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中考数学动点综合问题

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2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题(课后练)

2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题(课后练)

2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。

专题28 动点综合问题(共32题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题28 动点综合问题(共32题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题28动点综合问题（32题）1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，1068AB BC AC ===，，，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M 、作PN BC ⊥于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t （秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为（）A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,55⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在Rt ABC △中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（）A ．1552B ．427C ．17D ．533．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）．．．．（2023·黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）如图，在正方形ABCD 同时出发，沿射线AB 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接动的路程为(0x x ≤≤，下列图像中能反映S A ．．．．5．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点运动的路程为x ，PB PC，图2是点P 运动时关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（A ．6B ．3C ．43236．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的O 上两动点，且2CD =，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，PAB 面积的最大值是（）A ．8B ．6C ．4D ．37．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A．10B．910C 9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点P是等边AP BP CP为边的三角形中，最小内角的大小为（段,,A．14︒B．16︒C 10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形→匀速运动，运动到点C时停止．设点发沿AB BC象如图2所示，则点M的坐标为（）4,23B．()4,4A．()11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在∥交AC于点E；过点D作DF∥DE AB的面积，则一定能求出（上的点，2DM ME=．若已知CMNA．AFE△的面积C ．BCN △的面积D ．DCE △的面积12．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E 是线段AB 上一点，ADE V 和BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点．若4AB =，则下列结论错误．．的是（）A ．PA PB +的最小值为33B ．PE PF +的最小值为23C ．CDE 周长的最小值为6D ．四边形ABCD 面积的最小值为33二、填空题13．（2023·四川达州·统考中考真题）在ABC 中，43AB =，60C ∠=︒，在边BC 上有一点P ，且12BP AC =，连接AP ，则AP 的最小值为___________．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，E 为AB 边上一点，以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D ，连接AD ，3,35BE BD ==．P 是AB 边上的动点，当ADP △为等腰三角形时，AP 的长为_____________．15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点A B 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．16．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上17．（2023·河南·统考中考真题）以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形B C D A→→→运动．运动过程中，线段CB'19．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为，的中点，则N分别是EF AF20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形点E在线段BC上运动，点21．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=___________．22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，点E 是AD 上一动点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE ' ，当点A '恰好落在EC 上时，DE 的长为______．24．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________25．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线段AB 上一动点，点H 是直线BE DF +取最小值时，3BH 三、解答题26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．28．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．29．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB 的边OC 在x 轴上，60AOC ∠=︒，OC 的长是一元二次方程24120x x --=的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线OB 于点D ，直线AD 分别交x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OD 向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间t 的函数关系式．(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．30．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB ，长度为1m 的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m /s ，滑动开始前滑块左端与点A 重合，当滑块右端到达点B 时，滑块停顿2s ，然后再以小于9m /s 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A 重合，滑动停止．设时间为()s t 时，滑块左端离点A 的距离为()1m l ，右端离点B 的距离为()2m l ，记12,d l l d =-与t 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 4.5s t =和5.5s 时，与之对应的d 的两个值互为相反数；滑块从点A 出发到最后返回点A ，整个过程总用时27s （含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：(1)滑块从点A 到点B 的滑动过程中，d 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）(2)滑块从点B 到点A 的滑动过程中，求d 与t 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若18d =，求t 的值．31．（2023·天津·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点(3,0),(0,1),(23,1)A B D ，矩形EFGH 的顶点1130,,3,,0,222E F H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．32．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点，P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系(1)初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______；②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．。

2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题

2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题

2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。

中考数学：几何动态综合题(含答案解析)

中考数学：几何动态综合题(含答案解析)

