偏微分方程 云南财经大学95页PPT
合集下载
第5章偏微分方程值解ppt课件
t
t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：
2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
总目录 本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题
2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件
u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）
偏微分方程ppt 下载
泊松方程： 适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。 波动方程式：未知函数 u(x,y,z,t):
热传导方程式： 其中 k 代表该材料的热导率。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的 偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解 条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作 为一个整体，称为定解问题。
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
),
这里a
2
k
/
c.
当物体有内部热源的时候，方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
)
f
(x,
y, z,t).
因为
c t2 udtdV t2
k(x, y, z) u dSdt
t2
c F(x, y, z,t)dtdV.
t1 t
T (x) cos T (x x) cos 0
T (x) sin T (x x) sin ma
这里α，β，a分别是两个力和水平方向的夹角，以及弦线 在竖直方向的加速度。
注意到弦仅仅在接近水平位置振动，所以α和β都是很小 的量，于是前一个方程可以近似为
T (x) T (x x) 0
(u
- u1)。
第三边界条件，表示外界温度为u1,表面 的热量和温度差成正比。
2.1 一些常见的偏微分方程
Poisson 方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不 可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类 方程。下面的方程是Poisson 方程的第一边值问题。
偏微分方程讲义 建模、数值解和Matlab工具箱
计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质 ppt课件
di( a 1 , g 2,3)
对于左边界：
条件
描述
u0 anduc u0 anduc
u0 anduc
超音速入口 亚音速入口 超音速出口
u0 anduc 亚音速出口
边界条件设定
给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
知识点
Slide 14
5. 椭圆型方程：Laplace方程
Uu
E
0
1
0
AU f ((232)u3)u2u/2c21
(3)u c2 32u2 1 2
1
u
推导
u f(U)u2 p
u(Ep)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
u1 U u u2
E u3
u 1,uu 2/u 1,Eu 3
E p 1 u2 1 2
p
c/a 0
I A 0 a 2 b c 0 ( 3 )
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
Slide 11
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U)AU
x
x
U f(U) 0 t x
则有：
duaubuc ds x y
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
✓偏微方程在特征线上变成了常微分方程 Slide 7
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。
偏微分方程数值解PPT课件
t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
第4页/共32页
un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
第13页/共32页
一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧
偏微分方程分类与标准型PPT课件
解： a11 1, a12 cos x, a22 ( 3 sin2 x)
cos2 x 3sin2 x 4 0 双曲型方程
特征方程 ( dy )2 2cos x dy (3 sin2 x) 0
dx
dx
特征方程的解： dy cos x 2, dy cos x 2
dx
Am2 Bm C 0
证明二阶线性偏微分方程 Auxx Buxy Cuyy 0
的通解为： u f (m1 x y) g(m2 x y)
证明：设 m1 x y, m2 x y
则：
1 (4AC A
B2 )u
0
u 0
第18页/共28页
§4 三类方程的简化形式
1.双曲方程型方程：
1 )u
2Cu F ]
第21页/共28页
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
第22页/共28页
例题1：分类并标准化方程：
解：该方程的 特征方程：
故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单 的函数形式,即η=x 或η=y)
原方程化简后的标准形式为：
第23页/共28页
例2. 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0
解：∵
a11 1 a12 1 a22 3 故
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
a122 a11a22 4 0
第5章偏微分方程值解ppt课件
t 2K 2t t (TW t ) u 2 rC P C P l l
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz
1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2
同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz
1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2
同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。
偏微分方程课件
a ij(x 1 ,
i,j 1
,x n) x i xj f( x 1,
, x n,u ,x 1 ,
,x n).
完全非线性PDE： PDE中对最高阶导数不是线性的。
举例（未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f (y)
2.
u au 0 t x
变换
x x at
解为： uf(xa)t
i,n j 1 a ij( x u 1 , , x u n ,u ,x 1 , ,x n ) x i2 u x j f( x u 1 , , x u n ,u ,x 1 , ,x n ) .
