等价关系与等价类

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等价关系与等价类

等价关系与等价类等价关系是数学中一个非常重要的概念，它在代数学、离散数学、关系代数等领域都有广泛的应用。

本文将详细讨论等价关系的定义、性质以及等价类的特点。

一、等价关系的定义等价关系是集合论中的一个概念。

对于给定集合A，若集合A上的二元关系R满足以下三个条件，即称关系R为等价关系：1. 自反性：对于集合A中的任意元素a，有aRa；2. 对称性：对于集合A中的任意元素a和b，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于集合A中的任意元素a、b和c，若aRb且bRc，则aRc。

二、等价关系的性质1. 等价关系将集合A划分成了若干个不相交的等价类；2. 对于等价关系R，它的等价类满足以下两个性质：(1) 集合A中的任意元素都属于某一个等价类；(2) 不同的等价类之间是不相交的，即任意两个不同的等价类A和B满足A∩B=∅；3. 对于等价关系R，在每个等价类中，任意两个元素都是相互等价的，即若a和b属于同一个等价类，则aRb。

三、等价类的特点等价类是等价关系的一种划分形式，它具有以下特点：1. 等价类是集合A的一个子集；2. 等价类中的元素都满足相互等价的关系，即集合A中的两个元素属于同一个等价类，当且仅当它们在等价关系R下是等价的；3. 集合A中的元素可以属于多个不同的等价类，但不同的等价类之间是不相交的。

四、等价关系的应用等价关系在数学中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数论中的同余关系：在数论中，我们可以定义模m下的同余关系，对应的等价关系将整数划分成了若干个不相交的等价类；2. 代数学中的等价关系：在代数学中，等价关系被广泛运用于同余、相似等概念的定义中；3. 图论中的等价关系：在图论中，等价关系被用于定义等价图等重要概念；4. 集合运算中的等价关系：等价关系在集合运算、集合论的研究中也具有重要的地位。

综上所述，等价关系是集合论中的一个重要概念，它将原始集合划分成了若干个互不相交的等价类。

七、等价关系与等价类

上的等价关系。故R是A上的等价关系。是上的等价关系
例设A={1,2,3,4,5}，有一个划分，有一个划分S={{1,2},{3},{4,5}}，试由划，确定A上的一个等价关系分S确定上的一个等价关系。确定上的一个等价关系。我们用如下方法产生一个等价关系R：解我们用如下方法产生一个等价关系： R1={1,2}×{1,2}={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>} × R2={3}×{3}={<3,3>} × R3={4,5}×{4,5}={<4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} × R= R1∪R2 ∪R3 ={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>, <3,3>, <4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} 从R的序偶表示式中容易验证是等价关系。的序偶表示式中容易验证R是等价关系。的序偶表示式中容易验证是等价关系本题中确定等价关系的方法与上述定理4 本题中确定等价关系的方法与上述定理4中所述确定等价关系的方法实质相同实质相同。的方法实质相同。
R R
[3]R={2,3}
[4]R={1,4}
[1]R ∩[2]R ∩[3]R= ∅ [1R , [3]R, [4]R} ={{1,4},{2,3}} [1]R ∩ [2]R = ∅ [1]R ∪ [2]R = A
定理3 定理
定理3 集合A上的等价关系上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定可确定A 定理集合上的等价关系，决定了商集

等价关系与等价类

例：A={52张扑克牌}， R1={<a，b>｜a与b同花，a，b是扑克}， R2={<a，b>｜a与b同点，a，b是扑克}，即R1是同花关系， R2是同点关系，R1和R2都是等价关系。 R1把A分为四类同花类， R2把A分为13类同点类。例：A={0，1，2，3，4，5}， R={<0，0>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>，<1， 3>，<2，1>，<2，3>，<3，1>，<3，2>，<4，4>，<4， 5>，<5，4>，<5，5>}，R把A分成了三个等价类： {0}，{1，2，3}，{4，5}。
2、定理3-10.1：设给定集合A上的等价关系R，对于a，bA有aRbiff[a]R=[b]R。证明：假定[a]R=[b]R，因为a[a]R，故a[b]R，即 aRb。反之，若aRb，设c[a]RaRcbRcc[b]R 即[a]R[b]R 同理，若aRb，设c[b]RbRcaRcc[a]R 即[b]R[a]R 由此证得若aRb，则[a]R=[b]R。
三、商集 1、定义3-10.3：集合A上的等价关系R，其等价类的集合{[a]R|aA}称为A关于R的商集，记作A/R。如例题1中商集T/R={[1]R，[2]R}，例题3中商集 I/R={[0]R，[1]R，[2]R} 等价关系R把A的元素分为若干类，各类之间没有公共元素。确定的R是对集合A进行的一个划分。
二、等价类 1、定义3-10.2：设R为集合A上的等价关系，对任何 aA，集合[a]R={x|xA，aRx}称为元素a形成的R 等价类。显然，等价类[a]R非空，因为a[a]R。例题3：设I是整数集，R是模3关系，即R={(x，y)|xy(mod3)，x，yI}，确定由I的元素所产生的等价类。解：由I的元素所产生的等价类是 [0]R={…，-6，-3，0，3，6，…} [1]R={…，-5，-2，1，4，7，…} [2]R={…，-4，-1，2，5，8，…}

