10-第10章-线性方程组的求解-并行数值算法-并行计算(共15章)
方程求解算法优化及并行计算方法
方程求解算法优化及并行计算方法随着计算机技术的不断发展，方程求解问题在科学、工程等领域中得到了广泛的应用。
然而，传统的方程求解算法在面对复杂、大规模的问题时往往效率低下，无法满足实际应用的需求。
因此，对方程求解算法进行优化和并行计算方法的研究成为了当下的热点。
为了提高方程求解算法的效率，研究人员们提出了许多优化方法。
其中一个常见的优化方法是迭代法。
迭代法通过不断逼近方程的根，直到满足精度要求为止。
在迭代法中，关键是选择合适的迭代公式和收敛条件。
传统的迭代算法如牛顿法、割线法等，在一些复杂问题中可能会收敛速度较慢。
因此，研究人员们提出了一些改进的迭代算法，如改进的牛顿法、改进的割线法等。
这些改进算法可以通过适当调整迭代公式和收敛条件来提高迭代速度和精度。
此外，近年来，机器学习方法在方程求解中也得到了广泛应用。
机器学习方法通过利用大量的数据进行模型训练，可以生成更为准确的方程求解算法。
例如，神经网络方法可以通过训练大量的样本数据，学习到方程求解的模式和规律，从而提高求解效率。
此外，遗传算法等进化算法也可以应用于方程求解，通过不断优化求解算法的参数，进而提高求解效果。
除了算法优化，利用并行计算方法也是提高方程求解算法效率的重要手段之一。
并行计算方法通过将任务分解为多个小任务，并在多个处理单元或计算节点上同时进行计算，从而达到加速计算的目的。
在方程求解中，可以通过并行计算方法将一个大规模的问题分解为多个小规模的子问题，并分配给不同的处理单元进行并行计算。
这样可以充分利用计算资源，提高方程求解算法的速度和效率。
目前，常见的并行计算方法包括多线程并行计算、多进程并行计算和分布式计算等。
多线程并行计算是指在同一进程中利用多个线程同时进行计算，可以充分利用多核心处理器的优势。
多进程并行计算是指在不同的进程中利用不同的处理器同时进行计算，可以提高计算能力。
分布式计算是指将一个大问题分解成多个小问题，并在不同的计算节点上进行并行计算，可以充分利用集群或分布式系统的计算资源。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解在数学中，线性方程组是求解多元一次方程组的一种重要方法。
它在各种科学领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、LU分解法和Jacobi迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它基于矩阵的基本变换，通过不断变形将线性方程组转化成行最简形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 先将系数矩阵化为上三角矩阵。
从第一行开始，每一行都使用该行的第一个元素除以它下面的元素，将其所在列下面的所有元素消为0。
这个过程称为消元。
3. 接着，再将上三角矩阵转化为行最简形式。
从最后一行开始，每一行都使用该行的第一个非零元素除以它上面的元素，将其所在列上面的所有元素都消为0。
4. 通过以上变换，线性方程组的解就可以直接读出。
具体来说，最后一行所对应的方程是一个单变量方程，规定该变量的解为该方程的解，再逐步回代到前面的方程中求解其他变量即可。
高斯消元法的优点是计算量比较小，而且对于系数矩阵满秩的情况，它的解决效率极高。
但是，当系数矩阵有多个零行或行向量是另一行向量的倍数时，高斯消元法就会出现退化的情况，此时需要通过其他方法进行求解。
二、LU分解法LU分解法是一种比高斯消元法更加高效的求解线性方程组的方法。
它基于矩阵的分解，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 通过高斯消元法将系数矩阵化为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积形式，即A=LU。
3. 将线性方程组转化为LY=B和UX=Y的两个方程组，其中L 和U是A的三角分解矩阵。
4. 先解LY=B，得到向量Y。
再解UX=Y，便得到线性方程组的解。
相对于高斯消元法，LU分解法的计算量更小，尤其是当多次求解同一个系数矩阵时，LU分解法可以提高计算效率。
线性方程组的求解
目录摘要 (1)一．用列主元消去法解方程组 (2)1．问题的提出 (2)2．问题的分析 (2)3．问题的解决 (3)二．编写一个列主元消去法求逆矩阵的程序 (4)1．问题的提出 (4)2．问题的分析 (4)3．问题的解决 (5)Ax (5)三．用LU分解法解方程组b1．问题的提出 (5)2．问题的分析 (5)3．问题的解决 (6)四．用改进平方根法解方程组 (7)1．问题的提出 (7)2．问题的分析 (7)3．问题的解决 (8)五．用追赶法解方程组 (9)1．问题的提出 (9)2．问题的分析 (9)3．问题的解决 (10)六．分别用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法解方程组 (11)1．问题的提出 (11)2．问题的分析 (11)3．问题的解决 (12)参考文献 (14)个人体会 (15)附录：程序代码 (16)摘要在科技研究和工程技术所提出的计算问题中，经常会遇到线性方程组的求解问题，这里主要是有关线性方程组的直接解法。
解线性方程组的直接法是用有限次运算求出线性方程组Ax=b 的解的方法。
线性方程组的直接法主要有Gauss消元法及其变形、LU(如Doolittle、Crout方法等)分解法和一些求解特殊线性方程组的方法（如追赶法、LDLT法等）。
这里主要有列主元消元法,LU分解法,改进的平方根法，追赶法和雅可比迭代，高斯—塞德尔迭代的构造过程及相应的程序。
线性方程的解法在数值计算中占有极重要的地位，因此，线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一。
