图论课件第3章
跃峰奥数PPT4图论方法3-3(圈分析之三角形估计)
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创图论方法3-3(圈分析之三角形估计)●冯跃峰本讲内容本节为第4板块(图论方法)第3专题(圈分析)的第3小节(三角形估计),包含如下3个部分内容:第一部分,概述问题涉及的知识方法体系;第二部分,思维过程剖析。
这是课件的核心部分,重在发掘问题特征,分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计,立足于启发思维;第三部分,详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答(简称“新写”),力求严谨、流畅、简练。
通过分析图中的一些点的度的性质,找到解题的突破口,我们称之为“度分析”。
包括如下4个方面:四种分析方法去掉悬挂点(度为1的点)将问题化归到已知情形(通常与归纳法相结合)图论方法1(度分析)考察极端从最大度、最小度突破【百度文库】跃峰奥数PPT 度与边关联建立度与边的联系引入容量参数设d(A)=k,对k的取值进行讨论。
【图论方法(圈分析)】所谓“圈分析”,就是从图中的圈入手,探索解题途径。
它包括三种常见的思路:三种思路(1)论证有圈:在给定的图中寻找圈,发现图的相关性质;(2)判断是圈:先考察图的最简单情形:是一个圈。
再考虑其它情形:或者化归,或者迁移特征。
(3)主动作圈:先构造一个圈,然后逐步完善其它边,得到合乎要求的图。
本节介绍“论证有圈”的相关例子。
【找“固定长度r”的圈的策略】图论中的定理通常只指存在圈,但并不知道圈的长度。
若要找固定长度r 的圈,可采用以下局部扩充策略:定义:两条有公共顶点的边组成的图称为“2-链”,公共顶点称为2-链的中心,另两个顶点称为2-链的端点。
离散数学——图论PPT课件
• 完全图:一个(n,m)图G,其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接,记为Kn。 • 无向完全图:m=n(n-1)/2 • 有向完全图:m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
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定义补图
• 设图G=<V,E> , G’=<V,E’> ,若G’’=<V,E∪E’> 是完全图,且E∩E’= 空集,则称G’是G的补图。 • 事实上,G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图,是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构,必须满足下列条件: (1)结点个数相同 (2)边数相同 (3)次数相同的结点个数相同
• 例子
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• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体,其突出的特点是直观、形象。图论,顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论,但这里的图不是平面坐标系中的函数, 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
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• 在图形中,只关心点与点之间是否有连线,而不关心点具体代表哪些对象,也不关 心连线的长短曲直,这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图:设G=<V,E> , G’=<V’,E’> ,若V’是V的子集, E’是E的子集,则 G’是G的子图。 • 真子图:若V’是V的子集,E’是E的真子集。 • 生成子图:V’=V,E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义(n,m)图
• (n,m)图:由n个结点,m条边组成的图。 • 零图:m=0。即(n,0)图,有n个孤立点。 • 平凡图:n=1,m=0。即只有一个孤立点。
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 (30%-40%)
闭卷考试 (60%-70%)
图论模型
为了抽象和简化现实世界,常建立数学模型。图是关 系的数学表示,为了深刻理解事物之间的联系,图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪,化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子,用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为: w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市,两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线,需要在线的旁边注明距离值。 例如:令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为: a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 (2)
19世纪末期,图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶,由于计算机的发展,图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥,要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
图论基础知识PPT课件
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6
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念:
连通图:如果一个无向图中,任意两个顶点之间
都是连通的,则称该无向图为连通图。否则称为非连通图;左图为一个连通图。
强连通图:在一个有向图中,对于任意两个顶点U和V,都存在着一条从U到V的
有向路径,同时也存在着一条从V到U的有向路径,则称该有向图为强连通图;右 图不是一个强连通图。
深度优先遍历与宽度优先遍历的比较:
深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”; 而广度优先遍历是尽可能沿顶点的“边表”进行访问, 然后再沿边表对应顶点的边表进行访问,因此,有关边表 的顶点需要保存(用队列,先进先出),以便进一步进行广度 优先遍历。
下面是广度优先遍历的过程:
.
