高中数学必修一集合的含义及其表示教案

第一章集合与函数概念

集合1.1.1集合的含义及其表示

学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；

（2）初步了解“属于”关系的意义；

（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；

教学重点：集合的含义与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

教学过程：

一、问题引入：

我家有爸爸、妈妈和我；我来自燕山中学；

威宁六中高二（24）班；我国的直辖市。

分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。

二、建构数学：

1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……

集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q……

指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数

（4）young中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

2．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，

或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），

因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常

按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）

4．有限集、无限集和空集的概念：

5．常用数集的记法：

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0记作N *或N +{

}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合Z,{}Λ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,

（5）实数集：全体实数的集合R {}数数轴上所有点所对应的=R

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *

6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}x p x 的形式。

（3）韦恩（Venn ）图示意

7．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。

三、数学运用：

1．例题：

例1．用列举法和描述法表示方程2230x x --=的解集。

答案：列举法：{1,3}-描述法：2{|23,}x x x x x R =--∈

例2．下列各式中错误的是（）

（1）{奇数}={|21,}x x k k Z =-∈（2）{|*,||5}{1,2,3,4}x x N x ∈<=

（3）1{(,)|}2

x y x y xy +=⎧⎨=-⎩{(2,1),(1,2)}=--（4）33N --∈

答案：（4）

例3.求不等式235x ->的解集

答案：{|4,}x x x R >∈

例4.求方程2210x x ++=的所有实数解的集合。

答案：∅

例5．已知2{2,,},{2,2,}M a b N a b ==，且M N =，求,a b 的值

答案：0,1a b ==或11,42

a b == 例6．已知集合{}2210,R A x ax x x =--=∈，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．

【思路分析】本题主要考查元素与集合之间的关系，以及集合的表示法．由描述法可知集合A 是关于x 的方程2210ax x --=的实数解集，首先考虑方程是不是一元二次方程．

解：当0a =时，方程只有一个根12

-，则0a =符合题意； 当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以△＝440a +≤，解得1a ≤-．

综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或． 答案：{}

01a a a =≤-或

2．练习： （1）请学生各举一例有限集、无限集、空集。

（2）用列举法表示下列集合：

①{|x x 是15的正约数}②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈

③{(,)|2,24}x y x y x y +=-=④{|(1),}n x x n N =-∈

*⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈

答案：①{1,3,5,15}②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}③82{(,)}33

-④{1,1}-⑤{(2,5),(4,2)}