题型六几何动态综合题类型一点动型探究题针对演练1. (2016赤峰12分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒，连接AP，并过Q作QE⊥AP垂足为E.(1)求证：△ABP∽△QEA；(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)(提示：解答(2)(3)时可不分先后)第1题图2. (2015省卷25，9分) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)；(2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．(参考数据：sin75°＝6＋2 4，sin15°＝6－24)第2题图3. (2016梅州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．第3题图4. 如图，在▱ABCD中，BC＝8 cm，CD＝4 cm，∠B＝60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2 cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点M作MF⊥CD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点O，设运动时间为t (s )(0＜t ＜4)．(1)连接AN ，MN ，设四边形ANME 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式； (2)是否存在某一时刻t ，使得四边形ANME 的面积是 ▱ABCD 面积的2132？若存在，求出相应的t 值，若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，交EN 于点P ，当EN ⊥AD 时，求线段OP 的长度．第4题图 备用图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为每秒2 cm 和1 cm ，FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t 秒(0＜t ＜4)．(1)连接EF，若运动时间t＝23秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；(2)连接EP，设△EPC的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若△EPQ与△ADC相似，求t的值．6. (2015郴州)如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB 方向向点B匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？(2)设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．第6题图【答案】1．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，QE⊥AP，∴∠QEA＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠QAE＝∠APB，∴△ABP∽△QEA；…………………………………………(3分)(2)解：由题意得：BP＝t cm，AQ＝2t cm，要使△ABP≌△QEA，则AQ＝AP＝2t cm，在Rt △ABP 中，由勾股定理得：32＋t 2＝(2t)2， 解得t ＝±3(负值舍去)，即当t ＝3时，△ABP ≌△QEA ；…………………………(7分)(3)解：在Rt △ABP 中，由勾股定理得：AP ＝32＋t 2，∵△ABP ∽△QEA ， ∴AB QE ＝BPAE ＝APAQ ，∴3QE ＝tAE＝32＋t 22t ， ∴QE ＝6t32＋t 2，AE ＝2t 232＋t 2，∴y ＝12QE ·AE ＝12·6t32＋t 2·2t 232＋t 2＝6t 3t 2＋9.……………(12分)2．解：(1)26，22；【解法提示】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋42＝4 2 cm ，在Rt △ACD 中，AD ＝AC ·co s 30°＝42×32＝2 6 cm ，DC ＝AC ·sin30°＝42×12＝2 2 cm.(2)如解图，过点N 作NE ⊥AD 于点E ，作NF ⊥DC 交DC 延长线于点F ，则NE ＝DF . ∵∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°， ∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°，在Rt △NFC 中， 第2题解图 ∵sin ∠FNC ＝FCNC，∴sin15°＝FCNC，又∵NC＝x cm，∴FC＝NC·sin15°＝6－24x cm，∴NE＝DF＝DC＋FC＝(22＋6－24x)cm，∴点N到AD的距离为(22＋6－24x)cm；(3)如解图，在Rt△NFC中，∵sin75°＝NFNC，∴NF＝NC·sin75°＝6＋24x cm，∵P为DC中点，DC＝2 2 cm，∴DP＝CP＝ 2 cm，∴PF＝DF－DP＝22＋6－24x－2＝(6－24x＋2) cm，∵S△PMN＝S四边形DFNM－S△DPM－S△PFN，即S△PMN＝12(NF＋MD)·NE－12MD·DP－12PF·NF，∴y＝12×(6＋24x＋26－x)×(22＋6－24x)－12×(26－x)×2－12×(6－24x＋2)×6＋24x，即y＝2－68x2＋7－3－224x＋23，∵12－68＜0， ∴当x ＝－7－3－2242×2－68＝36－23＋22－22秒时，y 取得最大值为4×2－68×23－（7－3－224）24×2－68＝236＋83＋92－1616cm 2.3．解：(1)根据题意BM ＝2t cm ，BC ＝5×tan60°＝5 3 cm ，BN ＝BC －3t ＝(53－3t)cm ，∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15；…………………………………………(2分)(2)分两种情况讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cosB ＝cos30°＝BM BN，∴2t 53－3t＝32，解得t ＝157；(4分)第3题解图②当∠MNB ＝∠ACB ＝90°时，如解图②，△MBN ∽△ABC ，cosB ＝cos30°＝BNBM，∴53－3t2t＝32，解得t ＝52，故若△MBN 与△ABC 相似，则t 的值为157秒或52秒；……(6分)(3)如解图③，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ， ∴△BMD ∽△BAC ， ∴BM BA＝MD AC，又∵BA ＝cos 60AC＝10， 第3题解图③∴2t10＝5MD，解得MD ＝t. 设四边形ACNM 的面积为y ，则 y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ×BC － 12BN ·MD＝12×5×53－ 12(53－3t)·t＝32t 2－532t ＋ 2532 ＝32(t －52)2＋7538，…………………………………………(8分) ∴当t ＝52秒时，四边形ACNM 的面积最小，最小值为7538cm 2.…………………………………………………………………(10分)4．解：(1)如解图①，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G .第4题解图①∵∠AGB ＝90°，∠B ＝60°， ∴AG ＝32AB ＝2 3 cm.由题可知，MD ＝2t cm ，则AM ＝(8－2t ) cm ， ∵AB ∥CD ，MF ⊥CD ， ∴ME ⊥AB ，∴∠MEA ＝∠MFD ＝90°， ∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠B ＝60°， ∴AE ＝12AM ＝(4－t) cm , ME ＝3(4－t) cm ，∴y ＝S △ANM ＋S △AEM ＝12×(8－2t)×23＋12×(4－t)×3×(4－t) ＝32t 2－63t ＋163(0＜t ＜4)；(2)存在．由四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132可得：32t 2－63t ＋163＝2132×8×23，整理得：t 2－12t ＋11＝0， 解得t ＝1或t ＝11(舍去)，所以当t ＝1s 时，四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132；(3)如解图②，第4题解图②由(1)可知AE ＝(4－t ) cm ， ∴BE ＝AB ＋AE ＝(8－t ) cm. ∵∠B ＝60°，EN ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴BN ＝12BE ＝(4－12t ) cm ，BG ＝12AB ＝2 cm.又∵BN ＝t ，∴4－12t ＝t ，解得t ＝83，∴BN ＝83cm ，∴GN ＝BN －BG ＝23cm ，∴AO ＝23 cm ，NC ＝BC -BN =163 cm.设PO ＝x cm ，则PN ＝(23－x ) cm.∵AO ∥NC ， ∴△AOP ∽△CNP ，∴AO NC ＝POPN，即23163＝x23－x，解得x ＝239，∴当EN ⊥AD 时，线段OP 的长度为239cm.5．(1)证明：若运动时间t ＝23秒，则BE ＝2×23＝43 cm ，DF ＝23 cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8 cm ，AB ＝DC ＝6 cm ，∠D ＝∠BCD ＝90°， ∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝∠D ＝∠QCD ＝90°， ∴四边形CDFQ 是矩形，∴CQ ＝DF ＝23 cm ，CD ＝QF ＝6 cm ，∴EQ ＝BC －BE －CQ ＝8－43－23＝6 cm ，∴EQ ＝QF ＝6 cm ，∴△EQF 是等腰直角三角形； (2)解：∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°， ∴∠FQC ＝∠B ， ∴PQ ∥AB ， ∴△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝QC BC ，即6PQ ＝t 8， ∴PQ ＝34 t cm ，∵BE =2t ,∴EC =BC -BE =8-2t , ∵S △EPC ＝12EC ·PQ ，∴y ＝12(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3(0＜t ＜4).∵－34＜0，∴当t ＝2秒时，y 有最大值，y 的最大值为3 cm 2； (3)解：分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，点E 在Q 的左侧，①当△EPQ ∽△ACD 时， 第5题解图①可得PQ CD ＝EQAD ，即348t ＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得PQ AD ＝EQCD ，即348t ＝8－3t 6，解得t ＝12857；(ⅱ)如解图②，点E 在Q 的右侧， ∵0＜t ＜4，∴点E 不能与点C 重合， ∴只存在△EPQ ∽△CAD ，可得PQ AD ＝EQCD ，即348t ＝3t －86，解得t ＝12839， 第5题解图②故若△EPQ 与△ADC 相似，则t 的值为2秒或12857秒或12839秒．6．解：(1)如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， ∵DC ∥AB ，DA ⊥AB ，CE ⊥AB ， ∴四边形AECD 是矩形，∴AE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝4， 第6题解图 ∴BE ＝AB －AE ＝8－5＝3， ∴由勾股定理得：BC ＝22+BE CE ＝32＋42＝5，∴BC ＜AB ，∵当点P 运动到点C 时，P 、Q 同时停止运动， ∴t ＝51＝5 s ，即t ＝5 s 时，P 、Q 两点同时停止运动； (2)由题意知，AQ ＝BP ＝t ， ∴QB ＝8－t.如解图，过点P 作PF ⊥QB 于点F ，则△BPF ∽△BCE ， ∴PF CE ＝BP BC ，即PF 4＝t5，∴PF ＝4t 5，∴S ＝12QB ·PF ＝12×(8－t)×4t 5＝－252t ＋16t5＝－25(t －4)2＋325(0＜t ≤5)．∵－25＜0，∴当t ＝4 s 时，S 有最大值，最大值为3252CM ；(3)∵cos B ＝BE BC ＝35，∴BF ＝PB ·cos B ＝t ·cos B ＝3t5，∴QF ＝AB －AQ －BF ＝8－8t5，∴QP ＝当△PQB 为等腰三角形时，分以下三种情况：①当PQ ＝PB 时，即t ， 解得：1t ＝4011，2t＝8，∵t2＝8＞5，不合题意， ∴t ＝4011；②当PQ ＝BQ 时，即8－t ，解得：1t ＝0(舍去)，2t ＝4811；③当QB ＝BP 时，即8－t ＝t ， 解得t ＝4；综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，则t 的值为4011 s 或4811 s 或4 s.类型二 线动型探究题针对演练1. 如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝3，在BC 上取两点E ，F (E 在F 左边)，以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE ，PF 分别交AC 于点G ，H .(1)求△PEF 的边长；(2)若△PEF 的边EF 在射线BC 上移动，(点E 的移动范围在B 、C 之间，不与B 、C 两点重合)，设BE ＝x ，PH ＝y .①求y与x的函数关系式；②连接BG，设△BEG面积为S，求S与x的函数关系式，判断x为何值时S最大，并求最大值S.第1题图2. 已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12 cm，BD ＝16 cm，点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1 cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P 的运动时间为t(s)(0＜t＜10)．(1)填空：AB＝________cm；(2)当t为何值时，PE∥BD；(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)．①求y与t之间的函数关系式；②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE＝825S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2014省卷25，9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．4. (2016镇江改编)如图①，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.(1)求证：BE＝DF；(2)如图②，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时，△EPQ是直角三角形？(3)如图③，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．第4题图【答案】1．解：(1)如解图①，过点P作PQ⊥BC于点Q，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ＝AB＝3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ＝60°，在Rt△PQF中，sin∠PFQ＝PQ PF，∴PF＝3÷32＝2，第1题解图①∴△PEF 的边长为2；(2)①在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3，由勾股定理得，AC ＝23，∴∠ACB ＝30°，又∵△PEF 是等边三角形，∴∠PFE ＝60°，∴∠FHC ＝30°，∴FH ＝FC ，∵HF ＝2－PH ＝2－y ，∴FC ＝2－y ，又∵BE ＋EF ＋FC ＝BC ，∴x ＋2＋2－y ＝3，即y ＝x ＋1(0＜x ＜3)；②如解图②，过点G 作GM ⊥BC 于点M ，∵△PEF 为等边三角形，∴∠PEF ＝60°，∵Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3，第1题解图②∴∠ACB ＝30°，∴∠EGC ＝180°－30°－60°＝90°，∵BE ＝x ，∴EC ＝3－x ，∴EG ＝3－x2，∵∠GEM ＝60°，sin ∠GEM ＝GM GE ，∴GM ＝EG ·sin60°＝32×3－x 2＝33－3x 4， ∴S ＝12x ×33－3x 4 ＝－38x 2＋338x ＝－38(x －32)2＋9332， ∵－38＜0， ∴当x ＝32时，S 最大＝9332. 2．解：(1)10；【解法提示】如解图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm ，∴ BO ＝DO ＝8 cm ，AO ＝CO ＝6 cm ，∴ AB ＝82＋62＝10 cm.(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠ADB ＝∠CDB ，又∵PF ∥AD ，∴四边形APFD 为平行四边形，∴DF ＝AP ＝t cm ，又∵EF ⊥BD 于点Q ，且∠ADB ＝∠CDB ，∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF ＝t cm ，∴AE ＝(10－t ) cm ，当PE ∥BD 时，△APE ∽△ABD ， ∴AP AB ＝AE AD ， ∴t 10＝10－t10，∴t ＝5，∴当t ＝5 s 时，PE ∥BD ；(3)①∵∠FDQ ＝∠CDO ，∠FQD ＝∠COD ＝90°，∴△DFQ ∽△DCO ，∴QF OC ＝DFDC ，即QF6＝t10，∴QF ＝3t5 cm ，∴EF ＝2QF ＝6t5 cm ，同理，QD ＝4t5 cm ，如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵S 菱形ABCD ＝AB ·CG ＝12AC ·BD ，即10CG ＝12×12×16，第2题解图∴CG ＝485 cm ，∴S ▱APFD ＝DF ·CG ＝485t cm 2，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×6t 5×4t 5＝1225t 2 cm 2， ∴y ＝485t －1225t 2. ②存在．当S 四边形APFE ＝825S 菱形ABCD 时，则485t －1225t 2＝825×12×16×12， 整理得，t 2－20t ＋64＝0，解得t 1＝4，t 2＝16＞10(舍去)，∴当t ＝4s 时，S 四边形APFE ＝825S 菱形ABCD .3．(1)证明：如解图①，连接DE ，DF ，当t ＝2时，DH ＝AH ＝4，则H 为AD 的中点，∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE ＝DE ，AF ＝DF .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵AD ⊥BC ，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∠AFE ＝∠C ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，∴四边形AEDF 为菱形；第3题解图(2)解：如解图②，连接PE ，PF ，由(1)知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AH AD ，即EF 10＝8－2t 8，解得EF ＝10－52t ， ∴S △PEF ＝12EF ·DH ＝12(10－52t)·2t ＝－52t 2＋10t ＝－52(t －2)2＋10(0＜t ≤103)， ∴当t ＝2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10 cm 2，此时BP ＝3t ＝6 cm ；(3)解：存在．