17.1.1变量与函数

17.1.1变量与函数

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；

2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.

问题1如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答：

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；

(2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃；

(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：

观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？

解随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：

观察上表回答：

(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?

(2)波长l越大，频率f就________.

解(1) l 与f的乘积是一个定值，即

lf＝

或者说

(2)波长

问题4 S与r之间满

时圆的面积，并将结果填入下表：

解S＝

圆的半径越大，它的面积就越大.

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量

(independent variable )，y 是因变量(dependent variable )，此时也称y 是x 的函数(function ).

表示函数关系的方法通常有三种：

(1)解析法，如问题3中的l

300000 f ，问题4中的S ＝π r 2，这些表达式称为函数的关系式. (2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.

(3)图象法，如问题1中的气温曲线.

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant )，如问题3中的300 000，问题4中的π等.

在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r 表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数.

三、实践应用

例1 下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：

解 (1)C ＝2π r ，2π是常量，r 、C 是变量，r ≥0；

(2)s ＝60t ，60是常量，t 、s 是变量，t ≥0；

(3)S ＝(n －2)×180，2、180是常量，n 、S 是变量，n ≥3.

四、交流反思

1.函数概念包含：

(1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系.

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量.

3.函数关系三种表示方法：

(1)解析法；

(2)列表法；

(3)图象法.

4. 函数的取值范围：

在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

(1)三角形的一边长5cm ，它的面积S (cm 2)与这边上的高h (cm)的关系式是h S 2

5 ； (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；

(3)若某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y (元)与x 间的关系是：y ＝ax .

3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y (元)与学生数n (个)的关系；

(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n (个)与单价a (元)的关系.

4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x 表示涂黑的格子横向的乘数，y 表示纵向的乘数，试写出y 关于x 的函数关系式.