近世代数中关于集合的划分及其应用研究

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。

因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。

每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。

集合的等价关系与等价类

集合的等价关系与等价类等价关系是集合论中一种重要的关系概念，在数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍等价关系的概念、性质以及等价类的相关内容。

一、等价关系的定义在集合论中，等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的二元关系。

具体来说，设A为一个集合，R为A上的一个二元关系，则R为A上的等价关系，当且仅当满足以下三个条件：1. 自反性：对于A中的任意元素x，都有xRx；2. 对称性：对于A中的任意元素x和y，若xRy，则yRx；3. 传递性：对于A中的任意元素x、y、z，若xRy且yRz，则xRz。

二、等价类的概念与表示如果R是集合A上的一个等价关系，对于A中的每个元素x，称[x]R为x关于等价关系R的等价类。

等价类是满足对称性和传递性的非空子集合。

一个集合A可以被等价关系R分割为若干个互不相交的等价类。

等价类的表示方式有多种，常见的有：1. 列举法：将等价类中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来表示。

例如，对于集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，若等价关系R={(1, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}，则有两个等价类：[1]R = {1, 3}和[2]R = {2}。

2. 描述法：用一个条件表达式来描述等价类中的元素。

例如，对于集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，若等价关系R={(1, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}，则等价类可以表示为[1]R = {x | (x, 1)∈R}和[2]R = {x | (x,2)∈R}。

三、等价关系的性质等价关系具有以下性质：1. 自反性：等价关系R必定满足自反性，即对于A中的每个元素x，都有xRx。

2. 对称性：若等价关系R满足对称性，即对于A中的任意元素x和y，若xRy，则yRx。

3. 传递性：若等价关系R满足传递性，即对于A中的任意元素x、y、z，若xRy且yRz，则xRz。

等价关系中等价类的定义

等价关系中等价类的定义
等价关系是理论集合上的一种重要概念，它定义了一种交换和重新分类的方式，为集合的构造提供理论基础。

等价关系包括一组等价类，而等价类则是一类含有至少二个元素的集合，这些集合间等价，可以互相替换。

等价类是集合的一种量化抽象表达。

它是指在一定环境下，在一般意义上都具
有相同特征的不同类别，它们可以把相同类别的所有元素归纳到一个等价类中，使得这些元素具有相同的特征。

例如，在计算机科学中，在形式语言中，所有的源文本样式都能够归纳到一个等价类中，这个等价类对应着一组语言规则，使得每一种源文本样式都与另一种源文本样式具有相同的语义。