(ⅰ)若点E 为直角顶点，如解图③，连接PE ，PF ，此时PE ∥AD ，PE ＝DH ＝2t ，BP ＝3t.∵PE ∥AD ，∴△BEP ∽△BAD ，∴PE AD ＝BP BD ，即2t 8＝3t 5，此比例式不成立，故此种情形不存在；第3题解图(ⅱ)若点F 为直角顶点，如解图④，连接PE ，PF ，此时PF ∥AD ，PF ＝DH ＝2t ，BP ＝3t ，CP ＝10－3t.∵PF ∥AD ，∴△CFP ∽△CAD ，∴PF AD ＝CP CD ，即2t 8＝10－3t 5， 解得t ＝4017； (ⅲ)若点P 为直角顶点，如解图⑤，连接PE ，PF ，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，则EM ＝FN ＝DH ＝2t ，EM ∥FN ∥AD .∵EM ∥AD ，∴△BEM ∽△BAD ，∴EM AD ＝BM BD ，即2t 8＝BM 5， 解得BM ＝54t ， ∴PM ＝BP －BM ＝3t －54t ＝74t. 在Rt △EMP 中，由勾股定理得， 222PE EM PM =+＝(2t)2＋(74t)2＝11316t 2.∴△CFN ∽△CAD ，∴FN AD ＝CN CD ，即2t 8＝CN 5， 解得CN ＝54t ， ∴PN ＝BC －BP －CN ＝10－3t －54t ＝10－174t. 在Rt △FNP 中，由勾股定理得， 222PF FN PN =+＝(2t)2＋(10－174t)2＝35316t 2－85t ＋100. 又∵EF ＝MN ＝BC －BM －CN ＝10－52t ， 在Rt △PEF 中，由勾股定理得，222EF PE PF =+，即(10－52t)2＝11316t 2＋(35316t 2－85t ＋100)， 化简得183t 2－280t ＝0，解得t ＝280183或t ＝0(舍去)， ∴t ＝280183. 综上所述，当t ＝4017秒或t ＝280183秒时，△PEF 为直角三角形．(9分) 4．(1)证明：∵∠ECF ＝∠BCD ＝α，∴∠ECF －∠ECD ＝∠BCD －∠ECD ，即∠DCF ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是菱形，在△DCF 与△BCE 中，CF CEDCF BCEDC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCF ≌△BCE (SAS)，∴BE ＝DF ；(2)解：∵CE ＝CF ，∴∠CEQ <90°.①当∠EQP ＝90°时，如解图①，∵∠ECF ＝∠BCD ，BC ＝DC ，EC ＝FC ，∴△BCD ∽△ECF ，∴∠CBD ＝∠CEF .∵∠BPC ＝∠EPQ ， 第4题解图①∴∠BCP ＝∠EQP ＝90°，∴∠CED ＝90°，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，∵CD ＝AB ＝65，tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2，∴ECDE ＝2，即EC ＝2DE ，∵222CD EC DE =+，即CD ＝5DE ，∴DE ＝5CD ＝655＝6，∴t ＝6；②当∠EPQ ＝90°时，如解图②，∵菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，∴EC 和AC 重合， 第4题解图②∴DE ＝65， ∴t ＝6 5.综上所述，当t ＝6秒或65秒时，△EPQ 为直角三角形； (3)解：y ＝255t －12－ 2455. 【解法提示】点G 即为t ＝0时点E 的对应点．当点F 在直线AD 上方时，如解图③，连接GF ，分别交直线AD 、BC 的延长线于点M 、N ，过F 点作FH ⊥AD ，垂足为H ，由(1)得∠1＝∠2.易证△DCE ≌△GCF (SAS)，∴∠3＝∠4，∵DE ∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴GF ∥CD ，∴四边形DCNM 为平行四边形，易得MN ＝6 5.∵∠BCD ＝∠DCG ，∠DCN ＋∠BCD ＝∠DCG ＋∠CGN ＝180°，∴∠CGN ＝∠DCN ＝∠CNG ，∴CN ＝CG ＝CD ＝6 5.∵tan ∠ABC ＝2， ∴tan ∠CGN ＝2， ∴GN ＝12， ∴GM ＝65＋12. 第4题解图③∵GF ＝DE ＝t ×1＝t ， ∴FM ＝t －65－12.∵tan ∠FMH ＝tan ∠ABC ＝2， ∴FH ＝255(t －65－12)，即y ＝255t －12－2455.类型三 形动型探究题针对演练1. 在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC ＝∠AGF ＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)，设BE ＝m ，CD ＝n.(1)求证：△ABE ∽△DCA ；(2)求m 与n 的函数关系式，并直接写出自变量n 的取值范围； (3)在旋转过程中，试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第1题图2. (2015吉林)两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内)．其中，∠C＝∠DEF ＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE 方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________ cm；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中，点M 与点N之间距离的最小值．第2题图3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，BC ＝5，高AD ＝4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H .(1)求证：AHAD ＝EFBC；(2)设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．第3题图4. 如图，在▱ABCD中，AD⊥BD，AB＝10，AD＝6，以AD为斜边在▱ABCD的内部作Rt△AED，使∠EAD＝∠DBA，点A′、E′、D′分别与点A、E、D重合，△A′E′D′以每秒5个单位长度的速度沿DC方向平移，当点E′落在BC边上时停止移动，线段BD交边A′D′于点M，交边A′E′或D′E′于点N，设平移的时间为t(秒)．(1)DM的长为________(用含t的代数式表示)；(2)当E′落在BD上时，求t的值；(3)若△A′E′D′与△BDC重叠部分图形的面积为S(平方单位)，求S与t之间的函数关系式；(4)在不添加辅助线的情况下，直接写出平移过程中，出现与△DMD′全等的三角形时t 的取值范围．第4题图5. (2016益阳14分)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB 的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．第5题图6. (2015青岛)已知：如图①，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB.△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1 cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t(s)(0＜t＜4)，连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥MN?(2)设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第6题图【答案】1．(1)证明：∵∠BAE＝∠BAD＋45°，∠CDA＝∠BAD＋45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；(2)解：∵△ABE∽△DCA，∴BECA＝BACD，依题可知CA＝BA＝2，∴m2＝2n，∴m＝2n，自变量n的取值范围为1＜n＜2；(3)解：成立．理由如下：如解图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE＝HB，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°，连接HD，在△EAD和△HAD中，∵AE＝AH，∠HAD ＝∠EAH－∠FAG＝45°＝∠EAD，AD＝AD，∴△EAD≌△HAD(SAS)，∴DH＝DE，又∠HBD＝∠ABH＋∠ABD＝90°，∴BD2＋HB2＝DH2，即BD2＋CE2＝DE2.2．解：(1)15；【解法提示】如解图①，作CG⊥AB于G点，CH⊥CE于点H，第2题解图①在Rt △ABC 中，由AC ＝6，∠ABC ＝30°，得BC ＝tan 30?AC＝6 3 cm.在Rt △BCG 中，BG ＝BC ·cos30°＝9 cm. ∵四边形CGEH 是矩形，∴CH ＝GE ＝BG ＋BE ＝9＋6＝15 cm. (2)①当0≤x ＜6时，如解图②，由∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°，DB ＝x ，得DG ＝12x ，BG ＝32x ，重叠部分的面积y ＝12DG ·BG ＝12×12x ×32x ＝38x 2；第2题解图②②当6≤x ＜12时，如解图③，BD ＝x ，DG ＝12x ，BG ＝32x ，BE ＝x －6，EH ＝33(x －6)，重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝12DG ·BG －12BE ·EH ，即y ＝12×12x ×32x －12(x －6)×33(x －6)，第2题解图③化简得y ＝－324x 2＋23x －63；③当12≤x ≤15时，如解图④，AC ＝6，BC ＝63，BD ＝x ，BE ＝x －6，EG ＝33(x －6)，重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝12AC ·BC －12BE ·EG ，即y ＝12×6×63－12(x －6)×33(x －6)，化简得y ＝－36x 2＋23x ＋123；第2题解图④综上所述，y ＝2223(0683-233(624323315x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪++⎪⎪⎩≤＜）＜＜）（≤≤）12 (3)如解图⑤所示，作NG ⊥DE 于点G ， 点M 在NG 上时MN 最短，NG 是△DEF 的中位线，NG ＝12EF ＝33，∵MB ＝12CB ＝33，∠B ＝30°，∴MG ＝12MB ＝332，则MN min ＝NG －MG ＝33－332＝332.第2题解图⑤3．(1)证明：∵四边形EFPQ 是矩形， ∴EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∵AD 是△ABC 的高，AH 是△AEF 的高， ∴AHAD ＝EFBC；(2)解：∵AHAD ＝EFBC，EF ＝x ，AD ＝4，BC ＝5，∴AH 4＝5x ， ∴AH ＝4x 5，∴HD ＝4－4x 5，∴S 矩形EFPQ ＝EF ·HD ＝x (4－4x5)＝－45x 2＋4x＝－45(x －52)2＋5.∵－45＜0，∴当x ＝52时，矩形EFPQ 的面积最大，最大面积为5；(3)解：由(2)可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长EF 为52，宽HD ＝4－45x ＝2，在矩形EFPQ 沿射线AD 的运动过程中：(ⅰ)当0≤t ≤2时，如解图①所示．第3题解图①设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 分别交于点H 1、D 1.此时DD 1＝t ，H 1D 1＝2，∴HD 1＝HD －DD 1＝2－t ，HH 1＝H 1D 1－HD 1＝t ，AH 1＝AH －HH 1＝2－t ， ∵KN ∥EF ， ∴KN EF＝AH 1AH，即KN 52＝2－t 2，解得KN ＝54(2－t )，∴S ＝S 梯形KNFE ＋11EFPQ S 矩形 ＝12(KN ＋EF )·HH 1＋EF ·EQ 1＝12[54(2－t )＋52]×t ＋52(2－t )＝－58t 2＋5； (ⅱ)当2＜t ≤4时，如解图②所示．第3题解图②设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 交于点D 2，此时DD 2＝t ，AD 2＝AD －DD 2＝4－t ，∵K ′N ′∥EF ， ∴K ′N ′EF＝AD 2AH，即K ′N ′52＝4－t 2，解得K ′N ′＝5－54t ，∴S ＝S △AKN ＝12 K ′N ′·AD 2＝12×(5－54t )×(4－t )＝58t 2－5t ＋10.综上所述，S 与t 的函数关系式为：S ＝2255(028551048t t t t t ⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩≤≤）（2＜≤）.4．解：(1)4t ；【解法提示】∵AD ⊥BD ， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD＝102－62＝8，∵AD ∥A ′D ′， ∴A ′D ′⊥BD ，∴∠DMD ′＝∠ADB ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠D ′DM ＝∠ABD ， ∴△DMD ′∽△BDA ，∴DM BD＝'DD AB ＝'MD AD， ∴8DM ＝510t ＝'6MD ， ∴DM ＝4t ，MD ′＝3t .(2)如解图①，当E ′在BD 上时，第4题解图①∵∠ D ′E ′M ＋∠A ′E ′M ＝90°，∠MA ′E ′＋∠A ′E ′M ＝90°， ∴∠ D ′E ′M ＝∠MA ′E ′， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDB ＝∠ABD ， ∵∠ MA ′E ′＝∠ABD ， ∴∠D ′DE ′＝∠D ′E ′D ， ∴DD ′＝D ′E ′，由△ADE ∽△BAD 得到，DE ＝185，AE ＝245，∴5t ＝185，∴t ＝1825；(3)①当0＜t ≤1825时，如解图②，重叠部分是△D ′MK ，S ＝12D ′M ×MK ＝12×3t ×4t ＝6t 2；图②图③第4题解图②当1825＜t ≤3225时，如解图③，重叠部分是四边形D ′E ′KM ，S ＝S △A ′D ′E ′－S △A ′MK ＝12×185×245－12(6－3t )×34(6－3t )＝－278t 2＋272t －24350.综上所述，S ＝2218602527272431832+82502525t t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（＜≤）—（＜≤）；(4)平移过程中，当0＜t ≤1825或t ＝1或t ＝65 s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．【解法提示】①当0＜t ≤1825时，如解图②，△DMD ′≌△KMD ′，②当DD ′＝D ′C 时，△DMD ′≌△BMA ′，此时t ＝1， ③当DD ′＝AD 时，△DMD ′≌△AED ，此时5t ＝6，t ＝65，综上所述，当0＜t ≤1825或t ＝1或t ＝65s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．5．解：(1)在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2AC ＝2， ∵点D 是AB 的中点， ∴AD ＝12AB ＝1＝CD ，∵EF 是△ACD 的中位线， ∴EF ＝DF ＝12＝12CD ，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在Rt △FGD 中，GF ＝DF ·sin60°＝34，∴矩形EFGH 的面积＝EF ·FG ＝12×34＝38；………………(3分)(2)根据第(1)问，易得GD ＝12DF ＝14，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，如解图①，当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，0＜x ≤14，第5题解图①则此时重叠部分三角形的高为3x ， ∴重叠部分的面积S ＝12x ·3x ＝316，解得x ＝24＞14(舍去)；如解图②，当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，14＜x ≤12，则此时重叠部分直角梯形的高为34，上底边长为x ，下底边长为x －14，第5题解图②∴重叠部分的面积S ＝12[x ＋(x －14)]·34＝316，解得x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316；(8分)(3)如解图③，过H 2作H 2K ⊥AB 于点K . 在Rt △F 1G 1B 中，∠B ＝30°，F 1G 1＝34，第5题解图③∴BG 1＝34，∴DG 1＝BD －BG 1＝1－34＝14，设KD ＝a ，则H 2K ＝3a ，在Rt △H 2G 1K 中，有H 2K 2＋G 1K 2＝H 2G 21， 即(3a )2＋(a ＋14)2＝(12)2，解得，a 1＝－1＋1316，a 2＝－1－1316(舍去)，∴cos α＝cos ∠H 2G 1K ＝KG 1H 2G 1＝13－116＋1412＝13＋38.……(14分) 6．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .∵AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB ， 由勾股定理得：AC ＝BC 2－AB 2＝4 cm.∴cos ∠ACB ＝AC BC ＝45.∵△ACD 沿AC 方向平移得到△PNM ，平移的速度为1 cm/s ， ∴MN ∥AB ，PC ＝(4－t ) cm.∵点Q 在BC 上运动，运动的速度为1 cm/s ，第6题解图①∴QC ＝t cm.如解图①，当PQ ∥MN 时， 则PQ ∥AB ， ∴PQ ⊥AC ， ∴cos ∠ACB ＝PCQC ＝45， 即4－t t ＝45，解得t ＝209.∴当t ＝209s 时，PQ ∥MN ；第6题解图②(2)如解图②，过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ， 则PH ＝PC ·sin ∠PCQ ＝35(4－t )，∴y ＝12·QC ·PH ＝12t ·35(4－t )＝－310t 2＋65t ，即y 与t 之间的函数关系式为y ＝－310t 2＋65t (0＜t ＜4)；(3)存在．∵△PMN 是由△ACD 沿AC 平移得到的， ∴PM ∥BC ， ∴S △PCQ ＝S △QMC ， 由(2)得S △QCP ＝S △QMC ， ∵S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4， ∴S △QCP ∶S 四边形ABQP ＝1∶4， ∴S △QCP ∶S △ACB ＝1∶5.∵S △ACB ＝12AB ×AC ＝12×3×4＝6 cm 2，∴S △QCP ＝15S △ABC ＝65cm 2，即－310t 2＋65t ＝65，整理得：t 2－4t ＋4＝0， 解得t ＝2，∴t ＝2 s 时，使得S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4； (4)存在．如解图③，过点P 作PH ⊥BC 于H ，过点M 作MG ⊥HC ，交HC 的延长线于点G ，第6题解图③∴MG ＝PH ＝35(4－t )，tan ∠PCH ＝PH HC ＝AB AC ＝34，∴HC ＝45(4－t )，又∵QC ＝t ，HG ＝PM ＝BC ＝5， ∴HQ ＝HC －QC ＝45(4－t )－t ＝165－95t ，∴QG ＝HG －HQ ＝5－(165－95t )＝95t ＋95.∵∠PQM ＝90°，∴∠PQH ＋∠MQG ＝90°， 又∵∠HPQ ＋∠PQH ＝90°， ∴∠HPQ ＝∠GQM ， ∴△PHQ ∽△QGM ， ∴PHHQ ＝QGGM，。

