对数公式总结
高中数学对数计算公式大全
高中数学对数计算公式大全在高中数学中，对数是一个非常重要的概念，同时对数计算公式也是学习和应用对数的基础。
本文将为大家总结和介绍高中数学中常见的对数计算公式。
在阅读过程中，你会学到如何应用这些公式来解决各种数学问题。
下面是一些常见的对数计算公式：1. 对数定义公式：若 a^x = b, 那么 x = log_a(b)。
其中，a>0，a≠1，b>0。
2. 换底公式：log_a(c) = log_b(c) / log_b(a)，其中 a,b,c > 0，a≠1，b≠1。
3. 幂函数与对数函数互为反函数：如果 y = a^x，那么 x = log_a(y)。
4. 对数的乘法公式：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)。
5. 对数的除法公式：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)。
6. 对数的幂公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)。
7. 对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
8. 对数的指数化简公式：log_a(a^x) = x。
9. 对数的乘方计算公式：a^log_a(b) = b。
10. 自然对数的底数 e：e 是一个无理数，约等于2.71828。
11. 自然对数公式：ln(x) = log_e(x)，其中 ln 表示以 e 为底的对数。
12. 自然对数的换底公式：ln(x) = log_a(x) / log_a(e)。
13. 对数函数的性质：对数函数的图像经过点 (1,0)，且对称于直线 y=x。
14. 常用对数和自然对数的换算：log_10(x) ≈ 2.3026 * ln(x)。
15. 对数的负数和零的定义：对数的底数不能为负数和零。
16. 对数的定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
17. 对数的基本性质：- log_a(1) = 0。
- log_a(a) = 1。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
高一数学对数函数知识点总结
1.对数(1)对数的定义：如果ab=N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.(2)指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b(a>0，a≠1，N>0).两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.(3)对数运算性质:①loga(MN)=logaM+logaN.②loga(M/N)=logaM-logaN.③logaMn=nlogaM.(M>0，N>0，a>0，a≠1)④对数换底公式：logbN=(logab/logaN)(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0).2.对数函数(1)对数函数的`定义函数y=loga某(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中某是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数那么要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比方log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比方，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)某log(-2) 4;一个等于1/16，另一个等于-1/16(2)对数函数的性质:①定义域：(0，+∞).②值域：R.③过点(1，0)，即当某=1时，y=0.④当a>1时，在(0，+∞)上是增函数;当0。
对数运算公式表
对数运算公式表一、定义和性质1. 对数的定义：对数是一个数学函数，它表示一个数以某个基数为底的幂的指数。
比如，以10为底的对数表示为log10(x)，读作“以10为底x的对数”。
2. 对数运算的性质：对数运算满足以下性质：a) log(ab) = log(a) + log(b) （对数的乘法法则）b) log(a/b) = log(a) - log(b) （对数的除法法则）c) log(a^b) = b*log(a) （对数的幂法法则）二、常用对数1. 常用对数：以10为底的对数，表示为log(x)，读作“x的常用对数”。
例如，log(100) = 2，log(1000) = 3。
2. 常用对数的性质：a) log(1) = 0 （任何数以10为底的对数都等于0）b) log(10) = 1 （10的常用对数等于1）三、自然对数1. 自然对数：以自然常数e（约等于2.71828）为底的对数，表示为ln(x)，读作“x的自然对数”。
例如，ln(e) = 1，ln(1) = 0。
2. 自然对数的性质：a) ln(xy) = ln(x) + ln(y) （对数的乘法法则）b) ln(x/y) = ln(x) - ln(y) （对数的除法法则）c) ln(e^x) = x （对数的幂法法则）四、对数运算的应用1. 对数运算在科学和工程领域有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：a) 数据压缩：对数运算可以将大范围的数据压缩到较小的范围内，方便存储和处理。
b) 数据可视化：对数坐标轴可以将指数增长的数据呈现为线性增长，更直观地展示数据变化趋势。
c) 概率统计：对数运算在概率统计中常用于处理概率的乘法和除法，简化计算过程。
d) 信号处理：对数运算常用于音频和图像处理中，可以提高信号的动态范围和信噪比。
e) 金融投资：对数收益率常用于金融投资中的风险评估和回报分析。
五、总结对数运算是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
对数及其知识点总结
对数及其知识点总结一、定义和性质1. 定义对数是一个数学函数。
正式定义为：如果a > 0且a≠1，且x>0，则以a为底x的对数记作log_a(x)=y，其中y表示底为a的x的对数。
换句话说，log_a(x)表示a的y次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
2. 性质（1）对数函数的定义域为正实数。
（2）对数函数的值域为实数。
（3）对数函数在a>1时，在a=1时，及a＜1时对数的性质是不同的。
（4）对数函数y=log_a(x)的图象是一条单调递增的曲线，穿过第一象限。
当x=a时,y=1。
（5）对数函数的性质：log_ab=log_ax/log_ab=log_a(x)×log_a(b)。
二、对数的计算1. 对数的运算法则（1）加法法则：log_a(mn)=log_am+log_an。
（2）减法法则：log_a(m/n)=log_am- log_an。
2. 对数的换底公式对数的换底公式是指，当我们计算不同底数的对数时，可以使用换底公式来进行计算。
换底公式是log_ab= log_cb/log_ca。
3. 对数的计算方法对数的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）确定底数a和真数x；（2）使用对数的定义，代入相应的值进行计算；（3）根据需要，使用对数的运算法则和换底公式进行计算。
（4）对于特殊情况，如对数为整数或分数时，需要进行额外的计算。
4. 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在科学计算、工程技术、金融业务等领域都有着重要的作用。
对数常常用来表示某一数量级的大小，例如声音的强度、地震的强度、化学溶液的浓度等。
三、常用对数及自然对数1. 常用对数常用对数是指以10为底的对数。
在常用对数中，log_10(10)=1，log_10(100)=2，log_10(1000)=3，依此类推。
常用对数可以简化对数的计算，常用对数的应用也十分广泛。
2. 自然对数自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数。
对数所有公式大全
对数所有公式大全对数是高等数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在学习和应用对数的过程中，我们需要掌握一些重要的公式。
在本文中，将为你介绍一些常见的对数公式，以帮助你更好地理解和应用对数。
1. 对数的定义公式：对数的定义公式表达了对数和幂的关系：若a>0且a≠1，那么对任意的正数x，b>0以及b≠1，有如下等式成立：loga(x)=b ⟺ x = a^b2. 对数的基本性质：对数具有一些重要的基本性质，可以帮助我们简化对数的运算。
2.1 对数的基本性质1：对数的幂等式loga(a) = 1这个公式表示对数底与求对数运算互为逆运算，即一个数和它的对数底数的对数等于1。
2.2 对数的基本性质2：对数的相等性质若loga(x) = loga(y)，那么x = y。
这个公式表示如果两个数的对数的底数相同，并且对数相等，那么这两个数本身也是相等的。
2.3 对数的基本性质3：对数的乘法公式loga(x * y) = loga(x) + loga(y)这个公式表示对数的乘法可以转化为对数的加法。
2.4 对数的基本性质4：对数的除法公式loga(x / y) = loga(x) - loga(y)这个公式表示对数的除法可以转化为对数的减法。
2.5 对数的基本性质5：对数的幂公式loga(x^k) = k * loga(x)这个公式表示对数的幂可以转化为对数的乘法。
3. 常用对数公式：除了对数的基本性质，还有一些特殊的对数公式在实际问题中非常常见。
3.1 自然对数的公式自然对数（以e为底的对数）在科学和工程领域中广泛使用。
自然对数的定义公式为：ln(x) = loge(x)，其中e ≈ 2.71828是自然对数的底数。
3.2 对数的积分公式对数函数的积分公式是数学中一种重要的积分公式。
∫(1/x)dx = ln|x| + C其中C是常数。
3.3 对数的换底公式对数的换底公式用于将一个对数转换为另一个底数的对数。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
高中函数log公式大全
