc 3 答案 ABC解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以1122a b ＜，A 正确；因为y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2(b －a )(b ＋2)b >0，所以a ＋2b ＋2>a b，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3qD ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a)ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)(2022·菏泽模拟)已知a ，b ，c ∈(0,3)，且a 5＝5a ，b 4＝4b ，c 3＝3c ，下列不等式正确的是() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 C解析 a 5＝5a ，即ln a a ＝ln 55，b 4＝4b ，即ln b b ＝ln 44，c 3＝3c ，即ln c c ＝ln 33，设f (x )＝ln x x ，则f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，f ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )＝ln x x 单调递减，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )＝ln x x单调递增，因为a ，b ，c ∈(0,3)，f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，所以a ，b ，c ∈(0，e)，因为f (5)<f (4)<f (3)，所以f (a )<f (b )<f (c )，a N解析方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝(e 2 021＋1)(e 2 023＋1)－(e 2 022＋1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021(e －1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e (e x ＋1＋1)＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b， ∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0， ∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝⎝⎛⎭⎫e ππ－e ，又0<e π<1,0<π－e<1， ∴⎝⎛⎭⎫e ππ－e <1，即e π·πe e e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ. 题型二不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a a >b >0，则a c －a b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c答案 D解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题．(2)(多选)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＋b <1abB ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析由1a <1b<0，可知b <a <0. A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab ，即A 正确； B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故C 正确； D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>b c 2＋1答案 D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 20，又a >b ，所以ac 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a ＋b >0，即a >－b >0，则a 2>(－b )2，a 2>b 2，C 正确；由a >－b >0得a >|b |，D 不正确．(2)(多选)设a >b >1>c >0，下列四个结论正确的是( )A.1ac >1bcB ．ba c >ab cC ．(1－c )a <(1－c )bD ．log b (a ＋c )>log a (b ＋c )答案 CD解析由题意知，a >b >1>c >0，所以对于A ，ac >bc >0，故1ac <1bc ，所以A 错误；对于B ，取a ＝3，b ＝2，c ＝12，则ba c ＝23，ab c ＝32，所以ba c <ab c ，故B 错误；对于C ，因为0<1－c <1，且a >b ，所以(1－c )a <(1－c )b ，故C 正确；对于D ，a ＋c >b ＋c >1，所以log b (a ＋c )>log b (b ＋c )>log a (b ＋c )，故D 正确．题型三不等式性质的综合应用例3 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是______，3x ＋2y 的取值范围是______．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. (2)已知3<a <8,40，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12答案 A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a >－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得ca <－1，所以－3<c a <－1.(2)已知1<a 13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．(2022·长春模拟)已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >N B ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,31，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．(2022·杭州模拟)若⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1，则下列各式中一定成立的是( )A ．ln(a －b )>0B ．2b －a >1C ．－1a >－1bD ．log c a >log c b (c >0且c ≠1)解析指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上单调递减，由⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1可知，a >b >0.所以1a <1b ，则－1a >－1b ，故C 正确；a －b >0，但不一定有a －b >1，则不一定有ln(a －b )>0，故A 错误；函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，b －a <0.则2b －a <20＝1，故B 错误；当0<c <1时，函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，则log c a <log c b ，故D 错误．6．(多选)(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式不成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 ACD解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．(多选)设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的有() A ．c 2＜cd B ．a －c ＜b －dC ．ac ＜bd D.c a －d b ＞0解析因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b，故c a －d b＞0，故选项D 正确． 8．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 正确；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·烟台模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．(2022·上海模拟)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．答案 27解析 x 3y 4＝x 4y 2·1xy 2＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2≤81×13＝27，当且仅当x 2y ＝9，xy 2＝3，即x ＝3，y ＝1时等号成立．13．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式成立的是( )A ．c <bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a <c 答案 BD解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数． ①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