半线性PDE： 拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为
自变量的函数。例如：
n
2 u u u
t 0,0xL
u(x,t) (x)
t0
u(x,t)x0 g(t),u(x,t)xL h(t)
何为适定性？
存在性
唯一性
适定性
连续依赖性（稳定性）
稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的 定解问题解的偏差也将非常小．
若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为
广义解
线性PDE
半线性PDE
非线性PDE
拟线性PDE
完全非线性PDE
自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 线性PDE： 全体都是线性的。例如：
i,n j 1 a i j( x 1 , ,x n ) x i 2 u x j j n 1 b j( x 1 , ,x n ) x u j c ( x 1 , ,x n ) u f( x 1 , ,x n ) ,
偏微分方程 第3章 波动方程PPT课件
9
《偏微分方程》第3章 波动方程
10
《偏微分方程》第3章 波动方程
11
《偏微分方程》第3章 波动方程
12
《偏微分方程》第3章 波动方程
13
《偏微分方程》第3章 波动方程
14
《偏微分方程》第3章 波动方程
15
《偏微分方程》第3章 波动方程
16
《偏微分方程》第3章 波动方程
17
《偏微分方程》第3章 波动方程
45
《偏微分方程》第3章 波动方程
46
《偏微分方程》第3章 波动方程
47
《偏微分方程》第3章 波动方程
48
《偏微分方程》第3章 波动方程
49
《偏微分方程》第3章 波动方程
50
《偏微分方程》第3章 波动方程
51
《偏微分方程》第3章 波动方程
52
《偏微分方程》第3章 波动方程
53
《偏微分方程》第3章 波动方程
36
《偏微分方程》第3章 波动方程
37
《偏微分方程》第3章 波动方程
38
《偏微分方程》第3章 波动方程
39
《偏微分方程》第3章 波动方程
40
《偏微分方程》第3章 波动方程
41
《偏微分方程》第3章 波动方程
42
《偏微分方程》第3章 波动方程
43
《偏微分方程》第3章 波动方程
44
《偏微分方程》第3章 波动方程
27
《偏微分方程》第3章 波动方程
28
《偏微分方程》第3章 波动方程
29
《偏微分方程》第3章 波动方程
30
《偏微分方程》第3章 波动方程
31
《偏微分方程》第3章 波动方程
《偏微分方程》第3章 波动方程
10
《偏微分方程》第3章 波动方程
11
《偏微分方程》第3章 波动方程
12
《偏微分方程》第3章 波动方程
13
《偏微分方程》第3章 波动方程
14
《偏微分方程》第3章 波动方程
15
《偏微分方程》第3章 波动方程
16
《偏微分方程》第3章 波动方程
17
《偏微分方程》第3章 波动方程
45
《偏微分方程》第3章 波动方程
46
《偏微分方程》第3章 波动方程
47
《偏微分方程》第3章 波动方程
48
《偏微分方程》第3章 波动方程
49
《偏微分方程》第3章 波动方程
50
《偏微分方程》第3章 波动方程
51
《偏微分方程》第3章 波动方程
52
《偏微分方程》第3章 波动方程
53
《偏微分方程》第3章 波动方程
36
《偏微分方程》第3章 波动方程
37
《偏微分方程》第3章 波动方程
38
《偏微分方程》第3章 波动方程
39
《偏微分方程》第3章 波动方程
40
《偏微分方程》第3章 波动方程
41
《偏微分方程》第3章 波动方程
42
《偏微分方程》第3章 波动方程
43
《偏微分方程》第3章 波动方程
44
《偏微分方程》第3章 波动方程
27
《偏微分方程》第3章 波动方程
28
《偏微分方程》第3章 波动方程
29
《偏微分方程》第3章 波动方程
30
《偏微分方程》第3章 波动方程
31
《偏微分方程》第3章 波动方程
偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE课件幻灯片课件
由(1.10)，可推出 C1C2 0
只有零解。
2020/5/12
6
情形（C）
0 方程的通解为
X (x ) C 1 cox s C 2sin x ,
由边界条件X(0) = 0推出 C1 0,
再由 X(L)C 2sin L0, 知道为了使 C2 0, 必须
sin L0.
