【讲义】函数的概念及表示
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义
函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),x a bu m n∈，那么[()]y f u=，(),=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是()y f xx称为y的原象，映射f也可记为：:f A B()x f xf x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2017秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：B 中，当x ＞0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性， A ，C ，D 满足函数的定义， 故选：B ．2．（2017秋•大观区校级期中）已知集合P={x |0≤x ≤4}，集合N={y |0≤y ≤2}，下列从P 到N 的各对应关系f 不是函数的是（ ） A ．f ：x→y=12xB ．f ：x→y=13xC ．f ：x→y=23xD ．f ：x→y=√x【解答】解：f ：x→y=12x ，是函数，f ：x→y=13x ，是函数，f ：x→y=23x ，不是函数，4→23×4=83∉N ；f ：x→y=√x ，是函数， 故选：C ．3．（2017秋•定远县期中）下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①y=x ﹣（x ﹣3）； ②y=√x −2+√1−x ； ③y={x −1(x ＜0)x +1(x ≥0) ④y={0(x 为有理数)1(x 为实数).．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：根据函数的定义，当自变量x 在它的允许取值范围内任意取一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，故①③表示y 是x 的函数；在②中由{x −2≥01−x ≥0知x ∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y 是x的函数；在④中若x=0，则对应的y 的值不唯一，可以等于0，也可以等于1，所以④不表示y 是x 的函数． 故选：C ．4．（2017秋•凉州区校级期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y=x 与y=√x 2B ．y=2lgx 与y=lgx 2C ．y =√x 33与y=xD ．y=x ﹣1与y=x 2−1x+1【解答】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域， 观察四个选项，得到A 答案中两个函数的对应法则不同，B 选项中两个函数的定义域不同，C 选项中两个函数相同，D 选项中两个函数的定义域不同， 故选：C ．5．（2017秋•鹰潭期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）=|x |，g （x ）=√x 2B ．f （x ）=lg x 2，g （x ）=2lg xC ．f （x ）=x 2−1x−1，g （x ）=x +1D ．f （x ）=√x +1•√x −1，g （x ）=√x 2−1【解答】解：对于A ，∵g （x ）=√x 2=|x|，f （x ）=|x |，∴两函数为同一函数； 对于B ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＞0}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于C ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，而函数g （x ）的定义域为R ，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于D ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＜﹣1或x ＞1}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数． 故选：A ．6．（2018春•天心区校级期末）定义运算a*b ，a ∗b ={a(a ≤b)b(a ＞b)，例如1*2=1，则函数y=1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x1，x≥0∴f（x）={2x，x＜0由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．7．（2018春•海州区校级期末）若函数y=√ax2+2ax+3的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【解答】解：由题意：函数y=√ax2+2ax+3是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：{a＞0f(−1)≤0⇒{a＞0a−2a+3≤0解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．8．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x【解答】解：设lnx=t则x=e t∴f（t）=3e t+4∴f（x）=3e x+4故选：A．9．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，∴{f(2)+2f(12)=6，①f(12)+2f(2)=32，②，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．10．（2017秋•咸阳期末）已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=3x+2B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x﹣1D．f（x）=3x+4【解答】解：设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴函数f（t）=3t﹣1，即函数f（x）=3x﹣1故选：C．11．（2017秋•尖山区校级期末）已知f（x﹣2）=x2﹣4x，那么f（x）=（）A．x2﹣8x﹣4B．x2﹣x﹣4C．x2+8x D．x2﹣4【解答】解：由于f（x﹣2）=x2﹣4x=（x2﹣4x+4）﹣4=（x﹣2）2﹣4，从而f（x）=x2﹣4．故选：D．12．（2017秋•潮南区期末）已知函数f（x）=√3x−13ax2+ax−3的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞13B．﹣12＜a≤0C ．﹣12＜a ＜0D ．a ≤13【解答】解：由a=0或{a ≠0△=a 2−4a ×(−3)＜0可得﹣12＜a ≤0， 故选：B ．二．填空题（共7小题）13．（2017春•陆川县校级期末）已知函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2），函数g （x ）=f （x ﹣1）+f （3﹣2x ）．则函数g （x ）的定义域为 [0，2） ． 【解答】解：由函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2）， 得：﹣1≤x 2﹣1＜3，故函数f （x ）的定义域是[﹣1，3）， 故﹣1≤x ﹣1＜3，﹣1≤3﹣2x ＜3， 解得：0≤x ＜2，故函数g （x ）的定义域是[0，2）， 故答案为：[0，2）．14．（2017•重庆模拟）设函数f （x ）={log 2(−x2)，x ≤−1−13x 2+43x +23，x ＞−1，若f （x ）在区间[m ，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m 的取值范围为 [﹣8，﹣1] ． 【解答】解：函数f （x ）的图象如图所示，结合图象易得 当m ∈[﹣8，﹣1]时， f （x ）∈[﹣1，2]．故答案为：[﹣8，﹣1]．15．（2018•榆林三模）已知二次函数f （x ）=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则a+1c +c+1a的最小值为 4 ． 【解答】解：由题意知，a ，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c ＞0，则a+1c +c+1a =a c +1c +c a +1a =（a c +c a ）+（1a +1c）≥2+2√1ac =2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．∴a+1c +c+1a的最小值为4．16．（2017秋•南阳期中）函数f （x ）=x ﹣√1−x 的值域是 （﹣∞，1] ．【解答】解：设√1−x =t ，则t ≥0，f （t ）=1﹣t 2﹣t ，t ≥0，函数图象的对称轴为t=﹣12，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减，∴f （t ）max =f （0）=1，∴函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．17．（2017秋•天心区校级期末）已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是 f （x ）=3x ﹣1 ．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．18．（2017秋•清河区校级期中）已知a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=1．【解答】解：∵a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，∴1通过映射可得1∈N，解得a=1，b a →ba∈N，可得ba=0，解得b=0，∴a+b=1，故答案为1；19．（2018•开封一模）f(x)={2e x−1，x＜2log3(x2−1)，x≥2.则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为2三．解答题（共1小题）20．（2016春•江阴市期末）已知函数f （x ）满足f （x +1）=lg （2+x ）﹣lg （﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）解不等式f （x ）＜1．【解答】解：（1）由已知令t=x +1，则f （t ）=lg （t +1）﹣lg （1﹣t ）， 即f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）；由{x +1＞01−x ＞0得到﹣1＜x ＜1，所以函数定义域为（﹣1，1）； （2）f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）=lg 1+x 1−x ＜1，即{1+x 1−x ＜10−1＜x ＜1，解得﹣1＜x ＜911．。
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法要点一、函数的概念例1、设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②例2、下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=lg x2，g（x）=2lg xC．f（x）=，g（x）=x+1D．f（x）=•，g（x）=例3、下列集合A，B及其对应法则，不能构成函数的是（）A．A=B=R f（x）=|x|B．A=B=RC．A={1，2，3，4），B={2，3，4，5，6}f（x）=x+1D．A={x|x＞0}，B={1}f（x）=x0答案：C A B练习1、下列四个图形中不可能是函数y=f（x）图象的是（）A．B．C．D．2、已知函数f（x）的定义域A={x|0≤x≤2}，值域B={y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f （x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．3、下列四组函数中的f（x）和g（x）相等的是（）A．B．C．D．4、下列对应是从集合A到B的函数的是（）A．A=N，B=R，对应关系f：“求平方根”B．A=N*，B=N*，对应关系f：x→y=|x﹣3|C．A=R，B={0，1}，对应关系f：D．A=Z，B=Q，对应关系5、中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M={﹣1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①，②y=x+1，③y=|x|，④y=x2，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．①③B．①②C．③④D．②④要点二、函数的定义域例4、函数的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）例5、已知函数y＝f（x+1）的定义域是[﹣1，2]，则函数y＝f（﹣x）的定义域为（）A．[﹣3，0]B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[﹣2，1]例6、若函数y=的定义域为R，则a的取值范围为（）A．（0，4]B．[4，+∞）C．[0，4] D．（4，+∞）答案： B A C 练习6、函数f （x ）=+的定义域为（ ）A ．（﹣3，0]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 7、函数f （x ）=（x ﹣5）0+（x ﹣2）的定义域为（ ）A ．{x ∈R |2＜x ＜5或x ＞5}B ．{x ∈R |x ＞2}C ．{x ∈R |x ＞5}D ．{x ∈R |x ≠5且x ≠2}8、若函数f （x ）的定义域为[1，2]，则函数y=f （x 2）的定义域为（ ） A ．[1，4]B ．[1，] C ．[﹣，] D ．[﹣，﹣1]∪[1，]9、若函数f （3﹣2x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数f （x ）的定义域是（ ） A ．B ．[﹣1，2]C ．[﹣1，5]D ．10、已知函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0， B ．（﹣∞，C ．，+∞）D ．[1，+∞）要点三、函数的解析式例7 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2) f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式(3) 定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． （4）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.练习11、已知函数，则（ ）A ．f （x ）＝x 2+2x +1B ．f （x ）＝x 2﹣2x +3（x ≥1）C ．f （x ）＝x 2﹣2x +1D ．f （x ）＝x 2+2x +3（x ≥1）12、若函数f （x ）满足f （）＝x ，则f （x ）的解析式为（ ）A．f（x）＝（x≠1）B．f（x）＝，（x≠﹣1）C．f（x）＝（x≠1）D．f（x）＝（x≠﹣1）13、已知函数f（x）＝2x+3，若f（g（x））＝6x﹣7，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝4x﹣10B．g（x）＝3x﹣5C．g（x）＝3x﹣10D．g（x）＝4x+414、若函数f（x）对于任意实数x恒有3f（x）﹣2f（﹣x）＝5x+1，则f（x）＝．15、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝+1，则f（x）＝．答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、C 7、A 8、D 9、C 10、C 11、B 12、A 13、B 14、x+1。
3.1 函数的概念及其表示高一数学(人教A版2019必修第一册)
