高一数学集合的含义及表示i
高一数学集合知识点总结
高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点1集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d?A。
有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。
如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。
集合A中是数组元素(x，y)，集合B中只有元素y。
3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。
例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：，A=B注意：该题有两组解。
(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。
高一数学集合知识点2集合间的基本关系1.子集，A包含于B，有两种可能(1)A是B的一部分，(2)A与B是同一集合，A=B，A、B两集合中元素都相同。
人教版,数学,高一,必修一,集合的含义与表示
练 习
1. 下面的各组对象能否构成集合？ （1）小于2004的数； （2）和2004非常接近的数.
2.再看下列对象: （1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国四大名著； （5）抛物线y=x2上的点．
2、元素与集合的关系
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
作业
活页：提能演练一
第2课时 集合的表示
回顾复习
1．集合与元素的定义; 2．集合元素的特征性质： 确定性，互异性，无序性； 3．元素与集合的关系
4. 数集及有关符号；
集合的表示
“我国的直辖市”组成的集合表示为 {北京，天津，上海，重庆} 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
1.1.1 集合的含义与表示
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起。
康托尔（G.Cantor,1845～1918）.德 国数学家，集合论创始人，他于1895
年谈到“集合”一词.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
通知 8月27日上午8时，高一年级的学生 在体育馆集合进行军训动员. 校长室
例1：已知A由： 2,(a 1) a
2
, a 3a 3
2
三元素构成且 1 A ，求实数a的值
变.已知集合A含有三个元素1、0、x， 若 x 2 A ，求实数x的值。
高一 集合的含义与表示
高一集合的含义与表示1.集合的概念(1)含义：一般地，我们把_______统称为元素，把一些元素组成的_____叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写__________表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁(3)列举法：把集合的____一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的________及_________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的________．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．预习自测1.下列给出的对象中，能组成集合的是()A．著名的数学家B．很大的数C．较胖的人D．小于3的整数2．下列关系：①0.21∈Q；②105∉N*；③－4∈N*；④4∈N.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是 ( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．下列集合：①{1,2,2}；②R ＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x －5＞0的解集为{x －5＞0}． 其中，集合表示方法正确的是________5．(1)用列举法表示集合{x ∈N |x ＜5}为________．(2)方程x 2－6x ＋9＝0的解集用列举法可表示为________．(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为________.例1、下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目；④2的所有近似值；⑤1,2,3,1.能够组成集合的是________．1、下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2016年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数； (4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．例2、给出下列命题：①N 中最小的元素是1； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2.其中所有正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32、(1)给出下列几个关系式：2∈R ；0.3∈Q ；0∈N ；0∈{0}；0∈N ＋；12∈N ＋；－π∈Z ；－5∈Z .其中正确的关系式的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)已知集合M ＝{大于－2且小于1的实数}，则下列关系式正确的是( ) A.5∈M B ．0∉M C ．1∈M D ．－π2∈M例3、集合A＝{0,1，x}，又知x2∈A，求实数x的值.3、已知集合A含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．例4、用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43的图象的交点组成的集4、用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．例5、用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合；(2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；(3)所有正奇数组成的集合．5、把(1)，(2)，(3)分别更换条件如下，试分别求相应问题．(1)满足不等式3x＋2>2x＋1的有理数组成的集合；(2)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合；(3)所有偶数组成的集合．