关键词：列主元消元法；LU分解；改进平方根法；追赶法；雅可比迭代；高斯—塞德尔迭代一．用列主元消去法解方程组：1．问题的提出：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++--=+--=+-+=++4323231243432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=++-=-+--=-+-434220332282432132143214321x x x x x x x x x x x x x x x2．问题的分析：列主元消去算法主要分为两个过程：消去过程和回代过程1． 消去过程对1,,2,1-=n k(1)选主元 找k i ∈}{,,n k ，⋯使)()(max k ik ni k ki k a ak ≤≤= (2)若0)(=k a k ik 则停止计算（detA=0）(3)若k i k ≠ 则换行()()k i k E E ↔ （4）消元对i =1,,1++n k)()(k kkk ik a a ik l =对1,,1++=n k j )()()1(k kjik k ij k ija l a a -=+ 2.回代过程（1）若0)(=n nn a 则停止计算（detA=0） (2) )()(1,n nnn n n a a n x +=（3）对1,,1 -=n i)(1)()(1,n iini j jn ij n n i a x a a i x ∑=+=+-3．问题的解决：（1）解：对于()b A |)1(=()b A |=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------43141321************ 第1步选列主元为,3)1(31=a 31=i ，作变换()()31E E ↔，然后计算667.03221==l ， 333.03131==l ，333.03141-==-l再作变换()()(),414143131321212,,E E l E E E l E E E l E →-→-→-得到())2()2(|b A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------3533333.0667.2667.10333.2333.0333.10333.0333.0667.102113 第2步，对)2(A 选列主元为667.135)2(22==a ，22=i ，计算8.05432==l ， 142=l ， 再做变换32323)(E E l E →-，42424)(E E l E →-，得到()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=05/1333030015/3915/9003/13/13/502113)3()3(b A消去过程结束，回代计算得到解10214321===-=x x x x所以原方程组的解为TX )1,0,2,1(-=。
第10章计算机数学基础下线性方程组的数值解法
第10章 线性方程组的数值解法设线性方程组a 11x 1+ a 12x 2+ a 13x 3+……+ a 1n x n =b 1a 21x 1+ a 22x 2+ a 23x 3+……+ a 2n x n =b 2……a n1x 1+ a n2x 2+ a n3x 3+……+ a nn x n =b n记为矩阵的形式 AX=b 其中 A= X = b=A 是一个n 阶方阵,X 和b 是n ×1的列阵或n 维列向量。
当|A |≠0时，方程组的解存在且唯一。
线性方程组的基本解法一般分为两大类：其一是直接法，如：克莱姆法则和高斯消去法；另一种是迭代法。
一、高斯消去法知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
消去法就是按特定顺序进行的矩阵行初等变换法，当消元是按自然顺序进行时，称为高斯顺序消去法。
1．高斯顺序消去法---设线性方程组AX ＝b ，对增广矩阵[A ┇b ]顺序作初等行变换，使矩阵A 化为上三角形矩阵，再回代，从而求得线性方程组的解。
要求在作初等行变换消元过程中，)1,...,2,1(0)1(-=≠-n k a k kk 。
当|)1(-k kk a |很小时，消元应当停止。
当k=n-1时，消元过程完成。
注意：本章讨论线性方程组解的方法，不讨论解的存在性。
例1:解线性方程组2x 1 + x 2 + x 3 =74x 1 + 5x 2 - x 3=11x 1 - x 2 + x 3 =0解：方程组的矩阵形式为 AX=b ,其中：a 11 a 12 a 13 … a 1na 21 a 22 a 23 … a 2n…… a n1 a n2 a n3 … a nnx 1 x 2 … x n b 1 b 2 …b n2 1 1 7A = 4 5 -1 b= 111 -1 1 0第一步：列出增广矩阵2 1 1 7[A ┇b ]= 4 5 -1 111 -1 1 0第二步：对增广矩阵进行行初等变换,将系数矩阵A 化为上三角形矩阵[A ┇b]= 4 5 -1 11 0 3 -3 -31 -1 1 0 0 -1.5 0.5 -3.5 r 3+(0.5)r2 2 1 1 7 03 -3 -3 0 0 -1 -5 得到同解线性方程组(2x 1 + x 2 + x 3 = 7 3x 2 - 3x 3 =-3 -x 3 =-5第三步：对上述上三角形方程组进行回代求解,得到：x 3 =5 x 2 =4 x 1 =-1从而得到原方程组的解：X =(-1,4,5)T把原方程组化成上三角形方程组的过程称为消元过程。
【文献综述】线性方程组解法的研究
【文献综述】线性方程组解法的研究文献综述信息与计算科学线性方程组解法的研究线性代数不仅是大学数学专业的一门重要的基础课程，也是本专科高校中各类专业的一门公共基础课，对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。
线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。