3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a ，b为实数，且a <b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b]2.其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同；⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·高一）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021·江苏淮安·高一期中）设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤，.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有（）①②③④A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题型二：区间的表示4．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）①{0,1,5,10}A =；②{}210,x x x N <∈ ；③∅；④{}x x 是等边三角形；⑤{}03x x x ≤≥或；⑥{}1,x x x Q >∈．A ．2B ．3C ．4D ．55．（2021·全国·高一专题练习）已知22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()21-，B ．()12-，C ．[]21-，D ．[]12-，6．（2021·广东·中山中学高一期中）集合{}01x x x <≥或用区间表示为（）A ．()(),01,-∞⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．()[),01,-∞⋂+∞D ．(]0,1题型三：具体函数的定义域7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数2311y x x =-+的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-UC ．[)(]1,00,1-D ．(]0,18．（2022·全国·高一单元测试）函数32x y x+=的定义域是（）A ．[)3,∞-+B ．[)()3,00,-⋃+∞C ．()3,-+∞D ．()0,∞+9．（2022·全国·高一单元测试）函数11y x x=++的定义域为（）A ．{}1x x ≥-B ．{}0x x ≠C ．{1x x >-且}0x ≠D ．{1x x ≥-且}0x ≠题型四：抽象函数的定义域10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31f xg x x =-的定义域为（）A ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·全国·高一课时练习）已知()21f x -的定义域为3,3⎡⎤-⎣⎦，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡⎤-⎣⎦12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A ．3[,1]2-B ．3[,1)(1,1]2--⋃-C ．[3,7]-D ．[3,1)(1,7]--⋃-题型五：求函数的值域13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )2263x x =-+，[]12x ∈-，，则函数的值域是（）A ．3[112-，）B ．3[ 112，）C ．[] 111-，D ．3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，14．（2022·全国·高一课时练习）函数2()23g x x x =--在区间[]0,4上的值域为（）A ．[]3,5-B ．()3,5-C ．[]4,5-D ．()4,5-15．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[0,)+∞的是（）A ．y x=B ．y x=C ．16y x=D ．21y x x =++题型六：复杂（根式、分式）函数的值域16．（2022·全国·高一课时练习）函数2()1xf x x =+的值域是（）A ．(),1-∞-()1,+∞B ．(),2-∞C ．(),2-∞()2,+∞D ．[)1,-+∞17．（2021·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）函数y 243xx+=-的值域是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，12-）∪（12，+∞）C ．（﹣∞，13-）∪（13，+∞）D ．（﹣∞，13-）∪（13-，+∞）18．（2021·全国·高一课时练习）函数()2211x x f x x x --=++的最大值与最小值的和是（）A ．53B ．23C ．1D ．23-题型七：函数相等问题19．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（）①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④20．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（）A ．32y x =-与2y x x =-B ．2()y x =与y x=C ．()221f x x x =--与()221g t t t =--D ．11y x x =+-与()()11y x x =+-21．（2022·全国·高一单元测试）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A ．()1f x x =-，()()21g x x =-B ．()3f x x =-，()()23g x x =-C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()(1)(3)f x x x =--，()13g x x x =-⋅-题型八：已知函数类型求解析式（待定系数法）22．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+23．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数()f x 满足()()2211075f x f x x x +-=-+，则()()1f f =（）A ．1B ．7C ．8D ．1624．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 为二次函数,且满足()01f =,()()14f x f x x --=,则()f x 的解析式为（）A ．()2221f x x x =--+B ．()2221f x x x =-++C ．()2221f x x x =---D ．()2221f x x x =-+题型九：换元法求函数解析式25．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥26．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（）A ．6B ．6或6-C ．6-D ．327．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）若(1)1f x x x -=++，则()f x 的解析式为（）A ．2()1(1)f x x x x =++≥-B ．2()1(1)f x x x =-≥-C ．2()33(1)f x x x x =++≥-D ．2()(1)(1)f x x x =-≥-题型十：分段函数中的问题28．（2021·江苏宿迁·高一期中）设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，29．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]1,2D ．[]2,330．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知函数(2)3,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．(0,2)D ．(2,1]-【双基达标】一、单选题31．（2022·全国·高一专题练习）函数符号()y f x =表示（）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．()f x 一定是一个式子C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 也不同32．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f a f a -=，则2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．11B ．6C ．4D ．233．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（）A ．()22f x x x=+B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x=+D ．()286f x x x =++34．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1,101,01x x f x x x ---≤<⎧=⎨-+<≤⎩，则()()1f x f x -->-的解集为（）A ．111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(]11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．111,,122⎡⎤⎛⎤--⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．()11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦35．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．(0,4]D ．(0,4)36．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)()45-=-x f x x ；(2)()11232f x x xx=+-+-.37．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（2）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式.【高分突破】一：单选题38．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设()f x 的定义域为R ，且满足()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．2023B ．2024C ．3033D ．303439．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．240．（2022·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A ．2()x x f x x-=，()1g x x =-B ．2()f x x =，()2()g x x=C ．()22f x x =-，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅-，2()1g x x =-41．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()02f =B ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()1f x <的解集为()1,1-D ．若()3f x =，则x 的值是1或342．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，总有()()()x f x y y f f +=+，若()11f =-，则()3f =（）A ．－3B ．－2C ．－1D ．043．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y ＝f （x ＋1）定义域是[－2，3]，则y ＝f （x －2）的定义域是（）A ．[1，6]B ．[－1，4]C ．[－3，2]D ．[－2，3]44．（2022·全国·高一专题练习）已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172二、多选题45．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数2y x =+不是同一个函数的是（）A ．()22y x =+B ．332y x =+C ．22x y x=+D ．22y x =+46．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z C ．()24f x x =-，()22g x x x =+⋅-D ．()221f x x x =--，()221g t t t =--47．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =+D ．11y x =-48．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．149．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞C ．函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]4,1250．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(],4∞-C ．若()2f x =，则x 的值是2-D ．()1f x <的解集为()1,1-51．（2022·重庆九龙坡·高一期末）德国者名数学家狄克雷（Dirichlet ，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“1,()0,R x Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩ð，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（）A ．对12,R x x Q ∀∈ð()()()1212,f x x f x f x +=+恒成立B ．对1x R ∀∈，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=C ．若0,1a b ，则()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣D ．存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC 为等边三角形三、填空题52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()21f x +的定义域为______.53．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.54．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．55．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()22xf x x=+，则()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.四、解答题56．（2022·全国·高一）作出下列函数的图象：(1)()11f x x x =-++；(2)()2243,00,043,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪==⎨⎪++<⎩．57．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知()24fx x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()223f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．58．（2022·全国·高一单元测试）求下列函数的值域：(1)(){}()2212,1,0,1,2f x x x x =++∈--；(2)()213x f x x +=-(3)()223f x x x =-++；(4)()12f x x x =--．【答案详解】1．B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x 不同，那么y 的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B ．2．B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B 中，当0x >时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选：B 3．B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象，不符合；B 符合函数定义，C 也符合函数定义，D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B ．4．D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q 是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(][)3,-∞+∞，0，故答案为：D.5．A【分析】依题意得22a a <-，解不等式即可求解．