职高-分步计数原理与分类计数原理练习题
综合练习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。
分类计数原理与分步计数原理例题
分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。
首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。
1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。
2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。
3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。
4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。
5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。
所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。
二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。
例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。
首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。
所以，John有12种不同的搭配方式。
例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。
首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。
所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。
综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。
通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。
这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。
(完整word版)高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步练习2
1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1一. 选择题:1．某人射击8枪, 命中4枪, 恰好有3枪是连续命中的, 则符合条件的射击方式有（A）720种（B）480种（C）224种（D）20种2. 某商店有三层, 第一层有4个门, 从第一层到第二层有3个楼梯, 从第二层到第三层有2个通道, 某顾客从商店外直至三层, 不同的走法有（A）9种（B）10种（C）12种（D）24种3. 已知集合A={x| －2≤x≤10, x∈Z}, m, n∈A, 方程表示长轴在x轴上的椭圆, 则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个4. 从4本不同的书中挑选3本, 分别给甲、乙、丙三名同学, 每人一本, 则不同的挑选方法有（A）12种（B）24种（C）64种（D）81种5. 汽车上有十名乘客, 沿途前方有五个车站, 乘客下车的不同方式可能有（）。
（A）510种（B）105种（C）50种（D）以上都不对二. 填空题:6. 十字路口来往的车辆, 若不允许车辆在路口回头往回开, 那么共有种不同的行车路线。
7. 某城市自行车有10000辆, 牌照号码从00001到10000, 则牌照中牌照号码由数字5的自行车共有辆。
8. 不计算乘积, 判断[(a1+a2)(b1+b2+b3)+c1+c2](d1+d2+d3)展开式中共有项。
9．某赛季足球比赛的计分规则是, 胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分, 一球队打完15场, 积33分, 若不考虑顺序, 则该队胜、平、负的情况可能有种。
10. 72含有个正约数, 在这些约数中, 正偶数有个。
11. （1）若x, y∈N且x+y≤6, 则有序自然数对(x, y)有个；（2）若1≤x≤4, 1≤y≤5, 以有序整数对(x, y)为坐标的点有个。
12. 由壹元币3张, 伍元币1张, 拾元币2张, 可以组成种不同的币值。
13．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色, 如果每一区域涂一种颜色, 相邻的区域不能同色, 那末涂色的方法有种。
(完整word版)分类计数原理与分步计数原理练习测验题
分步计数原理与分类计数原理基本知识点复习1.分步计数原理:2.分类计数原理:复习练习题选一、选择题1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出地4人中恰好有1名女同学地选法有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种2.某班新年联欢会原定地5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同地插法地种类为（ ）A.42 B.30 C.20 D.123.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选地课程中至少有一门不相同地选法共有（ ）A.6种B.12种C.30种D.36种4.三边长均为整数，且最大边长为11地三角形地个数是（ ）A.25B.26C.36D.375.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I 地两个非空子集A 、B 要使B 中最小地数大于A 中最大地数，则不同地选择方法共有（ ）A.50种 B.49种 C.48种 D.47种6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P={0,1,2}，Q={1,2,3,4}，则P*Q 中地元素地个数是（ ）A.4 B.7 C.12 D.167.从长度分别为1,2,3,4,5地五条线段中任取三条地不同取法有n 种，以取出地三条线段为边可组成地钝角三角形地个数为m ，则nm 等于（ ）A.101 B.51 C.103 D.52 8.若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0,1}地函数，则这样地函数共有（ ）A.128个B.126个C.14个D.16个9.已知直线01=++by ax 中地a,b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中地两个不同地元素，并且直线地倾斜角大于060，那么符合这些条件地直线共有（ ）A.8条 B.11条 C.13条 D.16条10.从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中地m 和n ，则能组成落在区域}9||11|||),{(<<=y x y x B 且内地椭圆个数为（ ）A.43 B.72 C.86 D.90二、填空题11.从集合{1,2,3，…，11}中选处由5个数组成地子集，使得这5个数中任何两个数地和都不等于11，这样地子集共有个12.将4名大学生分配到3个乡镇去任村官，每个乡镇至少一名，则不同地分配方案有种（用数字作答）13.某班共30人，其中13任喜欢篮球运动，10任喜欢乒乓球运动，8人对着两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动地人数是14.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字地四位数，其中个位，十位和百位上地数字之和为偶数地四位数共有个（用数字作答）15.三、解答题16.从1得到100地自然数中，每次取出不同地两个数，使它们地和大于100，则不同地取法有多少种？17.设有编号为1,2,3,4,5地5个球和编号为1,2,3,4,5地5个盒子，现将这5个球放入这5个盒子内.