近年来随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一。
线性代数的应用已经深入到自然科学、社会科学、工程技术、经济和管理等各个领域。
而求解线性方程组是线性代数的核心内容之一，也是它的最重要的应用领域之一。
线性方程组理论及其求解无论在工程计算和理论研究中都占有非常重要的地位，许多实际问题最终都可以化为一个线性方程组的求解问题。
线性方程组是指由一次方程所组成的方程组，对于它的研究主要是在解法问题上的探究，它有很多非常有效的解法，如高斯消元法、约当消元法、迭代法等，对一些特殊的线性方程组还有更有效的算法。
通常情况下，对于二元一次及三元一次方程组，采用的是加减消元法或带入消元法来求解。
至于多元线性方程组，大多采用的是高斯消元法、迭代法、主元素消去法等。
著名的克莱姆法则一般用在未知数个数和方程个数相等的情况下，用它求解方程组有个缺点，就是计算量比较大。
最初的线性方程组来源于生活，产生在实践中，正是一些实际问题刺激了这门学科的诞生和发展。
因此，线性方程组和我们的生活息息相关，人们对线性方程组的研究也在不断的深入，线性方程组理论及其解法更是不断的被应用在实际问题中。
对于线性方程组的解法，中国古代就有比较完整的论述。
在《九章算术方程》中，描述了相当于现在的高斯消元法，就是利用方程组的增广矩阵实行初等变换从而消去未知量的方法。
在印度，于梵藏的著作中最早出现一次方程组。
而西方，法国数学家彪特于1559年提出了三元一次方程组的解法，这也是欧洲最早出现的关于三元一次方程组的解法。
此后直到17世纪后期，由莱布尼茨开创了对线性方程组的研究，他当时研究的是含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组，而且通过对线性方程组的研究还导致了他发明了行列式。
并行计算-南京大学计算机科学与技术系
三大科学 计算科学
计算科学、理论科学与实验科学 计算物理、计算化学、计算生物等
5 2011/9/13
并行计算
科学与工程问题的需求 需求类型
气象预报、油藏模拟、核武器数值模拟、航天器 设计、基因测序等。 计算密集、数据密集、网络密集。
美国HPCC计划：重大挑战性课题，3T性能 美国Petaflops研究项目：Pflop/s。 美国ASCI计划：核武器数值模拟。
2 2011/9/13
并行计算——结构•算法•编程
第三篇 并行数值算法
第八章 基本通信操作 第九章 稠密矩阵运算 第十章 线性方程组的求解 第十一章 快速傅里叶变换 第十二章 并行程序设计基础 第十三章 并行程序设计模型和共享存储系统编程 第十四章 分布存储系统并行编程 第十五章 并行程序设计环境与工具
并行计算
——结构•算法•编程 主讲教师：谢磊
并行计算——结构•算法•编程
第一篇 并行计算的基础源自 第一章 并行计算机系统及其结构模型 第二章 当代并行机系统：SMP、MPP和Cluster 第三章 并行计算性能评测
第二篇 并行算法的设计
第四章 并行算法的设计基础 第五章 并行算法的一般设计方法 第六章 并行算法的基本设计技术 第七章 并行算法的一般设计过程
7 2011/9/13
高性能计算机
1981–1983 1983–1984 1984–1985 1985–1989 1989–1993 1993–1994 1994–1995 1995–2000 2000–2002 2002.6–2004 CDC Cyber 205 Cray X-MP/4 M-13 Cray-2/8 ETA10-G/8 Thinking Machines CM-5 Fujitsu Numerical Wind Tunnel II Intel ASCI Red IBM ASCI White NEC Earth Simulator 400 MFLOPS 941 MFLOPS 2.4 GFLOPS 3.9 GFLOPS 10.3 GFLOPS 37.5 GFLOPS 236 GFLOPS 2.15 TFLOPS 9.216 TFLOPS 35.86 TFLOPS (numerous sites worldwide) Los Alamos & Lawrence Livermore Nat. Laboratories, Battelle, Boeing Scientific Research Institute of Computer Complexes, Moscow, USSR Lawrence Livermore National Laboratory, California, USA Florida State University, Florida, USA Los Alamos National Laboratory, California, USA National Aerospace Lab, Japan Sandia National Laboratories, New Mexico, USA Lawrence Livermore National Laboratory, California, USA Yokohama Institute for Earth Sciences, Japan
数值计算方法线性方程组与矩阵计算
数值计算方法线性方程组与矩阵计算数值计算方法：线性方程组与矩阵计算数值计算方法是指利用计算机进行数值运算的一种方法。
在实际应用中，处理线性方程组和矩阵计算是数值计算方法中较为基础和重要的内容。
本文将介绍线性方程组的求解和矩阵计算的相关知识。
一、线性方程组求解方法线性方程组是指形如Ax=b的方程组，其中A是一个m×n的矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
线性方程组的求解是数值计算中的一个核心问题，下面介绍几种常用的求解方法。
1.1 直接法直接法是一种通过有限次数的基本运算，得到线性方程组精确解的方法。
常用的直接法有高斯消元法和LU分解法。
高斯消元法通过将线性方程组的系数矩阵进行初等行变换，将其转化为一个上三角形式或下三角形式，从而求得方程组的解。
该方法的主要优点是精确解，但对于特定类型的矩阵，容易出现数值不稳定的问题。
LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
然后，通过求解Ly=b和Ux=y两个方程组，得到线性方程组的解x。
这种方法不仅可以减少运算量，还可以提高数值稳定性。
1.2 迭代法迭代法是通过逐次逼近线性方程组的解，直到满足一定的精度要求。
常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
雅可比迭代法是一种通过逐个分量的更新来逼近解的迭代方法。
它的基本思想是将线性方程组写成x=D^(-1)(b-Rx)的形式，其中D是A的对角矩阵，R是A的上三角部分和下三角部分的和。
然后，通过不断更新x，直至满足一定的收敛准则。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
它的原理与雅可比迭代法类似，不同之处在于每次更新x时，使用最新的已知分量。
二、矩阵计算方法矩阵计算是数值计算中的一个重要部分，涉及矩阵的加法、乘法、转置、逆矩阵等。
2.1 矩阵加法和乘法矩阵加法是指对应元素相加，形成一个新的矩阵。
矩阵乘法是指按照特定的规则将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵加法和乘法的运算规则与实数的加法和乘法类似，但需要满足矩阵乘法的封闭性和分配律。
大学计算机专业课程介绍
参考书： 《Turbo Pascal 大全》 姚庭宝 张 帜 编著电子工业出版社
课程名称：数据结构 课程编码：1014701
英文名称：Data Structure
学 时：72 学 分：4
教 材：《C++面向对象程序设计教程》陈维兴 林小茶编著 清华大学出版社
课程名称：软件工程 课程编码：1020602
英文名称：Software Engineering
学 时：40 学 分：2
适用专业：计算机科学与技术
教 材：《计算机网络》（第二版） 谢希仁编 大连理工大学出版社
参考书： 《计算机网络教程》 高传善 复旦大学出版社。
课程名称：数据库原理 课程编码：1014901
英文名称：Principles of Database
学 时：45 学 分：2.5
参考书：《实用软件工程》 郑人杰等 清华大学出版社
课程名称：离散数学 课程编码：1014601
英文名称：Discrete Mathematics
学 时：63 学 分：3.5
适用专业：计算机科学与技术
课程内容：本课程主要介绍离散数学原理，内容有：1.集合论:集合、关系、映射；2.图的基本概念、图的遍历、平面图、有向图；3.代数系统：代数结构，概念、性质、运算，半群、独异点、群与子群，陪集与拉格朗日定理，同态与同构、环；4.数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑等。
参考书：《程序设计教程》 刘辰生 李慧然 海洋出版社
课程名称：操作系统 课程编码：1013601
英文名称：Operating System
学 时：72 学 分：4
并行计算方法.
2.4并行计算编程环境
1、分布传递并行编程： ❖ 消息传递 MPI ❖ PVM并行虚拟机（Parallel Virtual Machine）
2.4并行计算编程环境
2、共享存储并行编程 ❖ OpenMP 是一种面向共享内存以及分布式共享内存的多处理器多线
程并行编程语言
2.4并行计算实现过程
并行计算实现过程
1.2 并行计算机分类
并行计算机 就是由多个处理单元(处理器或计算机)组成的计算机系统，这些处理单 元相互通信和协作，能快速、高效地求解大型复杂问题。
1、单指令多数据流（SIMD）型并行
2、多指令多数据流（MIMD）型并行机： 并行向量处理机、大规模并行处理机、分存共享存储多处理机、 对称多处理机、、工作站机群
雅可比迭代法 超松弛迭代法 多重网格法
3.3 稀疏矩阵向量乘法算例
1、坐标存储法
Creativity
4 稀疏矩阵向量乘法算例
2、矩阵向量串行算法
Creativity
4 稀疏矩阵向量乘法算例
3、矩阵向量的并行化分析
Creativity
4 稀疏矩阵向量乘法算例
4、矩阵向量并行算法
Creativity
1.3 并行计算机体系结构
并行计算机体系结构是指在所应用的并行 处理系统中各个节点机之间的连接方式。
1、总线结构
2、网格结构
3、超立方体结构
1.4 基本性能指标
1、 CPU和存储器： 工作负载：执行时间、指令数目、浮点运算数。 并行执行时间：计算时间+并行开销时间+相互通信时间 存储器的层次结构：容量、延迟、带宽
3.1矩阵运算
1、矩阵的划分： 带状划分：块带状划分、循环带状划分 棋盘划分：块棋盘划分、循环棋盘划分
并行计算
课程名称：并行计算课程编码：C303课程学分：2适用学科：计算机应用技术并行计算parallel computing教学大纲一、课程性质本课程是为计算机科学与技术专业本科硕士研究生所开设的一门必修课，以便扩充学生在并行计算方面的知识。
二、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握并行计算的硬件基础知识，并行计算设计与并行数值算法的基础知识，掌握在不同的并行计算模型上的并行程序设计方法。
三、教学基本内容及基本要求本课程的教学基本内容以并行计算为主题，讲授并行计算的硬件基础，并行计算设计与并行数值算法以及并行计算的软件支持。