高考数学一轮复习知识点大全-不等式

特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立，注意0n 不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，并且一定要用到假设，尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化；（3）两个步骤中，第一步是基础，第二步是递推.在第二步证明中，关键是利用假设，推出结论.第七部分不等式1. 不等式的基本性质：（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d ><，则a c b d ->-；注意：异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.（2）左右同正不等式：① 同向的不等式可以相乘，但不能相除.若0,0a b c d >>>>，则ac bd >.② 两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>.（4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号：若0ab >，a b >，则11a b <. 若0ab <，a b >，则11a b>. 22a b ac bc >⇔> 是否正确？（否）注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.2. 比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.（2）作商：常用于分数指数幂的代数式.（3）分析法.（4）利用函数的单调性.（5）寻找中间量或放缩法.（6）图象法.3. 均值不等式：若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）.基本变形：若,a b R +∈，则222a b ab +≥，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，222a b ab +≤. 运用均值不等式时，不要忘记检查条件（,0a b >），最后一定不要忘记注明等号成立的条件.4. 证明不等式的方法：（1）比较法：作差比较（作商）：B A B A ≤⇔≤-0注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）综合法：由因导果.（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的，常用放缩的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12.n n n >+)1(②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：2)1()1(++<+n n n n 利用常用结论：k kk k k 21111<++=-+. k k k k k111)1(112--=-< . 111)1(112+-=+>k k k k k .)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k . 5. 不等式的解法：（1）一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，要注意讨论0,0a a ><及0a =的情况.（2）一元二次不等式的解集（联系图象）：设0a >，12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则20ax bx c ++>的解集为()()12,,x x -∞+∞. 20ax bx c ++<的解集为()12,x x .当0∆<和0∆=时的解集你会正确表示吗？（3）对于方程20ax bx c ++=有实数解的问题:首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0a ≠，才考虑判别式.（4）一元二次方程根的分布理论：方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？（考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理）（答案依次为：0()02f k b k a ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪⎪->⎩，0()0()02f m f n b m n a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，()0f k <）.根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论.（5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关.（6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法（7）简单的分式不等式：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.6. 不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合.第八部分直线和圆1、直线方程（1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其y (a>0) O k x 1 x 2 x。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解72---绝对值不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解绝对值不等式考点要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c .知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D解析由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x ≥1时，2x ＋2≥6，得x ≥2；当－3<x <1时，4≥6，此时没有x 满足条件；当x ≤－3时，－2x －2≥6，得x ≤－4. 综上，不等式f (x )≥6的解集为 {x |x ≤－4或x ≥2}．(2)f (x )＝|x －a |＋|x ＋3|≥|(x －a )－(x ＋3)|＝|a ＋3|，当且仅当(x －a )(x ＋3)≤0时，等号成立．所以f (x )min ＝|a ＋3|>－a ，当a <－3时，－a －3>－a ，无解；当a ≥－3时，a ＋3>－a ，解得a >－32，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.教师备选已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )<4的解集；(2)若不等式f (x )－|a ＋1|<0有解，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∵f (x )<4， ∴⎩⎨⎧－2x <4，x ≤－1或⎩⎨⎧2<4，－1<x ≤1或⎩⎨⎧2x <4，x >1，∴－2<x ≤－1或－1<x ≤1或1<x <2，故不等式的解集为(－2,2)． (2)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴f (x )min ＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号， ∵f (x )－|a ＋1|<0有解， ∴|a ＋1|>f (x )min ＝2， ∴|a ＋1|>2，∴a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1，故a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象； (2)若f (x ＋a )≥g (x )，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x <－32，4x ＋2，－32≤x <12，4，x ≥12，作出图象，如图所示．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，函数f (x ＋a )的图象即为将函数f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位长度，当a ≤0时，即为将函数f (x )的图象向右平移|a |个单位长度得到f (x ＋a )的图象，此时函数f (x ＋a )的图象始终有部分图象位于函数g (x )的图象下方，无法满足f (x ＋a )≥g (x )，则要满足f (x ＋a )≥g (x )，需a >0，f (x ＋a )＝|x ＋a －2|，当函数y ＝|x ＋a －2|的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，4时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋a －2＝4，解得a ＝112或a ＝－52(舍去)，根据图象可得若f (x ＋a )≥g (x )，则a ≥112，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞.题型二利用绝对值不等式的性质求最值例2已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤6；(2)若不等式f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解，求实数a 的取值范围．解(1)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－12，x ＋5，－12≤x ≤4，3x －3，x >4，当x <－12时，－3x ＋3≤6，即x ≥－1，∴－1≤x <－12；当－12≤x ≤4时，x ＋5≤6，即x ≤1，∴－12≤x ≤1；当x >4时，3x －3≤6，即x ≤3(舍去)．综上得f (x )≤6的解集为[－1,1]．