【详解】因为22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则2222021a a a a a <-⇒+-<⇒-<<故选：A【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解：集合{|0x x <或}1x ≥用区间表示为：()[),01,-∞+∞.故选：B.7．C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈-.故选：C 8．B【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.【详解】依题意3030x x x +≥⎧⇒≥-⎨≠⎩且0x ≠，所以函数32x y x+=的定义域是[)()3,00,-⋃+∞．故选：B ．9．D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得10x +≥且0x ≠，所以函数的定义域是{1x x ≥-且}0x ≠，故选：D.10．C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.11．C【分析】由33x -≤≤求出21x -的范围，然后可得答案.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[3,3]-，所以33x -≤≤，所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．13．D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】2233()263=2--22f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,对称轴3=2x ,当[]12x ∈-，,()min 33-,22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭又因为()()()()max -111,21,-111f f f x f ==∴==,所以函数的值域为3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选:D 14．C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】22()23(1)4g x x x x =--=--，因此该函数的对称轴为：1x =，因为[]0,4x ∈，所以当1x =时，函数有最小值，最小值为4-，而(0)3,(4)5g g =-=，所以最大值为5，因此值域为[]4,5-，故选：C 15．B【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.【详解】对于y x =,,x R y R ∈∈，故A 不正确；对于y x =，[)[)0,0x y ∈+∞∈+∞，，，故B 正确;对于16y x=，()()()()0,0,x y ∈-∞⋃+∞∈-∞⋃+∞，0，，0，故C 不正确；对于22131=44y x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，3,4x R y ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭，，故D 不正确；故选：B 16．C【分析】将函数2()1xf x x =+分离常数后可直接求解.【详解】22(1)22()2111x x f x x x x +-===-+++，从而可知函数2()1xf x x =+的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞.故选：C 17．D【分析】分离常数即可得出()1103343y x =-+-，从而得出13y ≠-，进而得出该函数的值域．【详解】解：()()1104321103343433343x x y x x x --++===-+---，∴y 13≠-，∴该函数的值域为1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．故选：D ．18．B【分析】令2211x x y x x --=++，可得()()21110y x y x y -++++=，可知关于x 的方程()()21110y x y x y -++++=有解，分1y =、1y ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得y 的取值范围，即可得解.【详解】设2211x x y x x --=++，则有()()21110y x y x y -++++=，当1y =时，代入原式，解得1x =-．当1y ≠时，()()()()()21411135y y y y y ∆=+--+=+-+，由0∆≥，解得513y -≤≤，于是y 的最大值为53，最小值为1-，所以函数()f x 的最大值与最小值的和为23．故选：B.19．C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】①()32f x x =-与()2g x x x =-的定义域是{}|0x x ≤，而()322f x x x x =-=--，故这两个函数不是同一函数；②()f x x =与()2g x x =的定义域都是R ，()2g x x x ==，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③()0f x x =与()01g x x =的定义域是{}|0x x ≠，并且()()g 1f x x ==，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④()221f x x x =--与()221g t t t =--是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.20．C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A ．函数的定义域为{|0}x x ≤，322y x x x =-=--，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B ．2()y x x ==，定义域为{|0}x x ≥，函数的定义域不相同，不是同一函数C ．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D ．由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1≥x ，由()()110x x +≥－得1≥x 或1x ≤－，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C ．21．B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A 中，函数()1f x x =-的定义域为R ，而函数()2(1)g x x =-的定义域为[1,)+∞，所以两个函数不是同一个函数；对于B 中，函数()()23,(3)|3|f x x g x x x =-=-=-的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C 中，函数()f x x =的定义域为R ，而函数()2x g x x x==的定义域为{}|0x x ≠，所以两个函数不是同一个函数；对于D 中，函数()(1)(3)f x x x =--的定义域为(,1][3,)-∞⋃+∞，而函数()13g x x x =-⋅-的定义域为[3,)+∞，所以不是同一个函数，故选：B 22．B【分析】设()f x kx b =+，根据已知条件可得出关于k 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，再结合()35f =-可得出k 、b 的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意；当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+.故选：B.23．B【分析】采用待定系数法先求解出()f x 的解析式，然后即可计算出()()1f f 的值.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()2211075f x f x x x +-=-+，所以()()22242111075ax bx c a x b x c x x +++-+-+=-+，化简可得：()2253221075ax b a x a b c x x +-+-+=-+，所以51032725a b a a b c =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩，所以211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()221f x x x =-+，所以()12112f =-+=，所以()()()1224217f f f ==⨯-+=，故选：B.24．A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出()f x 的解析式.【详解】设()2(0)f x ax bx c a =++≠,因为()01f =,所以1c =.又()()14f x f x x --=,所以有2224(1)(1)1(1)4240a a x b x ax bx x ax a b x a b -=⎧-+-+-++=⇒-+-=⇒⎨-=⎩,解得2a b ==-.故选：A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25．C【分析】将已知解析式配方，可得()2(1)11f x x +=+-，再通过换元法求得解析式．【详解】因为()2(1)211f x x x x +=+=+-令()11t x t =+≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.26．B 【分析】令1x t x+=，配凑可得()22f t t =-，再根据()4f m =求解即可【详解】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±.故选；B 27．C【分析】利用换元法，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，可求出()f t 的解析式，从而得出()f x 的解析式.【详解】解：已知()11fx x x -=++，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，()()()22111331f t t t t t t ∴=++++=++≥-，()()2331f x x x x ∴=++≥-.故选：C.28．B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，当11x +≤且21x ≤时，不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-，∴0x ≤，当11x +≤且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为211x --<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为11<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x ≤时，不等式() +12()f x f x <可化为122x <-，∴102x <<，∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞，故选：B.29．B【分析】先求出当10x -≤<时，()f x 的值域为(]1,2.由题意可知，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，故1a ≥，然后根据()1f x x =-的单调性对a 分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当10x -≤<时，()(]11,2f x x =-∈，又函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，所以1a ≥，当1a ≥时，()1,0111,1x x f x x x x a -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩在[]0,1上单调递减，在[]1,a 上单调递增，又()()()01,10,1f f f a a ===-，①若12a ≤≤，则11a -≤，所以()[]0,1f x ∈，此时[](][]1,20,20,1=，符合题意；②若2a >，则11a ->，所以()0,1f x a ∈⎡-⎤⎣⎦，要使(][]200,11,2,a ⎡-⎤⎣⎦=，只须12a -≤，即23a <≤；综上，13a ≤≤.故选：B.30．B【分析】先求出函数1,1y x x =-≥的值域，而()f x 的值域为R ，进而得20230a a a -<⎧⎨-+≥⎩，由此可求出a 的取值范围.【详解】解：因为函数1,1y x x =-≥的值域为[0,)+∞，而()f x 的值域为R ，所以函数()()23(1)g x a x a x =-+<的值域包含(),0∞-,所以()202130a a a ->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a -≤<，故选：B 31．C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号()y f x =，即“y 是x 的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”()f x 也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A 、B 错误；当2y x =时，1x =或1x =-时，1y =，故D 错误.故选：C 32．D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，代值计算可得2a f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】因为()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以，函数()f x 在(],0-∞和()0,∞+上均为增函数，因为()()2f a f a -=，所以20a a -≤⎧⎨>⎩，可得02a <≤，由题意可得()2526a a a +=-+，即2440a a -+=，解得2a =，合乎题意，所以，()211122a f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D.33．A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++，∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+，∴2()2f x x x =+.故选：A 34．B【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.【详解】解：当01x <≤时，10x -≤-<，则()()1f x f x -->-可化为()111x x -+-->-，解得32x <，又01x <≤，所以01x <≤.当10x -≤-<时，01x <-≤，则()()1f x f x -->-可化为()111x x ---+>-，解得12x <-，又10x -≤<，所以112x -≤<-.综上，(]11,0,12x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.35．A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A36．(1){}45x x x ≥≠且(2)3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.（1）要使该函数有意义，只需4050x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥，且5x ≠，所以该函数的定义域为:{}45x x x ≥≠且（2）要使该函数有意义，只需230200x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得322x -≤<，且0x ≠，所以该函数的定义域为:3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且37．（1）()21f x x x =-+；（2）()23x f x x =+；（3）()21f x x x =++.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于()f x 与()f x -的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出()f x .（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得：c ＝1.