这类思想在组合数学中同样有所应用，即非等价逻辑关系，这类逻辑关系涉及
相同长度的有序序列，每一个有序序列都属于一个不同的等价类，具有相同的语义。

综上所述，等价类是一种重要的概念，它在数学、计算机科学等领域都具有重
要应用。

等价类是一组元素集合，它们具有相同的特征，可以通过相同的规则将不同的元素归纳到一类中，形成等价关系，为集合的构造提供理论基础。

等价关系与等价类

三、商集
1、定义3-10.3：集合A上的等价关系R，其等价类的集合{[a]R|aA}称为A关于R的商集，记作A/R。如例题1中商集T/R={[1]R，[2]R}，例题3中商集 I/R={[0]R，[1]R，[2]R}
等价关系R把A的元素分为若干类，各类之间没有公共元素。确定的R是对集合A进行的一个划分。
解：由I的元素所产生的等价类是 [0]R={…，-6，-3，0，3，6，…} [1]R={…，-5，-2，1，4，7，…} [2]R={…，-4，-1，2，5，8，…}
例：A={52张扑克牌}， R1={<a，b>｜a与b同花，a，b是扑克}， R2={<a，b>｜a与b同点，a，b是扑克}，即R1是同花关系， R2是同点关系，R1和R2都是等价关系。 R1把A分为四类同花类， R2把A分为13类同点类。
2、定理3-10.2：集合A上的等价关系R，决定了A的一个划分，该划分就是商集A/R。
证明：设集合Ａ上有一个等价关系R，把与Ａ的固定元ａ有等价关系的元素放在一起作成一个子集
[a]R，则所有这样的子集做成商集A/R。
I. 在A/R={[a]R|aA}中，aA[a]R A II. 对于Ａ的每一个元素ａ，由于Ｒ是自反的，故必有aRa
3-10 等价关系与等价类
要求：掌握价关系的定义会证明等价关系
难点：等价类
一、等价关系定义3-10.1：设R为集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为等价关系。 aRb，称为a等价于b。由于R是对称的，a等价b即 b等价a，反之亦然，a与b彼此等价。例如，平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系。鉴于空集合中的二元关系是等价关系，是一种平凡情形，因此，一般讨论非空集合上的等价关系。

等价关系和等价类

等价关系和等价类等价关系就像是一场神秘的社交派对里特殊的交友规则。

你可以想象在这个派对里，有各种各样的人，等价关系就是那种把大家分成不同小团体的神奇魔法。

比如说，在动物王国的这个超级大派对里，“同一种类”就是一种等价关系。

所有的小猫咪们就像是一个小团体，它们之间有着这种特殊的联系，就像小猫咪们都有柔软的毛、会喵喵叫，这就好像是它们进入这个“小猫咪等价类”的入场券。

而小狗们呢，它们的汪汪叫、摇尾巴等特征也让它们自成一个等价类，就像是在这个大派对里有自己专属的小角落。

等价关系还有一种“平等的对称感”，就好像是照镜子。

如果A和B有等价关系，那就像A对着镜子能看到B，B对着镜子也能看到A。

比如说双胞胎，他们在很多方面都像是一种等价关系的体现。

他们长得超级像，就好像是被一种神奇的等价关系紧紧绑在一起，不管是外貌还是可能有的一些共同习惯，一个双胞胎做个鬼脸，另一个做同样鬼脸的时候就像是在展示这种等价关系的对称性。