(2)f (x )＋|x －4|＝|2x ＋1|＋|2x －8|≥9，⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－12≤x ≤4时取等号 ∵f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解， ∴a 2－8a >9，(a －9)(a ＋1)>0，a <－1或a >9，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．教师备选已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －k |(其中k ≥2)． (1)若k ＝4，求f (x )＋g (x )<9的解集；(2)∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，求实数k 的值．解(1)若k ＝4，则f (x )＋g (x )<9，即|x －3|＋|x －4|<9，即⎩⎨⎧x <3，3－x ＋4－x <9或⎩⎨⎧3≤x ≤4，x －3＋4－x <9或⎩⎨⎧x >4，x －3＋x －4<9，解得－1<x <3或3≤x ≤4或4<x <8， ∴原不等式的解集为{x |－1<x <8}． (2)∵k ≥2，且x ∈[1,2]， ∴x －3<0，x －k ≤0，∴f (x )＝|x －3|＝3－x ，g (x )＝|x －k |＝k －x ，则∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，即∀x ∈[1,2]，x ＋3≥2k 恒成立， ∴4≥2k ，即k ≤2，又k ≥2，∴k ＝2.思维升华求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值．跟踪训练2已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求a 的取值范围．解(1)由题意得|x ＋1|>|2x －1|，所以|x ＋1|2>|2x －1|2，整理可得x 2－2x <0，解得0<x <2，故原不等式的解集为{x |0<x <2}． (2)由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，由g (x )的单调性可知，当x ＝12时，g (x )取得最大值，且最大值为1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．题型三绝对值不等式的综合应用例3设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 教师备选(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围．解(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，令7－2x ≥4，解得x ≤32；当3<x <4时，1≥4，无解；当x ≥4时，令2x －7≥4，解得x ≥112. 因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32或x ≥112. (2)将题目转化为f (x )≥4恒成立，即f (x )min ≥4.因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，所以(a －1)2≥4，即|a －1|≥2.解得a ≥3或a ≤－1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2022·白山联考)已知函数f (x )＝|x －2|－a |x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<x 的解集；(2)当a ＝2时，若关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，求实数m 的取值范围．解(1)由已知不等式|x －2|－|x ＋1|<x ，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x ≥2时，不等式为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x ≥2；当－1<x <2时，不等式为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x <2；当x ≤－1时，不等式为2－x <x －x －1，解得x >3，此时无解．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由题意，函数f (x )＝|x －2|－2|x ＋1|，可得f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋4，x ≤－1，－3x ，－1<x <2，－x －4，x ≥2，f (x )的图象如图．f (－3)＝1，f (－2)＝2，f (－1)＝3，f (0)＝0，因为关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m ＋1<2，所以0≤m <1，故m 的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．解(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎨⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ 1<a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ a >2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a >2，综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .(1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎨⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不符合题意；当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意．综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1,0)．3．已知函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －3|(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求不等式f (x )＋1>0的解集；(2)已知a >0，若f (x )＋3a >2对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解(1)因为a ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <12，3x －4，12≤x ≤3，x ＋2，x >3，所以不等式f (x )＋1>0等价于 ⎩⎨⎧ x <12，－x －2＋1>0或⎩⎨⎧ 12≤x ≤3，3x －4＋1>0或⎩⎨⎧x >3，x ＋2＋1>0，解得x <－1或x >1.所以不等式f (x )＋1>0的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)因为a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －a －3，x <－a 2，3x ＋a －3，－a 2≤x ≤3，x ＋a ＋3，x >3.根据函数的单调性可知函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－3，因为f (x )＋3a >2恒成立，所以－a 2－3＋3a >2，解得a >2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．4．(2022·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x <2；(2)若存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围．解(1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1，解不等式f (x )＋x <2化为|2x ＋2|＋1＋x <2，即|2x ＋2|<1－x ，∴x －1<2x ＋2<1－x (x <1)，解得－3<x <－13，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－13. (2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|，得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b ≤g (x )max ，由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1，∴b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得上式成立，而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝139， ∴b ≤139，即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，139. 5．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数x (x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎨⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0时取等号，因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b 0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<aq10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

