2020-2021学年湖北省孝感市应城市第一高级中学高二上学期期末数学试卷
湖北省孝感高级中学2021-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题
度高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nC ．m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β2．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“x ∃∈R ，使得21<0x x ++”的否定是：“x ∀∈R ，21>0x x ++”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+≠，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1:210l ax y ++=，2:220l x ay ++=，12l l ∥的充要条件是12a =D ．设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少1.5个单位.3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )．A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)5.某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为.( )A. 23B. 14C. 13D. 12 6．已知,80)(53展开式的常数项是x x a-则a 的值为（ ）．A ．2B ．22±C ．4D ．87．双曲线221(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为 ( )A.38B.316C.163D.838.有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上，并且语文书互不相邻，则不同的放法数为（ ） A ．20B ．120C. 2400D ．144009、在区间[]2,3-中任取一个数m ，则“222131x y m m +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率是（ ） A ．35B ．12C ．25D ．4510．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3011．执行右边的程序框图，若10p =，则输出的S 等于（ ）．A ．20492048 B ．20472048 C ．10251024D ．1023102412、已知双曲线C 的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，其离心率为e ，直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线22(0)y px p =>上，且M 到抛物线焦点距离为p ，则直线l 的斜率为（ ）A ．212e +B ．21e -C ．212e -D ．21e +第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
湖北省2020-2021学年高二上学期元月期末数学试题
湖北省2020-2021学年高二上学期元月期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线l 的斜率是 ） A ．30B ．60C ．120D ．1502．若等差数列{}n a 满足13574,4a a a a +=+=-，则等差数列{}n a 的公差d =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．-13．若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．将全班50名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是（ ） A ．12B ．16C ．13D ．3505．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S a =-，则135a a a =（ ） A ．8B ．-8C ．64D ．-646．1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”､“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律，新数列的第8项为（ ） A ．14.8B ．19.2C ．19.6D ．20.47．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点是F ，A 、B 、D 是抛物线C 上的点.若ABD △的重心是点()2,3，且15AF BF DF ++=，则p =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．128．已知圆22:20M x y x ++=，点P 是曲线()1:11C y x x =>-+上的动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当四边形PAMB 的面积最小时，线段AB 的长为（ ）AB C ．12D ．1二、多选题9．已知直线():10l x ay a R -+=∈，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点()1,0- B ．直线l 一定不与坐标轴垂直C ．直线l 与直线():0l x ay m m R '-++=∈一定平行D ．直线l 与直线():0l ax y m m R '++=∈一定垂直10．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．xy 的最大值是1 B ．11x y+的最小值是2 C ．22x y +的最小值是4D ．14x y +的最小值是9211．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 12．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-<三、填空题13．已知向量()()1,1,2,a b t =-=-，若//a b ，则a b =___________. 14．若方程22212150x y ax a ++-+-=表示圆，则实数a 的取值范围是___________.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为e ，直线:l y x =与双曲线C 交于,M N两点，若MN =，则e 的值是___________.16．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin36按35计算，则棱长为6的正二十面体的外接球半径等于___________.四、解答题17．①2sin tan b A a B =；②2262cos a c bc b ac B ++-=；③22sin sin sin sin 4B CB C +-=，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若4,6a A π==，且___________，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==（1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．已知()0,απ∈，31,cos ,sin ,122a b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且15a b ⋅=.（1）求sin cos αα-的值；（2）若()(),2,tan 7βππαβ∈-=，求β的值.20．已知直线l 的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于1.圆C 的圆心在直线l 上，且被x 轴截得的弦长为4. （1）求直线l 的方程；（2）若直线:210l x y '--=与圆C 相切，求圆C 的方程. 21．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，90ASD ADC BCD ∠=∠=∠=，SA SD =且12BC DC AD ==.（1）求证：SC BD ⊥；（2）若点M 是线段SD 的中点，求二面角M AB D --的余弦值.22．设曲线()22:10,0C mx ny m n +=>>过()(2,3,M N 两点，直线():2l y k x =-与曲线C 交于,P Q 两点，与直线8x =交于点R .（1）求曲线C 的方程；（2）记直线,,MP MQ MR 的斜率分别为123,,k k k ，求证：123k k k λ+=，其中λ为定值.参考答案1．C 【分析】根据直线倾斜角的取值范围结合直线l 的斜率可求得直线l 的倾斜角. 【详解】设直线l 的倾斜角为α，tan k α==0180α≤<，120α∴=，故选：C. 2．D 【分析】由{}n a 为等差数列，用通项公式，进行基本量代换，求出公差d. 【详解】()()()()57131313888,1a a a a a a d a a d d +-+=++-+==-=-，故选D.【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换． 3．D 【分析】判断a 、b 、c 与0、1的大小关系进行大小比较. 【详解】 ∵0.30200.30.3221,00.30.31,log 2log 10>=<<=<=，∴c b a <<，故选：D. 【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 4．B 【分析】由题意，只需要考虑甲、乙、丙三人的排列，列举法，利用等可能性概率公式求概率. 【详解】可以不考虑其他人，则甲､乙､丙三人的不同排法有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，故所求概率16P =. 故选:B. 【点睛】对同一个概率问题，需要选择适当的概率模型，进行计算. 5．D 【分析】可写出2n ≥时，满足11321n n S a --=-，与321n n S a =-相减得到关于{}n a 的递推公式，由{}n a 是等比数列求解. 【详解】当1n =时，1113321S a a ==-，解得11a =-；当2n ≥时，11321,321n n n n S a S a --=-=-， 两式相减得1322n n n a a a -=-，即12nn a a -=-，∴ ()12n n a -=--， ∴ 3135364a a a a ==-，故选：D. 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 6．C 【分析】0，3，6，12，24，48，96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192，0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可. 【详解】规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为19.6， 故选：C. 7．A设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,D x y ，利用三角形重心的坐标公式可求得123y y y ++的值，利用抛物线的定义可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,D x y ，由于ABD △的重心坐标为()2,3，所以，12333y y y ++=，则1239y y y ++=，由抛物线的定义可知1233391522AF BF DF y y y p p ++=+++=+=，解得4p =，故选：A. 8．A 【分析】由圆的一般方程求得圆心和半径，运用直线与圆相切的几何意义可求得最值． 【详解】由2220x y x ++=得()1,0M -，半径为1，设()1,11P a a a ⎛⎫>- ⎪+⎝⎭，则()()2221121PM a a =++≥+，∴四边形PAMB 的面积为1S PA AM ==≥，当且仅当PM =等号，此时四边形PAMB 是正方形，故AB =故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用直线与圆相切的几何意义和基本不等式的运用． 9．AD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A: ():10l x ay a R -+=∈整理为：1ay x =+，判断过定点； 对于B 、D ：判断直线与直线的垂直，用两直线垂直的条件判断； 对于C: 用两直线平行的条件判断.对于A:():10l x ay a R -+=∈整理为：1ay x =+，恒过定点(-1,0)，故A 正确； 当0a =时，直线l 与x 轴垂直，故B 错误； 当1m =-时，两直线重合，故C 错误；因为()110a a ⨯+⨯-=，故直线l 与直线l '一定垂直，故D 正确， 故选：AD. 【点睛】（1）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； （2）若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1A 2+B 1 B 2=0,两直线垂直；只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 1，可判断两直线平行. 10．ABD 【分析】多项选择题需要对选项一一验证；用均值不等式判断A ，对B 、D 进行“1的代换”，对C 取特殊值进行验证. 