高中函数log公式大全在高中数学中，log函数是一个非常重要的函数，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
log函数是以某个固定的底数为基数的对数函数，其定义域为正实数集合，值域为实数集合。
在本文中，我们将介绍log函数的各种公式，包括log的基本性质、log的运算法则、log的常用公式等等。
1. log的基本性质。
（1）log的定义，对于任意的正实数a和b（a≠1），a的x次方等于b，即a^x=b，则称x为以a为底b的对数，记作log_a(b)=x。
（2）log的反函数，对数函数y=log_a(x)的反函数是指数函数y=a^x。
（3）log的性质：log函数有以下性质：a）log_a(1)=0，因为任何数的0次方都等于1；b）log_a(a)=1，因为任何数以自身为底的对数都等于1；c）log_a(a^x)=x，即a的x次方的对数等于x；d）log_a(b)+log_a(c)=log_a(bc)，即对数的乘法法则；e）log_a(b)-log_a(c)=log_a(b/c)，即对数的除法法则。
2. log的运算法则。
（1）log的乘法法则，log_ab+log_ac=log_a(bc)。
（2）log的除法法则，log_ab-log_ac=log_a(b/c)。
（3）log的幂的法则，log_ab^m=mlog_ab。
（4）log的换底公式，log_ab=log_cb/log_ca。
3. log的常用公式。
（1）log的换底公式，log_ab=log_cb/log_ca。
（2）log的积化和差公式，log_a(b)+log_a(c)=log_a(bc)，log_a(b)-log_a(c)=log_a(b/c)。
（3）log的幂化乘公式，log_ab^m=mlog_ab。
（4）log的对数函数的图像，对数函数y=log_a(x)的图像是一条过点(1,0)的递增曲线。
4. log的应用。
log函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：（1）在数学中，log函数常常用于解决指数方程和指数不等式，以及进行指数函数的图像分析。
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
(完整版)对数函数公式汇总
(完整版)对数函数公式汇总1. 自然对数函数的定义自然对数函数（Natural logarithm function）是指以常数e为底的对数函数，通常用ln(x)来表示。
自然对数函数的定义域是正实数集，即x>0。
常用的性质包括：- ln(1) = 0- ln(e) = 1- ln(xy) = ln(x) + ln(y)- ln(x/y) = ln(x) - ln(y)- ln(x^a) = a * ln(x)，其中a为任意实数2. 常用对数函数的定义- log(1) = 0- log(10) = 1- log(xy) = log(x) + log(y)- log(x/y) = log(x) - log(y)- log(x^a) = a * log(x)，其中a为任意实数3. 一般对数函数的定义一般对数函数（General logarithm function）是以任意正实数a 为底的对数函数，通常用log<sub>a</sub>(x)表示。
一般对数函数的性质与自然对数函数和常用对数函数类似。
4. 对数函数的图像对数函数的图像与指数函数的图像呈现出一种对称关系，具体表现为：- 自然对数函数 y = ln(x) 的图像以y轴为渐近线，随着x的增大而增大，但增速逐渐减慢。
- 常用对数函数 y = log(x) 的图像以y = 0、x = 1为渐近线，随着x的增大而增大，但增速逐渐减慢。
- 一般对数函数 y = log<sub>a</sub>(x) 的图像与自然对数函数和常用对数函数具有类似的特性。
5. 对数函数的应用对数函数在数学、物理、经济等领域中有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：- 对数函数可以用来求解指数方程，即 x^a = b 的形式，可以通过取对数转化成一般形式求解。
- 对数函数可以用来描述物质的分解、增长和衰变过程，例如放射性衰变、经济增长等。
对数的概念知识点总结
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。
（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。
此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。
（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。
对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。
对数知识点总结归纳
对数知识点总结归纳一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是指数运算的逆运算。
设a是一个正数且a≠1，b是一个正数，那么指数运算y=a^x可以表示为对数运算x=loga b。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为指数，loga b称为以a为底b的对数。
因此，对数运算可以简单表示为loga b=x，其中a为底数，b 为真数，x为指数。
2. 对数的性质对数有以下几个重要性质：（1）对数的定义域：对数的定义域是正实数集合。
（2）对数的值域：对数的值域是实数集合。
（3）对数的底数：对数的底数a必须是正数且a≠1。
（4）对数的特性：loga a=1，loga 1=0。
（5）对数的运算法则：loga (mn)=loga m+loga n，loga (m/n)=loga m-loga n，loga(m^k)=kloga m。
（6）换底公式：loga b=logc b/logc a。
以上是对数的定义和性质，了解对数的这些基本知识对于深入学习对数运算非常重要。
二、对数的应用对数在数学和实际生活中有着广泛的应用。
在数学中，对数可以解决指数方程、指数不等式和指数函数的性质等问题。
在实际生活中，对数也有着广泛的应用，如音乐、声音等领域。
以下是对数的一些应用：1. 指数方程对数可以用来解决指数方程。
指数方程是一种以未知数或变量为指数的方程。
常见的指数方程如2^x=8，3^x=27等。
对数可以通过转化指数方程为对数方程来求解未知数。
2. 指数不等式对数也可以用来解决指数不等式。
指数不等式是一种以未知数或变量为指数的不等式。
对数可以通过转化指数不等式为对数不等式来求解未知数。
3. 指数函数的性质对数还可以用来研究指数函数的性质。
指数函数是以某个正数为底数的函数，如f(x)=2^x，g(x)=3^x等。
对数可以帮助我们研究指数函数的增减性、最值、单调性等性质。
4. 音乐和声音对数在音乐和声音中也有着广泛的应用。
音乐和声音的频率通常以对数形式表示，即音阶的每个音符的频率之间的比例是对数的。
对数公式总结
1对数的概念如果a(a>0 ,且1的b次幕等于N,艮卩ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数；②a>0 且1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN ;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幕值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a工1,M>0,N>0,那么(1) loga(MN)=logaM+logaN.(2) logaMN=logaM-logaN.(3) logaMn=nlogaM (n € R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a工1, M>0,N>0?②logaan=? (n € R)③对数式与指数式的比较•(学生填表)式子ab=NlogaN=b 名称a —幕的底数b —N—a —对数的底数b —N—运算性质am?an=am+namr^ an=(am) n=(a>0 且1,n€ R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n € R)(a>0,a 工1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a>0,，且1?理由如下：①若a v 0，贝U N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，贝U NM0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则NM1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧(1) 将下列指数式写成对数式：①54=625 :② 2-6=164 :③ 3x=27 ;④ 13m=5(2) 将下列对数式写成指数式：①log1216=-4 ;② Iog2128=7 ;③Iog327=x ;④ Ig0.01=-2 ;⑤In 10=2.303 ; ®lg n =k.解析由对数定义：ab=N解答⑴① log5625=4.② log2164=-6.③log327=x.④ log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N ①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥ 10k=n .2根据下列条件分别求x的值：(1) log8x=-23 ; (2)log2(log5x)=0 ;(3) logx27=31+log32 ; (4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2) log5x=20=1. x=?(3) 31+log32=3 X3log32=?27=x?(4) 2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2) log5x=20=1 , x=51=5.(3) logx27=3 X log32=3 X2=6 ,••• x6=27=33=(3)6,故x=3.