（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球地编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子里投放一球，并且至少有两个球地编号与盒子编号是相同地，有多少种投放方法？18.有0,1,2，…，8这9个数字.（1）用这9个数字组成四位数，共有多少个不同地四位数？（2）用这9个数字组成四位地密码，共有多少个这样地密码？（3）用5张卡片，正反两面分别写上0,8；1,7；2,5；3,4；6,6，且6可作9用，这5张卡片共能拼成多少个不同地四位数？19.（1）从集合}3,2,1,0,1,2,3{--=-中任取3个不同地数作为抛物线c bx ax y ++=2地系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样地抛物线共有多少条？（2）甲、乙两个自然数地最大公约数为60，则甲、乙两数地公约数共有多少个？20.在平面直角坐标系内，点),(b a P 地坐标满足b a ≠，且a,b 都是集合{1,2,3,4,5}地元素，有点P 到原点地距离5||≥OP ，求这样地点P 地个数.21.已知集合}3,2,1,0{},,,,{4321==B a a a a A ,f 是从A 到B 地映射.（1）若B 中任一映射都有原像，则这样地映射f 有多少个？（2）若B 中地映射0必无原像，则这样地映射f 有多少个？（3）若f 满足4)()()()(4321=+++a f a f a f a f ，这样地映射f 又有多少个？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.y6v3A。
中职高考数学一轮复习讲练测专题10-1 计数原理(练)(含详解)
专题10.1 计数原理1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种A ．25B ．52C ．35D ．533．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( )A ．8B ．15C ．125D ．2434. 1.A 67－A 56A 45等于( ) A ．12B ．24C ．30D ．365．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种6．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种( )A ．144B ．90C ．260D ．1207．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)8．若C 8n ＝C 2n ，则n ＝( )A．2 B．8C．10 D．128. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是()A．C16C294B．C16C299C．C3100－C394D．A3100－A39410.某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？1．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．2792.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．以上都不对3．用数字1,2,3组成三位数．(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数；(2)其中数字不重复的三位数共有____________个；(3)其中必须有重复数字的有____________个．4．若A n10－A n9＝n！·126(n∈N＋)，则n等于()A．4 B．5C．6 D．5或65．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()种A．720 B．360C．240 D．1206．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A258．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种9. 有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．10．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法；(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？11．有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？12.．某校为庆祝2015年教师节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．1.（2020年河北对口高考）某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有( )A.20种B.40种C.60种D.80种2.（2020年河北对口高考）某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有种.3.（2019年河北对口高考）北京至雄安将开通高铁，共设有6 个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（）A.12 种B.15 种C.20 种D.30 种4.（2019年河北对口高考）某学校参加2019 北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有种.5.（2018年河北对口高考）某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为2组进行对抗赛，每组二名队员，分配方案共有（）种A、2B、3C、6D、126.（2017年河北对口高考）从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（）A．81种B．64种C．24种D．4种7.（2017年河北对口高考）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？8. （2016年河北对口高考）某生态园有4个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外3个出入口之一走出，进出方案的种数为（）A．4 B．7 C．10 D．129.（2016年河北对口高考）从5,4,3,2,1中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率是．10.（2015年河北对口高考）从6名学生中选出2名学生担任数学，物理课代表的选法有（）A.10种B.15种C.30种D.45种11.（2015年河北对口高考）从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数，可以作为直角三角形三条边的概率是__________.专题10.1 计数原理1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( A )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种[解析] 要完成的“一件事”是“至少买一张IC 电话卡”，分3类完成：买1张IC 卡、买2张IC 卡、买3张IC 卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种A ．25B ．52C ．35D ．53 [答案] C3．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( )A ．8B ．15C ．125D ．243[答案] D4. 1.A 67－A 56A 45等于( ) A ．12B ．24C ．30D ．36 [答案] D [解析] A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C．240种D．288种[答案]B[解析]分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有A14A44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．