14
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径:如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外,其它 顶点均不相同,则称此路径为一条简单路径;起点和终点 相同的简单路径称为回路(或环)。
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4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念:
路径和简单路径的举例:
左图1—2—3是一条简单路径,长度为2, 而1—3—4—1—3就不是简单路径;
一、图论基础知识
2、图的基本概念: 路径:对于图G=(V,E),对于顶点a、b,如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1),且(xi,xi+1)∈E,i=1,2…k-1,则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径,而路径上边 的数目(即k-1)称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
边集数组
邻接表
优点
离散数学PPT课件
20
例2.1判断下面两个公式是否等值: (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值: (1)p(qr) 与 (pq)r (2) ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 : 设(A)是含公式A的命题公式, (B) 是用公式B置换了(A)中所有的A以后得到的命题公式, 若BA,则(B) (A)。
定义1.2 设p,q为两命题,复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式,记作“pq”。 pq为真当且仅当 p, q同 时为真。
定义1.3 设p,q为两命题,复合命题“p或q”称为p与q的 析取式,记作“pq”。 p q为假当且仅当 p, q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 (1)吴影既用功又聪明。 (2)吴影不仅用功而且聪明。 (3)吴影虽然聪明,但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。 (5)张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表,并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 (1)若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重 言式或永真式。 (2)若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛 盾式或永假式。 (3)若A不是矛盾式,则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程, 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始,通过不断更新节点之间的距离,逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边,并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式,逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵,然 后通过一系列的转移操作,逐步更新距离矩阵,直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点,且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径,并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况,它不仅满足欧拉路径的所有条件,而且 起点和终点是同一点,形成一个闭合的路径。在图论中,欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题,目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量,表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中,连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图,连通度通常用K表示,表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图,连通度分为入度和出度,分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
电路(邱关源第五版)课件第三章
R3
2
7
4
6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n4 b6
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结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图
形,图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对 应。 ⑴图的定义(Graph) G={支路,结点}
①图中的结点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路,与它所连接的结点依然 存在,因此允许有孤立结点存在。 ③如把结点移去,则应把与它连 接的全部支路同时移去。
I1
+ 70V –
7
I2 11 6A 1
I3 7
b 由于I2已知,故只列写两个方程 结点a: –I1+I3=6 避开电流源支路取回路: 7I1+7I3=70
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例3-4 列写支路电流方程(电路中含有受控源)。
a I2 I 1 7 11 + I3 1 + U 7 + 2 _ 70V 5U _ – b 解
