中考数学 平行四边形 培优易错试卷练习(含答案)附答案

∴ AD⊥BC，
∴ EF⊥AP，
∵ EG∥ AP，
∴ EF⊥EG，
∴ 平行四边形 EGHF 是矩形；
（2）∵ PE 是△ APB 的中线，
∴ △ APE 与△ BPE 的底 AE＝BE，又等高，
∴ S△ APE＝S△ BPE， ∵ AP 是△ AEF 的中线，
∴ △ APE 与△ APF 的底 EP＝FP，又等高，
②如图②中，由△ ADB≌ △ AOB，得到∠ BAD=∠ BAO，
又在矩形 AOBC 中，OA∥ BC，
∴ ∠ CBA=∠ OAB，
∴ ∠ BAD=∠ CBA，
∴ BH=AH，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，
在 Rt△ AHC 中，∵ AH2=HC2+AC2，
∴ m2=32+（5-m）2，
S△ PGH= 1 S△ AEF=S△ APF，即可得出结果． 2
【详解】
（1）证明：∵ E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，
∴ EG∥ AP，EF∥ BC，EF＝ 1 BC，GH∥ BC，GH＝ 1 BC，
2
2
∴ EF∥ GH，EF＝GH，
∴ 四边形 EGHF 是平行四边形，
∵ AB＝AC，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0，0），点 A（5，0），点 B（0， 3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别 为 D，E，F． （1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H． ①求证△ ADB≌ △ AOB； ②求点 H 的坐标． （3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△ KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结 果即可）．
∴ AE＝BE， ∴ DE 是 Rt△ ADB 斜边上的中线， ∴ DE＝AE＝BE， ∵ AE＝BD， ∴ DE＝BD＝BE， ∴ △ DBE 是等边三角形， ∴ ∠ EDB＝∠ DBE＝60°， ∵ AB∥ DC， ∴ ∠ DBC＝∠ DBE＝60°， ∴ ∠ EDF＝120°． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用 定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度
考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.
3．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF 为正三角形，E、F 在菱形的边 BC，CD 上． （1）证明：BE=CF． （2）当点 E，F 分别在边 BC，CD 上移动时（△ AEF 保持为正三角形），请探究四边形 AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． （3）在（2）的情况下，请探究△ CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如 果变化，求出其最大值．
=
=
=； （3）解：由“垂线段最短”可知， 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短． 故△ AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小， 又 S△ CEF=S 四边形 AECF﹣S△ AEF，则△ CEF 的面积就会最大． 由（2）得，S△ CEF=S 四边形 AECF﹣S△ AEF
=﹣
=．
点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全 等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ ABE≌ △ ACF 是解题 的关键．
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD⊥DB，垂足为点 D，将平行四边形 ABCD 折叠，使点 B 落在点 D 的位置，点 C 落在点 G 的位置，折痕为 EF，EF 交对角线 BD 于点 P． （1）连结 CG，请判断四边形 DBCG 的形状，并说明理由； （2）若 AE＝BD，求∠ EDF 的度数．
2
2
（5+ 34 ）= 30 3 34 ．
2
4
综上所述， 30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决
问题．
2．图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图 1 中画出等腰直角三角形 MON，使点 N 在格点上，且∠ MON=90°； （2）在图 2 中以格点为顶点画一个正方形 ABCD，使正方形 ABCD 面积等于（1）中等腰直 角三角形 MON 面积的 4 倍，并将正方形 ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角 形和一个正方形，且正方形 ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．
，
∴ △ ABE≌ △ ACF．（ASA） ∴ BE=CF． （2）解：由（1）得△ ABE≌ △ ACF， 则 S△ ABE=S△ ACF． 故 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC， 是定值． 作 AH⊥BC 于 H 点， 则 BH=2， S 四边形 AECF=S△ ABC
∴ △ AEF 底边 EF 上的高等于△ ABC 底边 BC 上高的一半，△ PGH 底边 GH 上的高等于△ PBC
底边 BC 上高的一半，
∴ △ PGH 底边 GH 上的高等于△ AEF 底边 EF 上高的一半，
∵ GH＝EF，
∴ S△ PGH＝ 1 S△ AEF＝S△ APF， 2
综上所述，与△ BPE 面积相等的三角形为：△ APE、△ APF、△ CPF、△ PGH．
在 Rt△ ADC 中，CD= AD2 AC2 =4，
∴ BD=BC-CD=1， ∴ D（1，3）． （2）①如图②中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到∠ ADE=90°，
∵ 点 D 在线段 BE 上，
∴ ∠ ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又 AB=AB，∠ AOB=90°，
∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB（HL）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（ 17 ，3）；（3） 5
30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD 中求出 CD 即可解决问题；
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2，构建方程求出
（3）当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△ AEF 的面积会随着 AE 的变化 而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 S△ CEF=S 四边形 AECF-S△ AEF，则 △ CEF 的面积就会最大. 试题解析：（1）证明：连接 AC， ∵ ∠ 1+∠ 2=60°，∠ 3+∠ 2=60°， ∴ ∠ 1=∠ 3， ∵ ∠ BAD=120°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=60° ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD， ∴ △ ABC、△ ACD 为等边三角形 ∴ ∠ 4=60°，AC=AB， ∴ 在△ ABE 和△ ACF 中，
【答案】（1）四边形 BCGD 是矩形，理由详见解析；（2）∠ EDF＝120°． 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可； （2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可． 【详解】 解：（1）四边形 BCGD 是矩形，理由如下， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
【分析】
（1）由三角形中位线定理得出 EG∥ AP，EF∥ BC，EF= 1 BC，GH∥ BC，GH= 1 BC，推出
2
2
EF∥ GH，EF=GH，证得四边形 EGHF 是平行四边形，证得 EF⊥AP，推出 EF⊥EG，即可得出
结论；
（2）由△ APE 与△ BPE 的底 AE=BE，又等高，得出 S△ APE=S△ BPE，由△ APE 与△ APF 的底 EP=FP，又等高，得出 S△ APE=S△ APF，由△ APF 与△ CPF 的底 AF=CF，又等高，得出 S△ APF=S△ CPF，证得△ PGH 底边 GH 上的高等于△ AEF 底边 EF 上高的一半，推出
【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）过点 O 向线段 OM 作垂线，此直线与格点的交点为 N，连接 MN 即可； （2）根据勾股定理画出图形即可． 试题解析：（1）过点 O 向线段 OM 作垂线，此直线与格点的交点为 N，连接 MN，如图 1 所示；
（2）等腰直角三角形 MON 面积是 5，因此正方形面积是 20，如图 2 所示；于是根据勾股 定理画出图 3：
∴ S△ APE＝S△ APF， ∴ S△ APF＝S△ BPE， ∵ PF 是△ APC 的中线，
∴ △ APF 与△ CPF 的底 AF＝ CF，又等高，
∴ S△ APF＝S△ CPF， ∴ S△ CPF＝S△ BPE， ∵ EF∥ GH∥ BC，E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，
5．已知 AD 是△ ABC 的中线 P 是线段 AD 上的一点（不与点 A、D 重合），连接 PB、PC， E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，AD 与 EF 交于点 M；
（1）如图 1，当 AB＝AC 时，求证：四边形 EGHF 是矩形； （2）如图 2，当源自文库 P 与点 M 重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△ BPE 面 积相等的三角形（不包括△ BPE 本身）． 【答案】（1）见解析；（2）△ APE、△ APF、△ CPF、△ PGH． 【解析】
∴
17
m=
，
5
∴ BH= 17 ， 5
∴ H（ 17 ，3）． 5
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，最小值= 1 •DE•DK= 1 ×3×
2
2
（5- 34 ）= 30 3 34 ，
2
4
当点 D 在 BA 的延长线上时，△ D′E′K 的面积最大，最大面积= 1 ×D′E′×KD′= 1 ×3×
m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上
时，△ D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵ A（5，0），B（0，3），
∴ OA=5，OB=3， ∵ 四边形 AOBC 是矩形， ∴ AC=OB=3，OA=BC=5，∠ OBC=∠ C=90°， ∵ 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到， ∴ AD=AO=5，
【答案】(1)见解析；（2） 4 3 ；（3）见解析
【解析】 试题分析：（1）先求证 AB=AC，进而求证△ ABC、△ ACD 为等边三角形，得∠ 4=60°， AC=AB 进而求证△ ABE≌ △ ACF，即可求得 BE=CF； （2）根据△ ABE≌ △ ACF 可得 S△ ABE=S△ ACF，故根据 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC 即可解题；
∴ BC∥ AD，即 BC∥ DG， 由折叠可知，BC＝DG， ∴ 四边形 BCGD 是平行四边形， ∵ AD⊥BD，
∴ ∠ CBD＝90°， ∴ 四边形 BCGD 是矩形； （2）由折叠可知：EF 垂直平分 BD， ∴ BD⊥EF，DP＝BP， ∵ AD⊥BD， ∴ EF∥ AD∥ BC，
∴ AE PD 1 BE BP
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、
三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
6．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，且 CF AE ，连接 DE，DF，EF. FH 平分 EFB 交 BD 于点 H.