历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，

适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=，

令u t -=1，则21t u -=

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2

022d )(3)(x x f x x f , 则=

)(x f ____________.

解: 令⎰=2

0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

解得34=

A 。因此3

10

3)(2-=x x f 。 3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2

2

22

-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故

)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，

即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在

)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即

曲面 22

22

-+=y x z 平行平面

022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且

1≠'f ，则=22d d x

y

________________.

解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x '=''+)(1，即))

(1(1

y f x y '-=

'，因此

二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此

三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1

0d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

解

:

由

A x

x f x =→)

(lim

和函数

)

(x f 连续知，

0)

(lim

lim )(lim )0(0

===→→→x

x f x x f f x x x 因⎰=1

d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10

===⎰f t f g ，

因此，当0≠x 时，⎰=x

u u f x x g 0

d )(1)(，故

当0≠x 时，

这表明)(x g '在0=x 处连续.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰-=---L

x y L

x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5

d d π⎰≥--L

y y x ye y xe .

证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D

x y L

x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-∂∂

-∂∂=---

而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故

知

即 2sin sin 2

5d d π⎰≥--L

y y x ye y xe

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解 设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程

的三个解，则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程

的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而

0=+'+''cy y b y 的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111

x f y y y =-'-''和

知，111

2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即

而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此

七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n

, 且n

e

u n =)1(, 求函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 之和.

解