第一章并行计算机系统及其结构模型（掌握）1、并行计算与高端并行计算机2、并行计算机系统互连3、并行计算机系统结构第二章当代并行机系统：SMP MPP和COW（掌握）1、对称多处理机SMP2、在规模并行机MPP3、工作站群COW4、国产曙光系列并行机系统第三章并行计算性能评测1、加速比性能定律2、可扩放性评测标准3、基准测试程序第四章并行算法的设计基础（掌握）1、并行算法的基础知识2、并行计算模型第五章并行算法的一般设计方法（掌握）1、串行算法的直接并行化2、从问题描述开始设计并行算法3、借用已有算法求解新问题第六章并行算法的基础设计技术（掌握）1、划分设计技术2、分治设计技术3、平衡树设计技术4、倍增设计技术5、流水线设计技术第七章并行算法的一般设计过程（掌握）1、PCAM设计方法2、划分3、通信4、组合5、映射第八章基本通信操作（掌握）1、选路方法与开并技术2、单一信包一到一传输3、一到多播送4、多到多播送第九章稠密矩阵运算（掌握）1、矩阵的划分2、矩阵转置3、矩阵向量乘法4、矩阵乘法第十章线性方程组的求解（掌握）1、三角形方程组的求解2、三对角方程组的求解3、密线性方程组的求解4、稀疏线性方程组的求解第十一章快速傅里叶变换（掌握）1、离散傅氏变换2、快速傅氏变换串行算法3、并行FFT算法第十二章并行程序设计基础（掌握）1、并行程序设计基础概述2、进程3、线程4、同步5、通信第十三章并行程序设计模型和共享存储系统编程（掌握）1、并行编程风范和样本程序2、并行程序设计模型3、共享存储并行编程第十四章分布存储系统并行编程1、基于消息传递的并行编程2、MPI并行编程3、PVM并行编程4、基于数据并行的并行编程5、HPF并行编程第十五章并行程序设计环境与工具1、软件工具与环境2、并行编译器3、并行程序调试和性能分析四、本课程与其它课程的联系与分工本课程要求学生在学习完《计算机体系结构》、《操作系统》、《编译原理》、《数据结构》等课程之后学习本课程。
并行计算 线性方程组的求解
Newton
nonlinear solver asymptotically
quadratic
Krylov
accelerator spectrally adaptive
Schwarz
preconditioner parallelizable
国家高性能计算中心（合肥）
24
第十章 线性方程组的求解
10.1 三角形方程组的求解 10.2 三对角方程组的求解 10.3 稠密线性方程组的求解 10.4 稀疏线性方程组的求解
g1x1+h1x2
=b1
.
f2x1+g2x2+h2x3
=b2
.
f3x2 +g3x3+h3x4=b3
.
f4x3 +g4x4 =b4
.
可以分别得到
g1x1+h1x2 =b1
或
f2x1+g2x2 =b2
解得 x1,x2 或 x1, x2, x3 ③回代求解x
g1x1+h1x2
=b1
f2x1+g2x2+h2x3 =b2
17
无回代的高斯-约旦法
SIMD-CREW上的并行算法
(1)处理器: n2+n个处理器, 这些处理器排成n×(n+1)的矩阵,
处理器编号为Pik, i=1‾n, k=1‾n+1 (2)并行化分析
①消元的并行化: // O(n)
for j=1 to n-1, each Pik Par-do //第j次消元 Pij(i<>j): aij <— 0 Pik(i<>j, k=j+1‾n+1): aik <— aik-ajk(aij/ajj)
数值计算方法-线性方程组的解法
= = =
b(1) 1 , b(2) 2 , b(2) 3 .
)
(2) a22 = = = = = = = = = = = = = = = =⇒
9
顺序消去法
(2) 设 a22 ̸= 0，
(1) (1) (1) a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 (2) (2) a22 x2 + a23 x3 (2) (2) x3 a32 x2 + a33 ( (3) + (2) × −
18
列主元消去法
列主元消去法 for k = 1 , 2 , · · · , n -1 (k) (k ) find ik ∈ k, · · · , n s . t . |ai | = maxk≤i≤n |aik |; k ,k interchange the k, ik - th rows in [A(k) , b(k) ] ; for i = k +1 , · · · , n
(k) (k) lik = aik / akk ;
for j = k +1 , · · · , n +1
(k+1) (k) (k ) aij = aij − lik · akj ;
end end end
19
高斯消去法
全主元消去法
全主元消去法
定义 1.4: 全主元消去法 全主元消去法选主元的范围更大，对于 A(1) | b(1) 来说，在整个 系数矩阵中选主元，即将绝对值最大的元素经过行列变换使其置 ( ) (1) 于 a11 的位置，然后进行消元过程得到 A(2) | b(2) ； 接下来在该矩阵中划掉第一行第一列后剩余的 n − 1 阶子系数矩 (2) 阵中选主元，并通过行、列交换置其于 a22 的位置，然后进行消 元；
MPC9
0
4 8
P0
12
1
5 9
P1
13
2
6 10
P2
14
3
7 11
P3
15
(a)
(b)
列块带状划分
图9.1
行循环带状划分
国家高性能计算中心（合肥）
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带状划分（2）
▪ 示例：p＝3，27× 27矩阵的3种带状划分
国家高性能计算中心（合肥）
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7
第九章 稠密矩阵运算
9.1 矩阵的划分
P 12
P 13
P 14
P 15
(7,0) (7,4) (7,1) (7,5) (7,2) (7,6) (7,3) (7,7)
(a)
块棋盘划分
图9.2
(b)
循环棋盘划分
国家高性能计算中心（合肥）
2020/5/20
9
棋盘划分（2）
▪ 示例：p＝4，16×16矩阵的3种棋盘划分
国家高性能计算中心（合肥）
(1,3) (1,4) (2,3) (2,4)
(1,5) (1,6) (2,5) (2,6)
(1,7) (2,7)
P4
P5
P6
P7
(3,0) (4,0)
(3,1) (3,2) (4,1) (4,2)
(3,3) (3,4) (4,3) (4,4)
(3,5) (3,6) (4,5) (4,6)
(3,7) (4,7)
(1,0) (1,1)(3,0) (3,1) (5,0) (5,1) (7,0) (7,1) (0,2) (0,3)(2,2) (2,3) (4,2) (4,3) (6,2) (6,3)