【详解】由2x y +=，得2≥1xy ≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故A 正确；1122x y x y xy xy++==≥(当且仅当1x y ==时取等号)故B 正确； ∵()()22224x yx y +≥+=，∴222x y +≥(当且仅当1x y ==时取等号)，故C 错误；()141141495222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(当且仅当24,33x y ==时取等号)，故D 正确. 故选ABD. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： ①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 11．BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD . 【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴. 12．ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立，∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 13．-4 【分析】由//a b 先求t ，直接计算数量积.由//a b 得2t =，故()()12124a b =⨯-+-⨯=-. 故答案为：-4. 14．()(),210,-∞+∞【分析】由圆的一般方程表示圆，列不等式求a 的取值范围. 【详解】由题意得，()(()222412150a a +--->，即212200a a -+>，解得2a <或10a >. 故答案为：()(),210,-∞+∞15【分析】联立方程组求出M的坐标，利用MN =，整理得225b a =，求出离心率.【详解】不妨设点(),M x y 在第一象限，联立22221x y a b y x⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222a b x y b a ==-，又MN =， ∴2222b x y +=，则2222222a b b b a =-，整理得225b a =，所以==e【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率． 16【分析】由已知得出正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设正五边形的外接圆半径为r ，由平面几何知识可求得外接球的半径．由图，正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，则33sin365r==，得=5r，所以正五棱锥=，所以(2225R R=+-，解得11R=.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心和半径．17．答案见解析【分析】选择①，先由正弦定理求出,32B Cππ==，利用直角三角形12S ab=求面积；选择②，对于2262cosa c bcb ac B++-=，用余弦定理，得到6b c+=，再用余弦定理，求出(202bc=，利用1sin2S bc A=求面积；选择③，对于22sin sinsin sin4B CB C+-=，先化简1sin sin4B C-=，利用正弦定理，得到2bc-=，再用余弦定理，求出，(122bc=，利用1sin2S bc A=求面积.【详解】解：选择①：∵2sin tanb A a B=，∴sin2sincosa Bb AB=，∴sin2sin sin sincosBB A AB=∵sin0,sin0A B≠≠，∴1cos2B=，∵()0,Bπ∈，∴,32B Cππ==，∵sin sina bA B=，∴412=，解得b=∴11sin 4122S ab C ==⨯⨯= 选择②：∵2262cos a c bc b ac B ++-=，∴22222622a c b a c bc b ac ac+-++-=⨯，∴6b c +=，又∵2222cos a b c bc A =+-， ∴()2162b c bc =+-，∴(202bc =，∴((111sin 20252222S bc A ==⨯⨯=. 选择③：∵22sin sin sin sin 4B C B C +-=，∴11sin sin sin 42B C A -==，∴122b c a -==，又∵2222cos a b c bc A =+-， ∴()2162b c bc =-+，∴(122bc =+，∴((111sin 12232222S bc A ==⨯⨯=. 【点睛】“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分. 18．（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【分析】(1)利用+1+1n n n a S S =-，消去n S，因式分解后得到数列为等差数列，求通项公式；(2)先根据n b =求出2(1)n b n n =+，再拆项为2112()(1)1n b n n n n ==-++，然后求和．【详解】解：（1）由题意得，1n n n S S a +-=，则1n n a a +-=1=2=1=， ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1n =，∴2n a n =，依题意，()211211n b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．19．（1）75；（2）54π. 【分析】（1）首先利用诱导公式，化简向量的数量积公式得到1sin cos 5αα+=，再利用平方关系计算sin cos αα-的值；（2）由（1）解出sin ,cos αα的值，再利用两角差的正切公式，计算tan β的值，求角. 【详解】（1）由题意得，()()1,sin ,cos ,1a b αα=-=-， ∴1sin cos 5a b αα⋅=+=， ∴112sin cos 25αα+=， ∴242sin cos 025αα=-<， ∴()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-=，又∵()0,απ∈， ∴sin 0,cos 0αα><， ∴7sin cos 5αα-=； （2）联立1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴sin tan s 43co ααα==-， ∴()tan tan tan 71tan tan αβαβαβ--==+，即4tan 3741tan 3ββ--=-， 解得tan 1β=， 又∵(),2βππ∈， ∴54πβ=. 20．（1）220x y +-=；（2）()()221420x y ++-=或()()223420x y -++=. 【分析】（1）设直线l 的方程为2,y x b =-+用b 表示三角形的边长，由面积为1，求出b ； （2）用待定系数法求圆的方程. 【详解】解：（1）设所求的直线l 的方程为()20y x b b =-+>，它与两坐标轴的正半轴的交点依次为()0,,,02bb ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1， 所以1122bb ⨯=，解得2b =， 所以直线l 的方程是22y x =-+，即220x y +-=.（2）由题意，可设圆C 的圆心为(),22C a a -，半径为r ， 所以圆心C 到直线:210l x y '--=的距离，1d r ==-=，又圆C 被x 轴截得的弦长等于4， 所以()22224r a --=， 所以()()2251422a a -=+-， 解得：1a =-或3a =，当1a =-时，圆心()1,4C -，r =当3a =时，圆心()3,4,C r -=；所以圆C 的方程是()()221420x y ++-=或()()223420x y -++=. 【点睛】（1）待定系数法是求曲线方程的基本方法；（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．21．（1）证明见解析；（2）11. 【分析】（1）过点S 作SO AD ⊥，得SO ⊥平面ABCD ，SO BD ⊥，再证明四边形OBCD 是正方形，可得BD ⊥平面SOC 可得答案；（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面MAB 和平面ABD 的法向量，由数量积公式可得答案. 【详解】（1）证明：过点S 作SO AD ⊥，垂足为O ，连接,OB OC ， ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， ∴SO ⊥平面ABCD ，∴SO BD ⊥， ∵SDA 是等腰三角形，∴12OD AD BC ==，又//,90OD BC BCD ︒∠=，∴四边形OBCD 是正方形，∴BD OC ⊥， 又OCSO O =，∴BD ⊥平面SOC ，∴SC BD ⊥.（2）由（1）知，,,OS OA OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设1BC =，则()()()()110,1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,,0,22B D S A M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴()311,1,0,,0,22AB AM ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 设平面MAB 的法向量为(),,m x y z =，则·0·0m AB m AM ⎧=⎨=⎩，即031022x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,1,3m =，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1n =，∴cos ,111m n m n m n⋅===⨯， 即二面角M AB D --.【点睛】本题考查了由线面垂直证明线线垂直、二面角的平面角的求法，对于线线垂直可以由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直，建立空间直角坐标系求二面角可以使运算量减少很快得到答案，考查了学生的空间想象力和推理能力.22．（1）2211612x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知建立方程组可求得曲线C 的方程；（2）令8x =，则()8,6R k ，联立整理得()()222243161630k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++，表示12k k +，3k ，可求得定值． 【详解】解：（1）由已知得491861m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得116112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以曲线C 的方程为2211612x y +=；（2）令8x =，则()8,6R k ，联立()22116122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()()222243161630kx k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++， ∴12121212121233113232222y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭， ()()221222121222164443232321241633244343k x x k k k k x x x x k k k k -+-+=-⨯=-⨯=--++--+++， 又3631822k k k -==--， ∴1232k k k +=，∴λ等于定值2，得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合问题，关键在于由直线的方程与椭圆的方程联立后，由根与系数的关系表示直线的斜率，求得定值．。
2020-2021学年湖北省高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若直线l的斜率为−√3，则直线l的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.若等差数列{a n}满足a1+a3=4，a5+a7=−4，则等差数列{a n}的公差d=()A. 2B. 1C. 0D. −13.已知a=20.3，b=0.32，c=log0.32，则()A. b<c<aB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a4.将全班50名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是()A. 12B. 16C. 13D. 3505.已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n=2a n−1，则a1a3a5=()A. 8B. −8C. 64D. −646.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯−波得定则”.根据规律，新数列的第8项为()A. 14.8B. 19.2C. 19.6D. 20.47.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点.若△ABD的重心是点(2,3)，且|AF|+|BF|+|DF|=15，则p=()A. 4B. 6C. 8D. 128.已知圆M：x2+y2+2x=0，点P是曲线C：y=1x+1(x>−1)上的动点，过点P 作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PAMB的面积最小时，线段AB 的长为()A. √2B. √3C. 12D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l：x−ay+1=0(a∈R)，则下列说法正确的是()A. 直线l过定点(−1,0)B. 直线l一定不与坐标轴垂直C. 直线l与直线l′：−x+ay+m=0(m∈R)一定平行D. 