例6、设集合A ＝{x 2，x ，xy }、B ＝{1，x ，y }，若集合A 、B 所含元素相同，求实数x 、y 的值.6、若将上式中的集合A 改为{a ，b a ，1}，B 改为{a 2，a ＋b,0}，其他条件不改变，怎样求a 2 015＋b 2 015的值．检测题1．下列各组对象，能构成集合的有 ( )①对环境污染不太大的塑料； ②中国古典文学中的四大名著；③所有的正方形； ④方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根．A ．①B ．①②C ．②③④D ．①②③④2．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则必有 ( )A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．2∈A3．下列各组集合中，表示同一集合的是 ( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3，所组成的集合最多含有元素的个数为 () A ．2 B ．3C ．4D ．55．用适当的方法表示下列集合.(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为________；(2)不等式3x －6≤0的解集可表示为________；(3)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集可表示为________；(4)函数y ＝x 2－x －1图象上的点组成的集合可表示为________．。
高一数学 第一讲 集合的概念与表示
第一部分 基础知识梳理 1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示集合中的元素.例如，“1~30以内的所有奇数”中，可以把1~30以内每一个奇数作为元素，这些元素的全体就是一个集合； 2、集合元素的三个特征 （1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，广州、南京等不在这个集合中，“身材不好的人”不能构成集合，因为这个集合的元素的不确定的. （2）互异性一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. （3）无序性集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3、元素与集合的关系如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.例如集合A 表示“6~18以内的所有偶数”组成的集合，则有8A ∈，11A ∉，等. 4、常用数集及其记法5、集合的表示 （A ）列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法.例如，把“方程()()320x x +-=的所有实数根”组成的集合表示为｛-3，2｝.注意：（1）使用列举法必须注意：①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③对于含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较适宜，若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号，如不超过1000的正整数构成的集合可表示为｛1，2，3，…，1 000｝.（2）列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数，但有些集合中的元素是列举不完的，所以列举法不能表示所有集合. （B ）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合法的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为｛p ∈D |p 适合的条件｝，其中p 叫做代表元素，D 为p 的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.例如“不等式37x -<的解集”中所有元素的共同特征是：x ∈R,且10x <，所以这个可以表示为{x ∈R|10x <}.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合. 6、有限集与（1）有限集：集合中的元素个数是有限个的，如集合A=｛－1，2，4｝，是含有3个元素的有限集. （2）无限集：集合中的元素个数是无限个的，如集合A={x ∈R|1≤x ＜2}，便是一个无限集. 第二部分 例题解析 【例1】回答下列问题：（1）A =｛1，3｝，问3，5哪个是A 的元素? （2）A =｛素质好的人｝能否表示成集合? （3）A =｛2，2，4｝表示是否准确?（4）A =｛太平洋，大西洋｝，B =｛大西洋，太平洋｝是否表示同一集合? 【例2】判断元素的全体是否组成集合，并说明理由. （1）所有的好人； （2）小于2014的数； （3）和2003非常接近的数.变式练习 1、下列说法正确的是( ) A ．2008年北京奥运会的比赛项目组成一个集合 B ．某班年龄较小的学生组成一个集合C ．集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合D ．1，0.5 【例3】 用符号“∈”或“∉”填空：（1）3.14__________Q ； （2）π__________Q ； （3）0__________N *； （4）0_________N ；（5）()02-_______N *； （6Z ；（7Q ； （8_______R . 变式练习 2、用符号“∈”或“∉”填空：（1）若A =｛方程21x =的解｝，则1-________A ；（2）若C =｛满足1≤x ≤10的自然数｝，则8________C ，9.1________C ；（3 Q ； （4 Z ； （5）若A =｛广东省的所有城市｝，则佛山 A ； （6）若B =｛不等式648x -<的解集｝，则2 B 【例4】 用列举法表示下列集合： （1）小于5的正奇数组成的集合;（2）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; （3）方程290x -=的解组成的集合; （4）大于0小于3的整数组成的集合. 变式练习 3、用列举法表示下列集合： （1）24x -的一次因式组成的集合;（2）方程2230x x -+=-的解集组成的集合; （3）由book 中的字母组成的集合; （4）15以内的质数组成的集合. 【例5】用描述法表示下列集合：（1）方程228x x -=的所有实数根组成的集合; （2）小于10的所有非负整数的集合;（3）不等式348x -<的解集;（4）数轴上离原点的距离大于3的点的集合; （5）平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合. 变式练习 4、用描述法表示下列集合： （1）方程2240x -=的解组成的集合; （2）{1,3,5,7,…}; （3）x 轴上所有点的集合; （4）非负偶数;（5）能被3整除的整数组成的集合. 