有限元法基础线性代数方程组的解法PPT课件
波前法和分块解法基本思想都是基于对高斯消 去法的再分析，由先集成后消元修正，发展到集 成和消元修正交替进行。
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有限元法基础
7.3 利用计算机外存的直接法
三.波前法（Front Method） 高斯循序消去法和三角分解法的求解规模与带
高斯循环消去法 Do 15 m = 1, n-1 Do 15 i = m+1, n Do 15 j = i, n K(i,j )= K(i,j) – K(m,i) * K(m,j) /K(m,m)
15 continue
按行三角分解 Do 15 i = 1, n Do 15 j = 1, n Do 15 m = 1, i-1 K(i,j )= K(i,j) – K(m,i) * K(m,j) /K(m,m)
波前法的计算过程 1）按单元顺序扫描计算单元刚度矩阵，并送入内 存进行集成 2）检查那些DOF已完成集成，将集成完毕的DOF 作为主元，对其他行、列进行消元修正 3）完成消元修正后，将主DOF行有关的K和P中的 元素移到外存 4）重复1～3步，将全部单元扫描完毕 5）按消元顺序，由后向前依次回代求解
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有限元法基础
7.3 利用计算机外存的直接法 二.分块解法 设允许使用内存为NA
NA =NQ 行数 ND 要求 NA>ND
在每一分块，NQ－ND行集成完毕，可进行消元修 正，最后的ND行进入到下一块系数矩阵一起集成， 消元修正。
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有限元法基础
7.3 利用计算机外存的直接法 分块解法的特点 1) 在每一分块中，系数矩阵的元素是先集成后消
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并行计算概述
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静态互连网络 与动态互连网络
• 静态互连网络：处理单元间有着固定连接的一类网络，在程序执行期间，这 种点到点的链接保持不变；典型的静态网络有一维线性阵列、二维网孔、树 连接、超立方网络、立方环、洗牌交换网、蝶形网络等
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并行计算
• 美国HPCC计划：高性能计算和通信，重大挑 战性课题，3T性能
• 美国Petaflops研究项目：Pflop/s。 • 美国ASCI计划：加速战略计算创新，核武器数
值模拟。高性能
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第一章并行计算机系统及结构模型
• 1.1 并行计算 • 1.1.1 并行计算与计算科学 • 1.1.2 当代科学与工程问题的计算需求
• 1.2 并行计算机系统互连 • 1.2.1 系统互连 • 1.2.2 静态互联网络 • 1.2.3 动态互连网络 • 1.2.4 标准互联网络
• SGI(Option Blue Mountain): 3Tflops,1998,MIPS10000
• IBM(Option White):
7Tflops,To p4,2001,Po wer3
• 日本Earth Simulator:
35Tflops,To p1,2002,VP
• Hewlett-Packard ASCI Q： 7Tflops ,Top2,3,2002, Alpha Ser ver
《通信原理》大学题集
《数值计算》笔记（十五章）第1章：引言1.1 什么是数值计算数值计算是利用计算机来解决数学问题的一门学科，它涉及到近似解的求解方法。
与解析解不同，数值解通常不能给出精确的答案，但可以提供足够接近真实值的结果。
在很多情况下，特别是当面对复杂的实际问题时，获取解析解可能是不可能的，这时数值方法就显得尤为重要。
1.2 数值计算的重要性在科学研究、工程设计以及金融分析等领域，数值计算扮演着不可或缺的角色。
通过数值方法，我们可以模拟物理现象、优化系统性能、预测经济趋势等。
此外，随着计算机技术的发展，处理大数据和进行复杂模型的计算变得更加高效，这进一步推动了数值计算的应用范围。
1.3 计算机在数值分析中的角色现代计算机强大的计算能力使得处理大规模数据集和执行复杂的数值算法成为可能。
计算机编程语言如Python, MATLAB, C++等提供了丰富的库函数，极大地简化了开发过程。
同时，高性能计算 HPC）平台支持并行运算，加速了数值解的获得速度。
1.4 精度与误差在数值计算中，由于存在舍入误差等原因，结果总是带有一定程度的不准确性。
因此，了解不同类型的误差来源及其对最终结果的影响至关重要。
主要的误差类型包括：•绝对误差：测量值与真实值之间的差。
•相对误差：绝对误差除以真实值。
•截断误差：由使用有限项级数代替无限项级数引起。
•舍入误差：由于数字表示精度限制导致的数据丢失。
1.5 算法稳定性一个稳定的算法是指即使输入数据有轻微变动，输出也不会发生显著变化。
稳定性对于确保数值结果的可靠性非常重要。
评估算法稳定性的方法之一是考察其条件数；另一个关键因素是选择合适的步长或迭代参数，以避免振荡或发散行为。
第2章：浮点数运算2.1 浮点表示浮点数是一种用来近似表示实数的方法，在大多数计算机体系结构中采用IEEE 754标准定义。
根据该标准，浮点数由三部分组成：•符号位 S）：指示数值正负。
•指数 E）：决定了小数点的位置。
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组是数学领域中重要的概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