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7I1–11I2=70-6=64 11I2+7I3= 6
U=US
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a
7 11 + + 1 2 70V 6V – – b I1
I2
I3 7
1 1 1 Δ 7 11 0 203 0 11 7 0 1 1 Δ1 64 11 0 1218 6 11 7 1 0 1 Δ 2 7 64 0 406 0 6 7
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(2)路径
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。 图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图,非连通图至少存 在两个分离部分。
第2编图论第3章
28
左3,v5}, {v4}导出;
1个单侧分图由
v4 {v1,v2,v3,v4,v5}导出;
v2
v3
1个弱分图由{v1,v2,v3,v4,v5} 导出。
定理7 在有向图D = <V,E>中,它的每一个结 点位于且仅位于一个强(弱)分图中。
定理8 在有向图D = <V,E>中,它的每一个结
v1 v2
v5 v4
v3
v6
G
{v1,v3}, {v4}, {v6}为 三个点割集。 v7 v4, v6为两个割点。
{v3,v5}, {v2,v4}不是点 割集。
31
定义17 设无向图G=<V,E> ,若存在边集E'E, 使图G删除E'后,所得子图G-E'的连通分支数 W(G-E')>W(G),而删除任何E''E',都有 W(G-E'')=W(G),则称E'为G的一个边割集, 只有一边的边割集,称该边为割边或桥。
• 如果边ei与结点无序对(u,v)相对应,则称ei为 无向边,记为ei = (u,v)。如果边ei与结点有序 对<u,v>相对应,则称ei为有向边,记为ei = <u,v>,称u为ei 的始点,v为ei 的终点。
3
• 每条边都是无向边的图称为无向图;每条边
都是有向边的图称为有向图;在一个图中如
果一些边是无向边,另一些边是有向边,则
图). 4. 若V'V, 且V', 以V'为结点,以两端点均在
V'中的边为边集的G的子图称为V'的导出子图。 5. 若G''=<V'',E''>,使得E''=E-E',且V''中仅包 含E''的边所关联的结点,则称G''是是子图G'的 相对于G的补图。
图论课件-图的因子分解
因子分解的应用场景
虽然图的因子分解在理论计算机科学中有广泛的应用,但在实际应 用中,如何将理论应用于实际问题仍需进一步探索。
未来可能的研究方向和挑战
寻找高效算法
01
未来研究的一个重要方向是寻找更高效的算法来解决图的因子
分解问题。
04
图的因子分解的应用
在计算机科学中的应用
计算机网络
图的因子分解可以用于优化路由算法,通过将网络分解为 若干个连通子图,可以更有效地进行路由选择和流量控制 。
并行计算
在并行计算中,图的因子分解可以用于任务分配,将一个 大任务分解为若干个小任务,并分配给不同的处理器执行 ,从而提高计算效率。
数据挖掘和机器学习
一个图,其中任意两个不 同的顶点之间都恰有一条 边相连。
空图
一个图,其中任意两个不 同的顶点之间都无边相连 。
图的因子分解的重要性
理论意义
图的因子分解是图论中的重要概 念,它有助于深入理解图的性质 和结构。
应用价值
图的因子分解在计算机科学、运 筹学、电子工程等领域有广泛的 应用,如网络设计、电路优化等 。
资源配置和调度。
金融风险管理
在金融风险管理中,图的因子分 解可以用于识别和评估风险因素 之间的关联关系,从而更好地进
行风险管理和控制。
在网络设计中的应用
01
社交网络分析
在构和群体关系,
从而更好地理解社交行为的模式和规律。
02 03
推荐系统
在推荐系统中,图的因子分解可以用于用户兴趣分析和物品关联推荐, 通过将用户和物品之间的关系进行分解和分析,可以更有效地进行个性 化推荐。
图论讲义ppt教学课件
旅行商问题(TSP)
• 给出城市之间的距离,要求一位推销员从某一城 市出发,周游每个城市一次,然后回到出发的城 市,并且选的路径最短。(Traveling Salesman Problem)
• 这是一个图论优化问题,最早由美国数学家威特 涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。 1954年几位美国数学家写了第一篇论文,用线性 方程的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。 后来也有不少论文讨论这个问题,在理论和应用 上都很有价值。
• 有向图: 一个有向图是指一个有序三元组 (V(G),A(D), ),其中V(G)是一个非空有限集,A(D) 是与V(G)不相交的有限集合,是关联函数,它使 A(D)中每一元素对应于V(G)中的有序元素对(可 以相同)
• 图/Graph:可直观地表示离散对象之 间的相互关系,研究它们的共性和特 性,以便解决具体问题。
• 无向图(简称图): 一个图是指一个有序三元组 (V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集,E(G) 是与V(G)不相交的有限集合,是关联函数,它使 E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对(可 以相同)
关键路径问题
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小
至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工 序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开 始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些 关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的 时间.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才 能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪 几个?