九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题

九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题1．如图，在ABC 中，4AB =，6BC =，P 是BC 边上一动点，60APN B ∠=∠=︒，过A 点作射线AM BC ∥，交射线PN 于点D ．(1)求AC 的长； (2)求证：2=?AP BP AD ；(3)连接CD ，若ACD 为直角三角形，求BP 的长．2．如图1，,=90DC AB D ∠︒，,10cm,6cm AC BC AB BC ⊥==．点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿AB 方向向点B 运动，同时点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿B →C →A 方向向点A 运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t （s ）．(1)AD 的长为 ；(2)求t 为何值时，PQ 平行于ABC ∆的一边；(3)当点Q 在边BC 上运动，求t 为何值时，PBQ ∆的面积为264cm 53．如图1，正方形ABCD 中，点P 为对角线BD 上一动点，点E 在AD 的延长线上，且62AP PE AB DE ===，，．(1)填空：PE 的长为______；(2)如图2，过点P 作PF EC ⊥于点F ，交DC 于点H ，延长FP 交AB 于点G ，求证：BG CH DE =+；(3)若点E 在直线AD 上运动，直线PE 与直线CD 交于点M ，其他条件不变，则PM 的长为______；(4)若点P 为正方形ABCD 对角线BD 上的动点，则22PD BP +的最小值为______．4．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC ∠︒，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ 与ABC △相似，求t 的值； (2)直接写出BPQ 是等腰三角形时t 的值； (3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0)2，，点C 是x 轴上的动点，线段CA 绕着点C 逆时针旋转90°至线段CB ，连接BO ，设点C 的横坐标为m ．(1)BC 的长度是________(用含m 的式子表示)； (2)求点B 的坐标(用含m 的式子表示)； (3)求线段BO 长度的最小值．6．如图，Rt ACB △中，90,ACB AC BC ∠=︒=，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：EC CD DF +=； (2)如图2，连接BF 交AC 于G 点，若3AGCG=，求证：E 点为BC 中点； (3)当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若52BC BE =，则AGCG= （直接写出结果）．7．如图，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的动点，连接AC ，BC ，过点C 作ACB ∠的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．(1)当CA CD =时，求E ∠的大小；(2)若⊙O 的半径为5，8AC =，求CD 的长；(3)如图2，当CD 不过点O 时，过点O 作OM CD ⊥交CD 于点M ，试判断AC BCOM-是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．8．已知：AB 为O 的直径，BC AC =，D 为弦AC 上一动点（不与A 、C 重合）．(1)如图1，若BD 平分CBA ∠，连接OC 交BD 于点E ． ⊙求证：CE CD =； ⊙若2OE =，求AD 的长．(2)如图2，若BD 绕点D 顺时针旋转90︒得DF ，连接AF ．求证：AF 为O 的切线．9．如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边,AB AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．(1)如图1，若AB AC >，且,BD CE BCD CBE =∠=∠，求CFE ∠的度数；(2)如图2，若=AB AC ，且=BD AE ，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段,,BF CF CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10．如图，正方形ABCD 中，=4AB ，点M 是射线BA 上的一动点，BP CM ⊥，垂足为P ，PD PN ⊥，与射线BC 交于点N ，连接DN ．(1)若点M 在边AB 上（与点B 、A 不重合）． ⊙求证：BP BNCP BC=； ⊙连接DN ，设BM x =，DPNBPCS y S ∆∆=，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； (2)若3DPNCPNS S=，求出BM 的长．11．如图⊙，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB →BC →CD 向点D 运动．设点P 运动的路程为x ，设AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图⊙所示．(1)AB＝cm，AD＝cm；(2)若点P运动的速度为1cm/s，另一点Q同时以23cm/s的速度从A出发沿AD运动，点P运动的时间为t．当P、Q中有一点到达点D时，另一点随之停止．如图⊙，连接OQ、BQ、DP，设⊙BOQ面积为S 1，DOP面积为S2，当点P在BC上时，若S1与S2的乘积为S，求S与t的函数关系式．(3)点P运动的时间为t，连接DP，将点A沿直线DP翻折到点E，连接PE、DE，DE 交射线AC于点F，当t为何值时，DAF为等腰三角形．12．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊙PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．(1)AB＝_______；当x＝1时，PEPB＝______；(2)试探究：PEPB是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)连接BE，设⊙PBE的面积为S，求S的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，设=AB a ，AD b =，且>a b ．(1)若a b ，为方程240x kx k -++=的两根，且BD =k 的值．(2)在（1）的条件下，P 为CD 上一点（异于C D 、两点），P 在什么位置时，APB △为直角三角形？(3)P 为CD 上一动点（异于C D 、两点），当a b ，满足什么条件时，使APB △为直角三角形的P 点有且只有一个？请直接写出a b ，满足的数量关系．14．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．(1)求线段CE 的长；(2)如图2，M ，N 分别是线段AG DG ，上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设DN x =．⊙求证四边形AFGD 为菱形；⊙是否存在这样的点N ，使DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．15．如图，矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是（-6，8），矩形ABCO 沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与0A 、x 轴分别交于点D 、F ．(1)求证：⊙BOF 是等腰三角形； (2)求直线BD 的解析式；(3)若点P 是平面内任意一点，点M 是线段BD 上的一个动点，过点M 作MN ⊙x 轴，垂足为点N 在点M 的运动过程中是否存在以P 、N 、E 、O 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标：若不存在，请说明理由16．如图，在Rt ABC △中，⊙ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线1BB AC ∥．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊙AB 于H ，过点E 作EF ⊙AC 交射线BB ′于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当DEG △与ACB △相似时，求t 的值；(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A C ''．当线段A C ''与射线BB '，有公共点时，求t 的取值范围．17．在菱形ABCD 中，6AB =，=60A ∠︒，点E 在AD 边上，4AE =，点P 是边AB 上△沿EP翻折得到FEP．一个动点，连结EP，将AEP(1)当EF AB∥时，求AEP的度数；(2)若点F落在对角线BD上，求证：DEF BFP；(3)若点P在射线BA上运动，设直线PF与直线BD交于点H，问当AP为何值时，BHP 为直角三角形．18．已知ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．(1)如图1，点E在AC边上且AE＝BP，连接BE交CP于点F．⊙求证：BE＝CP；⊙求⊙BFC的度数．(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D．设BP＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式．19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ(1)点B 的坐标为 ；(2)⊙如图⊙，当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：⊙ABQ =90°；⊙当点P 在x 轴正半轴运动时，⊙中的结论是否仍然成立？请补全图⊙，并作出判断（不需要说明理由）；(3)在点P 运动的过程中，若△OBQ 是直角三角形，直接．．写出点P 的坐标.20．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数2y =+的图像经过点A (m )，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ．抛物线213y x bx c =-++经过点A 交y 轴于点D (0，6)．(1)求m 的值及抛物线的表达式；(2)如图2，点E 为抛物线上一点且在直线AC 上方，若EAC 的面积为E 的坐标；(3)坐标轴上有一动点F ，连接AF ，当⊙BAF =60°时，直接写出点F 的坐标．参考答案：1．(1)AC =(3)满足条件的PB 的长为42．(1)4.8cm (2)3013t =或t =5 (3)23．(1)(4)364．(1)t 的值为1或4132(2)BPQ 是等腰三角形时t 的值为：23或89或6457(3)78t =5．(2)(2,)m m --(3)当1m =时OB 最小，最小值为2OB =6． (3)67．(1)67.5E ∠=︒(2)CD =(3)AC BC OM-=8．(1)；⊙49．(1)60︒(2)2BF CF CN +=，10．(1)⊙2832(04)16x x y x -+=<<(2)BM 的长为2或10±11．(1)3；4 (2)()23272706884S t t t =-+-≤＜(3)4312．(1)4，34(2)是定值，34(3)542513．(1)k=8(2)P 在(3或(3位置时，APB △为直角三角形(3)2a b =14．(1)3(2)⊙见解析；⊙5=2x 或215．(1)见解析(2)y =12-x +5 (3)存在，M 点的坐标为（245-，375）、(4,7)-或（103-，203）16．(1)当t =1时，AD ＝AB ，此时DE 的长度为1(2)t =34或16或94或176 (3)56≤t ≤433017．(1)60°；(3)4或2+2或4+18．(1)⊙120︒ (2)12(04)2y x x =-≤≤19．1)(2)成立(3)(0)或0)20．(1)m 的值为4，2163y x x =-+；(2)E （0，6）或（0）；(3)F （0）或（0，203）．。

中考数学压轴题专题-动点综合问题

中考数学压轴题专题-动点综合问题

专题15动点综合问题【考点1】动点之全等三角形问题【例1】1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【变式1-1】已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E 、F 满足BE ＝OF （如图），且AE ⊥BF 时，问点E 在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E 、F 满足BE ＝CF （如图），写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将△ABC 和△EDF 按如图②的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）．（1）当t ＝2时，S △AQF ＝3S △BQC ，则a ＝；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△BQC 全等时，求a 的值；（3）如图③，在动点P 、Q 出发的同时，△ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△EFQ 全等时，求a 与t 的值．【考点2】动点之直角三角形问题【例2】如图，在四边形纸片ABCD 中，//AB CD ，60A ∠=︒，30B ∠=︒，2CD =，4BC =，点E 是AB 边上的动点，点F 是折线A D C --上的动点，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点A '落在AB 边上，连接A C '，若A BC ' 是直角三角形，则AE 的长为________．【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ.①求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值；②是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式2-2】如图，在矩形OAHC 中，8,12OC OA ==，B 为CH 中点，连接AB .动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接,,CM CN MN ，设运动时间为t （秒）(010)t <<.则t =_____时，CMN ∆为直角三角形【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，10cm AB =，6cm BC =．若点P 是直径AB 上一动点，当PBC 是等腰三角形时，AP =__________cm ．【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.（1）当1x =时，求BP 长；（2）如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=o ，求证：CEQ ∆为等腰三角形；（3）若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B （-3，0）和点C （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；（3）点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点．（1）求m b 、的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值．【考点4】动点之相似三角形问题【例4】如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，求AP的长．【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝3 4AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【变式4-2】如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足2PAO PCO S S ∆∆=，求出P 点的坐标；（3）连接BC ，点E 是x 轴一动点，点F 是抛物线上一动点，若以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．备用图【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．（1）如图1，当点与点重合时，________°；（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为()8,0（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线1y m=，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（0t>）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，AOB∆的顶点O是坐标原点，点A坐标为()1,3，A、B两点关于直线y x=对称，反比例函数()0ky xx=>图象经过点A，点P是直线y x=上一动点.（1）B点的坐标为______；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是线段OP 上一点（O 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE QF QB ++的值最小时，求出Q 点坐标.【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A 、C 、A′三点．（1）求A 、A′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．【变式6-1】（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC =α，AB b =(0)a b >>，当点A 位于时，线段AC 的长取得最大值，最大值为（用含,a b 的式子表示）；（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，2AC =，以AB 为边作等边ABD ∆，连接CD ，求线段CD 的最大值；（3）拓展：如图3，线段3AB =，点P 为线段AB 外一动点，且2AP =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时PBM ∆的面积．【变式6-2】如图，矩形ABCD 中，3,4AD AB ==，点P 是对角线AC 上一动点（不与A C 、重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，以线段,PE PB 为邻边作矩形BPEF ，过点P 作GH CD ⊥。

专题26动点综合问题(共45题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)

专题26动点综合问题(共45题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)