直线l与直线l′：ax+y+m=0(m∈R)一定垂直10.已知正数x，y满足x+y=2，则下列结论正确的是()A. xy的最大值是1B. 1x +1y的最小值是2C. x2+y2的最小值是4D. 1x +4y的最小值是9211.已知函数f(x)=|√3sin(2x−π6)|，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)的最大值为√3C. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称D. 函数f(x)的图象关于直线x=7π12对称12.设数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，S1=1，S n+1=n+2n S n，且b n=a n+12a n a n+2，则下列结论正确的是()A. a2020=2020B. S n=n(n+1)2C. b n=1−1n(n+2)D. 13≤T n−n<34三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(−2,t)，若a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若方程x2+y2+2ax−2√5y+12a−15=0表示圆，则实数a的取值范围是______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，直线l：y=x与双曲线C交于M，N两点，若|MN|=√2b，则e的值是______ ．16.如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin36°按35计算，则棱长为6的正二十面体的外接球半径等于______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.①2bsinA=atanB；②a2+c2+bc−6b=2accosB；③sin2B−sin2C=sinB+sinC4，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=4，A=π6，且______，求△ABC的面积．18.已知正项数列{a n}的前n项和为S n.若a2=4，S n+1=S n+√a n+1+a n+√a n．(1)求证：数列{√a n}是等差数列；(2)设b n=a a，求数列{b n}的前n项和T n．19.已知α∈(0,π)，a⃗=(−1,cos(π2−α)),b⃗ =(sin(3π2+α),1)，且a⃗⋅b⃗ =15．(1)求sinα−cosα的值；(2)若β∈(π,2π)，tan(α−β)=7，求β的值．20.已知直线l的斜率为−2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于1.圆C的圆心在直线l上，且被x轴截得的弦长为4．(1)求直线l的方程；(2)若直线l′：x−2y−1=0与圆C相切，求圆C的方程．21.如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，∠ASD=∠ADC=∠BCD=90°，AD．SA=SD且BC=DC=12(1)求证：SC⊥BD；(2)若点M是线段SD的中点，求二面角M−AB−D的余弦值．22.设曲线C：mx2+ny2=1(m>0,n>0)过M(2,3),N(2√2,√6)两点，直线l：y=k(x−2)与曲线C交于P，Q两点，与直线x=8交于点R．(1)求曲线C的方程；(2)记直线MP，MQ，MR的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k2=λk3，其中λ为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，∵l的斜率为−√3，∴tanα=−√3，又∵0≤α<π，∴α=120°；故选：C．由直线l的倾斜角α与斜率k的关系：当α≠90°时，斜率k=tanα，当α=90°时，斜率k不存在，求出α的范围．本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵等差数列{a n}满足a1+a3=4，a5+a7=−4，∴(a5+a7)−(a1+a3)=(a1+a3+8d)−(a1+a3)=8d=−8，解得d=−1．故选：D．利用等差数列通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a=20.3>20=1，0<b=0.32<0.30=1，c=log0.32<log0.31=0，∴c<b<a．故选：D．4.【答案】B【解析】解：可以不考虑其他人，则甲、乙、丙三人的不同排法有：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，．故甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是p=16故选：B．可以不考虑其他人，利用列举法求出甲、乙、丙三人的不同排法有6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，由此能求出甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：当n=1时，3S1=3a1=2a1−1，解得a1=−1，当n≥2时，3S n=2a n−1，3S n−1=2a n−1−1，=−2，两式相减得3a n=2a n−2a n−1，即a na n−1∴a n=−(−2)n−1，a3=−4，a5=−16，∴a1a3a5=a33=−64，故选：D．利用数列的递推关系式求解首项，然后求解通项公式，即可求解a1a3a5．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：观察两组数列0，3，6，12，24，48，96，……，0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，发现规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为(96×2+4)÷10=19.6．故选：C．利用两组数列，观察它们之间的关系，寻找到规律为将原数列的每一项加4，再除以10，求解即可．本题考查了推理的运用，解题的关键是寻找到两个数列之间的关系，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设A，B，D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，=3，由△ABD的重心是点(2,3)得y1+y2+y33p=15，解得p=4，由抛物线的定义可知|AF|+|BF|+|DF|=y1+y2+y3+32故选：A．设A，B，D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，利用重心坐标公式，结合抛物线的性质，求解p即可．本题考查抛物线的简单性质，三角形的重心坐标公式的应用，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由x2+y2+2x=0，得(x+1)2+y2=1，则M(−1,0)，半径为1，)(a>−1)，则|PM|2=(a+1)2+设P(a,1a+11≥2，(a+1)2当且仅当(a+1)2=1，即a=0时上式取等号，∴S=|PA|⋅|AM|=|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−1≥1，四边形PAMB当且仅当|PM|=√2时取等号，此时P为(0,1)，四边形PAMB是正方形，故|AB|=√2，故选：A．由题意画出图形，求出曲线C上的点到点M的最小值，写出四边形PAMB的面积，可知当四边形PAMB为正方形时，面积最小，由此求得线段AB的长．本题考查圆与圆锥曲线的综合，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：由于直线l：x−ay+1=0(a∈R)，−1−a×0+1=0，故A 正确；对于B：当a=0时，直线l与x轴垂直，故B错误；对于C：当m=−1时，两直线重合，故C错误；对于D：因为1×a+1×(−a)=0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确．故选：AD．直接利用直线间的位置关系和直线平行和垂直的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：直线与直线的位置关系，直线平行的充要条件和垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：由x+y=2，得2≥2√xy，所以xy≤1(当且仅当x=y=1时取等号)，故A正确；1 x +1y=x+yxy=2xy≥2(当且仅当x=y=1时取等号)故B正确；∵2(x2+y2)≥(x+y)2=4，∴x2+y2≥2(当且仅当x=y=1时取等号)，故C错误；1 x +4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+yx+4xy)≥92(当且仅当x=23,y=43时取等号)，故D正确．故选：ABD．由基本不等式及其结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的灵活利用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：由题意，将g(x)=√3sin(2x −π6)在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数f(x)的图象，对于A ：函数f(x)的最小正周期为：g(x)=√3sin(2x −π6)的周期的一半， 即函数g(x)的周期T =2π2=π的一半为π2，故A 错误；对于B ：根据函数的性质，函数f(x)的最大值为√3，故B 正确；对于C ：由于函数进行了翻折，函数f(x)的图象不是中心对称图形，故C 错误， 对于D ：由于f(7π12)=0，得D 正确． 故选：BD ．直接利用三角函数的性质和函数的关系式的应用判断A 、B 、C 、D 的结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：由题意得，S n+1S n=n+2n，∴当n ≥2时，S n =S nSn−1⋅S n−1S n−2…S 2S 1⋅S 1=n+1n−1⋅n n−2 (31)⋅1=n⋅(n+1)2，当且当n =1时也成立， ∴S n =n(n+1)2，易得a n =n ， ∴a 2020=2020， 故A ，B 正确；∴b n =(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2)=n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 又T n −n 随着n 的增加而增加，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，C 错误，D 正确，故选：ABD ．直接利用叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，叠乘法的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】−4【解析】解：由向量a ⃗ =(1,−1),b ⃗ =(−2,t)，a ⃗ //b ⃗ 得t =2， 故a ⃗ ⋅b ⃗ =1×(−2)+(−1)×2=−4． 故答案为：−4．通过向量平行，求解t ，然后求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积的应用，平行的共线添加的应用，是基础题．14.【答案】(−∞,2)∪(10,+∞)【解析】解：由题意得，a 2−12a +20>0， 解得a <2或a >10．则实数a 的取值范围是：(−∞,2)∪(10,+∞)． 故答案是：(−∞,2)∪(10,+∞)．利用圆的一般式方程，D 2+E 2−4F >0即可求出a 的范围． 本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．15.【答案】√6【解析】解：不妨设点M(x,y)在第一象限，联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =x ，得x 2=y 2=a 2b 2b −a ，又|MN|=√2b ，∴x2+y2=b22，则2a2b2b2−a2=b22，整理得b2=5a2，所以e=√1+b2a2=√6．故答案为：√6．联立直线与双曲线方程，求解|MN|，然后推出椭圆的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】18√1111【解析】解：由图，正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，则3r =sin360=35，得r=5，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是√36−25=√11，所以R2=25+(R−√11)2，解得R=18√1111．故答案为：18√1111．根据条件得到3r =sin360=35，得r=5，进而求得球半径即可．本题考查球的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：选择①：∵2bsinA=atanB，∴2bsinA=asinBcosB，由正弦定理可得2sinBsinA=sinAsinBcosB，∵sinA≠0，sinB≠0，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3,C=π2，∵asinA =bsinB，可得412=√32，解得b=4√3，∴S=12absinC=12×4×4√3×1=8√3．选择②：∵a2+c2+bc−6b=2accosB，∴a2+c2+bc−6b=2ac×a2+c2−b22ac，∴b+c=6，又∵a2=b2+c2−2bccosA，∴16=(b+c)2−2bc−√3bc，∴bc=20(2−√3)，∴S=12bcsinA=12×20(2−√3)×12=5(2−√3)．