6．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种()A．144 B．90C．260 D．120[答案]A[解析]3名女生先排好，有A33种排法，让3个男生去插空，有A34种方法，故共有A33·A34＝144种．故选A.7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)[答案] 1 560[解析]同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言．8．若C8n＝C2n，则n＝()A．2 B．8C．10 D．12[答案]C[解析]由组合数的性质可知n＝8＋2＝10.8. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个[答案]A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C126)2A410个．9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是()A．C16C294B．C16C299C．C3100－C394D．A3100－A394[答案]C[解析]从100件产品中抽取3件的取法数为C3100，其中全为正品的取法数为C394，∴共有不同取法为C3100－C394.故选C.10.某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？[解析]只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．根据分类加法计数原理，得出会唱歌与会跳舞的各选1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种)．1．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279[答案]B[解析]用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．以上都不对[答案]A[解析]任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法都有5种，由分步计数原理知N＝510.故选A.3．用数字1,2,3组成三位数．(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数；(2)其中数字不重复的三位数共有____________个；(3)其中必须有重复数字的有____________个．[答案](1)27(2)6(3)21[解析](1)排成数字允许重复的三位数，个位、十位、百位都有3种排法，∴N＝33＝27(个)．(2)当数字不重复时，百位排法有3种，十位排法有两种，个位只有一种排法，∴N＝3×2×1＝6(个)(也可先排个位或十位)．(3)当三数必须有重复数字时分成两类：三个数字相同，有3种，只有两个数字相同，有3×3×2＝18(个)，∴N＝3＋18＝21(个)．4．若A n10－A n9＝n！·126(n∈N＋)，则n等于()A．4 B．5C．6 D．5或6[答案]D[解析]本题不易直接求解，可考虑用代入验证法．故选D.5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()种()A．720 B．360C．240 D．120[答案]C[解析]因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人有A22种排法，由分步计数原理可知：共有A55·A22＝240种不同的排法．故选C.6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种[答案]D[解析]本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.共有C45＋C44＋C25C24＝66种不同取法．分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25[答案]C[解析]第一步从后排8人中抽2人有C28种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有C28A26种排法．8．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种[答案]C[解析]本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有C26＝15种选法，从5名女医生选1人有C15＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．9. 有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．[答案]15[解析]C23·C12＋C13·C12＋C23＝15种．10．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法；(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？[解析](1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝C49＝126(种)；(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法，∴共有C12·C47＝70种取法．11．有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？[解析]解法1：从0和1两个特殊值考虑，可分三类：第一类，取0不取1，可先从另四张卡片中任选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，因此可组成不同的三位数C14·C12·C13·22个．第二类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C2422A33个．第三类：0和1都不取，有不同的三位数C3423A33个．综上所述，不同的三位数共有C14C12C1322＋C2422A33＋C3423A33＝432(个)．解法2：任取三张卡片可以组成不同的三位数C3523A33(个)，其中0在百位的有C2422A22(个)，这是不合题意的，故不同的三位数共有C3523A33－C2422A22＝432(个)．12.．某校为庆祝2015年教师节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．[解析](1)先安排4个小品节目，有A44种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，共有A35种排法，∴共有A44·A35＝1 440(种)排法．(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈排在2,4,6位，安排时可分步进行．解法1：先安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A44种排法；再安排舞蹈节目在2,4,6位，有A33种排法，故共有A44·A33＝144(种)排法．解法2：先安排3个舞蹈节目在2,4,6位，有A33种排法；再安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A44种排法，故共有A33·A44＝144(种)排法．1.（2020年河北对口高考）某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有( )A.20种 B.40种 C.60种 D.80种【答案】D2.（2020年河北对口高考）某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有种.【答案】144003.（2019年河北对口高考）北京至雄安将开通高铁，共设有6 个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（）A.12 种B.15 种C.20 种D.30 种【答案】D4.（2019年河北对口高考）某学校参加2019 北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有种.