中考数学真题分项汇编（全国通用）专题26 动点综合问题【共45题】一．选择题（共11小题）1．（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．【解析】由题意当0≤x≤4时，y=12×AD×AB=12×3×4＝6，当4＜x＜7时，y=12×PD×AD=12×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．2．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解析】如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ•GH=√34x2．当x＝2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y =12FJ •GH =√34（4﹣x ）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A ． 3．（2020•江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O 'A 'B '，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A 'B '的表达式为（ ）A ．y ＝xB ．y ＝x +1C ．y ＝x +12D ．y ＝x +2【分析】求得A 、B 的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A ′（1，n ），则B ′（4，n +3），把B ′（4，n +3）代入抛物线解析式求得n ，即可求得A ′、B ′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A 'B '的表达式．【解析】如图，∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y ＝0，解得x ＝﹣1或3，令x ＝0，求得y ＝﹣3，∴A （3，0），B （0，﹣3），∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A ′的横坐标为1，设A ′（1，n ），则B ′（4，n +3），∵点B '落在抛物线上，∴n +3＝16﹣8﹣3，解得n ＝2，∴A ′（1，2），B ′（4，5），设直线A 'B '的表达式为y ＝kx +b ，∴{k +b =24k +b =5， 解得{k =1b =1∴直线A 'B '的表达式为y ＝x +1，故选：B ．4．（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．【解析】过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM=√2，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×√2=3√2．故选：B．5．（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．6．（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．【解析】①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故选：D．7．（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．48【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故选：D．8．（2020•广元）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→B→O的路线匀速运动，设∠APD＝y（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A．B．C．D．【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．【解析】（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y＝90°，当点P在点C的位置时，∵OA＝OC，∴y＝45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→B运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2＝45°；（3）当点P沿B→O运动时，当点P在点B的位置时，y＝45°，当点P在点O的位置时，y＝90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．9．（2020•金昌）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√2【分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE＝2√5，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2√5，∴x2+（2x）2＝（2√5）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4√2，故选：A ．10．（2020•台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v （单位：m /s ）与运动时间t （单位：s ）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y （单位：m ）与运动时间t （单位：s ）之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y 是t 的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．【解析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y 是t 的二次函数，图象是先缓后陡， 在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C ．11．（2020•河南）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2）D ．（4，2）【分析】根据已知条件得到AC ＝6，OC ＝2，OB ＝7，求得BC ＝9，根据正方形的性质得到DE ＝OC ＝OE ＝2，求得O ′E ′＝O ′C ′＝2，根据相似三角形的性质得到BO ′＝3，于是得到结论．【解析】如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC ＝6，OC ＝2，OB ＝7，∴BC ＝9，∵四边形OCDE 是正方形，∴DE ＝OC ＝OE ＝2，∴O ′E ′＝O ′C ′＝2，∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′＝∠BCA ＝90°，∴E ′O ′∥AC ，∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E′O′AC =BO′BC ， ∴26=BO′9，∴BO ′＝3，∴OC ′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（2，2），故选：B ．二．填空题（共11小题）12．（2020•通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 4+2√3 ．【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．【解析】如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×AC sin∠OAC＝4m×sin60°＝2√3m，从图②看，AB+BE＝3√3=3m，解得：m=√3；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，则a＝PC=A′Ccos∠BCA′=2mcos30°=4√33m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+4√33m＝4+2√3．故答案为4+2√3．13．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE 的面积最小．【解析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．∵AC ＝CB ，AM ＝OM ，∴MC =12OB ＝1，∴点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C ′．∵直线y =34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，∴D （4，0），E （0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =√32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE =DM DE ， ∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2， 故答案为2．14．（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x 图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）【分析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．【解析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，15．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝1．【分析】用待定系数求得反比例函数y=k1x，再与直线y＝x联立方程组求得D点坐标，再题意求得运动后P 点的坐标，最后将求得的P 点坐标代入y =k 2x （x ＞0）求得结果． 【解析】把A （﹣1，﹣4）代入y =k 1x 中得，k 1＝4， ∴反比例函数y =k 1x 为y =4x ， ∵A （﹣1，﹣4）、B （﹣4，﹣1），∴AB 的垂直平分线为y ＝x ，联立方程驵{y =4x y =x，解得{x =−2y =−2，或{x =2y =2， ∵AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴CD 是AB 的垂直平分线，∵CD 与反比例函数y =k 1x （x ＜0）的图象于点D ， ∴D （﹣2，﹣2），∵动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y =k2x （x ＞0）图象上一点，∴设移动后的点P 的坐标为（m ，m ）（m ＞﹣2），则(x +2)2+(x +2)2=(3√2)2，∴x ＝1，∴P （1，1），把P （1，1）代入y =k2x （x ＞0）中，得k 2＝1， 故答案为：1．16．（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ①②④ ．【分析】由折叠的性质可得∠D ＝∠AD 'E ＝90°＝∠DAD '，AD ＝AD '，可证四边形ADED '是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE＝A'E=√6，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED'＝30°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可证△AF A'∽△EFG，可判断④，即可求解．【解析】∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'=√3，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E=√6，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED'=D′FD′E=1√3=√33，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AF A'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AF A'＝∠EFG，∴△AF A'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．17．（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为2√2．【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ=√OP2−1，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1，当OP最小时，线段PQ长度的最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，∴OA=OBtanA=6，在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OP′=12OA＝3，∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2，故答案为：2√2．18．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5−2．【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解析】如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE=12MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．19．（2020•鄂州）如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒（2−√3）cm 的速度向左运动 1或（11+6√3） 秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（23π−√3）cm 2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A ，B 落在⊙O 上时，如图2中，当点C ，D 落在⊙O 上时，分别求解即可解决问题．【解析】如图1中，当点A ，B 落在⊙O 上时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（23π−√3）cm 2此时，运动时间t ＝（2−√3）÷（2−√3）＝1（秒）如图2中，当点C ，D 落在⊙O 上时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（23π−√3）cm 2此时，运动时间t ＝[4+2﹣（2−√3）]÷（2−√3）＝（11+6√3）（秒），综上所述，满足条件的t 的值为1秒或（11+6√3）秒．故答案为1或（11+6√3）．20．（2020•鄂州）如图，已知直线y =−√3x +4与x 、y 轴交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 为AB 上一动点，PQ 切⊙O 于Q 点．当线段PQ 长取最小值时，直线PQ 交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为 2√3 ．【分析】在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x=4√33，可得OB＝4，OA=4√33，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP ⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．【解析】如图，在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x=4√3 3，∴OB＝4，OA=4√3 3，∴tan∠OBA=OAOB=√33，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP=12OB＝2，此时PQ=√22−12=√3，BP=√42−22=2√3，∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP=12BP=√3，∴BE=√(2√3)2−(√3)2=3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE=12OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2√3．故答案为：2√3．21．（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ 于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ 长度的最大值为3√2，线段DH长度的最小值为√13−√2．【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM＝2FN，推出EM＝2，FN＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题．【解析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ＝3√2，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD﹣OH，∴DH≥√13−√2，∴DH的最小值为√13−√2，故答案为3√2，√13−√2．22．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为3cm或5cm．【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．【解析】∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时，切点为H，∴OH＝1cm，当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，故答案为：3cm或5cm．三．解答题（共23小题）23．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？【分析】（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF即可得证；（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；（3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF ，得到∠AEF ＝∠EAF ，∠FEC ＝∠FCE ，从而推断出∠AFD ＝∠F AE +∠ABF ＝∠F AE +∠CEF ，从而可求出∠ABF ＝∠CEF ＝30°，即可证明．【解析】（1）连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF ＝EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠F AE+∠FEA，∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD＝∠CFD=12∠AFC，∵AF＝CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，∴∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠F AE+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．24．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．（3）首先证明AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵四边形ABOC是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分别是OC，OB的中点，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：如图1中，连接DE．∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4＝16，S△EOD=12×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴OK ＝KE ＝KD ＝2√2，∵AO ＝8√2，∴AK ＝6√2，∴AK ＝3DK ，①当AP 为菱形的一边，点Q 在x 轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG 交PQ 于H ，过点H 作HN ⊥x 轴于N ，交AC 于M ，设AM ＝t ．∵菱形P AQG ∽菱形ADFE ，∴PH ＝3AH ， ∵HN ∥OQ ，QH ＝HP ，∴ON ＝NP ，∴HN 是△PQO 的中位线，∴ON ＝PN ＝8﹣t ，∵∠MAH ＝∠PHN ＝90°﹣∠AHM ，∠PNH ＝∠AMH ＝90°，∴△HMA ∽△PNH ，∴AMNH =MHPN =AHPH =13， ∴HN ＝3AM ＝3t ，∴MH ＝MN ﹣NH ＝8﹣3t ，∵PN ＝3MH ，∴8﹣t ＝3（8﹣3t ），∴t ＝2，∴OP ＝2ON ＝2（8﹣t ）＝12，如图3中，过点H 作HI ⊥y 轴于I ，过点P 作PN ⊥x 轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．同法可证：△AMH ∽△HNP ，∴AM HN =MH PN =AH HP =13，设MH ＝t ， ∴PN ＝3MH ＝3t ，∴AM ＝BM ﹣AB ＝3t ﹣8，∵HI 是△OPQ 的中位线，∴OP ＝2IH ，∴HI ＝HN ，∴8+t ＝9t ﹣24，∴t ＝4，∴OP ＝2HI ＝2（8+t ）＝24，∴P （24，0）．②当AP 为菱形的边，点Q 在x 轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，QH ＝3PH ，过点H 作HM ⊥OC 于M ，过D 点P 作PN ⊥MH 于N ．∵MH 是△QAC 的中位线，∴MH =12AC ＝4， 同法可得：△HPN ∽△QHM ，∴NPHM =HN MQ =PH QH =13， ∴PN =13HM =43，∴OM ＝PN =43，设HN ＝t ，则MQ ＝3t ，∵MQ ＝MC ，∴3t ＝8−43，∴t =209，∴OP ＝MN ＝4+t =569， ∴点P 的坐标为（569，0）．如图5中，QH ＝3PH ，过点H 作HM ⊥x 轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN ⊥HM 于N ．∵IH 是△ACQ 的中位线，∴CQ ＝2HI ，NQ ＝CI ＝4，同法可得：△PMH ∽△HNQ ， ∴MH NQ =PM HN =PH HQ =13，则MH =13NQ =43， 设PM ＝t ，则HN ＝3t ，∵HN ＝HI ，∴3t ＝8+43，∴t =289，∴OP ＝OM ﹣PM ＝QN ﹣PM ＝4﹣t =89，∴P （89，0）． ③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H 作HM ⊥y 轴于于点M ，交AB 于I ，过点P 作PN ⊥HM 于N ． ∵HI ∥x 轴，AH ＝HP ，∴AI ＝IB ＝4，∴PN ＝IB ＝4，同法可得：△PNH ∽△HMQ ，∴PNHM =HNMQ =PHHQ =13， ∴MH ＝3PN ＝12，HI ＝MH ﹣MI ＝4，∵HI 是△ABP 的中位线，∴BP ＝2IH ＝8，∴OP ＝OB +BP ＝16，∴P （16，0），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）． 25．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车⊙O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是⊙O 的切线，且与直线AB 交于点M ，MO ＝8m ．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）【分析】（1）如图1中，连接OA ．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，过点P 作PD ⊥OC 于D ，解直角三角形求出CD 即可．（3）如图3中，连接OP ，解直角三角形求出∠POM ，∠COM ，可得∠POH 的度数即可解决问题．【解析】（1）如图1中，连接OA ．由题意，筒车每秒旋转360°×56÷60＝5°，在Rt △ACO 中，cos ∠AOC =OC OA =2.23=1115．∴∠AOC ＝43°，∴180−435=27.4（秒）．答：经过27.4秒时间，盛水筒P 首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，∴∠POC ＝∠AOC +∠AOP ＝43°+17°＝60°，过点P 作PD ⊥OC 于D ，在Rt △POD 中，OD ＝OP •cos60°＝3×12=1.5（m ），2.2﹣1.5＝0.7（m ），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ．（3）如图3中，∵点P 在⊙O 上，且MN 与⊙O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP ⊥MN ，在Rt △OPM 中，cos ∠POM =OP OM =38，∴∠POM ＝68°，在Rt △COM 中，cos ∠COM =OC OM =2.28=1140，∴∠COM ＝74°，∴∠POH ＝180°﹣∠POM ﹣∠COM ＝180°﹣68°﹣74°＝38°， ∴需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．26．（2020•潍坊）如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC =√2+1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ＝1，连接DE ．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE ，BD ，CD ．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE ＝BD ；（2）如图3，当α＝90°时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ；（3）在旋转过程中，求△BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【分析】（1）利用“SAS ”证得△ACE ≌△ABD 即可得到结论；（2）利用“SAS ”证得△ACE ≌△ABD ，推出∠ACE ＝∠ABD ，计算得出AD ＝BC =√2+2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，∵∠CAE +∠BAE ＝∠BAD +∠BAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，{AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴CE ＝BD ；（2）证明：如图3中，根据题意：AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，在△ACE 和△ABD 中，{AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC ＝90°，且∠AEC ＝∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB ＝90°，∴∠EFB ＝90°，∴CF ⊥BD ，∵AB ＝AC =√2+1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，∴BC =√2AB =√2+2，CD ＝AC +AD =√2+2， ∴BC ＝CD ，∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线； （3）解：△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时△BCD 的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图4中：∵∵AB ＝AC =√2+1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，DG ⊥BC 于G ，∴AG =12BC =√2+22，∠GAB ＝45°，∴DG ＝AG +AD =√2+22+1=√2+42，∠DAB ＝180°﹣45°＝135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC ⋅DG =12(√2+2)(√2+42)=3√2+52， 旋转角α＝135°．27．（2020•苏州）如图，已知∠MON ＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线OM 上一点，OA ＝8cm ．动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1cm /s的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为t （s ），其中0＜t ＜8．（1）求OP +OQ 的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（3）求四边形OPCQ 的面积．【分析】（1）由题意得出OP ＝8﹣t ，OQ ＝t ，则可得出答案；（2）如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．设线段BD 的长为x ，则BD ＝OD ＝x ，OB =√2BD =√2x ，PD ＝8﹣t ﹣x ，得出PDOP =BDOQ ，则8−t−x8−t =xt ，解出x =8t−t 28．由二次函数的性质可得出答案； （3）证明△PCQ 是等腰直角三角形．则S △PCQ =12PC •QC =12×√22PQ ⋅√22PQ =14PQ 2．在Rt △POQ 中，PQ 2＝OP 2+OQ 2＝（8﹣t ）2+t 2．由四边形OPCQ 的面积S ＝S △POQ +S △PCQ 可得出答案．【解析】（1）由题意可得，OP ＝8﹣t ，OQ ＝t ，∴OP +OQ ＝8﹣t +t ＝8（cm ）．（2）当t ＝4时，线段OB 的长度最大．如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．∵OT 平分∠MON ，∴∠BOD ＝∠OBD ＝45°，∴BD ＝OD ，OB =√2BD ．设线段BD 的长为x ，则BD ＝OD ＝x ，OB =√2BD =√2x ，PD ＝8﹣t ﹣x ，∵BD ∥OQ ，∴PD OP =BD OQ ， ∴8−t−x 8−t =x t ，∴x =8t−t 28． ∴OB =√2⋅8t−t 28=−√28(t −4)2+2√2．当t ＝4时，线段OB 的长度最大，最大为2√2cm ．（3）∵∠POQ ＝90°，∴PQ 是圆的直径．∴∠PCQ ＝90°．∵∠PQC ＝∠POC ＝45°，∴△PCQ 是等腰直角三角形．∴S △PCQ =12PC •QC =12×√22PQ ⋅√22PQ =14PQ 2． 在Rt △POQ 中，PQ 2＝OP 2+OQ 2＝（8﹣t ）2+t 2．∴四边形OPCQ 的面积S ＝S △POQ +S △PCQ =12OP ⋅OQ +14PQ 2，=12t(8−t)+14[(8−t)2+t 2]，＝4t −12t 2+12t 2+16﹣4t ＝16．∴四边形OPCQ 的面积为16cm 2．28．（2020•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是x 2﹣3x ﹣18＝0的根，连接BD ，∠DBC ＝30°，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒√3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）线段CN ＝ 3√3 ；（2）连接PM 和MN ，求△PMN 的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN 是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．【分析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【解析】（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，∴AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝12，BC=√3CD＝6√3，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴CN=12BC＝3√3，故答案为：3√3．（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∴MH=12MD=√32t，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴BN=√3CN＝9，当0＜t ＜92时，△PMN 的面积s =12×（9﹣2t ）×√32t =−√32t 2+9√34t ； 当t =92时，点P 与点N 重合，s ＝0，当92＜t ≤6时，△PMN 的面积s =12×（2t ﹣9）×√32t =√32t 2−9√34t ； （3）如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当PN ＝PM ＝9﹣2t 时，∵PM 2＝MH 2+PH 2，∴（9﹣2t ）2＝（√32t ）2+（12﹣2t −32t ）2， ∴t ＝3或t =73，∴BP ＝6或143，当BP ＝6时，∵∠DBC ＝30°，PE ⊥BC ，∴PE =12BP ＝3，BE =√3PE ＝3√3，∴点P （3√3，3），当BP =143时，同理可求点P （7√33，73）， 当PN ＝NM ＝9﹣2t 时，∵NM 2＝MH 2+NH 2，∴（9﹣2t ）2＝（√32t ）2+（32t ﹣3）2， ∴t ＝3或24（不合题意舍去），∴BP ＝6，∴点P （3√3，3），综上所述：点P 坐标为（3√3，3）或（7√33，73）． 29．（2020•河北）如图1和图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，tan C =34．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且AM ＝CN ＝2．点P 从点M 出发沿折线MB ﹣BN 匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持∠APQ ＝∠B ．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将△ABC 的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当0≤x ≤3及3≤x ≤9时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ 扫描△APQ 区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若AK =94，请直接写出点K 被扫描到的总时长．【分析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出AH 即可．（2）利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：当0≤x ≤3时，当3＜x ≤9时，分别画出图形求解即可．（4）求出CK 的长度，以及CQ 的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．【解析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝4，∠B ＝∠C ，∴tan ∠B ＝tan ∠C =AH BH =34，∴AH ＝3，AB ＝AC =√AH 2+BH 2=√32+42=5．∴当点P 在BC 上时，点P 到A 的最短距离为3．。