由()()12f x f x x +=+得：()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，则11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+.（2）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②×2－①得：()233f x x x =+，∴()23x f x x =+.（3）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++.38．A【分析】根据函数的性质由()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f =由()()11f x f x -=+得()(2)f x f x -=+，所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=，即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=.故选：A.39．C【分析】根据函数的解析式求出(1)1f a -=+，结合10a +>即可求出[(1)]f f -，进而得出结果.【详解】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24a f f f a +-=+==，解得1a =.故选：C 40．C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A ：2()x x f x x-=的定义域为{}|0x x ≠，()1g x x =-的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：2()f x x =的定义域为R ，()2()g x x =的定义域为{}|0x x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：()22f x x =-的定义域为R ，()22g t t =-的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：()11f x x x =+⋅-的定义域为{}|1x x ≥，2()1g x x =-的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误.故选：C41．B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，函数图象如下所示：由图可知()00f =，故A 错误；()f x 的值域为(),4-∞，故B 正确；由()1f x <解得()(),11,1-∞--，故C 错误；()3f x =，即2312x x ⎧=⎨-<<⎩，解得3x =，故D 错误；42．A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设，()()()()312313f f f f =+==-．故选：A ．43．A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知，－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，∴－1≤x －2≤4，得1≤x ≤6，即y ＝f （x －2）的定义域为[1，6]；故选：A.44．A【分析】根据分段函数，分02a <<，2a ≥，由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A45．ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：2y x =+的定义域为R ．对于A ，()22y x =+的定义域为[)2,-+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，3322y x x =+=+定义域为R ，与2y x =+定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+定义域不同，不是同一函数；对于D ，22,0222,0x x y x x x x +≥⎧=+=+=⎨-+<⎩，与2y x =+的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD ．【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()24f x x =-的定义域为(][,2)2,-∞-⋃+∞，()22g x x x =+⋅-的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.47．BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A.函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC48．AB【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得10125a a a a -≥⎧⎪<⎨⎪++≥-⎩，解得21a -≤≤-，∴整数a 的取值为2-或1-．故选：AB49．AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A ；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C ；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为[]22-,，所以2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤，即()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，11111111x x x y x x x x -+==-=-=------，所以1y ≠-，即函数1x y x =-的值域为()(),11,-∞--+∞，故B 不正确；对于C ，令1t x =-，则21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，0t ≥，所以当14t =时，该函数取得最大值，最大值为178，所以函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，()()222413f x x x x =-+=-+，其图象的对称轴为直线1x =，且()13f =，()212f -=，所以函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]3,12，故D 不正确．故选：AC ．50．BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分1≥x 、21x -£<两种情况令()2f x =求出x 可判断C ；分1≥x 、21x -£<两种情况解不等式可判断D.【详解】函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞，故A 错误；当21x -£<时，()2f x x =，值域为[]0,4，当1≥x 时，()2f x x =-+，值域为(],1-∞，故()f x 的值域为(],4∞-，故B 正确；当1≥x 时，令()22f x x =-+=，无解，当21x -£<时，令()22f x x ==，得到2x =-，故C 正确；当21x -£<时，令()21f x x =<，解得()1,1x ∈-，当1≥x 时，令()21f x x =-+<，解得()1,x ∈+∞，故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞，故D 错误．故选：BC ．51．BCD 【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A ：当1222x x ==-、时，显然12,R x x Q ∈ð，而(22)(0)1f f -==，(2)(2)000f f +-=+=，所以()()()1212f x x f x f x +=+不成立，故本选项不正确；B ：当1x Q ∀∈时，1()1f x =，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，所以1x Q ∀∈时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=；当1R x Q ∀∈ð时，1()0f x =，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当1R x Q ∀∈ð时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=，所以本选项正确；C ：当x Q ∈时，()1f x =，所以此时{}()x f x a Q >=，{}()x f x b Q <=，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立；当R x Q ∈ð时，()0f x =，所以此时{}()R x f x a Q >=ð，{}()R x f x b Q <=ð，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立，因此本选项正确；D ：当123,,x x x 三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有123()()()0f x f x f x ===，此时三点共线，不构成三角形；当123,,x x x 三个数都是有理数时，此时123()()()1f x f x f x ===，因此三点共线，构不成三角形；当123,,x x x 三个数有二个数是有理数时，不妨设12,x x 是有理数，则3x 为无理数，所以有123()()1,()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213231212312()1()1()()2()AC CB x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然12x x ≠，于是有1232x x x +=，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；当123,,x x x 三个数有一个数是有理数时，不妨设1x 是有理数，则23,x x 为无理数，所以有123()1,()()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213123232132()1()1()()2()AC BA x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然32x x ≠，于是有3212x x x +=，取10x =，设23x x <，如下图所示：13tan 333OA OB OB OB π=⇒=⇒=，即2333,33x x =-=，所以存在三点33(0,1),(,0),(,0)33A B C -，使得ABC 为等边三角形，因此本选项正确，故选：BCD 【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.52．{}0【分析】根据抽象函数定义的求法，得到2011x ≤+≤，即可求得函数()21f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,1，所以2011x ≤+≤，即210x -≤≤，解得0x =，所以函数()21f x +的定义域为{}0.故答案为：{}0.53．()1,+∞【分析】先求出()()()2111f x x x =-+≠，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令1x t x +=，则111t x =+≠，所以11t x =-，所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.54．2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】将m 分为000m m m =><，，三种情况讨论：当0m =时，()210f x x =-≥满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+-=-，值域是[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+-，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0，∴232333m -≤≤，又0m >，所以2303m <≤综上，2303m ≤≤，∴实数m 的取值范围是：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故答案为：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.55．40434##1010.75【分析】观察所求结构，考察()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后可得.【详解】因为()111112222222x x xf x f x x x x +⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+⋅，()114f =，所以()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1140432021244=⨯+=.故答案为：4043456．(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.（1）因为函数()2,12,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出其图象如图①所示．（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示，57．（1）()221441f x x x +=++；（2）()24(2)f x x x =-≥；（3）()21f x x x =-+；（4）()21f x x =-+【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，然后根据已知条件列方程求出,,a b c即可，（4）利用方程组法求解，用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，将得到的式子与原式子联立可求出()f x .【详解】（1）因为()2f x x =，所以()()222121441f x x x x +=+=++．（2）方法一设2t x =+，则2t ≥，2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24(2)f x x x =-≥．方法二因为()()2224f x x +=+-，所以()24(2)f x x x =-≥．（3）因为()f x 是二次函数，所以设()2(0)f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得c ＝1．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x x =-+．（4）用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，得()()223f x f x x -+=-+，由()2()232()()23f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨+-=-+⎩，解得()21f x x =-+．58．(1){}0,1,4,9(2)(,2)(2,)-∞⋃+∞(3)520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(4)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将2,1,0,1,2--代入()f x 求解即可；（2）形如()0,ax b y ac ad bc cx d +=≠≠+的函数常用分离常数法求值域，ad b ax b a c y cx d c cx d-+==+++，其值域是a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如(0)y ax b cx d ac =+++≠的函数常用换元法求值域，先令t cx d =+，用t 表示出x ，并注明t 的取值范围，再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数，最后用配方法求值域．（1）因为()21f -=，()10f -=，()01f =，()14f =，()29f =，所以函数()f x 的值域为{}0,1,4,9．（2）因为()f x =212(3)772333x x x x x +-+==+---，且703x ≠-，所以()2f x ≠，所以函数()f x 的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞．（3）因为()2212523248f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤524≤，所以函数()f x 的值域为520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（4）设12t x =-（换元），则0t ≥且21122x t =-+，令22111(1)1222y t t t =--+=-++.因为0t ≥，所以12y ≤，即函数()f x 的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