高考数学知识点不等式的基本性质详解

高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的调查在高考中从未消逝，以下是不等式的基本性质详解，请参考。

不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟习的知识背景，来看法作差法比大小的实际基础是不等式的性质。

作差后，为判别差的符号，需求分解因式，以便运用实数运算的符号法那么。

2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两局部。

不等式基本性质有：
(1)abb
(2)acac(传递性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ada+cb+d。

(2)a0,c0acbd。

(3)a0anbn(nN,n1)。

(4)a0N,n1)。

应留意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。

普通地，证明不等式就是从条件动身实施一系列的推出变换。

解不等式就是实施一系列的等价变换。

因此，要正确了解和运用不等式性质。

②关于不等式的性质的调查，主要有以下三类效果：
(1)依据给定的不等式条件，应用不等式的性质，判别不等式能否成立。

(2)应用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判别实数值的大小。

(3)应用不等式的性质，判别不等式变换中条件与结论间的充沛或必要关系。

以上为大家分享的不等式的基本性质详解希望大家可以熟练运用。

高考数学一轮复习讲义第24课时基本不等式理

课题：基本不等式考纲要求：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 教材复习1.两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）；三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立）2.几个重要的不等式：① ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b + ②abc ≤33a b c ++⎛⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +211a b+3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

基本知识方法1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）. 典例分析．问题1．求下列函数的最值：()113y x x =+-()3x <；()2121y x x =+-()1x >；()3241y x x=+()0x >；()323y x x =+()0x >；()4 ()21y x x =-()01x <<；()5 ()21y x x =-()01x <<()6y = ()7 已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y+=，求x y +的最小值问题2．已知0x >，0y >，且1x y +=，求.问题3．求最小值()1231()1x x f x x -+=+()1x >-；()2 223sin sin y x x =+问题4．()1设0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则.A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )21x y +≤.D )21x y +≥()2已知x ≥0，y ≥0，且2212y x +=，求证：()3若0a b >>, 求216()a b a b +-的最小值课后作业：1.已知1>a 那么11-+a a 的最小值是 .A 12-a a .B 15+ .C 3 .D 22.已知：0a b >>，求证：()13a a b b +≥-3.若103x <<，则()213x x -的最大值是此时，x =4.已知30x -<<，则y =的最小值为 .A 92-.B 92.C 32-.D 125.已知实数y x ,满足+2x ,12=y 则()()xy xy -+11的最小值和最大值分别为.A21，1 .B 43，1 .C 21，43.D 1，无最大值6.求2212sin cos y αα=+0,2πα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值7.当2n >时，求证：log (1)log (1)1n n n n -+<．8.已知正数a 、b 满足13=++b a ab ,则ab 的最大值是9.下列函数中，y 的最小值为4的是.A 4y xx =+.B 2y =.C 4x x y e e -=+ .D 4sin (0)sin y x x x π=+<<10.若0,0a b >>，且21a b +=，则224s a b =-的最大值是.A 212- .B 12- .C 212+ .D 12+11.（08内江二中）已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则yx 311+的最小值是 .A 2 .B 22 .C 4.D 3212.若a 是正实数，222310a b +=，则的最大值是13.≤,x y 都成立，试问k 的最小值是14.（07届高三西安市第一次质检）02πθ<<，由不等式1t a nt a n θθ+≥2，222tan tan θθ+22tan tan 222tan θθθ=++≥3，333tan tan θθ+ 33tan tan tan 3333tan θθθθ=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：tan tan na θθ+≥1n +()*n N ∈，则a = 15.已知：x 、y R +∈，280x y xy +-=，求x y +的最小值走向高考：16.(04湖南)设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 .A 4)11)((≥++ba b a .B 2332ab b a ≥+.C b a b a 22222+≥++ .D b a b a -≥-||17.（05重庆）若,x y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 .A 3 .B 27.C 4.D 2918.(05福建文)下列结论正确的是.A 当0x >且1x ≠时，则1lg 2lg x x+≥ .B 当0x >2≥.C 当x ≥2时，1x x +的最小值为2 .D 当02x <≤时，1x x-无最大值 19.（06陕西）已知不等式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥9对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 .A 2 .B 4 .C 6 .D 820.（06重庆文）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是.A .B 3 .C 2 .D21.（06重庆）若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-,则2a b c ++的最小值为.A 1 .B 1 .C 2 .D 222.（07山东）函数log (3)1a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为23.（07上海）若x y R ∈+，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是24.（06上海）若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k 4+的解集是M ，则对任意实常数k ，总有 .A 2M ∈，0M ∈ .B 2M ∉，0M ∉.C 2M ∈，0M ∉ .D 2M ∉，0M ∈25.（2013陕西）已知,,,a b m n 均为正数, 且1a b +=, 2mn =，则()()am bn bm an ++的最小值为26.（09重庆）已知0,0a b >>，则11a b++.A 2.B .C 4.D 527.（2011重庆）已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是 .A 72.B 4 .C 92 .D 528.（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为 .A 0 .B 1 .C 94.D 329.（2011湖南）设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为30.（06上海）已知函数y ＝ax x+有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．()1如果函数y ＝2bx x+（0x >）的值域为[)6,+∞，求b 的值；()2研究函数y ＝22cx x +（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由；()3对函数y ＝a x x +和y ＝22ax x +（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．。