第一部分
引言
两个有趣的问题
• 1.任意一群人中(人数不小于2),总有两人在该 人群中认识相同的朋友数
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用,如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域,如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法,用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用,用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现,用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法,用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科,将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语,为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别,并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法,如邻接矩阵和邻接表, 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索(BFS)
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索(DFS)
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用,用于寻找图中两个节点间的最短路径。
(课件)图论讲义
3
(8) 完全图(complete graph)
(9) 图的顶点数(图的阶)ν 、边数 ε
(10) 顶点 v 的度(degree):d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目(环边计两次)。
(11) 图 G 的最大度: ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度:δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常,图的顶点可用平面上的一个点来表示,边可用平面上的线段来表示(直的或曲的)。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如,例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注:(1)由于表示顶点的平面点的位置的任意性,同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
和 Y。
(2)否则,设 u′ 是 P 与 Q 的最后一个公共顶点,因 P 的 (u, u′) 段和 Q 的 (u, u′) 段都是 u 到 u′ 的最短路,故这两段长度相等。
假如 P,Q 的奇偶性相同,则 P 的 (u′, v1) 段和 Q 的 (u′, v2 ) 段奇偶性相同,这两段与边 e 构成一个奇圈,与定理条件矛盾。可见 P,Q 的奇偶性不同,从而 v1, v2 分属于 X 和 Y。
这便证明了 G 是一个二部图。 证毕。
7. 连通性 图中两点的连通:如果在图 G 中 u,v 两点有路相通,则称顶点 u,v 在图 G 中连通。 连通图(connected graph):图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支(connected branch, component):若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
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由归纳假设知,u与w在同一圈C上。
P1 x u C w P2 v Q
若v也在C中,则已得到证明。下设v不在C中。 因G是块,无割点,故 G-w 仍连通,于是存在一条 (u, v) 路 Q。设点x是Q与C的最后一个公共点。 点x将C划分为两条 (u, x) 路 P1 和 P2,不妨设 w 在P2上。 于是P1, Q的x到v段,边vw以及P2的w到u段共同构成一个圈 C*,且u与v均在C*上。
推论 设G的阶至少为3,则G是块当且仅当G无孤立点且任 意两条边都在同一个圈上。