(4) 2+3=x-仁1x, • x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化•②熟练应用公式：loga 仁0,logaa=1,alogaM=M,logaa n=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x?3x-1y2〕12 的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一T logax=4,logay=5,•x=a4,y=a5,•A=x512y-13=(a4)512(a5)- 13=a53?a -53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512 X4-13 X5=0,•A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x?y1+lgx=1(x丰110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢？能否对已知的等式两边也取对数？解答x>0,y>0,x?y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=- lgx1+lgx(x 丰 110,lgx-1).令lgx=t,则Igy=-t1+t(t 书.••• Ig(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.•△ =S2+4於0，解得S W-4 或S> 0,故lg(xy)的取值范围是(-8-4〕U〔0,+ g).5求值：(1) lg25+lg2?lg50+(lg2)2 ;(2) 2log32-log3329+log38-52log53 ;⑶设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b 的值；(4) 求7lg20?12lg0.7 的值.解析(1)25=52,50=5 X 10.都化成lg2与lg5的关系式.⑵转化为log32的关系式.⑶所求log2a-log2b=log2ab 由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢？(4) 7lg20?12lg0.7是两个指数幕的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20?12lg0.7 能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2?lg(10 X 5)+(lg2)2=2lg5+lg2?(1+lg5)+(lg2)2=lg5?(2+lg2)+lg 2+(lg2)2=lg102?(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg 2 )+lg 2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.⑵原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3) 由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),•ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0.•ab=1 或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，贝U a-2b<0, • ab=1 (舍去).•ab=4,•Iog2a-log2b=log2ab=log24=2.⑷设x=7lg20?12lg0.7,则lgx=lg20 旳7+lg0.7 也12=(1 +Ig2)?lg7+(lg7 -1)?(-lg2)=lg7+lg2=14,••• x=14,故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明⑴logaN=logcNlogca(a>0,a 丰 1,c>0,c 丰 1,N>0);(2) logab?logbc=logac ;(3) logab=1logba(b>0,b 工1)(4) loga nbm=mnl ogab.解析⑴设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.⑵中logbc能否也换成以a为底的对数.⑶应用⑴将logab换成以b为底的对数.⑷应用⑴将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，贝U ab=N,两边取以c为底的对数得：b?logca=logcN,•b=logcNlogca. • logaN=logcNlogca.(2) 由(1)logbc=logaclogab.所以logab?logbc=logab?logaclogab=logac.(3) 由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca 叫做对数换底公式，⑵(3)(4)是⑴的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loga nbm=logabmlogaa n=m logab nl ogaa=mnl ogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求Iog127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢？解答已知log67=a,log34=b,•Iog127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,•Iog32=b2, • Iog62=b21+b2=b2+b.•Iog127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧已知x,y,z € R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；⑶求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幕的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答?解答(1)解法一3x=4y og34y••• p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x?lg3=lgm , ylg4=lgm,•x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py,得2lgmlg3=plgmlg4,•p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.⑵•/ 2=log39<log316<log327=3,•2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,•Iog32716<log3169, •p-2>3-p.•••与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢？②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1 ,所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x, y, z€ R+ ,•k>1，贝U x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm , 12y=12?lg4lgm=lg2lgm ,故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m ,则有3=m1x ①,4=m1y ②，6=m1z ③，③电，得m1z-1x=63=2=m12y.•1z-1x=12y.9已知正数a,b 满足a2+b2=7ab.求证：Iogma+b3=12(logma+logmb)(m>0 且1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.■/ a2+b2=7ab,•Iogma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即Iogma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=s^ 10n.其中N>0,1 w a<10,n €乙这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里？我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=axion取常用对数得，IgN=n+lga.真数与对数有何联系？解答IgN=Ig(a xiOn)=n+lga.n € Z,1 w a<10,•••Iga €〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把Iga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①IgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0 w lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当NA1时，IgN的首数n比它的整数位数少 1 ,当N€ (0,1)时，IgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,IgN的首数和尾数与a X10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若Igx的首数比Ig1x的首数大9, Igx的尾数比Ig1x的尾数小0 ，且Ig0.203 4=1.308 3, 求Igx,x,lg1x 的值.解析①Ig0.203 4=1 即Ig0.203 4=1+0.308 3 , 1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设Igx=n+lga，则Ig1x也可表出.解答设lgx= n+lga,依题意Ig1x=(n-9)+(Iga+0.380 4).又Ig1x=-lgx=_(n+lga),•- (n-9)+(lga+0 -n-Iga，其中n-9 是首数，Iga+0 是尾数，-n-Iga=-(n+1)+(1-Iga),-(n+1) 是首数1-Iga 是尾数，所以：n-9=-( n+1)Iga+0.380 4=1-Igalga=0.308 3.