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2

＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1

＝
，
2

��
2
＝，

即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则

的最大值为

1 .
⁠
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于

＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4

高考数学一轮复习考点知识专题讲解47---基本不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式考点要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是()A ．1B ．2C ．2 2 D．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x ) ≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b ≤ab . 答案②③解析当b a为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为() A.94 B ．4 C.92D ．9 答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0 B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23， ∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3 ≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案－1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1，当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1. 命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b的最小值是() A ．1 B ．2 C.94 D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋52＝94，当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1 ＝x ＋1＋4x ＋1－2 ≥2(x ＋1)·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy 的最大值．解∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0，即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________．答案52解析∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52，当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________．答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )， OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt△OCF 中，由勾股定理可得， CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)． (2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2ab D ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是() A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2 答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或ba 都是正数，根据基本不等式求最值， ab ＋b a≥2a b ×ba＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形 (1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22.(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：a2＋b22>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴a2＋b22>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，∴由p可推出q，当a<0，b<0时，命题q成立，如a＝－1，b＝－3时，a2＋b22＝5>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a＋bB.1a＋1bC.2abD.2a2＋b2答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b>2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab ， 2a 2＋b 2<22ab＝1ab<2ab，∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)． 2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9， ∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”， ∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．2 B.12C．4 D.14答案A解析4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，平方得ab≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立， ∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13 答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4 C ．7 D ．3＋17 答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3时等号成立．5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是()A ．f (x )有最大值114 B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B 解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立． 6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则()A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D 解析f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x－1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a，b为正实数，则“aba＋b≤2”是“ab≤16”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a，b为正实数，∴a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，若ab≤16，可得aba＋b≤ab2ab＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a＝2，b＝10，此时aba＋b≤2，但ab＝20>16，故充分性不成立，因此“aba＋b≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①② B．①③C．①②④ D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ×ab＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误； ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴0<a <1， ∵a ＋1a≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确．9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案2 解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________．答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4yx ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________．答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋ab 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233.14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22；②2aba ＋b >ab ；③a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确；因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号，令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________．答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。

高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义理(含解析)-

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则b a b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立，当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型一不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________．答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解本题采用分类讨论思想．原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型三二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