【答案】305.（2018年河北对口高考）某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为2组进行对抗赛，每组二名队员，分配方案共有（）种A、2B、3C、6D、12【答案】B6.（2017年河北对口高考）从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（）A．81种B．64种C．24种D．4种【答案】C7.（2017年河北对口高考）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？解：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为2454240C P=（2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为3454240C P=（3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为4454240C P=8. （2016年河北对口高考）某生态园有4个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外3个出入口之一走出，进出方案的种数为（）A．4 B．7 C．10 D．12【答案】D9.（2016年河北对口高考）从5,4,3,2,1中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率是．【答案】2 510.（2015年河北对口高考）从6名学生中选出2名学生担任数学，物理课代表的选法有（）A.10种B.15种C.30种D.45种【答案】C11.（2015年河北对口高考）从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数，可以作为直角三角形三条边的概率是__________.【答案】1 10。
完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题
完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 60 种。
2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 20 种不同的选法。
3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 6 种。
4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有 20 种不同的抽法。
5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？20 种。
（2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？220 种。
6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？24 种。
（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？81 种。
7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，（1）共有多少种不同的涂色方法？120 种。
（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？44 种。
8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有14 种不同的走法。
9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有 5000 个。
10、从，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有 20 种。
11、将3封信投入4个不同的信箱，共有 64 种不同的投法；3名学生走进有4个大门的教室，共有24 种不同的进法；。
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一.选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．302．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．44．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．125．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．96．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．11．如图，从A →C ，有 种不同走法．12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？15．已知集合{}=---，，，，，，，是平面上的点，a b MM P a b321012()，．∈（1）()，可表示平面上多少个不同的点？P a b（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a b。
完整版)分类减法计数原理与分步除法计数原理练习题
完整版)分类减法计数原理与分步除法计数原理练习题1.分类减法计数原理练题1.1 题目一有一批苹果，___的总数是100个，___先拿走了25个苹果，然后___又拿走了15个苹果。
请问，还剩下多少个苹果？1.2 题目二一只果盘里有一百多个水果，其中有80个是橙子，还有10个是苹果。
请问，果盘里还有多少个水果不是橙子也不是___？1.3 题目三___家有一批书，他先拿走了35本书，然后又拿走了20本书。
请问，他一共带走了多少本书？2.分步除法计数原理练题2.1 题目一___有120个糖果，他要平均分给12个小朋友，每个小朋友能拿到多少个糖果？2.2 题目二___一共有80个饼干，他要平均分给16个同学，每个同学能拿到多少个饼干？2.3 题目三一共有48颗苹果，要放在6个篮子里，每个篮子里要放几颗苹果？3.参考答案3.1 分类减法计数原理练题答案1.1 题目一：剩下的苹果数量 = 总数 - ___拿走的数量 - ___拿走的数量 = 100 - 25 - 15 = 60个苹果1.2 题目二：不是橙子也不是___的水果数量 = 总数 - 橙子的数量 - ___的数量 = 100 - 80 - 10 = 10个水果1.3 题目三：___带走的书本数量 = 第一次拿走的数量 + 第二次拿走的数量 = 35 + 20 = 55本书3.2 分步除法计数原理练题答案2.1 题目一：每个小朋友能拿到的糖果数量 = 总数 / 小朋友的数量 = 120 / 12 = 10个糖果2.2 题目二：每个同学能拿到的饼干数量 = 总数 / 同学的数量 = 80 / 16 = 5个饼干2.3 题目三：每个篮子里要放的苹果数量 = 总数 / 篮子的数量 = 48 / 6 = 8颗苹果。
分类计数原理与分步计数原理基础题
高二下数学基础题10.1 分类计数原理与分步计数原理1。
某商场共有4个门，若从一个门进,另一个门出，不同走法的种数是（ ). .A 10 .B 11 .C 12 .D 13 答案 C解析 从一个门进去有4种方法。
而从另一个门出来有3个方法，故共有4×3=12种.2.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本,不同的取法有（ )种..A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案 答案 B解析 每次取一本书分三类：取一本中文书有5种,取一本数学书有4种，取一本英语书有3种,共有5+4+3=12种.3.现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的选法数为（ ）。
.A 7 .B 64 .C 12 .D 81 答案 C解析 因为在四件上衣中任取一件有4种不同的取法,再由三件长裤中取一件有3种不同的取法，要完成配套,则由分步计数原理可得，共有4×3=12种不同的取法.4。