选择③：∵sin2B−sin2C=sinB+sinC4，∴sinB−sinC=14=12sinA，∴b−c=12a=2，又∵a2=b2+c2−2bccosA，∴16=(b−c)2+2bc−√3bc，∴bc=12(2+√3)，∴S=12bcsinA=12×12(2+√3)×12=3(2+√3)．【解析】选择①：利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，sinB≠0，可求cos B的值，结合B∈(0,π)，可求B，C的值，利用正弦定理可求b的值，根据三角形的面积公式即可求解．选择②：由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．选择③：利用正弦定理化简已知等式可得b−c=12a=2，进而根据余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得，S n+1−S n=√a n+1+a n+√a n，则a n+1−a n=√a n+1+√a n，∴√a n+1−√a n=1，由√a2=2可得√a1=1，∴数列{√a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可得√a n=n，∴a n=n2，依题意，b n =a a =2n(n+1)=2(1n −1n+1)， ∴T n =2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．【解析】(1)利用数列的递推关系式推出√a n+1−√a n =1，然后判断数列{√a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)化简b n =a a =2(1n −1n+1)，利用裂项消项法，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和的方法，考查综合化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意得，a ⃗ =(−1,sinα),b ⃗ =(−cosα,1)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sinα+cosα=15，∴1+2sinαcosα=125， ∴2sinαcosα=−2425<0，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925， 又∵α∈(0,π)， ∴sinα>0，cosα<0， ∴sinα−cosα=75；(2)联立{sinα+cosα=15sinα−cosα=75，解得{sinα=45cosα=−35，∴tanα=sinαcosα=−43， ∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=7，即−43−tanβ1−43tanβ=7，解得tanβ=1， 又∵β∈(π,2π)， ∴β=5π4．【解析】(1)由已知条件求得a ⃗ 、b ⃗ ，然后代入a⃗ ⋅b ⃗ =15求得2sinαcosα=−2425<0，再利用完全平方公式求得(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925，结合角的取值范围对所求的结果进行取舍即可；(2)联立方程组并解答求得{sinα=45cosα=−35，然后利用两角和与差的正切三角函数解答．本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)设所求的直线l 的方程为y =−2x +b(b >0)，它与两坐标轴的正半轴的交点依次为(0,b),(b2,0)，因为直线l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1， 所以12b ×b2=1，解得b =2，所以直线l 的方程是y =−2x +2，即2x +y −2=0． (2)由题意，可设圆C 的圆心为C(a,2−2a)，半径为r ， 所以圆心C 到直线l′：x −2y −1=0的距离，d =5=√5|a −1|=r ，又圆C 被x 轴截得的弦长等于4， 所以r 2−(2−2a)2=4， 所以5(a −1)2=4+(2−2a)2， 解得：a =−1或a =3，当a =−1时，圆心C(−1,4)，r =2√5； 当a =3时，圆心C(3,−4),r =2√5；所以圆C 的方程是(x +1)2+(y −4)2=20或(x −3)2+(y +4)2=20．【解析】(1)设所求的直线l 的方程为y =−2x +b(b >0)，由坐标与图形的性质和三角形的面积公式求得b 的值即可；(2)利用圆的圆心到直线的距离与半径相等，列出方程求解即可． 本题考查圆的切线方程，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．21.【答案】(1)证明：过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ，连接OB ，OC ．∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD =AD ，∴SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥BD ． ∵△SDA 是等腰三角形，∴OD =12AD =BC ，又OD//BC ，∠BCD =90°，∴四边形OBCD 是正方形，∴BD ⊥OC ． 又OC ∩SO =O ，SO ⊂平面SOC ，CO ⊂平面SOC ， ∴BD ⊥平面SOC ，SC ⊂平面SOC ，∴SC ⊥BD ． (2)解：由(1)知，OS ，OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．不妨设BC =1，则B(0,1,0),D(−1,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),M(−12,0,12)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,12)，设平面MAB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +y =0−32x +12z =0，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1,3)， 平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×√1+1+32=3√1111，即二面角M −AB −D 的余弦值是3√1111．【解析】(1)过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ，连接OB ，OC.证明SO ⊥BD ，BD ⊥OC ，然后证明BD ⊥平面SOC ，推出SC ⊥BD ．(2)OS ，OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.求出平面MAB 的法向量，平面ABD 的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由已知得{4m +9n =18m +6n =1，解得{m =116n =112，所以曲线C 的方程为x 216+y 212=1； (2)令x =8，则R(8,6k)，联立{x 216+y 212=1y =k(x −2)，整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16(k 2−3)=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=16k 24k 2+3,x 1x 2=16(k 2−3)4k 2+3，∴k 1+k 2=y 1−3x 1−2+y 2−3x 2−2=y 1x 1−2+y 2x 2−2−3(1x 1−2+1x 2−2) =2k −3×x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −3×16k 24k 2+3−416(k 2−3)4k 2+3−32k 24k 2+3+4=2k −1，又k 3=6k−38−2=k −12，∴k 1+k 2=2k 3，∴λ等于定值2，得证．【解析】(1)通过点满足椭圆方程，然后求解m ，n ，得到椭圆方程．(2)令x =8，则R(8,6k)，联立直线与椭圆方程，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解斜率的和，然后转化求解证明即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320x y --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （9）已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++ （C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F12∆的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率152e +=③512λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =. （14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = . （15）已知数列{}na 满足11a =，111+)nn a n N a *-=∈(，则4a =（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22)M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为.（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和nT .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 123456789101112A C DB B A D B AC BD 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 13 14 151617 18 19 20 2 35321m m <->-或 632,8p AB ==5n =或6，15232768=53三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CDABkk⨯=-，得1CDk=-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >）， 由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分 （Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为232-41314d ==+（）………………10分所以，22224123MN r d =-=-=………………12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}nc 的前n 项和为n T ，121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n n B n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n n A n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ (9)分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k k D k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++，………………6分 则3(0)4OP k k k =-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OPEQ kk ⋅=-，即32()14n k km--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M 点的横坐标为22343x k =±+，………………9分由//OM l 可得：22249=343D AE A D A M M x x x x x x AD AEk OM x x k -+--++==+2216(43)22343k k =+++≥，………………11分当且仅当2264343k k +=+，即32k =±时取等号，………………12分 所以当32k =±时，AD AEOM +的最小值为22.………………13分。
湖北省孝感高二上学期期末考试数学试卷 有答案