于是有 Lk, (k 1,2 ).,3本, 征值
k 1 C k (t) k La 2C k(t s)ik n L xf(x,t)(2.12)
(2.3)
k
u(x,0)k1Ck(0)sinLx0
(2.13)
(2.4)
ut(x,0)k 1Ck (0)sik nL x0
(2.14)
2020/5/12
22
(2.12)，(2.13)，(2.14)
27
(II) 本征值问题
X X 0 ,( 0 x L )
X(0)X(L)0
本征值
kkL 222, (k1,2,3,).
本征函数 X k(x)C ksikn L x, (k1 ,2, )
T k(t)B kex (p k L a)2t , (k 1 ,2 , )
2020/5/12
28
(III) 特解的叠加
0 mn
2020/5/12
11
分离变量法的解题步骤
第一步 令 u(x,t)X(x)T(t)适合方程和边界条件，
从而定出 X (x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及
T (t) 适合的常微分方程。
本征
求解该常微分方程齐次边值问题，
第二步 求出全部本征值和本征函数，并求
值问 题
出相应的 T (t) 的表达式。
偏微分方程课件 云南财经大学
1.1.5. 非线性偏微分方程 我们把不是线性偏微分方程的偏微分方程统称为非线性偏 微分方程。在非线性偏微分方程中， 如果关于未知函数的所有 最高阶偏导数都是线性的, 则称它为拟线性偏微分方程。
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
如果给定一个函数 u (x) , 将它及它对自变量的各阶偏导
数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解, 其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
它被称为三维Laplace方程。
利用Laplace算子
2 x2
2 y2
2 z2
，三维Laplace方程写成
u 0
对于函数 u u(x1, x2, , xn ,t) 的n维Laplace方程，利用
Laplace算子
2 x12
2 x22
2 xn2
则偏微分方程的一般形式为
实自变量 未知函数
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第7页
1.1.2. 偏微分方程的解
m
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
如果给定一个函数 u (x) , 将它及它对自变量的各阶偏导
数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解, 其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
它被称为三维Laplace方程。
利用Laplace算子
2 x2
2 y2
2 z2
，三维Laplace方程写成
u 0
对于函数 u u(x1, x2, , xn ,t) 的n维Laplace方程，利用
Laplace算子
2 x12
2 x22
2 xn2
则偏微分方程的一般形式为
实自变量 未知函数
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第7页
1.1.2. 偏微分方程的解
m
偏微分方程课件 云南财经大学
, xn , t )的n维波动方程
19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
第 4页
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
11
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则
微分方程PPT(罗兆富等编)第五章 偏微分方程的概念
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔· 伯努利也研究了 数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般 方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响, 拉格朗 日也讨论了一阶偏微分方程, 丰富了这门学科的内容 . 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候,数学 物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理 问题的解决做出了贡献. 这里应该提一提法国数学家傅 里叶, 他年轻的时候就是一个出色的数学学者. 在从事热 流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在书中他提出 了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程. 他的研究 对偏微分方程的发展的影响是很大的 .
utt a 2uxx 0, x , t 0, u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x).
所描述的是无限长弦或边界对弦的振动的影响可忽略不 计的弦振动规律 .
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
初始条件的提法只有一种,而是边界条件的提法则有 三种 . (1)狄立克莱边界条件 在这种情形, 对未知函数u在有界区域的边界上给出 其值. 例如
utt a 2u xx 0 utt a 2 (u xx u yy ) 0 utt a 2 (u xx u yy u zz ) 0
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(5.1.04)
例3. 拉普拉斯(Laplace)方程
u xx u yy 0 u xx u yy u zz 0
完全非线性偏微分方程
如果一个偏微分方程具有不含有未知函数及其偏导数 的项, 则称其为非齐次偏微分方程, 否则称其为齐次偏微 分方程 .
x2uxx 2xyuxy y 2uyy 1 e y
相关主题