解决线性方程组的问题是数学中的常见任务之一。
在本文中，我们将介绍几种常见的线性方程组求解方法。
高斯消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。
它基于矩阵运算和消元法的原理。
在进行高斯消元法求解时，我们将方程组表示为增广矩阵的形式。
通过一系列的行变换操作，我们可以将矩阵转换为上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵。
最终，我们可以通过回代法求解得到方程组的解。
雅可比迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它基于方程组中每个方程的系数矩阵的逆阵的近似值。
在雅可比迭代法中，我们首先将方程组表示为对角元素为0的形式。
然后，我们可以通过迭代计算每个未知数的近似值，直到达到预设的精度要求。
雅可比迭代法在某些情况下可以比高斯消元法更加高效，尤其是在大规模线性方程组求解时。
Gauss-Seidel迭代法是雅可比迭代法的一种改进方法。
它与雅可比迭代法类似，但在每次迭代中，我们使用上一次迭代计算出的未知变量的近似值。
这样可以加速收敛速度，并且通常比雅可比迭代法更快地求解出线性方程组的近似解。
LU分解法是通过将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积来求解线性方程组的方法。
我们首先通过高斯消元法将系数矩阵转换为上三角矩阵，然后再将上三角矩阵分解为下三角矩阵和对角矩阵的乘积。
通过LU分解，我们可以降低求解线性方程组的计算复杂度，并且可以在之后的计算中重复使用已经求解得到的分解矩阵。
QR分解是另一种求解线性方程组的方法。
它将系数矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。
通过QR分解，我们可以利用正交矩阵的性质简化线性方程组的求解。
总结起来，我们介绍了几种常见的线性方程组求解方法，包括高斯消元法、雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法、LU分解法和QR分解法。
这些方法在不同的问题和情境中有不同的适用性。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和要求选择最合适的方法来求解线性方程组。
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10.4 稀疏线性方程组的求解
10.4.1 线性方程组的并行化方法 10.4.2 稀疏线性方程组的迭代解法 10.4.3 高斯-赛德尔迭代法的并行化
稀疏线性方程方程的迭代解法
迭代解法
(1) Jacobi : xik 1 (bi aij x k j ) / aii
certain PDEs
计算精度要求 计算环境要求
Gaussian elimination: more accurate, more expensive Conjugate gradients: less accurate, less expensive architecture, available languages, compiler quality libraries?
13
②重复①最终可得: case 1: case 2: g1x1+h1x2 =b1 f2x1+g2x2+h2x3 =b2 f3x2 +g3x3+h3x4=b3 =b4
三对角方程组的直接求解法
. . . f4x3 +g4x4 . 或
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可以分别得到 g1x1+h1x2 =b1 g1x1+h1x2 =b1 f2x1+g2x2 =b2 国家高性能计算中心（合肥） f2x1+g2x2+h2x3 =b2
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10.3 稠密线性方程组的求解
10.3.1 有回代的高斯消去法 10.3.2 无回代的高斯-约旦法 10.3.3 迭代求解的高斯-赛德尔法
迭代求解的高斯-赛德尔法
串行算法原理
x
k 1 i
1 k 1 k aij x j aij x j bi aii j i j i
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国家高性能计算中心（合肥）
线性方程方程的并行化方法
求解方法的并行化
(1)直接解法的并行化(用于稠密线性方程组) - Gauss消去法(包括选主元的Gauss消去法) - Gauss-Jordan消去法 - LU分解法 (2)迭代法的并行化(用于稠密和稀疏线性方程组) - Jacobi - Gauss-Seidel(可异步并行化) - Jacobi OverRelaxation(JOR) - Gauss-Seidel OverRelaxation(SOR) - Conjugate Gradient
A 21
1
I 1 A 22 A 21 A11
1 1 A12 A 11 A11 I 0
A
I 0
I 0 1 B 1 A21 A11
i(n/2) ∴求A-1需要: 2次n/2×n/2矩阵的逆 6次n/2×n/2矩阵的乘 m(n/2) 2次n/2×n/2矩阵的加 a(n/2) i(n)=i(n/2)+6m(n/2)+2a(n/2) a(n/2)=n2/2, m(n/2)=O((n/2)x) 2<x<2.5 => i(n)=O(nx) 综上，串行算法的最优时间为O(nx) 2<x<2.5 2013/7/24 Wednesday 国家高性能计算中心（合肥）
三对角方程组的直接求解法
奇偶规约求解法(可并行化)
三对角方程可以写成如下形式 fixi-1+gixi+hixi+1=bi f1=hn=0 串行算法描述 i=1~n