第三部分 巩固练习 1、下列说法正确的是( )A.2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合B.某班个子较高的学生组成一个集合C.集合{1，2，7，9}与{3，1，9，7，2}表示不同的集合D.2，0.3，π，1.8组成的集合有个六元素2、M=｛a ，b ，c ｝中的三个元素可构成某一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形3、下面有四个命题：①集合N 中的最小元素为1；②方程()()()31250x x x -+-=的解集含有3个元素；③0∈N *；④满足1＋x ＞x 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 …( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4、用符号∈或∉填空.（1） 0.03________Q ，0________ N ，()01-________ N ； （2）2_________{x | x <3}，3_________｛x ｜x ＞4｝，1_________｛x ｜x ≤2+3x ｝； （3） 3_________｛x ｜x =21n +，n ∈N ｝，5________｛x ｜x =21n +，n ∈N ｝； （4）（-1，1）________｛y ｜2y x =｝，（-1,1）_________｛(x ，y )｜2y x =｝.5．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，则P ＝__________；点（2，7）与点集P 的关系为（2，7）__________P . 6、设A ={4，a }，B ={2，ab },若A =B ，则a +b =_________. 7、已知x ∈{1，2，2x }，则x =_________.8、试用适当的方法表示下列集合. （1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，二、四象限的角平分线上的所有点； （4）所有被3除余数是1的数.9、下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来. (1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点； (2)高一数学课本中所有的难题； (3)方程4220x x ++=的实数根.10、已知2()f x x ax b =-+(a 、b ∈R )，A =｛x ｜()0f x x -=,x ∈R ｝，B =｛x ｜()0f x ax -=,x ∈R ｝，若A =｛1，-3｝，试用列举法表示集合B .第四部分 课后作业1、下列条件能形成集合的是（ ）A.充分小的负数全体；B.爱好飞机的一些人；C.某班本学期视力较差的同学；D.某校某班某一天所有课程.2、若方程2x －5x ＋6＝0和方程2x －x －2＝0的所有解构成的集合为M ，则M 中元素的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3、用符号∈或∉ 填空.(1)1 N,0______N,-3______N,0.5______N,4、下面有五个命题：①若a -∈N ，则a ∈N ；②若a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是0；③244x x +=的解集可表示为{2，2}；④高一（6）班年龄较大的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_________. 5、已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝___________. 6、下面三个集合：①{x |21y x =+}；②{y |21y x =+}；③{（x ，y ）|21y x =+}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？7、试选择适当的方法表示下列集合. (1) 29x -的一次因式组成的集合； (2) 一年之中的四个季节组成的集合； (3) 方程2x －x －2＝0的实数解组成的集合； (4) 满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合； (5) {y ｜y ＝－2x －2x ＋3，x ∈R,y ∈N}； 8、若－3∈｛a －3，2a +1，2a +1｝，求实数a 的值.9、求：（1）方程2440x x -+=的所有根的和； （2）集合S ={x |2440x x -+=}的所有元素的和.10、若1∈{x|2x+px+q=0}，2∈{x|2x+px+q=0}，求p、q的值.。
高一数学必修一之集合
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示一、集合与元素的概念1．集合：（1）概念：一般地，某些确定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；通常用大写字母A、B、C...表示。
其中的对象可以是一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人等等万事万物，每一组的对象或某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
（2）集合的两个特性：整体性和确定性在指定一个集合时，必须有明确的标准，这就构成了集合的确定性；所有符合标准的元素的全体构成集合的整体性。
[例题] 下列各项中，不可以组成集合的是（ C ）A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数2．元素：（1）概念：集合中的每一个对象叫做集合中的一个元素，通常用小写字母a，b，c...表示。
对于尚未确定的集合而言，元素具有任意性。
（2）元素的三个特性（属性）对于一个给定的集合它的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性：①元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于（∈）或不属于（∉）。
②元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
③元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合（排名不分先后）。
至此，我们也就可以把集合定义为：由一些确定的、互异的对象构成的一个全体就叫集合（简称集）[例题] 若集合M ＝ {a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ D ）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形二、集合的分类（一）按集合中元素的多少来分：①有限集——元素个数是有限个（其中包括空集、单元素集）②无限集——元素个数是无限个③空集——不含有任何元素(即元素个数为0属于有限集)：空集记作∅或{ }注意{∅}表示含有空集的单元素集合，并非空集，空集为集合中的元素。