商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法.要买上衣、裤子个一件,共有 种不同的选法。
答案 33 270解析 买上衣有15种选法；买裤子有18种选法.买一件上衣或一条裤子有15+18=33种选法.买上衣一件和裤子一件，有15×18=270种选法.5.从1到200的自然数中，各个位数上都不含有数字8的自然数有 个. 答案 162解析 根据题意可分三类:第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类:二位数中，十位数字除0、8以外有8种选法，个位数字除8外有9种填法（数字允许重复），所以二位数中有8×9=72(个）符合题意；第三类：百位数字为1，十位数字和个位数字除8以外均为9种填法.另外200这个数也满足题意，所以由分类计数原理,共有8+72+9×9+1=162个.6。
某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法? 答案 25解析 完成从上山到下山这件事可分为四类：(1）从东侧上山，且从东侧下山，走法有3×3种；（2）从东侧上山，从西侧下山，走法有3×2种;（3）从西侧上山，从东侧下山，走法有2×3种；（4）从西侧上山,且从西侧下山，走法有2×2种，据分类计数原理知，符合条件的走法共有3×3+3×2+2×3+2×2=25种. 7。
(完整版)分类乘法计数原则与分步除法计数原则练习题
(完整版)分类乘法计数原则与分步除法计数原则练习题问题1:某餐厅提供早餐有3种主食选择：全麦面包、白面包和松饼。
顾客可以选择其中一种，并从4种配料中选择0种，1种或2种。
每种主食都有无限供应。
请问顾客有多少种不同的早餐选择方式？解答:按照分类乘法计数原则，我们可以将问题拆分为两个独立的选择：1. 主食的选择：共有3种选择，即全麦面包、白面包和松饼。
2. 配料的选择：共有4种选择，即0种、1种或2种。
根据分类乘法计数原则，两个选择的总数可以通过将所有可能的选择相乘得到。
因此，顾客有 $3 \times 4 = 12$ 种不同的早餐选择方式。
问题2:某班级由10名男生和8名女生组成。
班级要选出一个由3名男生和2名女生组成的活动代表团。
请问有多少种不同的代表团组合方式？解答:按照分类乘法计数原则，我们可以将问题拆分为两个独立的选择：1. 男生的选择：从10名男生中选择3名。
2. 女生的选择：从8名女生中选择2名。
根据分类乘法计数原则，两个选择的总数可以通过将所有可能的选择相乘得到。
因此，代表团有 $\binom{10}{3} \times\binom{8}{2} = 120 \times 28 = 3360$ 种不同的组合方式。
问题3:某公司准备为5名员工分配办公室，办公室有3个可以选择的位置。
请问有多少种不同的员工办公室分配方式？解答:按照分类乘法计数原则，我们可以将问题拆分为5个独立的选择：1. 员工1的办公室选择：共有3个选择，即三个办公室位置。
2. 员工2的办公室选择：共有3个选择，即三个办公室位置。
3. 员工3的办公室选择：共有3个选择，即三个办公室位置。
4. 员工4的办公室选择：共有3个选择，即三个办公室位置。
5. 员工5的办公室选择：共有3个选择，即三个办公室位置。
根据分类乘法计数原则，五个选择的总数可以通过将所有可能的选择相乘得到。
因此，员工办公室的分配方式有 $3 \times 3\times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$ 种不同的方式。
分类计数加法原理与分步计数乘法原理(含答案)
分类计数加法原理与分步计数乘法原理一、单选题(共11道，每道9分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )A.12B.60C.48D.72答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )2.上接第1题．A.12B.60C.48D.72答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理3.用10元，5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( )A.3B.5C.9D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理4.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )A.13种B.15种C.20种D.30种答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理5.乘积展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理6.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.11答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理7.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理9.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理10.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理11.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有( )A. B.4×3×2种C. D.1×2×3种答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理。
分类计数原理与分步计数原理、排列单元检测题
1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有（）A．25种B．52种C．35种D．53种2．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为（）A．1：1 B．2：3 C．12：13 D．21：233．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）A．5544AA种B．554433AAA种C．554413AAA种D．554422AAA种4．三个人坐在一排八个座位上，每人的两边至少与一个空位相邻，则不同的坐法种数有（）A．6 B．12 C．18 D．24 5．由1，4，5，x这四个数字组成无重复数字的四位数，若所有四位数的各位数字之和为288，则x等于（）A．2 B．3 C．6 D．8 6．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法一共有（）高二13·1A．5种B．6种C．7种D．8种二、填空题（每小题6分，共24分）7．6个人排成前后两排，每排三人，不同的排法有．8．有6个座位连成一排，3个人就座，恰有2个空位相邻的排法种数是．9．2名教师和5名学生排成两排照相，前排3人，后排4人，两名教师相邻且在前排有种排法．10．从1，2，3，4，7，9中任选2个作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．三、解答题（共40分）11．（13分）用1，2，3，4，5，6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能够被5整除的五位数？12．（13分）学校开设的课程有语文、数学、外语、政治、物理、化学、体育共七门课，若星期五只排四门课，并且规定体育不排在第一节和第四节，问星期五的课表有多少种排法．13．（14分）用0，1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的四位数由小到大排成一个数列，问3254是这个数列的第几项？高二13·2。
分类计数原理与分步计数原理 课时训练