湖北省孝感高级高二上学期期末考试数学试卷考试时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 若复数iia 2+的实部和虚部相等, 则实数a =A ．1-B ．1C ．2-D ．22． “q p ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．与椭圆1121622=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．1834322=-y x D ．1834322=-x y 4． 在某次选拔比赛中, 六位评委为B A ,两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中x 为数字0～9中的一个), 分别去掉一个最高分和一个最低分, B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,, 则一定有A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．b a ,的大小关系不能确定 5．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是 A ．)3,0( B. )4,1( C ．),2(+∞ D ．)2,(-∞6． 若曲线b ax x y ++=2在点(0, b )处的切线方程是01=+-y x , 则A ．1,1==b a B. 1,1=-=b aC ．1,1-==b aD ．1,1-=-=b a7． 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A ．680 B ．320C ．0.68D ．0.328． 某射手的一次射击中, 射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1, 则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为 A ．9.0B ．6.0C ．5.0D ．3.09． 已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为A ．22 B ．32 C ．33 D ．23 10．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数. 当0>x 时,0)(')(>⋅+x f x x f , 且0)1(=f , 则不等式0)(>⋅x f x 的解集为A ．)1,0()0,1(⋃-B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 .12．定积分⎰-=+22)cos 1(ππdx x .13．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 . 14．一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下:零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (分钟)6469758290由表中数据, 求得线性回归方程a x yˆ65.0ˆ+=, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为 分钟.15．已知函数)(x f 的自变量取值区间为A , 若其值域也为A , 则称区间A 为)(x f 的保值区间. 若函数x m x x g ln )(-+=的保值区间是),21[+∞, 则m 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.17．（12分）设关于x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .（1）若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;（2）若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.18．（12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.19．（12分）经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品可获得利润500元, 未售出的产品, 每1t 亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品, 以X (单位: t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售利润.（1）将T 表示为X 的函数;（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.20．（13分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l的方程为4=x . （1）求椭圆C 的方程;（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.21．（14分）已知函数).21(ln )(21)(22≤---=a x x a a x x f （1）若函数)(x f 在2=x 处取得极值, 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; （2）讨论函数)(x f 的单调性;（3）设,ln )(22x x a x g -= 若)()(x g x f >对1>∀x 恒成立, 求实数a 的取值范围.试题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案AAABCADCCB11. 00,sin 1∃∈>x R x 12. 2+π 13.1014. 102 15. 21-三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．16.（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.解: .1)(min 2=≤⇔x a p ……………………………………………………3分.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………6分∵“p 或q ”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分 即1≤a 或1 2.≤-≥或a a ………………………………………………………10分1⇒≤a 或 2.≥a∴“q p 或”是真命题时, 实数a 的取值范围是).,2[]1,(+∞⋃-∞………12分17. （12分）设有关x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .(1) 若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;(2) 若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.解: (1) 由题意, 知基本事件共有9个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2),其中第一个表示a 的取值, 第二个表示b 的取值......................................2分 由方程046922=+-+b ax x 的40)4(36362222≥+⇒≥+--=∆b a b a ...........................4分∴方程046922=+-+b ax x 有实根包含7个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3,1), (3, 2).∴此时方程046922=+-+b ax x 有实根的概率为.97.................6分(2) b a ,的取值所构成的区域如图所示, 其中.20,30≤≤≤≤b a ........8分∴构成“方程046922=+-+b ax x 有实根”这一事件的区域为{}20,30,4|),(22≤≤≤≤≥+b a b ab a (图中阴影部分).∴此时所求概率为.6132241322ππ-=⨯⨯⨯-⨯....................12分18.（12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===(Ⅰ)证明：1AC B D ⊥；(Ⅱ)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.解：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)． 从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得3t =或3t =-(舍去)．.................. ...................................... ....................... ............ ....................3分 于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ．.........6分 (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝31,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,330.x y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，3-3．.........9分 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n ＝3217=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217...........12分19. （12分）经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品可获得利润500元, 未售出的产品, 每1t 亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品, 以X (单位: t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售利润. (1) 将T 表示为X 的函数;(2) 根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率. 解:(1)当130100<≤X 时,;39000800)130(300500-=--=X X X T当150130≤≤X 时, .65000130500=⨯=T.150130,65000130100,39000800⎩⎨⎧≤≤<≤-=∴X X X T …………………………………………6分(2) 令.12057000≥⇒≥X T …………………………………………………8分7.010)015.0025.0030.0()120()57000(=⨯++=≥=≥∴X P T P ……12分20. （13分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l的方程为4=x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.解: (1) 由)23,1(P 在椭圆上, 得,149122=+ba ……………①. 又,21==a c e 得,3,42222cbc a ==……………………..② 由①②, 得.3,4,1222===b a c故椭圆C 的方程为.13422=+y x ………………………………………………5分 (2) 设直线AB 的方程为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -=,由.01248)34(.134)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 34124,34822212221+-=+=+∴k k x x k k x x …………………………7分123)1(123)1(1223123221121121---+---=--+--=+∴x x k x x k x y x y k k 1)(2232)1111(23221212121++--+⋅-=-+--=x x x x x x k x x k.121348341242348232222222-=++-+--+⋅-=k k kk k k k k ………………………………10分又将4=x 代入)1(-=x k y 得),3,4(k M2132333-=-=∴k k k ,……………………………………………,,…………12分.2321k k k =+∴故存在常数2=λ符合题意. ……………………………………………………13分21. （14分）已知函数).21(ln )(21)(22≤---=a x x a a x x f (1) 若函数)(x f 在2=x 处取得极值, 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (2) 讨论函数)(x f 的单调性;(3) 设,ln )(22x x a x g -= 若)()(x g x f >对1>∀x 恒成立, 求实数a 的取值范围. 解: (1) 由,0)2(',1)1()('=---=f xa a x x f 得1-=a 或2=a (舍去) 经检验, 1-=a 时, 函数)(x f 在2=x 处取得极值…………………………..2分1-=a 时, .2)1(',21)1(,12)(',ln 221)(2-=-=--=--=f f x x x f x x x x f 所以所求切线方程为.0324),1(221=-+--=+y x x y 即………………….4分(2) )(x f 的定义域为).,0(+∞,)1)(()(1)('222xa x a x x a a x x x a a x x f -+-=---=---=令,0)('=x f 得.1a x a x -==或 当21≤a 时, .01,1>--≤a a a 且..…6分 ① 当21=a 时, .0)(',0211>>=-=x f a a )(x f ∴在定义域),0(+∞上单调递增; …………………………………….7分 ② 当0≤a 时,)(x f 在)1,0(a -上单调递减, 在),1(+∞-a 上单调递增; ………………………………….……………………………………..8分 ③ 当210<<a 时, )(x f 在),0(a 和),1(+∞-a 上单调递增, 在)1,(a a -上单调递减. ………………………………….………………………....9分(3) 由题意知, x x a x x a a x ->---2222ln ln )(21, 即x x a a ln 2322<-对1>∀x 恒成立.……….………………………………………………..…...10分令x x x h ln 2)(2=, 则.)(ln 2)1ln 2()('2x x x x h -= 令0)('=x h , 得.e x =当),1(e x ∈时, )(x h 单调递减; ),(+∞∈e x 时, )(x h 单调递增. 所以当.e x =时, )(x h 取得最小值.)