证明 设G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上。此时G无 环,因为环和任何一条边都不可能在一个圈上。 此时,必然任意两个点也在同一个圈上,因此G是块。 反之,设G是块。显然G无孤立点。 任取G中两条边e1和e2。 在边e1和e2上各插入一个新的顶点v1和v2,使e1和e2均成为两 条边,记这样得到的图为G*。
证明 充分性 若v不是图G的割点,那么G-v连通,因此在 G-v中存在(x, y)路,当然也是G中一条没有经过点v的(x, y) 路。与已知条件矛盾。
必要性 设v是无环连通图G的割点,则G-v至少有两个连通分 支。 设V1是其中一个连通分支的顶点集,V2为其余顶点构成的集 合。 对于任意的x∈V1,y∈V2,如果点v不在某一条(x, y)路上, 那么该路也是G-v中连接x与y的一条路,这与x, y处于G-v的 不同连通分支矛盾。 例 求证:无环非平凡连通图至少有两个点不是割点。 证明 由于G是无环非平凡连通图,所以存在非平凡生成树。 非平凡生成树至少两片树叶,它们不能为生成树的割点。 显然,它们也不能为G的割点。
确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可靠性度量, 常称为网络拓扑的“容错性度量”,通常用图论概念给出, 其中,本章将介绍的图的连通度就是网络确定性参数之一。 近年来,人们又提出了“坚韧度”、“核度”、“整度 ”等描述网络容错性的参数。 概率性参数主要考虑网络中处理器与信关以随机的、彼 此独立的按某种确定性概率损坏的情况下,网络的可靠性度 量,常称为网络拓扑的“可靠性度量”。
v1 v3 G1 v6 v4 v3 G2 v4
注: (1) 若e是图G的割边或e是一个环,则G[{e}]是G的块; (2) 仅有一个点的块,要么是孤立点,要不是环; (3) 至少有两个点的块无环; (4) 至少有三个点的块无割边。
例 图G如图(a)所示,G的所有块如图(b)所示。
(a)
(b)
定理 设图G的阶至少为3,则G是块当且仅当G无环并且任意 两点都位于同一个圈上。 证明 充分性 此时G显然连通。 若G不是块,则G中有割点v。 由于G无环,所以G-v至少有两个连通分支。
注:(1) 若ω(G-v) >ω(G),则v必为G的割点。 (2) 若G无环,则v是G的割点当且仅当 ω(G-v) >ω(G)。 (3) 若无环图G连通,则割点是指删去该点使G不连通的 点。
定理 设v是树G的顶点,则v是G的割点当且仅当d(v)>1。 证明 必要性 若不然,有d(v)=1,即v是树叶,显然不可能是 割点。
图的连通性,主要用来刻画图的连通程度,其意义是 理论意义:图的连通程度的高低,是图结构性质的重要 表征,图的许多性质都与其相关,例如:连通图中任意两点 间不相交路的条数就与图的连通程度有关。
实际意义:图的连通程度的高低,对应于通信网络“可 靠性程度”的高低。 网络可靠性,是指网络运作的好坏程度,即指如计算机 网络、通信网络等对某个组成部分崩溃的容忍程度。 网络可靠性, 是用可靠性参数来描述的,主要分为 “确定性参数”与“概率性参数”。
例
B1 B2 1 2 5 B6 B4 B5 4 B1 1 3 4 B4 6 B5
B3 6
3
B7
B2
5
2
B3
B7
B6
G
bc(G)
注:(1) bc(G)是一个没有圈的连通图,即为树。 (2) 若G 本身就是一个块,则bc(G)是平凡图。 (3) 若G 本身不是块,则bc(G)至少有三个点并且叶子点 为G的只含一个割点的块。
例 求下列各图的连通度。
G1
G2
G3
G4
解 κ(G1) = 1,κ(G2) = 3,κ(G3) = 1,κ(G4) = 2。 定义 若一个图的连通度至少为k,则称该图是k连通的。 注:(1) 非平凡连通图均是1连通的。 (2) 图G是2连通的当且仅当G连通、无割点且至少含有3 个点。 (3) K2连通、无割点,但连通度为1。
注:(1) 若G是非平凡连通图,则v是G的割点当且仅当{v}是 G的1顶点割。 (2) 完全图没有顶点割,实际上也只有以完全图为生成 子图的图没有顶点割。 定义 对n阶连通图G,若G存在顶点割,则称G的最小顶点 割中的点数为G的连通度;否则称n-1为其连通度。G的连 通度符号表示为κ(G),简记为κ;非连通图或平凡图的连通 度定义为0。 连通度也可描述为“使图不连通或成为平凡图,至少需要删 去的点数”。 例 (1) κ(Kn)=n-1;(2) κ(Cn) = 2,其中Cn为n圈,n≥3。
第三章 图的连通度
割边、割点和块
连通度 应用 图的宽距离和宽直径
yzwang@
考察
u
G1
删去任意一条边便不连通