人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形 则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ． 由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =． 在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==． 所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==． 在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++． 整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1【答案】 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +， 那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。

中考数学复习专题 6动点综合问题(含中考真题解析)学生版

中考数学复习专题 6动点综合问题(含中考真题解析)学生版

动点综合问题知识点对应策略动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题【20XX年题组】1．（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．2．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A．B．C．D．4．（2015广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD ﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C D6．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A B ．C ．D ．7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．128．（2015乐山）如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．212D．1729．（2015庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．10．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．12．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂．其足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为51中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）13．（2015江西省）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．14．（2015鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边上．15．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？16．（2015宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若»»=AB BC，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．17．（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．18．（2015桂林）如图，已知抛物线212y x bx c=-++与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2015淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【20XX年题组】1．（20XX年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿»AB线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）A B C．D．2．（20XX年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．2B．1C．2D．223．（20XX年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A B C D4．（20XX年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A 重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．5．（20XX年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__________6．（20XX年浙江嘉兴中考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为23；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD=25；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是163．其中正确结论的序号是．7．（20XX年湖南衡阳）如图，直线AB与x轴相交于点()40A-，，与y轴相交于点()03B，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时，将直线34y x=以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为()05t t<<秒．⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；⑵当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理．8．（20XX年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P 从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE=AO ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； （2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；（3）在线段PE 上取点F ，使PF=1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM=2，FN=1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD 的面积为S ．①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值；②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=3cm ，BC=4cm ．动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿射线BA 运动，求出点P 运动所有的时间t ，使得△PBC 为等腰三角形．归纳 2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合． 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245 D ．5归纳 3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．BAC基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）模拟1．如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2，则AB边上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．62．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．3．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A—B—C—D—A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）4．某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿¼BCA回到点A，下面可以近似地刻画小江与中心点O的距离S随时间t变化的图象是（）．5．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）A B C D ．【6．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=23cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE﹣EC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（）A B C D．7．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．【答案】（1）t=1或3241时，△BPQ∽△BCA；（2）t=78．9．如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），B（3，2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0，3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），且与x轴交于点D．（1）求点C的坐标及b的值；（2）求k的取值范围；（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x轴，交PQ于点E，若抛物线y=ax2﹣5ax（a≠0）的顶点在四边形ABED的内部，求a的取值范围．10．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若2，求点F的坐标．11．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC 上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．（1）求点N的运动速度；（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．12．如图，直线y=-12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明问题．13．如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．（1）求证：PA=PE；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．14．如图，抛物线y=12x2+mx+n与直线y=-12x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA2A后停止，当点E的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？15．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，MN OPMN OPg的值最大，并求出最大值；（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．17．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长．（2）当t为何值时，MN∥CD？（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．。

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案（16道）一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．484．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x 菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中O为原点35OA OB==点C为平面内一动点32BC=连接AC点M是线段AC上的一点且满足:1:2CM MA=．当线段OM取最大值时点M的坐标是（）A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．365,555C．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D．6125,55510．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC△中动点P从A点运动到B点再到C点后停止速度为2单位/s 其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A155B427C．17D．5311．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中60A∠=︒4AB=动点M N同时从A 点出发点M以每秒2个单位长度沿折线A B C--向终点C运动点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动当其中一点运动至终点时另一点随之停止运动．设运动时间为x秒AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P从等边三角形ABC的顶点A出发沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x PByPC图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．43D．23二解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC中①C=90° 点M从点C出发沿CB方向以1cm/s 的速度匀速运动到达点B停止运动在点M的运动过程中过点M作直线MN交AC于点N且保持①NMC=45° 再过点N作AC的垂线交AB于点F连接MF将①MNF关于直线NF对称后得到①ENF已知AC=8cm BC=4cm设点M运动时间为t（s）①ENF与①ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中能否使得四边形MNEF为正方形？如果能求出相应的t值如果不能说明理由（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围（3）当y取最大值时求sin①NEF的值．AB=点O是对角线AC的中点动点P 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中4cmQ分别从点A B同时出发点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动点Q以2cm/s的速度沿折线-向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M连接QO并延长交折线DA ABBC CD-于点N连接PQ QM MN NP得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（04<<）四边形PQMN的x面积为y（2cm）(1)BP的长为__________cm CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时直接写出x的值．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标 分M 的横坐标x 在01 12 23~之间三个阶段 用含x 的代数式表示出PMN 的底和高 进而求出分段函数的解析式 根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 ∴2AB AD == 3OA =∴()2222231OB AB OA --= ∴123OC OB BC =+=+=∴(3A ()10B , ()3,0C 设直线AB 的解析式为y kx b =+ 将(3A ()10B ,代入 得： 03k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为33y x =-MN y ∥轴∴N 的横坐标为x（1）当M 的横坐标x 在01之间时 点N 在线段AB 上 PMN 中MN 上的高为1x + ∴(,33N x x ∴(3333MN x x -+∴()()2113313122PMNS MN x x x x =⋅+=⋅+= ∴该段图象为开口向上的抛物线（2）当M 的横坐标x 在12之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中3MN = MN 上的高为1x + ∴()()113313122PMNS MN x x x =⋅+=+=∴该段图象为直线（3）当M 的横坐标x 在23~之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中MN 上的高为1x + 由(3D ()3,0C 可得直线CD 的解析式为333y x =-+∴(,333M x x + (),0N x ∴333MN x =-+ ∴()(()21133313331322PMN S MN x x x x =⋅+=-+⋅+=++ ∴该段图象为开口向下的抛物线观察四个选项可知 只有选项A 满足条件故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 涉及坐标与图形 菱形的性质 二次函数 一次函数的应用等知识点 解题的关键是分段求出函数解析式．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大 匀速跑一段时间后减速到① 然后再加速再匀速到① 由于体力原因 应该第一个50米速度快 用的时间少 第二个50米速度慢 用的时间多故他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是D ．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象 要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件 结合实际意义得出正确的结论．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x 在图中表示出来 设,25AE z BE z ==- 在直角三角形中 找到等量关系 求出未知数的值 得到BDE △的值．【详解】解：当10x =时 由题意可知10,5AD CD ==在Rt CDB △中 由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=设,25AE z BE z ==-222(25)50625BE z z z ∴=-=-+在Rt ADE △中 由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-在Rt DEB △中 由勾股定理得222BD DE BE =+即2242510050625z z z =-+-+解得6z =6,19DE BE ∴==1198762BDE a S ∴==⨯⨯=当25x =时 由题意可知 10CD BD ==设,25BE q AE q ==-222(25)62550AE q q q =-=-+在Rt CDA △中 由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-Rt DEA 中 由勾股定理得222AD DE AE =+即2232510062550q q q =-+-+解得8q =6DE ∴=168242BDE b S ∴==⨯⨯= 762452a b ∴-=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理 根据勾股定理列出等式是解题的关键 运用了数形结合的思想解题． 4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象 即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧 即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的外部时 重叠部分为矩形 如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K①垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 ①3IE FK t ==①在矩形ABCD 中 4AB =43BC =①228AC AB BC =+=①4OA OB AB ===①ABO 为等边三角形①60OAB OBA ∠=∠=︒①tan60AI BK IE t ==÷︒=①42IK t =- ①()23422343S IK IE t t t t =⋅=-=-+ 图象为开口向下的一段抛物线①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时 与AOB 重叠部分即为正方形EFGH 如图：由①可知：42EF IK t ==-①()242S t =- 图象是一段开口向上的抛物线当MN 过点O 时 即2t =时 ,E F 重合 此时 0S =综上：满足题意的只有B 选项故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分04t ≤< 48t ≤< 812t ≤<三种情况 分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D 作DH CB ⊥于H①5DE DF == 8EF = ①142EH FH EF === ①223DH DE EH =-当04t ≤<时如图，重叠部分为EPQ △ 此时EQ t = PQ DH ∥①EPQ EDH ∽ ①PQ EQ DH EH= 即34PQ t = ①34PQ t = ①2133248S t t t =⨯= 当48t ≤<时如图，重叠部分为四边形PQC B '' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=- 8FC t '=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽ ①2PB F DCF S B F SCF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭又183122DCFS =⨯⨯=①212128PB F S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ①()231216PB F S t '=-①DH BC ⊥ 90A B C '''∠=︒①A C DH ''∥①C QF HFD '∽①2C QF HFD S C F S HF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即2814432C QF S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⨯ ①()2388C QF S t '=-①()()22233331283168162PB F C QF S S S t t t t ''=-=---=-++当 812t ≤<时如图，重叠部分为四边形PFB ' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽①2PB F DCF S B F S CF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即212128PB FS t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭①()231216PB F S S t '==-综上 ()()()()22230483334816231281216t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩①符合题意的函数图象是选项A ．故选：A ．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律 考查二次函数相关知识根据平移点的特点列出函数表达式是关键 有一定难度．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分三种情况分别求出S 与x 的函数关系式 根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：①60MAN ∠=︒ 6AC AB ==①ABC 是边长为6的正三角形①AD 平分MAN ∠①30MAD NAD ∠=∠=︒ AD BC ⊥ 3CD DB ==①当矩形EFGH 全部在ABC 之中 即由图1到图2 此时03x <≤①EG AC ∥①30MAD AGE ∠=∠=︒①30NAD AGE ∠=∠=︒①AE EG x ==在Rt AEF 中 60EAF ∠=︒ ①33EF AE =①23S = ①如图3时 当AE AF GE AF AF CF AC +=+=+= 则162x x += 解得4x = 由图2到图3 此时34x <≤如图4 记BC EG 的交点为Q ，则EQB △是正三角形①6EQ EB BQ x ===-①()626GQ x x x =--=- 而60PQG ∠=︒ ①)3326PG QG x ==-①PQG EFHG S S S =-矩形())231263262x x =-⨯-- 233123183x =+- ①如图6时 6x = 由图3到图6 此时46x <≤如图5 同理EKB △是正三角形①6EK KB EB x ===- 162FC AC AF x =-=- 3EF x = ①EKCF S S =梯形1136622x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 23333x x =+ 因此三段函数的都是二次函数关系 其中第1段是开口向上 第2段 第3段是开口向下的抛物线 故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 求出各种情况下S 与x 的函数关系式是正确解答的前提 理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m【答案】C【分析】根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a = 作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，则可得33m AF AB == ))333m PE PB AB PA a t =-=- 从而得到22334216PBQa St a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 根据PBQS的最大值为3求出a 的值 从而得到4m 43m 23m AB BC AF ===，， 最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a =作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F120ABC ∠=︒ 60ABF ∴∠=︒33m AF AB ∴== ))333m PE AB PA a t ==-=- )2221133333322444216PBQa SBQ PE t a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由图象可得PBQS 的最大值为323316a ∴=解得：4a =或4a =-（舍去） 4a ∴=4m 43m 23m AB BC AF ∴===，，∴平行四边形ABCD 的面积为：2432324m BC AF ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握平行四边形的性质 二次函数的图象与性质 添加适当的辅助线构造直角三角形 是解题的关键．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x 一个角为60︒的菱形 找到临界点 分情况讨论 即可求解． 【详解】解：作PD AC ⊥于点D 作⊥QE AB 于点E由题意得AP x = 3AQ x = ①3cos30AD AP =⋅︒= ①12AD DQ AQ ==①PD 是线段AQ 的垂直平分线 ①30PQA A ∠=∠=︒①60QPE ∠=︒ PQ AP x == ①132QE AQ x == PQ PN MN QM x ==== 当点M 运动到直线BC 上时此时 BMN 是等边三角形 ①113AP PN BN AB ==== 1x = 当点Q N 运动到与点C B 、重合时①1322AP PN AB === 32x = 当点P 运动到与点B 重合时 ①3AP AB == 3x = ①当01x <≤时 233y x x ==当312x <≤时 如图，作FG AB ⊥于点G 交QM 于点R则32BN FN FB x ===- 33FM MS FS x ===- )333FR x =- ①())2231373939333332y x x -⋅--=+当332x <<时 如图，作HI AB ⊥于点I则3BP PH HB x ===- )33HI x =- ①())21333393332y x x =⋅--= 综上 y 与x 之间函数关系的图象分为三段 当01x <≤时 是开口向上的一段抛物线 当312x <≤时 是开口向下的一段抛物线 当332x <≤时 是开口向上的一段抛物线 只有选项A 符合题意 故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象 二次函数的图形的性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的面积公式 利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 O 为原点 35OA OB == 点C 为平面内一动点 32BC =连接AC 点M 是线段AC 上的一点 且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是（ ）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．365,555C ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．6125,555 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E 先证OAM DAC ∽ 得23OM OA CD AD == 从而当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时 CD 取得最大值 然后分别证BDO CDF ∽ AEM AFC ∽ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①点C 为平面内一动点 32BC = ①点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E①35OA OB ==①AD OD OA =+=95①23OA AD = ①:1:2CM MA = ①23OA CMAD AC==①OAM DAC ∠∠= ①OAM DAC ∽ ①23OM OA CD AD == ①当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时CD 取得最大值①35OA OB == OD =35①BD =()222235153522OB OD ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭①9CD BC BD =+= ①23OM CD = ①6OM =①y 轴x ⊥轴 CF OA ⊥ ①90DOB DFC ∠∠==︒ ①BDO CDF ∠∠= ①BDO CDF ∽①OB BDCF CD=153529=解得185CF =同理可得 AEM AFC ∽①23ME AM CF AC ==23185= 解得125ME =①22221256565OE OM ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭①当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是65125⎝⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 相似三角形的判定及性质 圆的一般概念以及坐标与图形 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止 速度为2单位/s 其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A 155B 427C ．17D ．53【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时 点P 与点A 重合 得到15AB = 进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间 进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间 求出BC 的长 再利用勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：由图象可知：0=t 时 点P 与点A 重合 ①15AB =①点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷= ①点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s -= ①248BC =⨯=在Rt ABC △中：2217AC AB BC += 故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象 勾股定理．从函数图象中有效的获取信息 求出,AB BC 的长 是解题的关键．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = 动点M N 同时从A 点出发 点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动 点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动 当其中一点运动至终点时 另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒 AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 根据已知条件得出ABD △是等边三角形 进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒ 当04t <<时 M 在AB 上 当48t ≤<时 M 在BC 上 根据三角形的面积公式得到函数关系式【详解】解：如图所示 连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 当04t <<时 M 在AB 上菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = ①AB AD =，则ABD △是等边三角形 ①122AE ED AD === 33BE AE =①2,AM x AN x ==①2AM ABAN AE== 又A A ∠=∠ ①AMN ABE ∽ ①90ANM AEB ∠=∠=︒ ①223MN AM AN x - ①21332y x x x =当48t ≤<时 M 在BC 上①1123322y AN BE x x =⨯=⨯ 综上所述 04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分 当48t ≤<时 函数图象是直线的一部分 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 二次函数图象的性质 一次函数图象的性质 菱形的性质 勾股定理 等边三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADMDCNBMNABCD S S S SS=---正方形 求出S 与x 之间函数关系式 再判断即可得出结论．【详解】解：ADMDCNBMNABCD S S SSS=---正方形1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---21282x x =-+ 21(2)62x =-+ 故S 与x 之间函数关系为二次函数 图像开口向上 2x =时 函数有最小值6 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质 二次函数的图像与性质 本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式 再判断S 与x 之间函数类型．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点 再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x PBy PC= 图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．6B ．3C ．43D ．23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时 PB PC = 23AO = 易知30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为3 可知23AO OB == 过点O 作OD AB ⊥ 解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒= 进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时1PB PC= ①PB PC = 3AO =又①ABC 为等边三角形①60BAC ∠=︒ AB AC =①()SSS APB APC △≌△①BAO CAO ∠=∠①30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为43①3OB = 即23AO OB ==①30BAO ABO ∠=∠=︒过点O 作OD AB ⊥①AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=①6AB AD BD =+=即：等边三角形ABC 的边长为6故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二 解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC 中 ①C =90° 点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s的速度匀速运动 到达点B 停止运动 在点M 的运动过程中 过点M 作直线MN 交AC 于点N 且保持①NMC =45° 再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F 连接MF 将①MNF 关于直线NF 对称后得到①ENF 已知AC =8cm BC =4cm 设点M 运动时间为t （s ） ①ENF 与①ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中 能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能 求出相应的t 值 如果不能 说明理由（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围（3）当y 取最大值时 求sin ①NEF 的值．【答案】（1）85（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y （3310 【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t FN ①BC 得出AN =8﹣t 由平行线证出①ANF ①①ACB 得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得出①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t 由正方形的性质得出OE =ON =FN 得出方程 解方程即可（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 由三角形面积得出2124y t t =-+ ①当2＜t ≤4时 作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH 得出GH =23NF =13（8﹣t ） 由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4） （3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM ，则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM 得出方程 解方程求出CN =CM =2 AN =6 得出BM =2 NF =12AN =3 因此EM =2BM =4 作FD ①NE 于D由勾股定理求出EB 22EM BM +=25 求出EF =12EB 5 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF 的长 在Rt①DEF 中 由三角函数定义即可求出sin①NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形 理由如下：连接ME 交NF 于O 如图1所示：①①C =90° ①NMC =45° NF ①AC ①CN =CM =t FN ①BC ①AN =8﹣t ①ANF ①①ACB ①84AN AC NF BC == =2 ①NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得：①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t ①四边形MNEF 是正方形 ①OE =ON =FN ①t =12×12（8﹣t ） 解得：t =85即在点M 的运动过程中 能使得四边形MNEF 为正方形 t 的值为85（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+ 即2124y t t =-+（0＜t ≤2） ①当2＜t ≤4时 如图2所示：作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH ①GH =23NF =13（8﹣t ） ①y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t - 即21(8)12y t =-（2＜t ≤4） 综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y ．（3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM 如图3所示：则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM ①BM =4﹣t ①2t =2（4﹣t ） 解得：t =2 ①CN =CM =2 AN =6 ①BM =4﹣2=2 NF =12AN =3 ①EM =2BM =4 作FD ①NE 于D ，则EB 22EM BM +2242+=5 ①DNF 是等腰直角三角形①EF =12EB 5 DF =22 NF 32 在Rt①DEF 中 sin①NEF =DF EF 3225310【点睛】本题是四边形综合题目 考查了正方形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角函数 三角形面积的计算 等腰直角三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 有一定难度． 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4cm AB = 点O 是对角线AC 的中点 动点P Q 分别从点A B 同时出发 点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M 连接QO 并延长交折线DA AB -于点N 连接PQ QM MN NP 得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<） 四边形PQMN 的面积为y （2cm ）(1)BP 的长为__________cm CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式 并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时 直接写出x 的值．【答案】(1)()4x - x(2)()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x = 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON == 可得四边形PQMN 是平行四边形 证明ANP CQM ≌即可（2）分02x <≤ 24x <≤两种情况分别画出图形 根据正方形的面积 以及平行四边形的性质即可求解 （3）根据（2）的图形 分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意 1AP x x =⨯=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-①四边形ABCD 是正方形①,90AD BC DAB DCB ∠=∠=︒∥①点O 是正方形对角线AC 的中点①,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形①MQ PN = MQ NP ∥①PNQ MQN ∠=∠又AD BC ∥①ANQ CQN ∠=∠①ANP MQC ∠=∠在,ANP CQM 中ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ANP CQM ≌①()cm MC AP x ==故答案为：()4x - x ．（2）解：当02x <≤时 点Q 在BC 上由（1）可得ANP CQM ≌同理可得PBQ MDN ≌①4,2,PB x QB x MC x =-== 42QC x =-则222MCQ BPQ y AB S S =--()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+当24x <≤时 如图所示则AP x = 224AN CQ x CB x ==-=-()244PN AP AN x x x =-=--=-+①()44416y x x =-+⨯=-+综上所述 ()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（3）依题意 ①如图，当四边形PQMN 是矩形时 此时90PQM ∠=︒①90PQB CQM ∠+∠=︒①90BPQ PQB ∠+∠=︒①BPQ CQM ∠=∠又B BCD ∠=∠①~BPQ CQM ①BP BQ CQ CM= 即4242x x x x-=- 解得：43x =当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =①()()()22224242x x x x -+=+-解得：0x =（舍去）①如图所示 当PB CQ =时 四边形PQMN 是轴对称图形424x x -=- 解得83x = 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ == 即44x -+= 解得：0x =（舍去）综上所述 当四边形PQMN 是轴对称图形时 43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质 动点问题 全等三角形的性质与判定 矩形的性质 平行四边形的性质与判定 菱形的性质 轴对称图形 熟练掌握以上知识是解题的关键．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．。