(e e h =…………………….....13分.612116121132ea e e a a ++<<+-⇒<-∴又.2161211,21≤<+-∴≤a e a ……………………..... …..... ….....14分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线20x --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ） （A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天 （C ）17天 （D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（9）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++（C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F 12∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率e =③λ=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z = .（14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = .（15）已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a = .（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，并且经过点(2,M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为 .（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为 .（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，………………2分 所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x=--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >），由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分（Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为1d ==………………10分所以，MN ===12分 （22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分 ∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）.．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}n c 的前n 项和为n T ，0121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分 则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n nB n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n nA n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅………………9分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，………………6分则3(0)4OP k k k=-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即32()14n k k m--⋅=-恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M点的横坐标为x =，………………9分由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，………………11分=即2k =±时取等号，………………12分所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为………………13分。
2020-2021学年湖北省孝感市普通高中联考协作体高二(上)期末数学复习卷2
2020-2021学年湖北省孝感市普通高中联考协作体高二(上)期末数学复习卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知盒中装3只螺口与7只口泡，这些泡的形与率相同灯口向下放着，现需要只卡口灯泡电工师傅每次从任取只并不回则在他第次抽螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯的概为()A. 310B. 29C. 78D. 792.从A、B两种玉米苗中各抽25株，分别测得它们的株高如图所示(单位：mm).根据数据估计()A. A种玉米比B种玉米不仅长得高而且长得整齐B. B种玉米比A种玉米不仅长得高而且长得整齐C. A种玉米比B种玉米长得高但长势没有B整齐D. B种玉米比A种玉米长得高但长势没有A整齐3.从编号为001，002，……，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为()A. 480B. 481C. 482D. 4834.随机变量X的概率分布列规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2，3，4)，其中a为常数，则P(12<X<52)的值为()A. 23B. 34C. 45D. 565.如图是某市今年3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．则此人停留的两天中恰有一天空气质量优良的概率为()A. 213B. 413C. 613D. 7136.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 27.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则()A. m e=m0=xB. m e=m0<xC. m e<m0<xD. m0<m e<x8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为()A. 16B. 18C. 48D. 1439. 如图，∠MON 的边OM 上有四点A 1，A 2，A 3，A 4，ON 上有三点B 1，B 2，B 3，则以O ，A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3为顶点的三角形个数为 ( )A. 30B. 42C. 54D. 5610. 抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数X 的期望是( )．A. 556B. 403C. 503D. 1011. 设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a −5)=P (ξ>a +1)，则实数a 等于( )A. 7B. 6C. 5D. 412. 口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n }为a n ={−1,第n 次摸到红球1,第n 次摸到白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7=−3的概率为( )A. C 71×13×(23)B. C 72×(13)2×(23)5C. C 73×(13)3×(23)D. C 74×(13)4×(23)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(x2−1√x 3)a 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______．14. 已知一组样本数据5，4，x ，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为________．15.A，B，C表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为________．①0.504；②0.994；③0.496；④0.06．16.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共__________种不同情况(用数字作答)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）)n(n∈N∗)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9∶1．17.已知(√x−3x2(1)求展开式中各项二项式系数的和；(2)求展开式中中间项．18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．19. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t =x −2010，z =y −5得到如下表：(Ⅰ)求z 关于t 的线性回归方程；(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？ (附：对于线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中：b =∑x i n i=1y i −nx .y.∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y .−b ̂x .)20.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．填写下面列联表(单位：人)，并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：参考公式和临界值表K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)。
湖北省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟考试2套(含答案)
湖北省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤服务人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或63.459和357的最大公约数是（ ）A ．3B ．9C ．17D ．514.从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，那么下列是互斥而不对立的事件是（ ）A ．至少一个红球与都是红球B ．至少一个红球与至少一个白球C. 至少一个红球与都是白球D ．恰有一个红球与恰有两个红球5.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85.则2x y +的值为（ ）A ．10B ．12 C.13 D ．156.已知x 与y 之间的一组数据，已求得关于y 与x 的线性回归方程为 3.20.3y x ∧=-，则m 的值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．57.程序框图如下图所示，当1516A =时，输出的k 的值为（ ）A ．14B ．15 C.16 D ．178.设随机变量(,)B n p ξ，且() 3.2E ξ=，() 1.92D ξ=，则（ ）A ．8,0.4n p ==B ．4,0.4n p == C. 8,0.6n p ==D ．4,0.8n p ==9.将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为6的概率为（ ）A ．19B ．536C. 16 D ．112 10.已知012233444n n n n C C C C -+-++(1)4729n n n n C -=，则12n n n n C C C +++的值等于（ ）A ．64B ．32 C.63 D ．3111.如图，圆C 内切于扇形AOB ，3AOB π∠=，若在扇形AOB 内任取一点，则该点不在圆C内的概率为（ ）A ．16B ．23 C. 13 D ．3412.从0，1，2，3，4，5这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）A ．300B ．216 C.180 D ．162第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13.二进制数(2)1010110化为十进制数是 ． 14.61(2)x x-展开式的常数项为 ．15.已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若P(3)0.028ξ>=，则P(11)ξ-≤≤= ．16.一盒子中装有6只产品，其中4只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样.则在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的概率为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）18.设函数22()(,)f x x bx c b c R =++∈.（1）若b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x R ∈，()0f x >恒成立的概率；（2）若b 是从区间[0,10]任取的一个数，c 是从[0,4]任取的一个数，求函数()f x 的图像与x 轴有交点的概率.19.已知n （2n ≥且n N +∈）的展开式中前三项的系数成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.某手机卖场对市民进行华为手机认可度的调查，随机抽取200名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：（1）求频率分布表中x y 、的值，并补全频率分布直方图；（2）利用频率分布直方图估计被抽查市民的平均年龄（3）从年龄在[25,30)，[30,35)的被抽查者中利用分层抽样选取10人参加华为手机用户体验问卷调查，再从这10人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率.21.甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p ，甲投篮3次均未命中的概率为127，乙每次投篮命中的概率均为q ，乙投篮2次恰好命中1次的概率为12，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响.（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望.22.心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，孝感市黄陂路高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为X ，求X 的数学期望()E X 和方差()D X .附表：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.试卷答案一、选择题1-5:CDDDB 6-10:BBABC 11、12：CC二、填空题13. 86 14.-160 15.0.472 16. 25三、解答题17.解析:（1）3名男生全排，再把4名女生插在男生的4个空中即可3434144A A =（2）26261440A A =18.解析：（1）设“对任意x R ∈，()0f x >恒成立”为事件A ，试验的结果总数为6636⨯=种.事件A 发生则2240b c ∆=-<，∴2b c <，从而事件A 所含的结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,4),(6,5),(6,6)共27种.273()364P A == （2）设“函数()f x 的图像与x 轴有交点”为事件B ，事件B 发生，则2240b c ∆=-≥，∴2b c ≥又试验的所有结果构成的区域{(,)|010,04}b c b c Ω=≤≤≤≤如图长方形区域；事件B 所含的结果构成的区域为{(,)|010,04,2}b c b c b c Ω=≤≤≤≤≥如图阴影部分区域，1(210)42432()104405P B +⨯===⨯19.解析：∵0n C ，112n C ⋅，221()2n C ⋅成等差， ∴10214n n n C C C =+ ∴8n =（1）8183((2rr r r x T C x -+==516681()2r r r C x -(0,1,28)r =，∴4r =时，二项式系数最大 即二项式系数最大项为235358T x =. （2）由5166r Z -∈，知2r =或8， ∴有理项为37T x=，49256x T = 20.解析：（1）由图知，(2530)0.0150.05P x ≤<=⨯=，故2000.0510x =⨯=； (3035)1P x ≤<=-(0.050.350.30.1)+++10.80.2=-=故2000.240y =⨯=， 其0.20.045==频率组距 （2）平均年龄为27.50.0532.50.2⨯+⨯+37.50.3542.50.3⨯+⨯47.50.138.5+⨯=（3）由分层抽样得，从年龄在[25,30)，[30,35)中分别抽取的人数为2人，8人 两人不在同组的概率为21282101645C C P C ==21.解析：（1）由题意，31(1)27p -=，121(1)2C q q -=解得23p =，12q = 设“乙投篮3次，至少2次命中”为事件A ， 则22331111()()(1)()2222P A C =-+= （2）由题意X 的取值为0，1，2，3，4.22211(0)(1)()3236P X ==-⨯=； 111222(1)[()(1)]33P X C ==⨯⨯-022********[()](1)[()]2326C C ⨯⨯+-⨯⨯=； 2221(2)()()32P X ==⨯+1111222221[()(1)][()]332C C ⨯⨯-⨯⨯22222113(1)[()]3236C +-⨯⨯=； 212221(3)()[()]32P X C ==⨯⨯111222211[()(1)]()3323C +⨯⨯-⨯= 22211(4)()()329P X ==⨯=. 故X 的分布列为1113()01236636E X =⨯+⨯+⨯11734393+⨯+⨯=. 22.解析：（1）由表中数据得2K 的观测值22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++50(221288) 5.556 5.024********⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）由图表知这20位女生选择几何题的频率为82205P == 由题意知X 服从2(6,)5B ，则212()655E X np ==⨯= 2336()(1)65525D X np P =-=⨯⨯=.湖北省高二数学上册期末模拟试卷含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
湖北省孝感市2021届高二上学期数学期末检测试题
湖北省孝感市2021届高二上学期数学期末检测试题一、选择题 1．已知命题，命题，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若实数,x y 满足不等式组2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.4C.5D.63．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．5D ．64．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.24(,)e+∞ B.24(0,)eC.2(0,4)eD.(0,)+∞5．已知函数()2f x ax c =+，且()12f '=，则a 的值为（ ） A.1C.-1D.06．如图， 直线 2230x y +-=经过函数() sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||ϕπ<） 图象的最高点 M 和最低点 N ，则（ ）A.2πω=，4πω=B.ωπ=， 0ϕ=C.2πω=，4πϕ=-D.ωπ=， 2ϕπ=7．已知复数5(2z i=-其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( ) A ．1 B ．i C ．1- D ．i -8．若，，则一定有A.B.C. D.9．函数()2cos xf x e x x x =+++，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A.220x y -+= B.220x y ++= C.220x y ++= D.220x y -+=10．已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为（ ）A．B．C ．D ．11．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E X 为（ ） A.23B.1C.32D.212．已知集合{}2|30A x x x =-<，5|13A x x ⎧⎫=+<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．(,2)-∞ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,)+∞D ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a (2,0)=，|b|=1，则|a+2b|=____________。
高二数学上学期期末考试试题理试题 19(共10页)
应县第一(dìyī)中2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理时间是：120分钟满分是：150分一．选择题〔一共12题，每一小题5分〕1．把1,3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图,试求第七个三角形数是( )2．命题“∀x∈〔﹣∞，0〕，均有e x＞x+1〞的否认形式是〔〕A．∀x∈〔﹣∞，0〕，均有e x≤x+1 B．∃x∈〔﹣∞，0〕，使得e x≤x+1 C．∀x∈[﹣∞，0〕，均有e x＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0〕，使得e x＞x+13．假设为圆的弦的中点,那么直线AB的方程是( ) A. B. C. D.4．假设大前提: ,,小前提: ,结论: ,以上推理过程中的错误为( )5．经过直线和的交点,且和原点间的间隔为的直线的条数为( )6．由曲线,直线所围成的平面图形的面积可以表示为( ) A. B. C. D.7．长方体一共顶点的三个面的面积分别为、和,那么长方体的体积是( )A. B. C. D.8．某几何体的三视图如下图,根据图中数据(shùjù)可知该几何体的体积为( )A. B. C. D.9．某消费厂家的年利润 (单位:万元)与年产量 (单位:万件)的函数关系式为,那么使该消费厂家获取最大年利润的年产量为( )10．设是函数的导函数, 的图象如下列图所示, 那么的图象最有可能的是( )A. B. C. D.11．假设(jiǎshè)双曲线的左焦点在抛物线的准线上,那么的值是〔 〕A. 2B.C.D.12．,椭圆的方程为,双曲线的方程为,1C 与2C 的离心率之积为,那么2C 的渐近线方程为( ) A.B.C.D.二．填空题〔一共4题，每一小题5分〕13.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与棱AA 1垂直且异面的棱有________条. 14．设直线与圆相交于、两点,且弦AB 的长为23,那么__________.15．=__________.16．E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，将△ADE 绕AE 旋转，那么异面直线AD 与直线BE 所成角的余弦值的取值范围是 . 三．解答题〔一共6题，第17题为10分，其余各题每一小题为12分〕AEDCBA 1FD 1C 1B 117．椭圆(tuǒyuán)C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的间隔 为 3.求椭圆C 的方程．18．设函数在及时获得极值.(1)求、的值;(2)假设对于任意的,都有成立,求的取值范围.19．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， 求证：MN ⊥平面PCD.(12分)20．如右下列图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．(1)求二面角C -DE -C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．21. 抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率(xiélǜ)为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.22．函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBABCCADCCCA13. 4． 14. 0 15. 16. 〔，〕17．答案(dá àn)：【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．答案：(1),因为函数在1?x =及2x =获得极值,那么有.即解得,.(2)由1可知,, .当时, ; 当时,;当时, '()0f x >.所以,当1?x =时, f ()x 获得极大值,又.那么(nà me)当[]0,3x ∈时, f ()x 的最大值为.因为对于任意的[]0,3x ∈, 有2()f x c <恒成立, 所以, 解得或者,因此c 的取值范围为.19．答案：证明：20．答案：〔1〕以A 为原点，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A -xyz ，那么有D (0，3，0)、D 1(0，3，2)、E (3，0，0)、F (4，1，0)、C 1(4，3，2)．于是，，．设向量与平面C 1DE 垂直，那么有．∴其中(qízhōng)z ＞0．取n 0=(-1，-1，2)，那么n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量． ∵向量=〔0，0，2〕与平面CDE 垂直，∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角． ∵，∴．〔2〕设EC 1与FD 1所成角为，那么．21. 答案：【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k 〔x ＋1〕，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或者16.22．答案：解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)，所以(su ǒy ǐ)f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax2，x ∈(0，＋∞)， 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0， 此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． b ．当0<a <12时，1a－1>1，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，1a－1)时，g (x )<0， 此时(c ǐ sh í)f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． c ．当a <0时，由于1a－1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a －1，＋∞)上单调递减．内容总结（1）应县第一中2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理 时间是：120分钟 满分是：150分 一．选择题〔一共12题，每一小题5分〕 1．把1,3,6,10,15,21,。