G2
删去任意一条边后仍连通,但 删去点u后便不连通
G3
G4
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通,但从直观上 看G4的连通程度比G3高。
研究图的连通性的意义
证明 (1) 若不然,设e=uv为G的割边。 则G-e的含有顶点u(或v)的那个分支中点u(或v)的度数必为奇 数,而其余点的度数为偶数,与“度数为奇数的顶点的个数 为偶数”相矛盾。
(2) 若不然,设e=uv为G的割边。 假设G1为G-e的包含顶点u的连通分支,显然G1中除了点u的 度数为k-1外,其余点的度数均为k。 显然G1仍为偶图,设其二部划分为S和T且|S|=s,|T|=t。 不妨假设S包含顶点u,则 ks-1=kt。
现在假设B1与B2都不是环。
那么B1与B2分别至少有两个顶点。 假如v不是割点,在B1与B2中分别找异于v的一个点x与y, 则 在G-v中有连接x与y的路P。 显然,B1∪B2∪P 无割点。这与B1与B2是块矛盾! 注:两个不同块的公共顶点只能是割点,即块与块只能由 割点相联结,因此可以通过割点搜寻块。 定义 设G是非平凡连通图,B1, B2,…, Bk是G的全部块,而v1, v2,…,vt是G的全部割点。构作G的块割点树bc(G):它的顶点 是G的块和割点,uv是bc(G)的一条边当且仅当u与v中有一个 是G的割点,另一个是该割点联结的块。
但是因k≥2,所以等式不能成立!因此e一定不是割边。
二、割点及其性质
定义 图 G = (V, E) 的顶点v称为割点,如果 E 可划分为两 个非空子集 E1 和 E2,使得 G[E1] 和 G[E2] 恰有一个公共顶 点v。 例 图中点u1, u2, u3和u4是割 点,其余点均不为割点。
u1 u2 u3 u4
e1
e2
G1
G2
G3
G4
λ(G1)=1,λ(G2)=3,λ(G3)=2,λ(G4)=3
注:对连通图G,由定义易知, e是G的割边当且仅当{e}是 G的1边割。
定义 若一个图的边连通度至少为k,称该图是k边连通的。 注:(1) 非平凡连通图均是1边连通的; (2) 图G是2边连通的当且仅当G连通、无割边且至少含 有两个点。 v1 v2 v2 v5 例
G v G v。
因为v是G的割点,所以 G-v 一定不是连通图。从而G–v的补 图是连通图。 因此,在G的补图中删去顶点v不会增加图的连通分支数。 所以,v不是G的补图的割点。
三、块及其性质
定义 没有割点的连通图称为块图,简称块。若图G的子图B 是块,且G中没有真包含B的子图也是块,则称B是G的块。
例 求证:恰有两个非割点的连通简单图是一条路。 证明 设T是连通简单图G的一棵生成树。 由于G有n-2个割点,所以,T 有n-2个割点,因此T只有两 片树叶,所以T是一条路。 这说明,G的任意生成树为路。 一个简单图的任意生成树为路,则该图为圈或路。 若为圈,则G没有割点,矛盾!所以G为路。 例 求证:若v是简单图G的割点,则v不是G的补图的割点。 证明 容易验证,
由于G是至少有三个点的块,从而G无割边,因此v1和v2必然 不是G*的割点,所以G*是阶大于4的块。
因此v1和v2在G*的同一个圈上,于是e1和e2在G中位于同一个 圈上。 定理 点v是图G的割点当且仅当v至少属于G的两个不同的块。 证明 必要性 设v是G的割点。 由割点定义知E(G)可以划分为两个边子集E1与E2使得G[E1]与 G[E2]有唯一公共顶点v。 设B1与B2分别是G[E1]和G[E2]中包含v的块,显然它们也是G 的块。因此v至少属于G的两个不同块。 充分性 设点v属于G的两个不同块B1和B2。 如果B1和B2其中一个是环,显然v是割点。
证明 因结论若在G的含e的连通分支中成立,则必在G中成 立,所以我们不妨假定G连通。 必要性 设e=uv是图G的割边,若e含在圈C中,令P=C-e。 易知P是G-e中一条(u, v)路。 任取G-e中两个不同点x和y,因G连通,故G中存在 (x, y) 路 Γ。 若Γ 不含e,则Γ 也是G-e中一条(x, y) 路; 若Γ 含e,用P替换e后也可得到G-e中一条(x, y) 路,以上表 明G-e连通,这与e是割边矛盾,所以e不在G的任何圈中。
设x, y是G-v的两个不同分支中的点,则x, y在G中不能位于 同一圈上,矛盾! 必要性 G显然无环,否则G中存在割点。 下证G中任意两点u和v位于同一圈上,对距离d(u, v)作归纳。 当d(u, v)=1时,由于G是至少有3个点的块,所以,边uv不 能为割边。 由割边性质知,uv必然在某圈中。 设结论对距离小于k的任意两点成立。假定u, v为距离等于k 的任意两点。 设P是一条最短(u, v)路,w是v前面一点,则d(u, w)=k-1。