2023年中考数数学高频考点提升练习 三角形动点问题综合(含解析)

2023年中考数数学高频考点提升练习 三角形动点问题综合(含解析)

2023年中考九年级数数学高频考点提升练习--三角形动点问题综合1．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=3厘米，CB=2厘米．动点P从点C出发，沿CB方向以1厘米/秒的速度向B运动，动点Q从点B同时出发，沿BC方向以1厘米/秒的速度向C运动．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，以CP为一边向上作正方形CPDE，过点Q作QF∥AB，交AC于点F．设点P的运动时间为t秒，正方形CPDE和梯形AFQB重合部分的面积为S平方厘米．（1）当t=秒时，点P于点Q重合；（2）当t=秒时，点D在QF上；（3）当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式．2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD△BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．3．如图，直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8，OB=6.动点P从O点出发，沿路线O→A→B以每秒2个单位长度的速度运动，到达B点时运动停止.（1）则A点的坐标为，B两点的坐标为；（2）当点P在OA上，且BP平分△OBA时，则此时点P的坐标为；（3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并直接写出当S=8时点P的坐标.4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．5．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE△x轴于E点，求OP−DE的值；（3）如图3,已知点F坐标为(−2,−2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持△GFH=90△,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m−n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值. 6．如图（1）如图1，点E在四边形ABCD的边BC上，EA＝ED，且△AED＝△B＝△C．判断AB、BC、CD三边的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在线段BC上，CD ＝3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当AE的值为多少时，线段BF有最小值？并求出线段BF的最小值．7．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动．其中一点停止则另一点也随之停止，设运动时间为t秒．（1）①直接写出t的取值范围：；②当点P运动到AB中点时，连结PQ，PC，BQ，求证：△CPQ△△ABQ；（2）当△BPQ是直角三角形时，求t的值．8．已知△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90∘，AD=AE，连接CE．发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=6，CE= 2，求线段ED的长．9．如图，P、Q分别是边长4cm为的等边ΔABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，分别沿AB，BC边运动，点P到点B停止，点Q到点C停止.社运动时间为t秒，他们的速度都为1cm/s.（1）连接AQ，CP相交于M，在点P，Q的运动过程中∠CMQ的大小是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；（2）当t取何值时，ΔPBQ是直角三角形.10．如图所示，点B坐标为(6，0)，点A坐标为(6，12)，动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间(0<t≤6)．（1）用含t的式子来表示BP=．AQ=．（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？（4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、Q、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，0），（6，0），点D是x轴上的一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）点C的坐标为，△CDE为三角形；（2）当点D在线段AB上运动时，四边形CDBE的周长是否存在最小值？若存在，求出四边形CDBE的周长最小值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△BDE是直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）13．如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝▲ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．14．如图1，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t(s)．（1）当运动时间为t秒时，则BQ的长为cm，BP的长为cm．（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（3）如图2，连接AQ，CP相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ的大小会变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请直接写出它的度数．15．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M 是BC上的一点，BM=1cm，CM=2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM=cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB=AD=a，CB= CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD=∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD=CD，∠ADC=60°，∠ABC=75°，AB=2√2，BC=2，求四边形ABCD的面积．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0<t<5）后，ΔCQP的面积为Scm2．（1）在P、Q两点移动的过程中，ΔCQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，ΔCPQ与ΔCAB相似．答案解析部分1．【答案】（1）1（2）34（3）解：点P 与点Q 重合时，由（1）知t =1；当点D 在AB 上时，如下图所示：此时DP =CP =BQ =t ，∵∠DPB =∠ACB =90°，∠DBP =∠ABC ，∴△DBP ∽△ABC ，∴DP PB =CA CB =32，∴PB =23DP =23t ，∵CP +PB =CB ，∴t +23t =2， 解得t =65， ∴CE =65．∵QF ∥AB ，∴∠FQC =∠ABC ，又∠FCQ =∠ACB =90°，∴△FQC ∽△ABC ，∴CQ CB =CF CA ，即2−652=CF 3， ∴CF =65，∴t =65时，点E 与点F 重合；当点P 到达B 点时，此时t =2．当点P 在Q 、B 两点之间（不包括Q 、B 两点）时，其运动过程可分析如下：①当1<t≤65时，如下图所示，此时重合部分为梯形GDPQ．则PQ=CP+BQ−CB=2t−2，PD=t，由△FQC∽△ABC得：CF=32CQ=32×(2−t)=3−32t，∴EF=CF−CE=3−32t−t=3−52t，∵QF∥AB，∴∠A=∠EFG，又∠ACB=∠FEG=90°，∴△ABC∽△FGE，∴FE CA=EG CB，∴EG=23EF=23×(3−52t)=2−53t，∴DG=ED−EG=t−(2−53t)=83t−2，∴S梯形GDPQ=12(PQ+DG)⋅DP=12(2t−2+83t−2)⋅t=73t2−2t，∴S=73t2−2t；②当65<t<2时，如下图所示，此时重合部分为一个多边形．则CP=BQ=t，CQ=BP=2−t，易知△ABC∽△FQC∽△MBP∽△MND，可得CF=32CQ=32(2−t)=3−32t，MP=32BP=32(2−t)=3−32t，∴DM=DP−MP=t−(3−32t)=52t−3，∴DN=23DM=23×(52t−3)=53t−2，∴S=S正方形EDPC−S△CFQ−S△MDN=CP2−12CF⋅CQ−12DM⋅DN=t2−12(3−32t)⋅(2−t)−12(52t−3)⋅(53t−2)=−116t2+8t−6；综上，当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S={73t2−2t(1<t≤65)−116t2+8t−6(65<t<2)．2．【答案】（1）解：如图1中，点F在AC上，点E在BD上时，①当CFCE=CDAC时，△CFE△△CDA，∴5t16−4t=810，∴t= 64 41，②当CFCE=ACCD时，即5t16−4t= 108，∴t=2，当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，t= 6441s或2s时，△EFC和△ACD相似．（2）解：不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH△BC 于H，EF交AD于N．∵CF=5t．BE=4t，∴CH=CF•cosC=4t，∴BE=CH，∵AB=AC，AD△BC，∴BD=DC，∴DE=DH，∵DN△FH，∴EDDH=ENNF=1，∴EN=FN，∴S△END=S△FND，∴△EFD被AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被AD分得的两部分面积相等，∴不存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5．（3）解：①如图3中，当以EF为直径的△O经过点A时，△O与线段AC有两个交点，连接AE，则△EAF=90°．由ACEC=cosC= 45，可得1016−4t=45，∴t=78，∴0≤t＜78时，△O与线段AC只有一个交点．②如图4中，当△O与AC相切时，满足条件，此时t= 6441．③如图5中，当△O与AB相切时，cosB= BFBE，即45=20−5t4t，解得t= 10041．④如图6中，△O 经过点A 时，连接AE ，则△EAF=90°．由cosB= AB AE = 45 ，即 104t = 45 ，t= 258， ∴258＜t≤4时，△O 与线段AC 只有一个交点． 综上所述，当△O 与线段AC 只有一个交点时，0≤t ＜ 78 或 6441 或 10041 或 258＜t≤4 3．【答案】（1）（8，0）；（0，6）（2）（3，0）（3）解：∵OA=8，v=2，∴t=8÷2=4，∴P 从O 运动到A 的时间为4秒，∴当0≤t≤4时，P 在线段OA 上运动.OP=2t ，PA=8－OP=8－2t ，S=S △BAP = 12 •PA•OB= 12•（8-2t ）•6=24－6t. 当S=8时，8=24－6t ，解得：t= 83 ，∴OP=2t =2× 83 = 163 ，∴P （ 163，0）.答：S= 24－6t （0≤t≤4），当S=8时，P （ 163，0）.4．【答案】（1）解：能．理由如下：在ΔDFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE//DF，又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40−4t=2t，解得t=20 3．∴当t=203秒时，四边形AEFD为菱形．（2）解：①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF//AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=12AE=t，又AD=40−4t，即40−4t=t，解得t=8；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在RtΔAED中∠A=60°，∴∠ADE=90°−∠A=30°，∴AD=2AE，即40−4t=4t，解得t=5．③若∠DFE =90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t =8或5秒时，ΔDEF 为直角三角形．5．【答案】（1）解：过C 作CM△x 轴于M 点，如图1，∵CM△OA ，AC△AB ，∴△MAC+△OAB= 90° ,△OAB+△OBA= 90°则△MAC=△OBA在△MAC 和△OBA 中 {∠CMA =∠AOB =90∠MAC =∠OBA AC =BA∘则△MAC△△OBA(AAS)则CM=OA=2,MA=OB=4,则点C 的坐标为(−6,−2)；（2）解：过D 作DQ△OP 于Q 点,如图2,则OP−DE=PQ,△APO+△QPD= 90° ，△APO+△OAP= 90° ，则△QPD=△OAP ，在△AOP 和△PDQ 中 {∠AOP =∠PQD =90∘∠QPD =∠OAP AP =PD则△AOP△△PDQ(AAS)∴OP−DE=PQ=OA=2；（3）解：结论②是正确的，m+n=−4，如图3,过点F 分别作FS△x 轴于S 点,FT△y 轴于T 点,则FS=FT=2，△FHS=△HFT=△FGT ，在△FSH 和△FTG 中 {∠FSH =∠FTG =90∘∠FHS =∠FGT FS =FT则△FSH△△FTG(AAS)则GT=HS ，又∵G(0,m),H(n,0),点F 坐标为(−2,−2)，∴OT═OS=2，OG=|m|=−m ，OH=n ，∴GT=OG−OT=−m−2，HS=OH+OS=n+2，则−2−m=n+2，则m+n=−4.6．【答案】（1）解：AB ，BC ，CD 三边的数量关系是：AB+CD ＝BC ， 理由如下：∵△AEB+△AED ＝△BED ，△EDC+△C ＝△BED ，且△AED ＝△C ，∴△AEB ＝△EDC ，在△ABE 和△ECD 中，{∠B =∠C ∠AEB =∠EDC AE =ED，∴△ABE△△ECD （AAS ），∴AB ＝EC ，BE ＝DC ，∴AB+CD ＝BE+EC ＝BC ；（2）解：如图，过D 作BD 垂线B'D 且使得B'D ＝BD ，连接B'E ，∵△EDF ＝△B'DB ＝90°，∴△BDF+△B'DF ＝△B'DF+△B'DE ，∴△BDF ＝△B'DE ，在△B'DE 与△BDF 中，{B ′D =BD ∠BDF =∠B ′DE DE =DF，∴△B'DE△△BDF （SAS ），∴BF ＝B'E ，∵点到直线垂线段最短，∴B'E△AC 时，B'E 取最小值，过点B'作B'G△AC 交AC 于G ，∵△C ＝△CDB'＝△CGB'＝90°，∴四边形CDB'G 为矩形，∴B'G ＝CD ＝3，CG ＝B'D ＝BD ＝8﹣3＝5，∴BF 取最小值时AE ＝AG ＝AC ﹣CG ＝1，BF 最小值为B'G ＝3．7．【答案】（1）0≤t≤7；解：②证明：如图1中，由题意点P 运动到AB 的中点时，t ＝5， ∴CQ ＝5×2﹣8＝2， ∵△ACB ＝90°，PA ＝PB ，∴PC ＝PA ＝PB ＝5， ∴△PCQ ＝△A ， ∵QC AQ =24=12 ， CP AB =12， ∴QC AQ =CP AB ， ∴△QCP△△CAB ，（2）解：①如图2中，当PQ△AC 时，△PQB ＝△C ＝90°，∵PQ△AC ，∴BQ BC =BP AB，∴2t 8=10−t 10， 解得： t =207； ②如图3中，当△QPB ＝90°时，∵△QPB ＝△ACB ＝90°，△B ＝△B ，∴△BPQ△△BCA ，∴PB BC =BP BA， ∴10−t 8=2t 10， 解得： t =5013； 综上所述，满足条件的t 的值为： 207 或 5013. 8．【答案】（1）BD△CE ；BC=CD+CW 尝试探究：（2）解： BD ⊥CE 成立，数量关系不成立，关系为 BC =CE −CD ． 理由：如图2中，由 (1) 同理可得，∵∠BAC =∠DAE =90∘ ，∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD即 ∠BAD =∠CA E ，∴ 在 △ABD 和 △ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∵△ABD △ △ACE(SAS) ，∴BD =CE ， ∠ACE =∠ABC ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =45∘ ，∴BD =BC +CD ，即 CE =BC +CD ， ∠ACE +∠ACB =90∘ ， ∴BC =CE −CD ； BD ⊥CE ；拓展延伸：（3）解：如图3中，由 (1) 同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠EAC，易证△ABD△ △ACE(SAS)，∴BD=CE=2，∠ACE=∠ABD=135∘，∴CD=BC+BD=BC+CE=8，∵∠ACB=45∘∴∠DCE=90∘，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2=DC2+CE2=82+22=68，∴DE=2√17．9．【答案】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，△B=△PAC=60°，∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，在△APC和△BQA中{AP＝BQ∠PAC＝∠B AC＝AB，∴△APC△△BQA（SAS），∴△BAQ=△ACP，∴△CMQ=△CAQ+△ACP=△BAQ+△CAQ=△BAC=60°，∴在P、Q运动的过程中，△CMQ不变，△CMQ=60°；（2）∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，∴PB=4-t，①当△PQB=90°时，∵△B=60°，∴PB=2BQ，∴4-t=2t，解得t=4 3，②当△BPQ=90°时，∵△B=60°，∴BQ=2PB ，∴t=2（4-t ），解得 t =83， ∴当t 为 43 s 或 83s 时，△PBQ 为直角三角形 10．【答案】（1）6-t ；12-2t（2）解：当 ∠BPQ =∠BOA 时，即 PQ//OA ，则 △BPQ ∼△BOA ， ∴BP BO =BQ BA ，即 6−t 6=2t 12， 解得： t =3 ；当 ∠BPQ =∠A 时，则 △BPQ ∼△BAO ，∴BP BA =BQ BO ，即 6−t 12=2t 6， 解得： t =65； ∴当 t =65秒或3秒时，以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与 △AOB 相似 （3）解： y =S △OAB −S △BPQ =12×6×12−12×2t ×(6−t)=t 2−6t +36=(t −3)2+27 ，∵a =1 ，∴t =3 时，y 有最小值是27；（4）解：存在，理由如下：当E 在y 轴负半轴上时，以B 、Q 、E 、P 为顶点不能形成四边形； 当E 在y 轴正半轴上时，设 E(0，m) ，∴以B 、Q 、E 、P 为顶点的四边形的面积=梯形 BQEO 的面积- △OPE 的面积， 即 12×6×(m +2t)−12×m ×t =(6−12m)t +3m ， 当以B 、Q 、E 、P 为顶点的四边形的面积是一个常数，则 6−12m =0 ，解得： m =12 ，∴点E 的坐标为 (0，12) ；11．【答案】（1）（3，3 √3 ）；等边（2）解：存在，理由如下：∵△ABC 为等边三角形，∴△ACD+△DCB=60°，∵△DCE为等边三角形，∴△BCE+△DCB=60°，∴△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，{CA＝CB∠ACD＝∠BCECD＝CE，∴△ACD△△BCE（SAS）∴AD=BE，∴四边形CDBE的周长=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD，当CD最小时，四边形CDBE的周长存在最小值，由垂线段最短可知，CD△AB时，CD最小，CD的最小值为3 √3，∴四边形CDBE的周长最小值为6+6 √3，此时点D的坐标为（3，0）（3）解：由（2）可知，△ACD△△BCE，∴BE=AD，∴△DBE=120°或60°，不能为90°，如图②，△DEB=90°时，△DBE=60°，∴△BDE=30°，∴DB=2BE，∵BE=AD，∴AD=AB=6，此时，点D的坐标为（-6，0），如图③，当△BDE=90°时，△ADC=90°-60°=30°，∵△CAD=60°，∴△ACD=90°，又△ADC=30°，∴AD=2AC=12，此时，点D的坐标为（12，0），综上所述，当△BDE是直角三角形时，点D的坐标为（-6，0）或（12，0）．12．【答案】（1）解：①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm.又∵PC=BC−BP，BC=4cm，∴PC=4−1=3cm，∴PC=BD.∴△BPD≅△CQP；②假设△BPD≅△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≅△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQ t=32=1.5cm/s；（2）2413．【答案】（1）FC；4（2）解：∵△CDE△△CBF，∴EC＝FC，△DCE＝△BCF，∵△DCE+△ECB＝90°，∴△BCF+△ECB＝90°，即△ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝√DE2+CD2＝√12+22＝√5，∴EF＝√2CE＝√2× √5＝√10，∵Q为EF中点，∴CQ＝12EF＝12×√10＝√102；（3）解：t＝（√5+1）s∵BP△CF，△ECF＝90°，∴△BPC＝90°，∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝√AB2+BG2＝√22+12＝√5，∴AP＝AG﹣PG＝√5﹣1，∵BC△DE，∴△AEP＝△GCP，∵GC＝GP，∴△GCP＝△GPC，∵△GPC＝△APE，∴△AEP＝△APE，∴AP＝AE＝√5﹣1，∴E （0，1﹣ √5 ），∴DE ＝2﹣（1﹣ √5 ）＝ √5 +1，∴t ＝（ √5 +1）s ，故答案为：（ √5 +1）s ；设CE 的解析式为：y ＝kx+b （k≠0），将C （2，2）、E （0，1﹣ √5 ）代入解析式得： {2k +b =2b =1−√5， 解得： {k =√5+12b =1−√5，∴CE 的解析式为：y ＝ √5+12x+1﹣ √5 ， 令y ＝0，x ＝3﹣ √5 ，∴K （3﹣ √5 ，0），∴BK ＝2﹣（3﹣ √5 ）＝ √5 ﹣1，∴BK AB ＝ √5−12， ∴点K 是线段AB 的黄金分割点．14．【答案】（1）t ；（3-t ）（2）解：由（1）得：AP =BQ =tcm ，BP =(3−t)cm ，①如图1，当∠PQB =90°时，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，∴∠BPQ =30°，∴PB =2BQ ，即3−t =2t ，解得：t =1，②如图2，当∠BPQ =90°时，∵∠B=60°，∴∠BQP=30°，∴BQ=2BP，即t=2(3−t)，解得：t=2，∴当t=1或t=2时，△PBQ为直角三角形；（3）解：不变，∠CMQ=60°．15．【答案】（1）√102（2）解：∵AD⊥CD，CB=CD，AB⊥BC，∴将△BCP绕点C旋转后得到△DCM，此时BC与DC重合，∴△BCP△△DCM，∴△DCM=△PCB，BP=DM，PC=CM，∵∠PCB+∠QCD=∠PCQ，∴∠DCM+∠QCD=∠PCQ，∴∠QCM=∠PCQ，∵PC=CM，QC=QC，∴△QCP△△QCM，∴PQ=QM，∴△APQ的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，∵AB=AD=a，∴△APQ的周长=2a；（3）解：如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E△BE；{AD=CD∠CDB=∠ADB′BD=B′D∴△BCD△△B′AD∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，∵△ABC=75°，△ADC=60°，∴△BAB′=135°∴△B′AE=45°，∵B′A=BC=2∴B′E=AE= √2，∴BE=AB+AE=2 √2+ √2= 3√2，∴BB′=√(√2)2+(3√2)2=2√5∵等边△DBB′，∴BB′上的高= =2√5×√32=√15，∴.SΔABB′=12⋅AB⋅B′E=12×2√2×√2=2∴SΔBDB′=12×2√5×√15=5√3，∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′= =5√3−2；16．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，AP=2tcm，PC=(10−2t)cm，CQ=tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH=35(10−2t)cm根据题意，得12t•35(10−2t)=3.6，解得：t1=2，t2=3，∴ΔCQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）解：如图1，当∠PQC=90∘时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10−2t，∴ΔPQC△ ΔABC，∴PCAC=CQBC，即10−2t10=t8，解得t=4013（秒）如图2，当∠CPQ=90∘时，PQ⊥AC，∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，∴ΔCPQ△ ΔCBA，∴CPBC=CQAC，即10−2t8=t10，解得t=257（秒）综上所述，t为4013秒与257时，ΔCPQ与ΔCBA相似．。