第四讲函数及其表示
第四讲函数及其表示函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个学科，具有很多不同的表示方法。
本文将介绍函数的定义、常见表示方法以及函数的性质。
一、函数的定义：函数是数学中描述两个数集之间特定对应关系的一个映射。
通俗地说，函数就是将一个“输入值”映射到一个“输出值”的规则。
函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。
二、函数的表示方法：1.显式定义：显式定义是最常见和简单的函数表示方法。
通过明确给出自变量和因变量之间的关系式，可以直接计算函数值。
例如：f(x)=2x+12.隐式定义：当函数关系无法用一个简单的解析式表示时，可以用隐式定义来描述。
例如：x^2+y^2=1表示一个单位圆的上半部分。
在一些工程和物理问题中，常常需要通过求解隐式方程来得到函数的解析式。
3.递归定义：递归定义是一种特殊的定义方法，函数的定义依赖于问题本身的解。
递归定义在计算机科学中经常使用，例如：斐波那契数列的定义方法为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
4.图表表示：函数还可以通过图表来表示。
在直角坐标系中，自变量对应横坐标，因变量对应纵坐标，可以绘制函数的曲线。
图表能直观展示函数在不同自变量取值下的对应关系。
三、函数的性质：1.定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的基本属性。
定义域指的是所有可能的自变量值的集合，而值域指的是所有可能的因变量值的集合。
2.单调性：函数的单调性描述了函数值随自变量的增加或减小而单调变化的性质。
单调递增（递减）表示函数随着自变量的增加（减小）而递增（递减）。
3.奇偶性：奇偶性描述了函数的对称性。
偶函数满足f(x)=f(-x)，在直角坐标系中关于y轴对称；奇函数满足f(x)=-f(-x)，在直角坐标系中关于原点对称。
4.周期性：周期性表示函数在其中一特定区间内具有重复的模式。
函数的周期性可以通过函数的解析式或图表进行判断。
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示一、什么是函数1、函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。
记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。
2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的是对应关系。
（用集合关系讲解）2、映射与函数函数的特殊的映射二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。
函数=定义域+对应关系+值域2、比喻理解：定义域f −−→值域 等价于 原材料f −−→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程3、举例说明：21,y x x R =+∈问：定义域值域是对应关系是三、求函数定义域.主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1例题讲解：1、1()f x x x =-2、1()11f x x=+ 3、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5、()1f x x =- 四、求函数解析式1、函数的三种表达方法解析式法+图像法+列表法 因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。
2、函数解析式求法1) 配凑法\由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式3) 换元法若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法已知关于()f x 与1()f x 或者()f x 与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解例题：已知()f x +21()f x =3x ，则求()f x 的解析式。
函数的概念及表示方法
函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。
注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。
4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。
举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。
拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
函数的概念及其表示法
时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础，通过拟合数据点， 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。
函数的基本概念和表示方法
函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b 叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.基础达标一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；能力提升一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( ) A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D.3．函数的图象是( )。
函数的概念及其表示讲义- 高考一轮复习
§2.1 函数的概念及其表示课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A ，B 是________________，如果对于集合A 中的________一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有__________的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的三要素(1)函数的三要素：__________、____________、____________.(2)如果两个函数的______________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有____________、图象法和____________．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空实数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．课前预习1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )(3)直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象可以有多个交点．( )(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .( )高三数学062．(多选)下列图象中，是函数图象的是( )3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋33－x 与y ＝x ＋33－xB ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2与y ＝xD ．y ＝1与y ＝x 04．已知函数f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是________________________. 典例精讲题型一 函数的概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )A ．f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一个函数 B ．函数f (x )＝x ＋1－1x的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C ．f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一个函数D ．若f (x )＝|x －1|－x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,3]，则函数f (2x －1)的定义域为____________________．变式训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1x －1，g (x )＝1x －1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1 (2)已知函数f (x )的定义域为[2,8]，则函数h (x )＝f (2x )＋9－x 2的定义域为( )A ．[4,16]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．[3,4]题型二 函数的解析式例2 (1)已知f (x+1)＝x ，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)若对任意实数x ，均有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，求f (x )的解析式．变式训练2 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则f (x )＝________________________.(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝_____________________.题型三 分段函数例3 (1)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x <1，－x ＋2，x ≥1，则下列关于函数f (x )的结论正确的是( ) A ．f (x )的定义域为R B ．f (x )的值域为(－∞，4]C ．若f (x )＝2，则x 的值是－2D ．f (x )<1的解集为(－1,1)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋2，x <－1，2x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是_____________________________________．变式训练3 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ≤0，f (x －3)，x >0， 则f (2 023)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2) ※.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________. 课堂小结课后反思函数的概念及其表示限时训练1.函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是( ) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)2.(多选)下列各图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )3.已知函数f (x ＋2)＝x 2－3x ＋4，则f (1)＝( )A.4B.6C.7D.84.(多选)下列函数中，与函数y ＝x ＋2是同一个函数的是( )A.y ＝(x ＋2)2B.y ＝3x 3＋2C.y ＝x 2x＋2 D.y ＝t ＋2 5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于( ) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－16.已知函数f (x )对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.7.(1)已知f (x ＋1)＝2x 2－x ＋3，求f (x ).(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，求f (x ).(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x ).8. ※已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是( ) A.{x |x >2，或x <0} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x <2 C.{x |x >2} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 9. ※已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________. 10. ※用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大值，设函数f (x )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x |，1x (x >0)，若f (x )≥m －1恒成立，则m 的最大值是________。
函数的概念及其表示
ab abab a b课题 函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。
（1）对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则f.f 是单值对应； (2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
二、区间的概念设a 、b 是两个实数，且a b <，规定定义名称 符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥；{}(,)x x a a >=+∞；{}(,]x x a a =-∞≤；{}(,)x x a a <=-∞；(,)R =-∞+∞。
三、相等函数：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
四、函数的表示法1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
函数的概念及其表示
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( ) (A)π2 (B)π (C) π (D)不确定
1．如图，可表示函数 y＝f(x)的图象的只可能是( )
2.设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中， 能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
2.已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)
3.若
f
(x)
满足
f
(x)
2
f
(1) x
ax,
求
f
(x)
4.已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 3，求 f(x)的解析式．
1.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义 域内存在 x0，使得 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函 数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx.其中属于集合 M 的函数是________．
第1节 函数的基本概念(一)
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域．
f(x)≤1 的解集为( )
(A)(－∞，－3]∪[－1，＋∞) (B)[－3，－1]
(C)[－3，－1]∪(0，＋∞) (D)[－3，＋∞)
.求函数的解析式
变【式例、5】根1据. 已条知件f求( 下x列 1各) ＝函x数＋的2，解求析f(x式)的：解析式．
3.1-函数的概念及表示方法
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数
f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.