（二）按元素的属性来分：①数集——元素全部由数组成；②点集——元素全部由点组成，如角平分线；③解集——由方程或方程组、不等式或不等式组的解构成的集合；（其中一部分属于数集如自变量或应变量的值，一部分属于点集或序数对）。
高一数学第一章集合的知识点
高一数学第一章集合的知识点集合数学是最基本的概念，已经渗透到自然科学的各个领域，应用非常广泛。
在集合学习的过程中，如果能明确并运用常用的数学思维方法，就能对集合的概念有更深的理解，更全面地渗透集合的概念，更灵活地解决集合问题。
一、集合的含义一般来说，我们把研究对象统称为元素，某些元素的总和称为集合(简称集合)。
通常用大写的拉丁字母 a，b，c，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素。
二、集合中元素的特性1.确定性：集合中的元素必须是确定性的。
即，确定一个集合，并且确定任何元素是否是该集合的元素。
2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中的元素不重复(互不相同)。
3.无序性：一个集合中的元素是乱序的，即两个元素完全相同的集合，不管元素的顺序如何，都表示同一个集合(不管顺序)。
三、元素与集合的关系1.a属于集合a，表述为a是集合a的元素，记作a∈a。
2.a不属于集合a，表述为a不是集合a的元素，记作a∉a。
四、集合的表示1.自然语言表示法：1~20以内的质数组成的集合。
2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并用花括号“{}”括起来的表示集合的方法叫做列举法。
3.描述:用一个集合的元素的共同特征来表示这个集合的方法叫做描述。
4.venn图示法：如：“book中的字母”构成一个集合五、集合的基本运算1.交集：集合中，设a，b是两个集合，由所有属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合a与集合b的交集记作a∩b，读作a交b。
2.并集：给定两个集合a，b，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合a与集合b的并集，记作a∪b，读作a 并b。
3.相对补集：若a和b是集合，则a在b中的相对补集是这样一个集合：其元素属于b但不属于a，b - a = { x| x∈b且x∉a}。
4.绝对补集：若给定全集u，有a⊆u，则a在u中的相对补集称为a的绝对补集（或简称补集），写作∁ua。
高一数学必修一的知识点归纳
高一数学必修一的知识点归纳高一数学集合的含义与表示知识点1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{xR|x-32},{x|x-32}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N__或N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系(1).“包含”关系(1)—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
高一数学圆的标准方程和一般方程知识点圆：体积=4/3()(r^3)面积=()(r^2)周长=2()r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2b+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2b)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
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例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2.
应满足什么条件.
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件. 解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件. 解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
∴ x≠1且x≠－1且x≠0.
例2设x∈R，y∈R，观察下面四个集合 A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D＝{ (x, y) | y＝x2－1 } 它们表示含义相同吗?
课后作业
2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小 写字母表示. 3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA. 例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂练习
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
6.集合的分类:
有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作.
练习2：⑴ 0 ⑵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0}
(填 ∈ 或 ) (填＝或≠)
6.集合的分类:
有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
4.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
5.集合的表示方法: 描述法、列举法、图表法
5.集合的表示方法: 描述法、列举法、图表法
问题1：用集合表示 ①x2－3＝0的解集; ②所有大于0小于10的奇数; ③不等式2x－1＞3的解.
6.集合的分类:
有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
知识点
集 合
1. 正整数1, 2, 3, ; 2. 中国古典四大名著; 3. 高10班的全体学生; 4. 我校篮球队的全体队员; 5. 到线段两端距离相等的点.
1.集合的概念:
一般地，指定的某些对象的全体 称为集合，简称“集”.
集合中每个对象叫做这个集合的 元素.
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( C )
例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( C )
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作.
(填 ∈ 或 ) 练习2：⑴ 0 ⑵ { 0 } ≠ (填＝或≠)
7.重要的数集:
N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小 写字母表示.