①利用上下相邻方程消去偶序号方程中的奇下标变量: f2i-1x2i-2+g2i-1x2i-1+h2i-1x2i =b2i-1 f2ix2i-1 + g2ix2i + h2ix2i+1 =b2i f2i+1x2i +g2i+1x2i+1+h2i+1x2i+2 = b2i+1 2i-1方程乘上某个数消去2i方程中的f2ix2i-1项, 2i+1方程乘 上某个数 2013/7/24 Wednesday 国家高性能计算中心（合肥）
三对角方程组的直接求解法
Gauss消去法(难以并行化)
①消元 ②回代 注：由于三对角的 方程组的特殊性， 一次消元或一次 回代，只涉及邻 近一个方程，故 难以并行化。
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10.2 三对角方程组的求解
10.2.1 直接求解法 10.2.2 奇偶规约法
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第十章 线性方程组的求解
10.1 三角形方程组的求解 10.2 三对角方程组的求解 10.3 稠密线性方程组的求解 10.4 稀疏线性方程组的求解
10.4 稀疏线性方程组的求解
10.4.1 线性方程组的并行化方法 10.4.2 稀疏线性方程组的迭代解法 10.4.3 高斯-赛德尔迭代法的并行化
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第十章 线性方程组的求解
10.1 三角形方程组的求解 10.2 三对角方程组的求解 10.3 稠密线性方程组的求解 10.4 稀疏线性方程组的求解
10.3 稠密线性方程组的求解
10.3.1 有回代的高斯消去法 10.3.2 无回代的高斯-约旦法 10.3.3 迭代求解的高斯-赛德尔法
有回代的高斯消去法
MIMD异步并行算法
N个处理器(N≤n)生成n个进程, 每个进程计算x的一个分量 算法 Begin (1)oldi xi0, newi xi0 (2)生成进程i (3)进程i repeat (i) oldi newi (ii)newi (bi-∑k<iaik×oldk∑k>iaik×oldk)/aii until ∑i=1~n| oldi - newi |<c xi newi 2013/7/24 Wednesday 国家高性能计算中心（合肥） End
成本最优？
无回代的高斯-约旦法
O(n2)
0 A11 I 0 0 I B 0
1 A11 A12 I 0 1 A12 其中， B A22 A 21 A11 I
串行算法的最优时间：由于 x=A-1b
①A-1b(假设已有A-1): ②求A-1: A11 A12 A
消元和回代均可以并行化； 选主元也可以并行化； 消元过程的并行化图示：处理器按行划分
不变化的元素 已消为 0 的元素 主元行 可并行化部分
待改变的元素
待消为 0 的元素
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图10.1
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10.3 稠密线性方程组的求解
10.3.1 有回代的高斯消去法 10.3.2 无回代的高斯-约旦法 10.3.3 迭代求解的高斯-赛德尔法
算法基本原理
求解过程分为消元和回代两个阶段，消元是将系数矩阵 A化为上三角阵T，然后对TX=c进行回代求解。 消元过程中可以应用选主元方法，增加算法的数值稳定 性。 下面是消元过程图：
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有回代的高斯消去法
并行化分析
②求解: xj=a’j,n+1/a’jj
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无回代的高斯-约旦法
SIMD-CREW上的并行算法
(1)处理器: n2+n个处理器, 这些处理器排成n×(n+1)的矩阵,
处理器编号为Pik, i=1~n, k=1~n+1 (2)并行化分析 ①消元的并行化: // O(n) //第j次消元 for j=1 to n-1, each Pik Par-do Pij(i<>j): aij <— 0 Pik(i<>j, k=j+1~n+1): aik <— aik-ajk(aij/ajj) end for ②求解: for each Pjj(j=1~n) Par-do: xj <— aj,n+1/ajj //O(1) (3)时间分析: t(n)=O(n), p(n)=O(n2), c(n)=O(n3) 成本 2013/7/24 Wednesday 国家高性能计算中心（合肥） 最优？ 21
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上三角方程组的求解
上三角方程组的回代解法并行化
(2)SIMD-CREW上的并行回代算法 - 划分: p个处理器行循环带状划分 - 算法 P1 Begin Pj for i=n downto 1 do xi=bi/aii 1 for all Pj, where 1≤P j ≤p do for k=j to i-1 step Pj p do bk=bk-akixi aki=0 endfor endfor endfor End // p(n)=n, t(n)=n
记为 , A 21 a a a n2 nn n1
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x1 x x 2 , xn
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无回代的高斯-约旦法
串行算法原理
①消元: 通过初等行变换,将(A,b)化为主对角线矩阵, (方便起见, 记b为A的第n+1列)
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a1,n 1 a2,n 1 an ,n 1 a11 a22 ann ,n 1 a1 ,n 1 a2 ,n 1 an
如果对某个k, 给定的误差允许值c有