−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】 根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.
, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;
函数的概念及其表示
课前案基本知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧ .(2)函数的三要素:⑨ 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 相同,且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为 .(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为.(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.课中案一、目标导引1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.二、牛刀小试判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数=x 0是同一个函数. ( )(2)f (x 是一个函数. ( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( )(4)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个.( )2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x 21x-( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( )A.(-1,1)B. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.(-1,0) D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1三、例题讲解考点一 函数、映射概念的理解例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y = 11x + ,x ∈A ,y ∈B ;②A = *1|N 2a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ ,B= *1|,N nb b n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,对应关系f :a →b ,b= 1a ;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为 ( )A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y 2B.y y =xx 2+1 D.y 变式练习1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根;②A =R,B =R, f :x →x 的倒数;③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2.其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③2.( )A.f (x )=|x |,g (x f (x g (x 2C.f (x )=211x x --g (x )=x +1 D.f (x g (x考点二 函数的定义域例2 (1)函数f (x x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)函数f (x 2563x x x -+- 的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y = 2143mx mx mx -++ 的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)若函数f (x 2ax abx b ++的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 角度三 抽象函数的定义域例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ +f12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是.考点三 函数的解析式例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ).(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).变式练习(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.考点四 分段函数例6 已知函数f(x)=229,1,4,1,x ax xx a xx⎧-+≤⎪⎨++>⎪⎩ 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)例7 设函数f(x)= 22,0,1,0,x x xx x⎧+<⎨+≥⎩则f(-1)= ; 若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是 .变式练习(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=2,0,1,0,x xx-⎧≤⎨>⎩ 则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)课后案1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B C D7.(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f(x)=且f(2)=4,则f(-2)= .9.设函数f(x)=若f(t+1)>f(2t-4),则实数t的取值范围是 .10.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)= .B组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( )A.2B.4C.6D.813.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP数据:年份20202020201516171819国内生产总值/万亿68.8974.6483.291.9399.09根据表中数据,2015—2019年我国GDP的平均增长量为( ) A.5.03万亿 B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿14.已知函数f(x)=则f= .课后案答题纸A组1234567. 8.9. 10.B组1234.。
第二讲 函数的概念及其表示
第二讲 函数的概念及其表示一、知识讲解考点1函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈．注意：)(x f y =是函数的简写，并不表示“y ＝f 与x 的乘积”； 考点2函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法求函数的定义域的一般原则：分母不为零；偶次根下不为负；零的零次幂没意义等等 求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法． 注意：①构成函数的三要素：定义域、值域和对应法则；②判断两个函数是否相对，只需看函数的三要素是否相同．考点3映射的概念：设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．①判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要看是否为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意；② A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；② B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象． 考点4函数的表示法： 列表法；图象法．如果Ｆ是函数)(x f y =的图象，则图象上任一点的坐标),(y x 都满足函数关系)(x f y =；反之，满足函数关系)(x f y =的点),(y x 都在图象Ｆ上；解析法．如果在函数)(x f y =)∈(A x 中，)(x f 是用代数式（或解析式）来表示的，则这种表示函数的方法叫做解析法．（也称为公式法）．二、例题精析【例题1】判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由．(1)表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数2__5130=t t h 和函数2__5130=x x y )0≥(x ；(2)1=)(x f 和0=)(x x g ．【又例】下列函数中那个与函数x y =相等？⑴ y ＝(x )2；⑵y ＝33x ；⑶y ＝2x ；⑷y ＝23x x ．【例题2】已知函数)(x f ＝3+x ＋21+x ． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 求)3(__f 和)32(f 的值；(3) 当0>a 时，求)(a f ，)1(__a f 的值； (4) 求）－12x (f 及其定义域．【又例】设函数f x ()的定义域为[]01，，（1）求函数f x ()2的定义域；（2）求函数f x ()-2的定义域．【例题3】（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ；（2）已知函数()f x 满足43)()(2+=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式．【例题4】求下列函数的定义域：（1）14)(2--=x x f ， （2） =)(x f x11111++，（3）xx x x f -+=0)1()(， （4）373132+++-=x x y ．【例题５】求下列函数的值域． (1)216x y -=； (2)[]3,1x ；]2，2[，2∈-∈+-=x x x y ；（3）x x y 41332-+-=（4）66522-++-=x x x x y （5）11-++=x x y【例题６】以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？⑴集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的的实数对应；⑵集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；⑶集合A ＝{x |x 是三角形},集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；⑷集合A ＝{x |x 是实验中学的班级}，集合B ＝{x |x 是实验中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.【又例】已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2，3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象．【例题７】某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种方法表示函数y ＝)(x f ．三、课堂运用【基础】 1. 函数1x y x+=的定义域为__________. 2．设)(x f ＝2211xx -+，则)21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝ ( ) A.3512 B ．－3512C ．1D ．03.已知函数)(x f ＝2211x x -+，求证：)1(x f ＋)(x f ＝0．【巩固】1．函数f x ()的定义域是 )1,1[-，则函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域是 .2. 已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2【拔高】 1． 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域 ． 2．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5课后作业【基础】1.下列函数中，定义域不是R 的是（ ） A ．y ＝kx ＋b B ．y ＝1+x k C ．y ＝x 2＋bx －c D ．y ＝112++x x 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==3.已知函数①1y x =-；②21y x =-；③21y x =-；④xy 5=，其中定义域和值域相同的函数有（ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ． ②③4.设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ． 1+πB ． 0C ．π D ． 1-6. 函数y ＝|x －1|，x ∈［－1，2］的值域是（ ）.A.［－1，1］B.［0，1］C.［0，2］D.［1，2］7．对于集合A ＝{a ，b ，c }和集合B ＝R ，以下对应关系中，一定是集合A 到集合B 的映射的是（ ）A.对集合A 中的数开平方B. 对集合A 中的数取倒数 C ．对集合A 中的数取算术平方根 D.对集合A 中的数取立方8.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【巩固】1.已知f 满足)(ab f ＝)(a f ＋)(b f ，且)2(f ＝p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +2.设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x3.设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2(-x f 的定义域．4. 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域．5.已知31=)1+1(__2xx f ，求函数()1-x f 的解析式.6.如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成长方形木料，如果截面矩形的一边长为x ，面积为y ，把y 表示为x 的函数．【拔高】1．已知函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式()()22f x f x ->的x 的取值范围是 .2．函数()|2011||2012||2013|()f x x x x x R =-+-+-∈的最小值为 ．3．已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 .4. 已知)(x f ＋2)1(xf ＝3x ，求)(x f 的解析式为 ． 5.已知函数3+=)1+2(x x f ，求)1+2(x f 和)(x f 的定义域．6. 已知函数)(x f ＝()()⎩⎨⎧><-≤≤103101x x x x 或，则使等式)]([x f f ＝1成立的x 值的范围是 .x1 2 3x1 2 3 ()f x131()g x321x 25cm。
高考数学一轮复习讲义 函数及其表示课件 新人教A版
4.由映射的定义可以看出，映射是 函数概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合(jíhé)A,
B必须是 非空数集 .