同步练习 分类计数原理与分步计数原理1.（优质试题全国，文5）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm 等于A.0B.41C.21D.432.（优质试题黄冈检测题）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A.504B.210C.336D.1203.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是A.208B.204C.200D.1964.（优质试题全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有.A.12种B. 24种C. 36种D. 48种 5.（福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种6.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种.7.4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.8.（上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种.（结果用数值表示）9.（优质试题全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）①②③④⑤班级姓名座号6. .7. .8. .9. .10.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?11.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？12.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?同步练习 排列1.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有A.A 55·A 24种 B .A 55·A 25种C.A 55·A 26种D.A77－4A66种2.（优质试题全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有.A. 56个B. 57个C. 58个D. 60个3.（优质试题辽宁卷.12）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法的种数是.A. 234B. 346C. 350D. 3634．若m 、n 是不大于6的非负整数，则1C C 2626=+y x n m 表示不同的椭圆个数为A ．A 27B ．C 26C ．A 24D ．C 245.（优质试题四川模拟题）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_____________.6.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__________.7.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_______个.班级姓名座号5. .6. .7. .8.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，（1）可组成多少个不同的四位数?（2）可组成多少个四位偶数?（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?9.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?（用数字作答）10.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是多少个？11. 用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数a1a2a3a4a5，满足a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4>a5的五位数有多少个？12. 8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?同步练习 g3.1091 组合1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种2.（江苏）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A.140种B.120种C.35种D.34种3.（江西卷）将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A ．70B ．140C ．280D ．8404．六个人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法为A ．40B ．50C ．60D ．705.(全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。
职高 分步计数原理与分类计数原理基础练习练习题复习.doc
两个计数原理练习题1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有种.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种.3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法.4.现有三位数密码锁，各位上数字由0—9组成，可以组成多少种密码？其中首位数字不为0的密码有多少个？5.某学校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若需选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？6.某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
（1）若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少种不同的选法？7.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?8.在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？9.将3封信投入4个不同的信箱，共有种不同的投法。
11.现有0，1,2,3,4，，5六个数字，（1）能组成不可重复的四位数多少个？（2）能组成多少个不可重复的四位奇数？。
(完整版)分类减法计数原则与分步加法计数原则练习题
(完整版)分类减法计数原则与分步加法计
数原则练习题
一、分类减法计数原则
练1：
有一个班级有30名学生，其中15名男生和10名女生，还有5名未知性别的学生。
请回答以下问题：
1. 这个班级有多少名学生？
2. 这个班级有多少名未知性别的学生？
3. 这个班级有多少名男生？
4. 这个班级有多少名女生？
练2：
某个商品的库存为100件，其中有60件已售出，剩余的商品包括30件白色商品和10件黑色商品。
请回答以下问题：
1. 这个商品库存中有多少件未售出的商品？
2. 这个商品库存中有多少件白色商品？
3. 这个商品库存中有多少件黑色商品？
二、分步加法计数原则
练1：
小明乘坐地铁去公园，他首先乘坐了2站地铁，然后转乘了公交车，公交车行驶了5站到达公园。
请回答以下问题：
1. 小明一共乘坐了多少站？
2. 小明乘坐地铁的站数是多少？
3. 小明乘坐公交车的站数是多少？
练2：
小红去超市买东西，她首先购买了3件衣服，然后购买了2件裤子，最后购买了5件鞋子。
请回答以下问题：
1. 小红一共购买了多少件商品？
2. 小红购买的衣服数量是多少？
3. 小红购买的裤子数量是多少？
4. 小红购买的鞋子数量是多少？
总结
本文介绍了分类减法计数原则和分步加法计数原则，并提供了
相应练习题以帮助读者理解和应用这两个原则。
通过练习题的完成，读者可以更好地掌握并运用这两个计数原则。
请根据练习题的要求
进行计算，同时可以对照答案来检查自己的答案是否正确。