高考数学(不等式)第一轮复习

高考数学（不等式）第一轮复习资料知识小结不等式的性质1．两个实数比较大小的依据：0a b -> ⇔ a b > 0a b -= ⇔ a b = 0a b -< ⇔ a b <2．反对称性：如果a b >，那么b a <；如果a b <，则b a >． 3．传递性：如果a b >，且b c >，那么a c >． 4．加法性质：如果a b >，那么a c b c +>+．推论1：如果a b c +>，那么a c b >-．推论2：如果a b >，c d >，那么a c b d +>+．推论3：如果a b >，c d >，那么a d b c ->-． 5．乘法性质：如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <．推论1：如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >．推论2：如果0a b >>，那么n n a b >(n N ∈，且1)n >．推论3：如果a b >，0ab >，那么11a b<． *推论4：如果0a b >>，0c d >>，那么a bd c>．6．开方性质：如果0a b >>>(n N ∈，且1)n >．7．222a b ab +≥(,)a b R ∈；a b +≥(,0)a b >．注：⑴ 当且仅当a b =时取到等号；⑵ 222a b ab +≤；2()2a b ab +≤．8．绝对值不等式的性质：||||||||||-≤±≤+．a b a b a b不等式的解法：1．一元一次不等式：2、一元二次不等式：3.高次不等式：穿线法：例如：23()(3)(1)(1)(2)(5)0f x x x x x x =++--->第1步：将()f x 的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘积，即： 0)5()2)(1()1)(3(32<---++x x x x x第2步：将方程()0f x =的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲线，且奇穿过，偶回头。

高考数学复习《不等式》知识点

不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不等式知识要点1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -==-≥++--p p1)n ==≥pp（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等。

2023年新高考数学一轮复习2-1 不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)解析版

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．4．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．5．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．6.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．（二）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．*2．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0. f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 3．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．（三）绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)．2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．（四）几条常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b. (2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则(1)b a b －m a －m(b －m >0)． (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．【常考题型剖析】题型一用不等式表示不等关系例1. （2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______【答案】20【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．题型二：比较数或式子的大小例2.（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a >>>，则下列结论正确的是（） A ．1a b b a -⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．log log a a b ba b < C ．log log a b b a a b < D ．11b a a b-<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】因为10a b a>>>，所以1a >，对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a b b b a a -<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误；对于B ：1a b>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，又a b >，所以log log a a b b a b>，故B 错误；对于C ：log log log log log a b a a a b a b b b b a b a ab -=+=，因为1a b>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，所以log log a b b a a b >，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a b ->，1ab >，所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D例3.比较大小：(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小；(2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．(2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a. 【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型三：不等式性质及其应用例4.（2022·上海·高考真题）已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ad bc >D ．ac bd >【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】3210>>>，但3021+=+，3021⨯<⨯，A 、C 错a b c d >>>，,a c b d ∴>>，所以a c b d +>+.B 正确.30212>>->-，但()()30122⨯-<⨯-，D 错.故选:B.例5.（2014·四川·高考真题（文））若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c <．故选D 例6.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数a ，b 满足43a a b <，则下列选项中一定成立的有（） A ．22a b >或0b a >>，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为43a a b <，所以3()0a a b -<，所以300a a b ⎧<⎨->⎩或300a ab ⎧>⎨-<⎩，所以0a b >>或0b a >>，所以22b a >，故A 正确；若0a b >>，则33a b >，故B 错误；若0a b >>，则0a b ->，所以1a b e ->，故C 错误；因为0a b >>或0b a >>，所以01a b <<，所以ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．题型四：不等式的解法例7．（2020·全国·高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为 . 【答案】.【解析】令，则，(][),32,-∞-⋃+∞()12f x x x =-++()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为. 例9．（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3- 【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-．例10.（2022·上海·高考真题）不等式10x x-<的解集为_____________.【答案】{}01x x << 【解析】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】10100x x x x -<⎧-<⇒⎨>⎩或100x x ->⎧⎨<⎩，解第一个不等式组，得01x <<，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为：{}01x x <<【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-⋃+∞(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．题型五：绝对值不等式的应用例11.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知,x y R ∈，则“1x <且2y <”是“3x y +<”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由3x y +<1,2x y <<可以举反例【详解】解：充分性：若1,2x y <<，则3x y x y +≤+<，充分性得证；必要性：若3x y +<，取2x =，0.5y =满足条件，但不能得出1,2x y <<，故为非必要条件；综上所述，“1,2x y <<”是“3x y +<”的充分不必要条件，故选：A ．例12．（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（） A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤ C ．1,3a b ≥≥ D ．1,3a b ≥≤【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤，故选：D ．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.。