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基础自测(zìcè)
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面
的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的
有
()
C
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
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探究提高 求函数解析式的常用方法有:(1)代入法， 用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式； (2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形， 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入
f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根 据特殊值，确定相关(xiāngguān)的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.
10分
解得0<x< 1,适合0<x<1. 故为保证本3年度利润比上年有所增加，投入成本增加
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解 （1） 令 2 1 t,则x 2 ,
x
t 1
f (t) 1g 2 , f (x) 1g 2 , x (1,). （2）设f（x）t=ax1+b（a≠0），则 x 1
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+b+5a=2x+17，
专题09 函数的概念及其表示(解析版)
专题09函数的概念及其表示1．函数的概念定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.[知识点拨](1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[知识点拨](1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．3.函数的表示法[4. 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．[知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．重要考点一：函数概念的理解【典型例题】函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点有（ ）A ．0个B ．1个C ．至多1个D ．至少1个【答案】C 【解析】 若函数()y f x =在1x =处有定义，则函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点个数是1； 若函数()y f x =在1x =处没有定义，则函数()y f x =的图象与直线1x =没有公共点，因此，函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点至多1个.故选：C.【题型强化】1.可作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】A,B,C 不可作为函数图像；因为在图像对应的自变量x 的取值范围内存在自变量0x ，有两个y 值与之对应，不符合函数的概念；D 符合函数概念；故选D 2.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）=1与g （x ）=x 0B ．()f x x =与()2g x x =C ．f （x ）=x 与g （x ）=2x xD ．()21f x x =-与()11g x x x =+-【答案】B【解析】A 选项：两个函数定义与不同：f(x)定义域为R ，g(x)定义域00-∞⋃+∞（，）（，），排除A C 选项：f(x)定义域为R ，g(x)定义域00-∞⋃+∞（，）（，），定义域不同，故排除C D 选项：：f(x)定义域为11-∞-⋃+∞（，）（，），g(x)定义域1（，）+∞，故排除D ， 故选：B 【名师点睛】1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A ，B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．重要考点二：求函数的定义域【典型例题】函数0()(2)f x x =-+ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,)-+∞C ．(1,2)(2,)-+∞ D ．R【答案】C【解析】由已知，20101x x -≠⎧⎪⎨≥⎪+⎩，解得1x >-且2x ≠，所以()f x 的定义域为(1,2)(2,)-+∞.故选：C.【题型强化】1.函数y =的定义域为（ ） A ．()1,2- B ．()0,2 C ．[)1,2- D ．(]1,2-【答案】D 【解析】 由题意可得1020x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤，所以，函数y =的定义域为(]1,2-. 故选：D. 2.已知函数()21f x +的定义域为()2,0-，则()f x 的定义域为（ ）A ．()2,0-B ．()4,0-C ．()3,1-D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】()21f x +的定义域为()2,0-，即20x -<<，3211x ∴-<+<，所以，函数()f x 的定义域为()3,1-，故选C. 【名师点睛】 求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．重要考点三：求函数值【典型例题】若()22f x x x =-，则()()()1ff f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由()22f x x x =-，可得()1121f =-=-；所以()()()11123f f f =-=+=；()()()()13963f f f f ==-=.故选C.【题型强化】1.已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0【答案】B【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t ∴=+-,()()213f x x ∴=+-()()222136f ∴=+-=,故选B.2.若()f x 满足关系式()12()3f x f x x+=，则()2f 的值为 A ．1 B ．1-C ．32-D ．32【答案】B【解析】∵f （x ）满足关系式f （x ）+2f （1x）=3x ， ∴()()12262132222f f f f ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，①，②， ①﹣②×2得﹣3f （2）=3，∴f （2）=﹣1，故选B ． 【名师点睛】解题时，(一)要注意审题，观察分析、发现规律．(二)要注意一题多问时，有时前面问题的结论可作为后面问题的条件使用．重要考点四：求函数定义域时非等价化简解析式而致误【典型例题】已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()1f x 2f 1x ⎛= ⎝，则()f x =______．13【解析】在()1f x 2f 1x ⎛=⎝，用1x 代替x ，得(1f 2f x 1x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得 ()(1f x =2f x 1f =2f x x ⎧⎛ ⎪⎪⎝⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ， 将2f x 1f 1x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入()1f x 2f 1x ⎛= ⎝中，可求得()1f x 3=． 13+【题型强化】1.若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】3 【解析】()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴12()21122()1f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得42()133f x x x =++，∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯． 故答案为：3．2.已知()2212f x x x +=-，则()9f =______________.【答案】8【解析】21x t +=，则12t x -=，代入()2212f x x x +=-得： 22111()()2(65)224t t f t t t --=-⨯=-+，∴2135()424f x x x =-+， ∴2135(9)998424f =⨯-⨯+=．故答案为：8．重要考点五：求函数值域的方法（分离常数法）【典型例题】函数11x y x -=+()0x ≥的值域为（ ） A ．[)1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,-+∞D ．[)0,+∞【答案】A 【解析】()112210111x x y x x x x -+-===-≥+++ 0x ≥ 11x ∴+≥ 2021x ∴<≤+ 2201x ∴-≤-<+ 21111x ∴-≤-<+，即()101x y x x -=≥+的值域为[)1,1-故选：A 【题型强化】1.函数()3452xf x x-+=-的值域是（ ）A ．()(),22,-∞+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．R【答案】B 【解析】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞．2.函数222231x x y x x ++=+-的值域为________．【答案】(,2](2,)-∞-⋃+∞【解析】2222235211x x y x x x x ++==++-+-， 因为221551244x x x ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭，所以21415x x ≤-+-或2101x x >+-， 则25221x x +≤-+-或25221x x +>+-，即(,2](2,)y ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(,2](2,)-∞-⋃+∞【名师点睛】求y ＝ax ＋c x ＋b 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化简为y ＝d ＋n x ＋m的形式．重要考点六：求函数值域的方法（配方法）【典型例题】求下列函数的值域221y x x =--+，[)2,1x ∈-；【答案】(]2,2-；【解析】（3）因为2(1)2y x =-++，[)2,1x ∈-，画出其图象如图：观察图象可知值域为(]2,2-.【题型强化】1.作出下列函数图象，并指出其值域. （1）y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； （2）y ＝2x(－2≤x ＜1且x ≠0). 【答案】（1）图象见解析，值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）图象见解析，值域为(](),12,-∞-+∞.【解析】（1）由题意()2211,1124y x x x x ⎛⎫=+=+--≤≤ ⎪⎝⎭，当1x =-时，211024y x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；当12x =-时，2111244y x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭； 当1x =时，211224y x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；函数2y x x =+的图象为抛物线的一部分，如图：由图象可知，函数()2,11y x x x =+-≤≤的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由题意函数2y x = (－2≤x ＜1且x ≠0)的图象为反比例函数图象的一部分， 当2x =-时，21y x ==-；当1x =时，22y x==；所以该函数图象如图：由图象可知，函数2y x= (－2≤x ＜1且x ≠0)的值域为(](),12,-∞-+∞.2.求下列函数值域：（1）y ＝2x 2－2x ＋3； （2）y ＝372x x ++； （3）y ＝2x 1x - （4）y ＝224x x -+.【答案】（1）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）()(),33,-∞+∞；（3）15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（4）[]0,2. 