•/ Ig0.203 4=1.308 3, • x=2.034 X104.•lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把Igx的首数和尾数，Ig1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1) Iog2-3(2+3)+Iog6(2+3+2-3);(2) 2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简？(2)中分母已无法化简，分子能化简吗？解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答⑴原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2=-1 + 12log6(4+22+3?2 -3)=-1+12log66=-12.⑵原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2 〔IglOO+lg(lga)〕2+lg(lga)=2 〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知Iog2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z 的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幕，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x= (2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：⑵6=23=8,(33)6=32=9 ，所以2<33.又⑵ 10=25=32,(55)10=52=25,••• 2>55.••• 55<2<33.又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x 在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化②比较指数相同，底不同的指数幕(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m, 故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式：(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;② lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0 , lg3=0.477 1，求lg45;⑵若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知0则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A 已知ab=M(a>0,b>0,M 丰 1)且logMb=x，贝则logMa 的值为()A 若log63=0.673 1 , log6x=-0.326 9,贝U x 为()A 若log5〔log3(log2x)〕=0,则x=.98log87?log76?log65=.10 如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2?lg3=0 的两根为x1、x2,那么x1?x2 的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1 T HM HI HP H5^ H6 这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1 , 2 , 3, 4, 5 , 6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量？12 已知x, y, z€ R+ 且3x=4y=6z，比较3x, 4y , 6z 的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14 已知2a?5b=2c?5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15 设集合M= {x|lg〔ax2-2(a+1)x-1 〕>0 }，若W , M {x|x<0 }，求实数a 的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为神威I "的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000 次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1. (1)① log7343=3.② log1416=-2.③ Inm=-5.⑵① 12-3=8.② 104=10 000.③ ep=3.5.2. (1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.⑶144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3. (1)0.826 6 点拨：Ig45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127 10-2)=-2+lg3.127=-2+a4. C点拨：0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义5. B 点拨：底x+1>0 且x+1M 1真数x+1>0.6. A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7. C 点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9 ,所以Iog63+log61x=log63x=1. /• 3x=6, x=12.8. x=8 点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5 点拨：log87?log76?log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是Igx1,lgx2.由Igx1=-lg2,lgx2=-lg3 ，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106?10100n -1=100,化简得:107-n=102,利用同底幕相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.••• n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12 设3x=4y=6z=k,因为x, y, z€ R+ ,所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.• 3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,••• Iogk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,•- Iogk33>logk44>logk66>0, • 3x<4y<6z.13. T axby=aybx=1, • lg(axby)=lg(aybx)=O,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=O.(沫)两式相加，得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0. • lga+lgb=O 或x+y=0.当lga+lgb=0 时，代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a 是不为1 的正数lga 丰 O,.x-y=O.•x+y=0 或x-y=0, • x2=y2.14. T 2a5b=10, • 2a-1=51-b.两边取以2 为底的对数，得:a-1=(1-b)log25. •log25=a-11- b(b 工1).同理得log25=c-11- d(d 工1).即1,d 工时,a-11-b=c-11-d.•••(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),•(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15. 设lg〔ax2-2(a+1)x-1 〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x -1= 10t(t>0).•10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1, • ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0 时,解集{ x|x<-1 } {x|x<0 };当时,M M且M {x|x<0 }.•方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，贝U ②当a>0时,M= {x|x<x1，或x>x2 },显然不是{ x|x<0 }的子集；③当a<0 时，M= {x|x1<x<x2 }只要：a<0 ,△ =4(a+1)2+8a>0 ,x1+x2=2(a+1)a<0 ,x1?x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a< 0.16. N=3.840 X1011, lgN=11.584 3.17. 设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x?lg(1-10%)=lg40% ,即X=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9- 1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18. f(x)=log1.104x 〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，贝U a(1+10.4%)y=xa, • y=log1.104x.。