湖北省2021年高二数学上学期期末考试试题
湖北省高二数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1． 复数231iz i +=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．12- B ．12i - C ．52 D ．52i2． )0,,2(m =，)1,3,1(-=n ，若a //b ,则=+n m （ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 93． 椭圆2218x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ） A ．12B ．4C ．12或4D ．10或64． 曲线32313+-=x x y 在点（1，34）处的切线的倾斜角为（ ） A ．4π B ．3πC ．π32D ．π435． 已知,αβ是两相异平面，,m n 是两相异直线，则下列结论错误的是（ ） A ．若m ∥n ，α⊥m ，则n α⊥B ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥βC ．若α⊥m ，β⊂m ，则αβ⊥D ．若m ∥α，n =⋂βα，则m ∥n6．数列{}n a 满足112+-+=n n n a a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，20192,a a 是函数56)(2+-=x x x f 的两个零点，则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2022D ．60607．平面直角坐标系内，到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别B A ,,O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程为（ ）A ．222+1=5x y --（）（） B ．22+2++1=20x y （）（） C ．224+2=5x y --（）（）D ．22+4++2=2x y （）（）CADB9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ，点0(2,)M y 在抛物线C 上，M 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M 的半径为( )A ．23B ．43C ．83D ．16310．如图，正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为( )A ．2B ．12C ．3D ．511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足C B acb cos cos +=+，8sin =Abc，则ABC ∆的周长的最小值为( ) A ． 3B ．332+C ． 4D ．442+12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，,P Q 均位于第一象限，且2QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．15-B ．15+C ．110-D ．110+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分;把答案填在对应题号的横线上.）13.如图，已知平行四边形ABCD 中，060,3,4=∠==D CD AD ,⊥PA 平面ABCD ，且6=PA ，则=PC .14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，且55=a ，则2123a a +的最小值为. 15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点，且4=AB ，点D 为线段AB 的中点，对于直线l :)1(-=x k y 上任-点P ，都有1>PD ，则实数k 的取值范围是__________.16.若点P 是椭圆22:12516x y C +=上任意一点，点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，若直线 PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则=+-)cos()cos(βαβα.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）若圆M 的方程为4)4()1(22=-+-y x ，△ABC 中，已知)2,7(A ,)6,4(B ,点C 为圆M 上的动点．（Ⅰ）求AC 中点D 的轨迹方程； （Ⅱ）求△ABC 面积的最小值．18.（本小题满分12分）设向量()2,sin a θ=，(1,cos )b θ=，其中θ为锐角. （Ⅰ）若94a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （Ⅱ）若a ∥b ，求θθθθ22cos cos sin sin -+的值.19. （本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别是21,F F ,点P 在椭圆C 上，421=+PF PF ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线32+=x y 相切.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA =，AD AB =,PD PA ⊥，CD AD ⊥，060=∠BAD ，N M ,分别为PA AD ,的中点.（Ⅰ）证明：平面BMN ∥平面PCD ； （Ⅱ）若3,4==CD AD ，（1）求平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值； （2）求点M 到平面BCP 的距离.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*,292N n a S n n n ∈-=,n n n a b 23-=. （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在实数λ，对任意,m n N *∈，不等式m nS b λ>恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．22．（本小题满分12分）如图，已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k 、2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点． （Ⅰ）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．2021级高二上学期期末考试数学试卷答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBCDDDAACCDA二、填空题 13．7 14．52415．43->k 16．419 三、解答题17.解：（Ⅰ）设00(,),(,)D x y C x y 有000072722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩， 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=，即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.（Ⅱ）计算得5AB =, 直线AB 为03434=-+y x ,点(1,4)到直线AB 的距离412341855d +-==,118()min 5(2)425ABC S ∆∴=⨯⨯-=.18. 解：（Ⅰ）由92sin cos 4a b θθ⋅=+⋅=, 得1sin cos 4θθ=, 213(sin cos )12sin cos 122θθθθ+=+=+=, 6sin cos θθ+=. （Ⅱ）由//a b 得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=,原式=222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθ+-+-=++22221121+-==+. 19.解（Ⅰ）点(0,0)230x y -+=的距离为321d ==+,得3b = 由1242PF PF a +==得2a =,椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）联立221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，设1122(,)(,)A x y B x y , 得22(43)8240k x kx ++-=,122243x x k k +=-+ ,122443x x k -=+, 由题意可知：0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=, 即1212(23)(23)0x x x x +++=, 得1212332()90x x x x +++=, 代入解得216,66k k ==±即为所求. 20.（1）连接,,60,BD AB AD BAD ABD =∠=︒∴为等边三角形，M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥,,,AD CD CD BM ⊥⊂平面ABCD ，BM CD ,又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，BM∴平面PCD ,,M N 分别为,AD PA 的中点，MN PD ∴,又MN ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ，MN ∴平面PCD .又,BM MN ⊂平面,BMN BMMN M =，∴平面BMN 平面PCD .（2）连接PM ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面PAD AD =，PM ⊂平面PAD ，,PM AD PM ⊥∴⊥平面ABCD .又,,,BM AD MB MD MP ⊥∴两两互相垂直.以M 为坐标原点，,,MB MD MP 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -.4,3AD CD ==，则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1,1),(23,0,0),(3,2,0)M P A N B C --，设平面BMN 的一个法向量为111(,,)m x y z =，平面BCP 的一个法向量为222(,,)n x y z =，(23,0,0),(0,1,1)MB MN ==-∴由00m MB m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1112300x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴取(0,1,1)m =,(3,2,0),(23,0,2)BC BP =-=-，∴由00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22223202320x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴取(2,3,23)n =，3233114cos 38219m n m n m n ⋅+∴<⋅>===⋅ ∴平面BMN 与平面BCP 成锐二的余弦值为311438. （Ⅱ）（2）面BCP 的法向量为(2,3,23)n =,(0,0,2)MP =,2434572312MP n d n⋅===++. 21.解：（Ⅰ）当2n ≥时,111992(2)22n n n n n n n a S S a a ---=-=--- , ∴1922n n na a -=-， 11111393222223622n n n n n n n n n n n a a b b a a --------===--.∴数列{}n b 为公比为2的等比数列.当1n =时，111992,22s a a =-=，11332b a =-=,13322n n n n b a -∴=⋅=- ,13322n n n a -∴=+⋅.（Ⅱ）011121113()3(222)222m m m S -=⋅+++++++011(1)2(12)3223332112212m m m m --=⋅+⋅=⋅---,假设存在实数λ，对任意*,,m nm n N S b λ∈>函数3322mm m S =⋅-，有min 19()2m S S ==， 132n n b -=⋅ , min 1()3n b b ==， min27()2m n S b λ∴<⋅=即为所求 22.解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2112y x =，2222y x =即有121212()()2()y y y y x x +-=-， 又(1,1)P 是线段AB 中点，得122y y +=，12121221AB y y K x x y y -===-+，直线AB 为11(1)y x -=⋅-，即y x =.（Ⅱ）设(,)M M M x y ，直线AB 为11(1)y k x -=-, 即1111y k x k =+-， 又121k k +=，直线AB 为12y k x k =+，代入22y x =有2221122(22)0k x k k x k +-+=，得1221111(,)k k M k k -，同理1222211(,)k k N k k -， 易知120k k ≠，直线MN 斜率为12121M N M N y y k kk x x k k -==--，直线MN 为12122112111()1k k k k y x k k k k --=--， 化简得121211k k y x k k =--, 直线过定点（0，1）即为所求.。