2025高考数学一轮复习-7.1-分类计数原理与分步计数原理-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-7.1-分类计数原理与分步计数原理-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．有A ，B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A 种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有()A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种2．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有()A ．60种B ．45种C ．30种D ．12种3．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．下图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有()A ．12种B ．24种C ．72种D ．216种4．已知x ∈{1,2,3,4}，y ∈{5,6,7,8}，则xy 可表示不同的值的个数为()A ．2B ．4C ．8D ．155．一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是()A ．63B ．65C ．67D ．696．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A ．3B ．4C ．6D ．87．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙．若“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有()A ．24种B ．14种C ．10种D ．9种8．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是()第1节第2节第3节第4节地理1班化学A 层3班地理2班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B ．此人有5种选课方式C ．自习不可能安排在第2节D ．自习可安排在4节课中的任一节二、填空题9．用0,1,2,3,4,5,6七个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是；可以组成有重复数字的四位数的个数为.10.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有种．(用数字作答)11．把编号为i(i＝1,2,3,4,5)的五个小球随机放入编号为j(j＝1,2,3,4,5)的五个盒子，每盒一个小球，若满足|i－j|≤2，则不同的放法共有种．三、解答题12．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”．则1,2,3,4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有多少个？13．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？14．(多选题)以下命题正确的是()A．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有64种B．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有35种C．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为8D．甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜．若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为4 15．三名参加过抗击新冠肺炎疫情的医务人员在疫情结束之后商定再次前往湖北的武汉、宜昌、黄冈3个城市，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是.16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n}．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n＝341，求n.2025高考数学一轮复习-7.1-分类计数原理与分步计数原理-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．有A ，B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A 种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有(C )A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种解析：不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4种．故选C.2．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有(A )A ．60种B ．45种C ．30种D ．12种解析：由分步乘法计数原理可得共有5×4×3＝60种不同的选法．故选A.3．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．下图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有(A )A ．12种B ．24种C ．72种D ．216种解析：先填第一行，有3×2×1＝6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12种不同的填法．故选A.4．已知x ∈{1,2,3,4}，y ∈{5,6,7,8}，则xy 可表示不同的值的个数为(D )A ．2B ．4C ．8D ．15解析：x ∈{1,2,3,4}，y ∈{5,6,7,8}，x 有4种选法，y 有4种选法，共有4×4＝16种，其中3×8＝4×6，故xy 可表示不同的值的个数为16－1＝15.故选D.5．一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是(C )A ．63B ．65C ．67D ．69解析：车上应准备每个车站到达它后面每一个车站的车票，所以共应准备13＋12＋11＋10＋9＋…＋2＋1＝91种，但不可能在一次单程行驶中都卖得出去，以前面7个车站中的每一个作为起点，后面7个车站作为终点，应当有7×7＝49种，但持有这种票的乘客都要通过7号车站与8号车站之间，但由于汽车满员为25人，所以这种车票至少会有49－25＝24种卖不出去，所以车上最多卖出不同的车票的种数是91－24＝67.故选C.6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(D )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．故选D.7．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙．若“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有(B )A ．24种B ．14种C ．10种D ．9种解析：由题意可得，李芳不同的选择方式有4×3＋2＝14种．故选B.8．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(BD )第1节第2节第3节第4节地理1班化学A 层3班地理2班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B ．此人有5种选课方式C ．自习不可能安排在第2节D ．自习可安排在4节课中的任一节解析：由于生物在B 层，只有第2,3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得，选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD.二、填空题9．用0,1,2,3,4,5,6七个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是720；可以组成有重复数字的四位数的个数为2_058.解析：组成无重复数字四位数时，千位的数字可以选择的种数为6，百位，十位，个位可以选的种数分别为6,5,4，则可组成无重复数字四位数的种数为6×6×5×4＝720；可组成有重复数字的四位数的种数为6×7×7×7＝2058.10.