对数公式总结
对数公式总结————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ1对数的概念如果a(a＞0，且ａ≠１)的ｂ次幂等于N，即aｂ=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:loga Ｎ=ｂ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.由定义知:①负数和零没有对数;②ａ>0且ａ≠1,N＞0;③ｌoga1=０，lｏgａa=1,aｌｏgaＮ=N,loｇaａb=b.特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作loｇ1０N,简记为lgN;以无理数e(e＝２.７18 ２8…)为底的对数叫做自然对数，记作lｏｇeN，简记为lｎN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab＝Ｎ(底数)(指数）(幂值)对数式loｇaN=b(底数)(对数)(真数)３对数的运算性质如果a>０,ａ≠1,M>0，Ｎ＞0,那么(1)ｌoｇa(ＭN)=logａM+ｌｏgａN．(2)ｌogａＭN=loｇaM－loｇaN.（3)loｇaMn=nlogaM(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件ａ>0,ａ≠1，Ｍ＞0,N>0？②logaan＝？(n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab＝NlｏｇaN=b名称a—幂的底数b—Ｎ—a—对数的底数ｂ—N—运算性质aｍ•an＝am+ｎａｍ÷an＝(ａm)n=(a>０且ａ≠1,n∈R)logａMN＝lｏgaM+logaNloｇaMＮ=lｏgａMｎ=(n∈Ｒ)(a>0，a≠1,Ｍ>0,N＞０）难点疑点突破对数定义中，为什么要规定ａ＞0,，且a≠1?理由如下:①若ａ＜0,则N的某些值不存在,例如log－２8②若a=0,则N≠0时b不存在；N=０时b不惟一，可以为任何正数③若a＝1时，则N≠1时b不存在；Ｎ=1时ｂ也不惟一,可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1（1)将下列指数式写成对数式:①54=62５;②２-6＝１64；③3x＝２７;④13m=573．（2）将下列对数式写成指数式：①ｌog1２１６=-4；②lｏｇ21２８＝7;③log327=x;④ｌg0.0１=-2;⑤ln1０=２.303;⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=ＮloｇaN=b．解答（1)①ｌog5625=4.②log2164=-６．③ｌｏｇ327=x.④log135.73=ｍ.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N lｏgaN＝b.（2)①12－4=16.②２７＝１2８.③3x=2７.④１0-2=０.01.⑤e2.3０3=10.⑥10ｋ＝π．2根据下列条件分别求x的值:(１)log８x=-23；(2)loｇ2(log５x)=0；(3)loｇx２7=3１+lｏg32;（4)ｌoｇx(2+3)=-1.解析（1)对数式化指数式，得：x=８－2３＝?(２)log5ｘ＝20=1.x=？(3)31+lｏg32＝３×3loｇ３２=？27=x?(4）２+3=ｘ-１＝１ｘ．ｘ=？解答(1)x＝8－23=（23）-2３=２-2=１4．(2)ｌog5x=２0=1，x=5１=5.(3)ｌogx27=３×３loｇ32=3×2＝６,∴x6=27＝3３=(3)６,故ｘ=3.（４）２＋3=x-１＝1x,∴x＝12+３＝２－3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1＝0,lｏｇaa=１，aｌｏｇａM=Ｍ,loｇaaｎ=n.3已知logax＝４，logaｙ=5，求A=〔x•3x-1y２〕１２的值．解析思路一,已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值;思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax＝4,ｌogａｙ=５,∴x=a４,ｙ=ａ5,∴A=x512ｙ－1３=(a４)５1２(a5）－13=a53•a－53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x5１2y-13）=５12ｌogａｘ-1３logay=51２×4－13×5=0，∴A＝1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,ｙ均为正数,且x•y1+lｇx＝1(ｘ≠１１0)，求lｇ(ｘy）的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数,从而lｇ(xy)也是ｘ的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数？解答∵x>０,ｙ＞０,x•y1+lgｘ=1，两边取对数得：lgx+(1＋lｇx)ｌgy=0.即lｇｙ=－lgx1＋lｇx(x≠１10,lｇx≠-１).令lｇx=ｔ，则ｌgy＝-t1+t（ｔ≠-1).∴lｇ(xy)＝lｇx＋lｇy=t－ｔ1＋ｔ=t2１+t．解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t2１+t,得关于t的方程ｔ2-St-S=０有实数解.∴Δ＝S2+4S≥0,解得S≤-４或S≥0,故lｇ(xｙ)的取值范围是(－∞,-4〕∪〔０,+∞).5求值:(1）lg2５+lg2•lg50＋（lg２)2；(2)2log32-loｇ3329+loｇ38-52log５3；(3)设lga+lgb＝2ｌg(a-2b)，求log2a-ｌｏg２ｂ的值;（4)求7lg２0•1２lg0.7的值.解析(１）25＝52，5０=5×10.都化成lg２与lｇ5的关系式.(2)转化为lｏｇ32的关系式.(3)所求ｌog2a-lｏg２ｂ=log2ab由已知等式给出了ａ,ｂ之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)７ｌg２0•12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数,设x=7ｌｇ２０•１２lg０．7能否先求出ｌgx，再求x？解答(1)原式=lg52+lg2•lｇ(10×5）+(lg２)２＝2ｌg5+lg2•(1+ｌg5)＋(lg２）2＝lg５•（2+lg2)+lg2＋(ｌｇ2)2＝lg１０2•(2+ｌｇ2）＋lg２+(ｌg2)2=(１-ｌｇ2)(２＋lg2)+lｇ２+(lg２)2=2-ｌg2-（ｌg2)2+lg2+(lｇ２）2=2.(2)原式＝2ｌog32－（loｇ325-lｏg332)+log323－5log59＝2log32-5log３2+２+3log32－9=-7.(3)由已知lgａb＝ｌｇ(a-2b）2(ａ-2ｂ＞0)，∴ab=（a－２b)２, 即a２-５ab+4b2=０．∴ab=1或ab=4,这里a＞0,b>０.若aｂ＝1,则a-2b<0, ∴ab=1( 舍去).∴ab=4,∴log2ａ-loｇ2b=ｌog2ab=lｏｇ2４=2.(4)设x=7lg2０•１２ｌg0．７,则lｇx=lg20×ｌg7+lg0.７×ｌg12=(1+lg2）•lg7+(lｇ7-1)•(-lg2）=lｇ７＋lg2=14,∴x＝１4, 故原式=1４．解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据,对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式,运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如（３）.②对一个式子先求它的常用对数值,再求原式的值是代数运算中常用的方法,如(４）．6证明(1)logaN=lｏgcＮlogcａ(a>０,ａ≠1，ｃ>０,c≠1,Ｎ>0);（2)logaｂ•ｌoｇbc=ｌogaｃ;(3）ｌogab=１ｌogba(b>０，ｂ≠１);（4)logaｎbｍ=mnlogab.解析(１）设logaＮ=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出ｂ就可能得证．（2）中ｌogｂc能否也换成以a为底的对数.(3）应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用（１)将loganbm换成以ａ为底的对数.解答(1)设loｇaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得:b•logca=logcＮ,∴b=logｃNlｏgca.∴logaN=logcNlogｃa.(2）由(1）logｂc=ｌogａclogab.所以logab•logbｃ=ｌoｇab•logacｌogab＝lｏgaｃ.（3)由（１)logａb=ｌogbｂｌｏgba=1logba.解题规律(1)中loｇaＮ=ｌogcNｌogca叫做对数换底公式，（2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用.（４)由(1)ｌogａnbm=lｏgaｂmlｏgaan＝mlogaｂnlogaａ=mnlｏgab．７已知ｌog6７=a，3ｂ=４，求log1２7．解析依题意ａ,b是常数，求ｌoｇ127就是要用a,b表示lｏg127，又3b=4即log３4=b,能否将lｏg12７转化为以６为底的对数，进而转化为以3为底呢？解答已知lｏg6７＝a,log3４=b，∴lｏg127=log６7log6１2=a1+log62.又log62=lｏg3２loｇ36=loｇ321+log32,由ｌoｇ3４=b,得2log32=b.∴loｇ32＝b2，∴log62=b2１+ｂ２＝b2+ｂ.∴ｌog127=ａ１+b2+b=a(2＋ｂ)2＋２b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来,这是常用的方法技巧8已知x,y,z∈R+，且3x＝4ｙ=６z．（1)求满足2x=py的p值;（2)求与p最接近的整数值；(３）求证:１2y＝1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答？解答(1)解法一3x=4ｙlog3３x=log3４y x=ylog342ｘ=2yｌog３4＝yｌog316，∴p=log３1６.