专题29动点综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】

专题29动点综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题29动点综合问题一、单选题1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=24√3，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）A．24√13B．24√15C．12√13D．12√153．（2022·四川乐山·中考真题）如图，等腰△ABC的面积为2√3，AB=AC，BC=2．作AE∠BC且AE=1BC．点2P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．√3B．3C．2√3D．44．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D 出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t=4s时，四边形ABMP为矩形B．当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD=PM时，t=4sD．当CD=PM时，t=4s或6s5．（2022·黑龙江·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF 交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：∠AE⊥BF；∠∠OPA=45°；∠AP−BP=√2OP；∠若BE:CE=2:3，则tan∠CAE=47；∠四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．其中正确的结论是（）A．∠∠∠∠B．∠∠∠∠C．∠∠∠∠D．∠∠∠∠6．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A．4B．2√3C．2D．07．（2022·广西·中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB=4,∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′⌢的长是（）A．2√33πB．4√33πC．8√39πD．10√39π8．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，点A的坐标为(0,2)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(m,3)，则m的值为（）A．4√33B．2√213C．5√33D．4√2139．（2022·辽宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2BC=4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．10．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市某天的气温y1（单位：∠）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y2与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图∠所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∠AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图∠所示，下列说法正确的是（）A．AF=5B．AB=4C．DE=3D．EF=812．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S=S1−S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．13．（2022·甘肃武威·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB 方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3二、填空题14．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，∠ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C 重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____．15．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图1，在∠ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t 的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．16．（2022·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4√2，对角线AC,BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD,BD于点F、G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________．17．（2022·四川广元·中考真题）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE 的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为_____cm．18．（2022·湖北随州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将∠AEF绕点A逆时针旋转角θ(0<θ<90°)，使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H，则∠BHD的度数为______，DH的长为______．19．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中ABBC =23．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1<v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好在CD的中点重合，则v1v2的值为______．20．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为____________．21．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2√3，BC=3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为______．22．（2022·河南·中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．三、解答题23．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．24．（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．25．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图∠放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图∠位置．小莹用作图软件Geogebra按图∠作出示意图，并连接AG,BH，如图∠所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．请你证明：AG=BH．【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图∠，猜想并证明DG与BH的位置．．关系．【拓展延伸】小亮将图∠中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图∠，按图∠作出示意图，并连接HB,AG，如图∠所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量．．关系．x−4分别与x，y轴交于点A，B，26．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x2+bx+c恰好经过这两点．抛物线y=518(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是(0,6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．∠写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；BP+EP取最小值时，点P的坐标．∠若点P是y轴上的任一点，求3527．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为t(s)(0< t<5)．解答下列问题：(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC 交于点M，N，猜想证明：（1）如图∠，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图∠，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图∠，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．29．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t秒．(1)点D到边AB的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．30．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2=BD⋅CD，连接AB,AC．(1)求证：AD为⊙O的切线；(2)筒车的半径为3m，AC=BC,∠C=30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：√2≈1.4,√3≈1.7）．31．（2022·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，对称轴为直线x=−1，顶点为点D．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA，DC，CB，CA，如图∠所示，求证：∠DAC=∠BCO；(3)如图∠，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y=−x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1=2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．32．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，∠ABC和∠ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．(3)【拓展提升】如图3，∠ABC和∠ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC ＝ADDE＝34．连接BD，CE．∠求BDCE的值；∠延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．33．（2022·湖南湘潭·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．(1)特例体验：如图∠，若直线l∥BC，AB=AC=√2，分别求出线段BD、CE和DE的长；(2)规律探究：∠如图∠，若直线l从图∠状态开始绕点A旋转α(0<α<45°)，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；∠如图∠，若直线l从图∠状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图∠中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC．x2+bx+c与x轴交于O(0，0)，A(4，0)两点，顶点34．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数y=12为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．(1)求二次函数的表达式；(2)∠求证：△OCD∽△A′BD；∠求DB的最小值；BA(3)当S△OCD=8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．35．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+c与y轴交于点P(0,4)．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线y=−x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线y=−x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线y=−x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线y=−x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．36．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC于点E．(1)求抛物线y=−x2+bx+c的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为ℎ(ℎ>0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x−3的顶点为A，与y 轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．(1)求点B的坐标及直线AC的解析式：(2)当二次函数y=x2−2x−3的自变量x满足m⩽x⩽m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p−q=2．求m的值：(3)平移抛物线y=x2−2x−3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．38．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．∠求点C和点D的坐标；∠若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN 面积的最大值．39．（2022·河北·中考真题）如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x)2上，且在C的对称轴右侧．(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9．求点P′移动的最短路程．40．（2022·江苏连云港·中考真题）已知二次函数y=x2+(m−2)x+m−4，其中m>2．(1)当该函数的图像经过原点O(0,0)，求此时函数图像的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=−x−2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．。

中考数学动点问题专题练习(含答案)

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（动点问题）1．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ，N ，H ，设点D 的横坐标为m ．①当DF HF +取最大值时，求点F 的坐标；②连接EG ，若45GEH ∠=︒，求m 的值．2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C 、B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF V 的面积分成两部分，若:3:2BDE BEF S S =V V ，请求出点D 的坐标．3．如图1，对于平面内小于等于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”，记作(),d MON P ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠．(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ，则(),d xOy A ∠=______ ，(),d xOy B ∠=______．(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点，且满足(),5d xOy P ∠=，在图2中画出点P 运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点，点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合)，求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标．4．如图，抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -，和点B ，点D 是抛物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点()10C -，．(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若MCB DAC ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时P 点坐标；(3)如图，设抛物线与y 轴交于点D ，平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ，N ，作直线MB ND 、交于点G ，问点G 是否在某一定直线上运动，若在求此直线的解析式，若不在说明理由．8．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3O B O C O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．10．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()20A -，，()40B ，，()08C ，三点，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC V 的面积最大，求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC V 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段BC 上的一个动点，平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ，求FBC V 面积的最大值；(3)设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求PAB V 面积的最大值；(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，设点M 的横坐标为m ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ，()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C -．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的下方，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接CP ，若45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；(3)连接BP ，求四边形OBPC 面积的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y x t =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N ，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在；说明理由17．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC V 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点，若2OAQ OAC S S =V V ，请求出点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点H ，平面内是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭；②1或952．(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．(1)5，5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭，或524⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2，此时P 点坐标为()1,0-(3)在，3y x =--8．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为329．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为810．(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-11．(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28，时，PBC V 的最大面积为8； (3)存在，点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，．12．(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在，点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13．(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14．(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在，点P 的横坐标为2911或7．15．(1)223y x x =+- (2)(14)--， (3)63816．(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在，()0,17Q 或()0,33-17．(1)()2,0A -，()6,0B ，()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PBC S V 有最大值272(3)存在，点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18．(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。

最新九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题含答案

最新九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题含答案

2023年九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题1．如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，3cos5B=，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∥DAE＝∥BAC，射线EA交射线CD于点F．设,AFBC x yAC==(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若AC∥AE，求AF的长．2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF(1)如图，当点落在BD上时，求AE的长；(2)如图，当2AE=时，探索BF与CF的位置关系，并说明理由；(3)在点E从点A出发后，当BCF△为等腰三角形时，直接写出AE的长．3．如图1，将等腰三角形ABC沿着底边AC对折得到∥ADC，∥ABC是锐角，E是BC(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)当AE ∥BC ，∥EAF ＝∥ABC 时，求证：AC 垂直平分EF ；(3)如图2，当∥EAF ＝∥BAC 时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连接BD ，MN ，若AB ＝4，sin∥ABD 14=，则当CE ＝ 时，∥AMN 是等腰三角形．4．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在AB 边上，1AE =．点F 是直线BC 上的动点．将BEF 沿EF 折叠得到将GEF △．直线GF 与直线BD 的交点为点H ．(1)若点G 落在AD 边上（如图2），连结BG ，请判断BGF 的形状并说明理由； (2)若点F 与点C 重合（如图3），求点G 到直线BC 的距离；(3)在点F 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BHF 是以FH 为腰的等腰三角形？若存在，求CF 的长；若不存在，请说明理由．5．已知，在矩形ABCD 中，BCAB＝m ，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ． （1）如图，当F 为AB 的中点，G 与D 重合时，将∥AFD 沿FD 翻折至∥EFD ，连AE ，BE ．∥若C ，E ，F 三点共线，求m 的值．（2）当F ，G 不与端点重合时，将四边形AFGD 沿FG 翻折至四边形FHPG ，点H 恰好落在BC 上，HP 交CD 于点Q ，连AH ，交GF 干占O ，若m ＝1516，tan∥CGP ＝247，GF ＝752，求CP 的长．6．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD ．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为()3,4-，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB △的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）．（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，M PB ∠与BCO ∠互为余角，并求此时直线OP 的解析式．8．如图，菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点P 是线段BC 上一动点（不与点B 重合），AP 与对角线BD 交于点E ，连接EC ． （1）求证：△ABE ∥ △CBE ；（2）如图∥，若∥ABC ＝60°，BPBE 的长；（3）若AB ＝AC ，如图∥，点P 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同速度沿BC 、CA向终点C 和A 运动，连接AP 和BN 交于点G ，当tan ∥CBN 求BG 与GN 的比值．9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15BC =，25AB =．动点P 从点A 出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC CB -向终点B 运动，当点P 不与ABC 顶点重合时，作135CPQ ∠=︒，交边AB 于点Q ，以CP 、PQ 为边作CPQD ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求AC 的长（2）当点P 在边AC 上时，求点Q 到边AC 的距离（用含t 的代数式表示） （3）当CPQD 的某条对角线与ABC 的直角边垂直时，求CPQD 的面积（4）以点P 为直角顶点作等腰直角三角形EPQ ，使点E 与点C 在PQ 同侧，设EQ 的中点为F ，CPQD 的对称中心为点O ，连结OF ．当//OF PQ 时，直接写出t 的值10．如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8,点P 是对角线BD 上一动点,PQ∥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得N 点落在射线PD 上，点O 是边CD 上一点， 且OD ：BP=3:4.（1）联结DQ ，当DQ 平分∥BDC 时，求PQ 的长； （2）证明：点O 始终在QM 所在直线的左侧；（3）若以O 为圆心，半径长为0.8作∥O,当QM 与∥O 相切时，求BP 的长．11．如图，已知∥ABC 中，∥ABC ＝45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．（1）如图1，若∥ABE ＝15°，BC1，求DF 的长；（2）如图2，若BF ＝AC ，过点D 作DG ∥BE 于点G ，求证：BE ＝CE ＋2DG ； （3）如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角∥BRH ，M 为RH 的中点．在（2）的条件下，将∥CEF 绕点C 旋转，得到∥CE ′F ′，E ，F 的对应点分别为E ′，F ′，直线MF ′与直线AB 交于点P ，tan∥ACD ＝13，直接写出当MF ′取最小值时'RMPF 的值．12．（1）问题发现如图1，在Rt ABC 和Rt CDE △中，90,45ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ． 填空：∥BEAD的值为___________________，∥DBE ∠的度数为__________； （2）类比探究如图2，在Rt ABC 和Rt CDE 中，90,60ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请判断BEAD的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D 改为直线AB 上一动点，其余条件不变．取线段DE 的中点M ，连接,BM CM ，若2AC =，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是菱形时，则菱形的边长是多少？请直接写出答案．13．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，A α∠=，点D 为射线AC 上一动点，作BDE α∠=，过点B 作BE BD ⊥，交DE 于点E ，（点A ，E 在BD 的两侧）连接CE ．（1）如图1，若45α=︒时，请直接写出线段AD ，CE 的数量关系：（2）如图2，若60α=︒时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由：（3）若30α=︒，6AC =，且ABD △为等腰三角形时，请直接写出线段CE 的长．14．如图1，在Rt∥ABC 中，点C 为直角顶点，点D 为AB 上的一点，且AB ＝10． （1）当CD ∥AB 时，求证：BC 2＝AB ·BD ；（2）如图2，当点D 为AB 的中点时，AC ＝8，点E 是边BC 上的动点，连结DE ，作DF ∥DE 交AC 于点F ，连结EF 、CD 交于点G ，当EG ∥FG ＝1∥2时，求线段CE 的长； （3）当∥CAB ＝15°时，点P 是AC 上一点，求12P A ＋PB 的最小值．15．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝20，cos A ＝4，点D 为AC 边上的动点（点D 不与点A ，C 重合），以D 为顶点作∥BDF ＝∥A ，射线DE 交BC 边于点E ，过点B 作BF ∥BD 交射线DE 于点F ，连接CF ． （1）求证：△ABD ∥∥CDE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AD 的长；（3）点D 在AC 边上运动的过程中，若DF ＝CF ，则CD ＝ ．16．平行四边形ABCD 中，N 为线段CD 上一动点．（1）如图1，已知90ADC ∠<︒．若DR BN =，求证：四边形DRBN 为平行四边形； （2）如图2，已知60ABC ∠=︒．若BN 为ABC ∠的角平分线，T 为线段BN 上一点，DT 的延长线交线段BC 于点M ，满足：1tan 2BTM ∠=且DN BM =．请认真思考（1）中图形，探究MDAD的值． （3）如图3，平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2AB BC ==，P 在线段BD 上，Q 在线段CD 上，满足：2BP CQ =．直接写出()2QA AP +的最小值为________．17．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝16，cos B ＝45，点P 是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长 （3）当∥AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．18．（1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：如图∥，当四边形ABCD 是矩形时，Rt EMF 的直角顶点M 在BC 边上运动，直角边分别与线段BA 、线段CD 交于E 、F 两点，在点M 运动的过程中，始终存在着EBM MCF ∽.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图∥，在ABC 中，A B ∠=∠，点D 为AB 边上的动点，过点D 作EDF A ∠=∠，交AC 于点E ，交BC 于点F ，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）结合上述规律，解决下列问题：如图∥，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），过点P 作PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥交AC 于点F ，若PEF 为等腰三角形，求PC 的长.19．在Rt ABC 中，90BCA A ABC D ∠︒∠∠＝，＜，是AC 边上一点，且DA DB ＝，O 是AB 的中点，CE 是BCD △的中线．()1如图a ，连接OC ，请直接写出OCE ∠和OAC ∠的数量关系：；()2点M 是射线EC 上的一个动点，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得射线ON ，MON ADB ON ∠∠＝，与射线CA 交于点N ．∥如图b ，猜想并证明线段OM 和线段ON 之间的数量关系；∥若30BAC BC m ∠︒＝，＝，当15AON ∠︒＝时，请直接写出线段ME 的长度（用含m 的代数式表示）．20．在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点A （0，2），B （1，0），点C 为线段AB 的中点．将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，连结CD ，AD ．点P 是直线BD 上的一个动点．（1）求点D 的坐标和直线BD 的解析式； （2）当∥PCD ＝∥ADC 时，求点P 的坐标；（3）若点Q 是经过点B ，点D 的抛物线y ＝ax 2+bx +2上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点Q ，使得以点P 、点Q 、点D 为顶点的三角形与∥ACD 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(2)220425y x x =---（0＜x ＜5）；2．(1)6(2)CF BF ⊥，(3)12+12-3． (3)43或2或454．(1)BGF 是等边三角形 (2)10029 (3)195或2535．（1）∥∥AEB ＝90°；∥m（2）CP． 6．（1）1；（2）)3PB x -；（3）222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩7．（1）1522y x =-+；（2）52524S t =-（552t <≤）；（3）1,22t y x ==-或256t =；13y x = 8．（2）125；（3）34 9．（1）20；（2）3MQ t =；（3）36或3600121；（4）2013t =或4t = 10．（1）PQ =3;（3）163BP =． 11．（1（312．（1）1；90︒；（2）90BE DBE AD=∠=︒；（3）2或13．（1）AD CE =；（2）不成立，EC ；（33或14．（2）7541；（3）15．（2）252；（3）14．16．（2（3）17．（1）10；（2）72；（3）18．（1）存在两个相似的三角形，AED BDF ∽；（2）PC 的长为94或10843或2.19．（1）∠∠＝ECO OAC （2）∥＝OM ON ；∥满足条件的EM 的值为m 或12m ． 20．（1）1122y x =-；（2）点P 的坐标为（2，12）或（8，72）；（。

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动点综合问题一
【例1】（2016广东梅州）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛
物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
【例2】（2016四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心
Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方
向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P
与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．
（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
【例3】（2016山东济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、
E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折
线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其
中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大
致图象为（）
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．
5．（2016青海西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=3
同步练习
一、选择题
1．（2016山东泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4．（2016湖北荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O 于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A D、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
2．（2016山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发
（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大
致是（）
4，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB
向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分
别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）二、填空题
6．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．
7．（2016江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，23），
C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P
作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标
为．
9．（2016浙江舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），
∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q
随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．
8．（2016江苏镇江）如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，
0＜x＜90），优弧ABC的弧长与劣弧AC的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关
系，则α=度．
10．（2016辽宁沈阳）如图，在△Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点
M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，M E，DN与ME相交于点O．若
△OMN是直角三角形，则DO的长是．
x
三、解答题
11．（2016四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与
y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形A BPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形
ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否
存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直
线m的解析式，若不存在，请说明理由．
13．（2016四川雅安）已知△Rt ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、
C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是△Rt？若存在，求此时的的值；若不存在，请说明理由．
12．（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，
且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并
直接写出|PM﹣AM|的最大值．
14．（2016山东枣庄2015江苏盐城）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在
线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=63，∠BAD=60°，且AB＞63．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（△3）若EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小
值．
15．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．16．（2016山东青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，
交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S
五边形OECQF
：△S
ACD
=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2016广东梅州）如图，在△Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（△2）若MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．18．（2016广西南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

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