【解析】（1）由题意2215223222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数2223y x x =-+的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由题意()3213713222x x y x x x +++===++++， 由102x ≠+可得函数372x y x +=+的值域为()(),33,-∞+∞；（3）令10t x =-≥，则21x t =+，所以()()2211521212,048y x x t t t t ⎛⎫=-=+-=-+≥ ⎪⎝⎭，所以当14t =时，函数取最小值158， 所以函数21y x x =-15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（4）由题意()22424x x x -+=--+，所以2044x x ≤-+≤， 所以2042x x -+≤，20242x x ≤-+≤， 所以函数224y x x =-+[]0,2.【名师点睛】遇到求解一般二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为y ＝m (x ＋n )2＋d 的形式，从而求得函数的值域．重要考点七：求函数值域的方法（换元法）【典型例题】已知1x >-，则函数27101x x y x ++=+的值域为________． 【答案】[9,)+∞【解析】设1t x =+由1x >-知，0t >，1x t =-，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t++-+-+===+++， ∵44t t +≥ （当且仅当2t =时，等号成立）．∴函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域为[9,)+∞．【题型强化】1.函数23y x =-的值域是__________ 【答案】7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦t =，则()21304t x t -=≥， ∴原函数化为213234t y t -=⨯--21722t t =--+()21142t =-++ ∵0t ≥，∴72y ≤，故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．2.函数y x =_______. 【答案】74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】令a =0a ≥，22x a =+，2217224y a a a ⎛⎫∴=+-=-+ ⎪⎝⎭0a ≥,12a ∴=，74min y =，∴函数y x =74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【名师点睛】 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围．重要考点八：求函数解析式的常用方法（待定系数法）【典型例题】已知()y f x =是一次函数，且有[()]1615f f x x =-，则()f x 的解析式为______．【答案】()43f x x =-或()45f x x =-+【解析】由题意设()(0)f x ax b a =+≠，2(())()1615f f x a ax b b a x ab b x ∴=++=++=-，则21615a ab b ⎧=⎨+=-⎩，解得45a b =-⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=-⎩，()43f x x ∴=-或()45f x x =-+， 故答案为：()43f x x =-或()45f x x =-+．【题型强化】1.已知函数()(0)f x ax b a =->，(())43f f x x =-，则(2)f =_______．【答案】3【解析】由题意，得2(())()()()43f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此(2)3f =， 故答案为3.2.已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，其图象过点()1,1-，且满足()()244f x f x x +=++，则()f x 的解析式为______.【答案】22f x x【解析】根据题意可知1a b c ++=-，又()()222244a x b x c ax bx c x ++++=++++恒相等，化简得到()()44244a b x a b c b x c ++++=+++恒相等， 所以444241a b b a b c c a b c +=+⎧⎪++=+⎨⎪++=-⎩，故1a =，0b =，2c =-，所以()f x 的解析式为22f x x .故答案为：22f x x .【名师点睛】 (1)一次函数可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，正比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；反比例函数可设为y ＝k x(k ≠0)；已知二次函数f (x )的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f (x )＝a (x ＋m )2＋n ；已知二次函数与x 轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．已知f (x )的图象过某三点时，常设一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ；(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解．重要考点九：恒成立的应用【典型例题】不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(2,2)-【解析】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，∴240k =-＜。
函数的基本概念及表示(高考总复习)
函数的概念及其表示1．函数的基本概念:⑴函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f(x)，x ∈A.⑵函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.⑶函数的三要素：定义域、值域和对应关系．⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等； 例1．下列四个图形中，可以表示函数y ＝f(x)的图像的是( )例2．分别求下列函数的定义域：(1)⑴f(x)＝|x －2|－1log 2x －1； (2)⑵f(x)＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4.例3．求下列函数的值域： ⑴y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；⑵y ＝x ＋1；⑶y ＝2x ＋1x －3； ⑷y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；⑸y ＝2x －x －1；⑹y ＝x 2－2x 2＋1. 例4．判断下列各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x ，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2；(3)f(x)＝x ＋2，g(x)＝x 2－4x －2； (4)f(x)＝3x 2－1，g(t)＝3t 2－1.2．函数的三种表示方法解析法、列表法、图象法．例1(1)已知f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知f(x －1)＝x 2，求f(x)；(3) 已知2f(x)＋f(－x)＝3x ＋2，求f(x)3．分段函数例1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x|≤111＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝( ) A.12 B.413 C ．－95 D.2541例2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x，x≤1，－x ，x ＞1.若f(x)＝2，则x ＝___ _____.例3．(1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞6，f (x ＋2)，x ≤6，求f(－3)的值． 4．复合函数例1．已知f(x)＝x 2－4，g(x)＝3x ＋2(x ∈R )．⑴求f(2)和g(a)；⑵求g[f(2)]和f[g(x)]．例2.已知一次函数y ＝f(x)满足f(f(x))＝9x ＋4，求函数f(x)的解析式；5．抽象函数注：①定义域一定是x 的取值范围②前后两个括号的范围是一致的例1．(1)已知y ＝f(x)的定义域为[0,1]，求f(x －1)的定义域．(2)已知y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,1]．求f(x)的定义域．(3)已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x －1)的定义域．例2．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy ，其中x ，y∈R ，若f(1)＝2，则f(－2)的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．96．模型函数（双勾函数）例1.分别求下列函数的值域 ⑴24)(-+=x x x f （3≥x ） ⑵162)(2++-=x x x x f （1-≠x ） 例2．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f(x)的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103]巩固提升1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅ 2．函数y ＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或13．若函数f(x)满足f(x ＋1)＝12f(x)，则f(x)的解析式在下列式子中只可能是( ) A.x 2 B ．x ＋12 C ．2－x D ．log 12x 4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x ＞1.则f[1f(2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u，g(v)＝ 1＋v 1－v D ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x 26．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)8．函数g(x)＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域是 .9．已知n ∈N *，且f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，则f(4)＝________； 10．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 ( )11．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝__ ______． 12．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 (x ≤0)－(x －1)2 (x>0)，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围为________．13. ⑴已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)；⑵已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)．14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x∈{－2,2}． 那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为___ _____；若g[f(x)]＝2，则x ＝_____ ___.16．函数y ＝f(x)的值域是[－2,2]，定义域是R ，则函数y ＝f(x －2)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[－4,0]C ．[0,4]D ．[－1,1]17．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2 18．已知函数)86(log )(22++-=m mx mx x f⑴若函数f(x)的定义域为R ，求实数m 的值⑵若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的值。
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