解法二设３x=4ｙ＝m,取对数得：x•ｌg3=lgm,ylg4＝ｌgm,∴ｘ=lgmlｇ３,ｙ＝ｌgｍlg４，２x=2lgｍlｇ３,ｐy＝plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg３=pｌgｍlg4,∴ｐ=2lg4lｇ3=lg42lg３=ｌog31６．(2)∵2=loｇ39<ｌoｇ31６＜lｏg３27=３，∴2<ｐ＜3.又3-ｐ=log327-log31６＝loｇ3271６,p－２=ｌog３1６-log３9=log31６9,而２７16<1６９,∴ｌoｇ3271６<ｌog316９,∴p-２>３-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维,又提高了分析问题和解决问题的能力,何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小．这是同底的两个对数比大小．因为底３>1,所以真数大的对数就大,问题转化为比较两个真数的大小,这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习,自觉学习的学习积极性.(3）解法一令3ｘ=4y=６z＝ｍ，由于x,y,z∈R＋，∴ｋ＞1，则ｘ＝lgmlｇ3,y=ｌｇmlg4,z=ｌgｍｌg６，所以1z－1x＝lg６lgm-ｌg3lgｍ=lg6-lｇ3ｌgm=lg２lgｍ，12y＝１2•lg4lgm=ｌg2lgm，故１2ｙ＝1z-１x.解法二３x=4y=6ｚ＝ｍ，则有3=m1x①，４=ｍ１y②,6=m1ｚ③，③÷①,得m１z－1x=６３=2=m12y.∴1z-1ｘ=12y.9已知正数a,ｂ满足a2＋b2＝7ab．求证:loｇmａ+b3=１２(ｌogma+lｏgｍb）(m>0且ｍ≠1).解析已知a>0,b>0，ａ2+b2＝7ab．求证式中真数都只含ａ,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logｍa+b3=logｍ（a＋ｂ３）212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一．②应用a２＋b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二．12ｌogmａ+ｂ32=１2loｇma2+b２+2ab9．∵a2+ｂ2=７ａb,∴logｍａ＋b3=１2logm7ab＋2ａb9=1２lｏgｍａb＝1２(lｏgma＋loｇmｂ),即lｏgmａ+b3＝1２(loｇｍa＋logmb).思维拓展发散１数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系．设真数Ｎ=a×１0n．其中Ｎ＞0,１≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数Ｎ.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N＝ａ×10n取常用对数得,ｌgN=n+lga.真数与对数有何联系？解答lｇN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z，１≤ａ<１0，∴lｇａ∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lｇa叫做Ｎ的常用对数的尾数,它是正的纯小数或０.小结:①lgN的首数就是N中１０n的指数,尾数就是lga,0≤lgａ<１;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同,只是首数不同;③当Ｎ≥1时,lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈（0,1)时，ｌgN的首数n是负整数，|n|-1与Ｎ的小数点后第一个不是０的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法?N>０,lｇN的首数和尾数与a×１0n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同?什么不同?2若lｇx的首数比lｇ1ｘ的首数大9,lｇx的尾数比lｇ1x的尾数小0３804，且lg0.203 4=１.３08 ３，求lgx,x，lg1ｘ的值.解析①lg0．２0３4=1３0８3,即lg０．2０3 4＝１+0．３0８３，１是对数的首数，０.30８3是对数的尾数，是正的纯小数;②若设lｇx=ｎ+lｇa,则lg1x也可表出.解答设ｌgx=n+lga,依题意ｌg1x=(n-9)＋(ｌgａ+０.380 4).又lg１x=-ｌｇx=-(n+lga),∴(n-９)+(lga+038０４)＝-n-lｇa,其中n-9是首数，lga+03８0 4是尾数,-n-lga=－(n+1)＋(１-lga),-(n＋1)是首数1-lｇa是尾数,所以:n-9=-(n＋1)lｇａ＋0．3８０4=1－lga n=４,lｇa=０.308 3.∴lｇx＝4+0.308 3=4.308 ３，∵lg0.203 4=1.308 ３,∴ｘ=２.03４×104.∴ｌｇ１ｘ＝-（4+０.3０８3)=5．691 ７．解题规律把ｌgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数,根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数,求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log２-3(２＋3)+ｌｏg６（２＋3＋2－３);(2)2lg(lｇａ１００)2+ｌg(lga）.解析(1）中.2+3与2－3有何关系?２+3+2-３双重根号,如何化简?(２）中分母已无法化简,分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式＝log2-３(2-3）-１＋12ｌoｇ6(2+3+2-３)2＝-1+１2ｌog6(４＋22＋3•２-3)=-1+12log６６=-１２.(２)原式=２ｌg（１00lga)２＋lg(lｇa)＝２〔lg１０0+lｇ(lgａ）〕2+ｌg(lga)=２〔2+ｌg(ｌｇa）〕2+lｇ（lga)=2.4已知log2x=log３y=ｌoｇ5z<０,比较ｘ,3ｙ，5ｚ的大小.解析已知是对数等式,要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂,所以,对数等式应设法转化为指数式.解答设log2ｘ=log3y=log５z=m<0．则x=2m,y=3m,z=５m．x=（2)m,3y=(33)ｍ，5z=(55）m.下面只需比较2与3３,55的大小：(2)6=2３=８，(33)6=3２=9，所以2<33．又(２)1０＝２5=32，(５5）10＝52=２５，∴2>5５．∴５5＜２<３3. 又m<0,图2-7-1考查指数函数ｙ＝(2)x,ｙ=（33）x,ｙ＝（５5)x在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想,对数与指数有着密切的关系,在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同,底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限（指数小于0)的性质进行比较①是ｙ=(55)x,②是y=(２)ｘ,③是y=(33）x．指数m<0时，图像在第二象限从下到上,底从大到小.所以(３3)m<(2)m<(55)ｍ,故3ｙ＜x<5ｚ.潜能挑战测试1（1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②1４-2=16;③e-５=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log1２8＝-3；②ｌg1００0０=4;③ln3．5=p.2计算：(１)２4+log23;(2)27２3-log32;(3)2513lｏｇ5２7＋２log52.3（1)已知ｌg2＝0．3010，ｌg3=０．47７1,求lg４５;(2)若lg3.１２7=a,求lg0.0312７．4已知a≠0,则下列各式中与lｏｇ２a２总相等的是(）A若loｇx+1(x＋1)=１，则x的取值范围是()A已知aｂ=M（ａ>0,b>０,M≠1）,且lｏgMｂ=x,则ｌogMa的值为()Ａ若lｏg63=０.６73 1，loｇ6x=-0.32６9, 则x为()A若ｌog5〔log３(loｇ２x）〕＝0,则x=.98lｏg8７•log76•lｏg65=.10如果方程lｇ2x＋(lg2+ｌg3）lｇx+lｇ2•lｇ３=０的两根为x1、x2，那么x1•x2的值为. 1１生态学指出:生物系统中，每输入一个营养级的能量,大约只有１0％的能量流到下一个营养级．H1→H2→Ｈ3→H4→Ｈ5→H6这条生物链中（Ｈn表示第ｎ个营养级，ｎ=1,2,3，４，5,6）.已知对H1输入了10６千焦的能量，问第几个营养级能获得10０千焦的能量？１2已知x,y,z∈Ｒ+且3x＝4y=６z,比较3ｘ,4y,６z的大小.1３已知a,b均为不等于1的正数,且axbｙ=aｙbx=１，求证x2=y2.１４已知2a•5b=2c•5d=10，证明（ａ－1)（d-1)=(b－1)（c-１)．15设集合M＝{ｘ|lg〔ax2-2（a+1)x-1〕>0｝,若Ｍ≠，M{x|x<０}，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内,被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 ０00 000 0０0次.用科学记数法表示这个数为Ｎ=,若已知lg3．84０=０.584 3，则lｇN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低１0％,试问经过几年，生产成本降低为原来的40％?(lg2＝0.３, ｌg3=０.4８)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求,某种产品每季度平均比上一季度增长１０.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数ｙ=f(ｘ）的解析式f(ｘ)＝.名师助你成长1.（1)①log７３43=3.②ｌog1416=－２．③lnｍ=-5.(2）①12-3=8.②１04=1００00.③ep=3.5.２.(1)48点拨:先应用积的乘方，再用对数恒等式．