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有96种．(用数字作答)解析：根据题意，假设正五角星的区域依次为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步乘法计数原理，先对A 区域涂色有3种方法，B 、C 、D 、E 、F 这5个区域都与A 相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96种涂色方案．11．把编号为i (i ＝1,2,3,4,5)的五个小球随机放入编号为j (j ＝1,2,3,4,5)的五个盒子，每盒一个小球，若满足|i －j |≤2，则不同的放法共有31种．解析：|i －j |>2的所有可能包括：i ＝1，j ＝4,5；i ＝2，j ＝5；i ＝4，j ＝1；i ＝5，j ＝1,2.(1)盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345,3245,4235,2354,3254,4253,2435,3425,4325,2453,2534,3524,4523,2543(其中球5不能放在盒2，不用列举．而3452,4352,3542,4532满足|i －j |>2，应舍去)共14种；(2)盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：1345,3145,4135,1354,3154,4153,1435,1453,1534,1543(其中球5不能放在盒2，不用列举．而3415,4315,3451,4351,3514,4513,3541,4531满足|i －j |>2，应舍去)共10种；(3)盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：1245,2145,4125,1254,2154,1425,1524，(其中球5不能放在盒2，不用列举．而4152,2415,4215,1452,2451,4251,2514,4512,1542,2541,4521满足|i －j |>2，应舍去)共7种，所以共有14＋10＋7＝31种．三、解答题12．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”．则1,2,3,4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有多少个？解：当十位数取4时，个位可以是1,2,3，共三种情况；当十位数取3时，个位可以是1,2，共两种情况；当十位数取2时，个位可以是1，共一种情况；当十位数取1时，个位不存在．所以“和谐两位数”有6个．13．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O 型血的人中选1人有28种不同的选法；从A 型血的人中选1人有7种不同的选法；从B 型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以采用分类加法计数原理．故不同的选法有28＋7＋9＋3＝47种．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才算完成，所以采用分步乘法计数原理．故不同的选法有28×7×9×3＝5292种．14．(多选题)以下命题正确的是(BD )A ．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有64种B ．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有35种C ．已知x ∈{2,3,7}，y ∈{－3，－4,8}，则x ·y 可表示不同的值的个数为8D ．甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜．若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为4解析：对于A ，每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81种．故A 错误．对于B ，依题意，第一步，取红球，有7种不同取法；第二步，取白球，有5种不同取法．根据分步乘法计数原理可知，共有7×5＝35种不同的取法．故B 正确．对于C ，因为从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x ·y 可表示3×3＝9个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，所以x ·y 可表示不同的值有9个．故C 错误．对于D ，因为每人每次至少抓取1个，最多抓取4个，当两人所拿的和为5时，有14÷(1＋4)＝2……4，所以甲第一次应该抓取4个玻璃球，后面只要满足甲拿的球与乙拿的球和为5，则甲一定获胜，故D 正确．15．三名参加过抗击新冠肺炎疫情的医务人员在疫情结束之后商定再次前往湖北的武汉、宜昌、黄冈3个城市，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是19.解析：三人前往3个城市的所有基本事件个数为3×3×3＝27，三人去了同一个城市的基本事件个数为3，所以他们恰好选择同一个城市的概率是P ＝327＝19.16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n }．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n ＝341，求n .解：(1)由题意知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数有4×4×4＝64个．即数列{a n }共有64项．(2)把比341小的数分为两类：第1类，百位上的数是1或2，十位和个位上的数分别可以是1,2,3,4中的任一个，这样的数的个数为2×4×4＝32.第2类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，这样的数的个数为3×4＝12.所以比341小的数的个数为32＋12＝44.所以n ＝44＋1＝45.。
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5.某学校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
（3）若需选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
6.某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
（1）若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少种不同的选法？
7.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P可表示平面上多少个不同的点?
(2)P可表示平面上多少个第二象限0本不同的科技书，20本不同的小说书供学生选用，
11.现有0，1,2,3,4，，5六个数字，
（1）能组成不可重复的四位数多少个？
（2）能组成多少个不可重复的四位奇数？
（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？
（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？
（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？
9.将3封信投入4个不同的信箱，共有种不同的投法。
10.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有种。
两个计数原理练习题
1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法
有种.
2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种.
3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法.
4.现有三位数密码锁，各位上数字由0—9组成，可以组成多少种密码？