(2)９8点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)1４4点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1）0.826 ６点拨：lｇ4５=12ｌｇ45＝12ｌg9０2=1２(ｌg3２+lｇ10-lg2).(2）lg0.03１27＝lg(3.127×10-２)=-２+ｌg３．12７=-2＋a４.C点拨:ａ≠0，ａ可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.Ｂ点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+１>0．６.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.6７3 １+０.326 9=１，ｌｏg６1x=0．３26 9，所以ｌog63+log6１x=lｏg63ｘ=1.∴３x=6，x=１2.8.x=８点拨:由外向内.lｏg３(ｌｏg2x）＝1,loｇ2x=３, ｘ=23.9.５点拨:lｏg８7•loｇ76•ｌog65=lｏg85, 8ｌog85＝5.10.1６点拨:关于ｌgｘ的一元二次方程的两根是ｌｇx1，ｌgｘ2.由ｌgｘ1=-lｇ2，lgx2＝-lg3，得ｘ1＝１2,x2＝１3.１1．设第n个营养级能获得1０0千焦的能量,依题意:10６•1０１0０n-1=１00,化简得:１0７-ｎ=１02,利用同底幂相等，得７-n=２,或者两边取常用对数也得7-n＝２.∴n=5,即第5个营养级能获能量１０0千焦.1２设3ｘ=4y=6ｚ＝k,因为ｘ，ｙ,z∈R＋,所以k>1.取以ｋ为底的对数,得：x=1logk3,y＝1logk４,z=1ｌogk6.∴3x=3logk3=113logｋ3=1ｌogｋ33，同理得：4ｙ=1logk４4,6z=1lｏｇk66.而33＝１28１,４4=１2６4,66=123６,∴logk３3＞ｌｏgｋ44>ｌｏgk６6.又k>１，33>44>66>1,∴ｌoｇk33>loｇｋ4４>logｋ6６>0,∴3x<４y<6ｚ.13．∵axby=ayｂx=1,∴lg(axｂｙ)=lg(aybｘ)＝0,即xｌga＋ylｇb=ｙｌｇa+xlｇｂ=0.(※)两式相加，得x(lｇa+lgｂ)+y（ｌga+lgb)=0.即(lga＋lｇb)(x＋y)＝0.∴lga+lgb＝0 或x+y=0.当ｌga+ｌgb＝0时,代入xlgａ+ｙｌgb=０，得：（x-ｙ)lgａ=0，ａ是不为1的正数lｇa≠0,∴x-y=0.∴x＋y=0或x-y=0，∴x２=y２.１4.∵２a5b=1０，∴2a-1=５1－b.两边取以2为底的对数,得：ａ-1=(1-ｂ)ｌoｇ2５．∴ｌog２５=a-11-b(ｂ≠1). 同理得lｏｇ25=ｃ－１1-ｄ(d≠1).即b≠1,ｄ≠１时,a－１1－ｂ=ｃ－1１－ｄ.∴(a-1)（1-ｄ)＝（c-１)(1－b)，∴(a-1)(d－1)=(b-1)（c-1）.当b＝1,ｃ＝1时显然成立.15．设lg〔ａx2-2(ａ+1)x-1〕=t (t>０),则ax２-2（ａ+1)ｘ-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)ｘ-1>1,∴aｘ2-2(a+1)ｘ-2>0.①当a=0时,解集{x|x<-1｝｛x｜x<0｝;当a≠０时,M≠且M{x|x<0}.∴方程ax2－2（a＋1）x-２＝0必有两不等实根，设为ｘ１,x2且x１＜x2，则②当a＞0时，M=｛ｘ|x<x1,或x＞x２｝,显然不是｛x|x＜0}的子集;③当a<0时，M＝{ｘ|x1＜x＜x2｝只要:a＜0,Δ=4(a+1）２＋8ａ>0,ｘ1+x２＝2（a＋1)ａ<0，ｘ1•x２=－２a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是:3－2<ａ≤0.１6.N=3.８４0×1011，lｇＮ＝11．584 3．17.设经过x年,成本降为原来的4０%.则(１－１0％)x＝40％,两边取常用对数,得:x•lｇ(1-10%)＝lｇ4０% ，即ｘ=lｇ0.4lｇ0.9=ｌg4-1lg9－1=2lｇ2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18．ｆ(x)=lｏg1.104x〔或f(x)=ｌgxlg1．1０４〕.点拨:设原来一个季度产品为a，则a（1＋10.4%)ｙ=ｘa,∴y=loｇ1.104x.。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质相关知识点总结:1、对数得概念一般地,如果a x ＝N (a ＞0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 得对数,记作x ＝log a N .a 叫做对数得底数,N 叫做真数.2、 对数与指数间得关系3、对数得基本性质(1)负数与零没有对数. (2)log a 1＝0(a ＞0,a ≠1). (3)log a a ＝1(a ＞0,a ≠1). 10、对数得基本运算性质(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).4、换底公式(1)log a b ＝log c blog c a (a ＞0,且a ≠1;c ＞0,且c ≠1,b ＞0).(2)5、对数函数得定义一般地,我们把函数y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 就是自变量,函数得定义域就是(0,＋∞).6、对数函数得图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1图 象性质定义域 (0,＋∞) 值域 R过定点 (1,0),即当x ＝1时,y ＝0单调性 在(0,＋∞)上就是增函数 在(0,＋∞)上就是减函数奇偶性 非奇非偶函数7、反函数对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数. 基础练习:1、将下列指数式与对数式互化:(1)2－2＝14; (2)102＝100; (3)e a ＝16; (4)64－13＝14;2、 若log 3x ＝3,则x ＝_________3、计算: (1); (2); (3)24、(1) log 29log 23＝________. (2)5、 设a ＝log 310,b ＝log 37,则3a －b ＝_________、6、若某对数函数得图象过点(4,2),则该对数函数得解析式为______________、7、(1)如图2－2－1就是对数函数y ＝log a x 得图象,已知a 值取3,43,35,110,则图象C 1,C 2,C 3,C 4相应得a 值依次就是______________(2)函数y ＝lg(x ＋1)得图象大致就是( )4、求下列各式中得x 得值: (1)log 8x ＝－23;(2)log x 27＝34;8、已知函数f (x )＝1＋log 2x ,则f (12)得值为__________、9、 在同一坐标系中,函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 得图象之间得关系就是_______________⎩⎧3x(x ≤0)log 2x (x >0)(18))、例题精析:例1、求下列各式中得x 值:(1)log 3x ＝3; (2)log x 4＝2; (3)log 28＝x ; (4)lg(ln x )＝0、 变式突破:求下列各式中得x 得值:(1)log 8x ＝－23; (2)log x 27＝34; (3)log 2(log 5x )＝0; (4)log 3(lg x )＝1、例2、计算下列各式得值:(1)2log 510＋log 50、25; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg2)2、 变式突破:计算下列各式得值: (1)312log34; (2)32＋log 35; (3)71－log 75; (4)412(log 29－log 25). 例3、求下列函数得定义域: (1)y ＝lg(2－x ); (2)y ＝1log 3(3x －2); (3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8).变式突破:求下列函数得定义域:(1)y ＝log 12(2－x ); (2)y ＝; (3)、例4、比较下列各组中两个值得大小:(1)ln 0、3,ln 2; (2)log a 3、1,log a 5、2(a >0,且a ≠1); (3)log 30、2,log 40、2; (4)log 3π,log π3、 变式突破:若a ＝log 0、20、3,b ＝log 26,c ＝log 0、24,则a ,b ,c 得大小关系为________. 例5、解对数不等式(1)解不等式log 2(x ＋1)＞log 2(1－x );(2)若log a 23＜1,求实数a 得取值范围.变式突破:解不等式:(1)log 3(2x ＋1)>log 3(3－x ).(2)若log a 2>1,求实数a 得取值范围.课后作业:1、 已知log x 16＝2,则x 等于___________、2、 方程2log 3x ＝14得解就是__________、3、 有以下四个结论:①lg(lg 10)＝0;②ln(ln e)＝0;③若10＝lg x ,则x ＝10;④若e ＝ln x ,则x ＝e 2、其中正确得就是_____________、4、函数y ＝log a (x ＋2)＋1得图象过定点___________、5、 设a ＝log 310,b ＝log 37,则3a －b ＝( )6、 若log 12a ＝－2,logb 9＝2,c ＝log 327,则a ＋b ＋c 等于___________、7、、 设3x ＝4y ＝36,则2x ＋1y =___________、。
log的基本公式
log的基本公式
摘要：
1.log 的定义与概念
2.log 的基本公式
3.公式的应用与实例
4.总结
正文：
1.log 的定义与概念
log，全称为logarithm，即对数，是一种数学运算符，用于表示一个数的幂。
对数函数是一种特殊的函数，用于将一个数的幂表示为一个数。
在数学、物理、化学等科学领域中，对数具有广泛的应用。
2.log 的基本公式
log 的基本公式如下：
loga(b) = c
其中，a 表示底数，b 表示真数，c 表示对数的值。
根据这个公式，可以求解出一个数的对数。
3.公式的应用与实例
以自然对数为例，自然对数的底数为e（约等于2.71828），它是一个无限不循环小数。
自然对数在微积分、概率论等领域有着广泛的应用。
例如，假设有一个数x，它的值为2.71828，我们可以通过自然对数公式求解这个数的对数：
ln(2.71828) = ln(e) = 1
因此，2.71828 的自然对数等于1。
4.总结
log 是一种重要的数学概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
了解log 的基本公式，可以帮助我们更好地解决实际问题。
对数公式及对数函数的总结
y = log x对数运算和对数函数对数的定义①若 a x = N (a > 0, 且a ≠ 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = logaN ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数．② 负 数 和 零 没 有 对 数 。
③ 对 数 式 与 指 数 式 的 互 化 ：x = log N ⇔ a x = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) 。
a常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log对数函数及其性质函数名称10N ；自然对数： ln N ，即 log N （其中 e = 2.71828 …）． e对数函数定义函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) 叫做对数函数a > 10 < a < 1yx =1yx = 1ay = log xa图象(1,0)O(1,0)xOx定义域值域过定点奇偶性 (0, +∞)R图象过定点 (1,0) ，即当 x = 1 时， y = 0非奇非偶单调性函数值的变化情况在 (0, +∞) 上是增函数log x > 0 ( x > 1) alog x = 0 ( x = 1) a log x < 0 (0 < x < 1)a 在 (0, +∞) 上是减函数log x < 0 ( x > 1) alog x = 0 ( x = 1)a log x > 0 (0 < x < 1)a3 4 200⎛ 1 ⎫ 3⎪ - log 3 2 ⨯ log 4 27+2(lg 2 + lg 5)a 变化对图象的影在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大响图象越靠高。
类型一、对数公式的应用1 计算下列对数log 6 - log 3 =222log 2 12 ⋅ 2log 2 13 =lg 5 + lg 2 =lg 6 1000 =log 128 + log 64 =log (43 ⨯ 24 ) =2 22(log 3 + log 3)(log 2 + log 2) =4 8392log 2 3+2 + 4log 2 3 =log 27 ⋅ log 16 =2 3log 5 - log 90 + log 2 =3 332 3 199log a + log b + log c =lg + lg + + lg248=log28 + log 8 + log4 832 =2 log 10 + log 0.25 =2 log 25 - 3log 64 =5 552log (log (log (log 65536))) =2 2 2 22 对数的值：751lg14 - 2 lg + lg 7 - lg18lg + 2 lg 2 - ( )-1 =32 21 ⎝ 8 ⎭提示：对数公式的运算如果 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0 ，那么（1）加法： logaM + log N = log (MN ) （2）减法： log a aaM - log N = log aa MN（ 3 ）数乘：n log M = log M n (n ∈ R) （ 4 ） a log a N = N （ 5 ）a alog M n = a bn blog M (b ≠ 0, n ∈ R)a（6）换底公式：log aN = log N b log ab(b > 0, 且b ≠ 1) （7）log a b ⋅ log a = 1 （8）log ba b = 1 log a b⎪ ⎪ 2类型二、求下列函数的定义域问题1 函数 f ( x ) = 3x2 + lg(3x + 1) 的定义域是 1 - x2 设 f (x ) = lg 2 + x ，则 f ⎛ x ⎫ + f ⎛2 ⎫ 的定义域为 2 - x⎝ 2 ⎭ ⎝ x ⎭3 函数 f ( x ) =- x 2 - 3x + 4 的定义域为（ ）lg( x + 1)类型三、对数函数中的单调性问题1 函数 f ( x ) = lg( x2 - 4 x + 3) 的单调递增区间为2 函数 y = log0.5( x 2- 3x + 2) 的递增区间是3 若函数 y = - log2( x 2 - ax - a) 在区间 (-∞,1 - 3) 上是增函数， a 的取值范围。
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1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am•an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5 73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x•3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53•a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x•y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x•y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2•lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20•12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20•12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20•12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2•lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2•(1+lg5)+(lg2)2=lg5•(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102•(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20•12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)•lg7+(lg7-1)•(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab•logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b•logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab•logbc=logab•logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧 8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog34 2x=2ylog34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x•lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12•lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0 380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1 308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0 380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0 380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3•2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87•log76•log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2•lg3=0的两根为x1、x2,那么x1•x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a•5b=2c•5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠ ，M ｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87•log76•log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106•10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12 设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25. ∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝ ｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠ 且M ｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1•x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x•lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.。