再来说等价类，这就像是一个个装满了相似宝藏的宝箱。

每个宝箱里的东西都有共同的特点。

在数学的数字世界里，能被2整除的数就形成了一个等价类。

这个等价类就像是一个装满偶数这个宝藏的大箱子，2、4、6、8这些数字就像住在同一个数字大厦里同一层的邻居，它们因为能被2整除这个特殊的关系被分到了一起。

如果把等价关系想象成是超级英雄们的联盟标准，那么等价类就是一个个超级英雄的小团队。

像那些会飞的超级英雄们可以组成一个等价类，他们在天空中翱翔的能力就像是他们的联盟纽带。

而那些力气超级大的英雄们又组成另一个等价类，他们的大力气就是这个等价类的标志。

有时候，等价关系还像厨师做菜的食谱要求。

在蔬菜的世界里，如果规定是红色的蔬菜，那西红柿、红辣椒就形成了一个等价类，它们红红的外表就像它们的共同徽章。

而绿色蔬菜呢，像西兰花、青菜又形成了自己的等价类，它们翠绿的颜色就像进入这个小团体的密码。

等价类里的元素就像一群志同道合的小伙伴。

七、等价关系与等价类

R R R R
={{1,4},{2,3}} 1、任意两个分块相交为空 2、[1]R ∪ [2]R = A
定理3
定理3
集合A上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定A 上的一个划分。
证明: A/R = { [a]R | a∈A} 。 i. 对于aA ，由于R是自反的，有aRa成立，即a ∈[a]R ，由等价类的定义知[a]R为A的子集，故每个等价类都是A的非空子集。 [a]R =A ii. 在A/R={ [a]R | a ∈A}中， a∪ ∈A iii. A的每个元素只能属于一个分块。(反证) 若a[b]R 且a[c]R，且[b]R ≠[c]R，则 bRa,cRa成立。由于R是对称的，则aRc，R又是传递的，有bRc, 根据定理，有[b]R =[c]R，这与题设矛盾。综合上述，A/R是A上对应于R的一个划分。
例题
例空集上的任何二元关系R都是等价关系，因为 i. (x)(x∈→xRx) ii. (x)(y)(x∈∧y∈∧xRy→yRx） iii.(x)(y)(z)(x∈∧y∈∧z∈∧ xRy∧yRz→xRz ）都恒为真，所以R是等价关系。另外：集合A上的全域关系R=A × A也是等价关系。
3. 商集：定义集合A上的等价关系R，其等价类集合{ [a]R | a∈A}称为A 关于R的商集，记作A/R。例题1：设集合A＝{1,2,3,4}, 关系例题2：定义在整数集I上的 R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,4>, 关系R={<x,y>|x≡y(mod <4,1>,<3,2>,<2,3>} 求出A/R。 3)}， [1]R={1,4} [2]R={2,3} 有I/R={[1]R,[2]R,[3]R} [3]R={2,3} [4]R={1,4} 1、任意两个分块相交为空 2、[1]R ∪[2]R ∪[3]R=I A/R={[1] , [2] , [3] , [4] }

等价类

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6/4/2015
内容提要
相关概念二元关系、运算、性质
厚德
等价关系
等价类
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软件测试中的等价类
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6/4/2015
Control Science and Engineering
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19
厚德
(5)传递性定义:设R为定义在集合A上的二元关系，如果对于任意 x，y，z∈A，每当<x,y> ∈ R且<y,z> ∈R，就有<x,z> ∈ R，称关系R在A上是传递的。例，设X={a,b,c},R={<a,a>,<a,b>},试判断R是否传递？传递
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6/4/2015
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注：由于任何AxB子集都是一个二元关系，那么共有2的|A||B|次幂个不同的子集，因此，从A到B 的关系共有2的|A||B|次幂个。
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二、二元关系、运算、性质
1.关系
在日常生活中，有许多特定的关系，如父子关系，母女关系，兄弟关系，同学关系，上下级关系。这些都是客体之间的关系。除此之外还有多种多样的关系，如父母和孩子间的关系就是三个或多个客体之间的关系等。在数学上也遇到各种各样的关系，如3大于2,6加上9等于15等都表示了某种关系。从所遇到的各种关系，抽象出来的数学观念，表达如下。2Biblioteka 一、相关概念1.序偶

等价关系与等价类

等价关系与等价类等价关系是数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍等价关系的概念及其性质，并探讨等价关系所对应的等价类的特征和应用。

一、等价关系的定义与性质在集合论中，等价关系是指对于给定集合上的一个二元关系，它必须满足以下三个性质：1. 自反性：对于集合中的任意元素a，a与自身相等。

2. 对称性：如果元素a与元素b相等，则元素b与元素a相等。

3. 传递性：如果元素a与元素b相等，并且元素b与元素c相等，则元素a与元素c相等。

满足以上三个性质的关系被称为等价关系。

等价关系将集合中的元素划分为若干个等价类，每个等价类是具有相同特征或者具有相同关系的元素的集合。

二、等价类的特征等价类是等价关系的重要概念，它具有以下特征：1. 等价类是集合的划分：等价关系将集合划分为若干个互不相交的等价类，集合中的每一个元素必然属于且仅属于一个等价类。

2. 等价类的元素具有相同的特征：同一个等价类中的元素具有相同的特征或满足相同的条件。

例如，对于一个以人的身高为等价关系的集合，每个等价类中的人具有相同的身高。

3. 等价类的元素之间没有次序关系：在同一个等价类中，元素之间没有大小或顺序之分。

它们在等价关系下是等价的，彼此之间没有优劣之分。

三、等价关系的应用等价关系在数学和其他领域有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用：1. 等价关系在集合的划分和分类中的应用：等价关系将集合划分为若干个等价类，可以根据等价类的特征对元素进行分类和归类。

例如，在社会科学中，可以根据人们的教育程度等价关系将人群分为不同的等价类进行研究。

2. 等价关系在算法和数据结构中的应用：等价关系可以用于判断两个元素是否具有相同的特征或关系，从而在算法和数据结构中进行分类和操作。

例如，在图像处理中，可以使用等价关系将相似的像素点进行聚类，从而达到图像分割和特征提取的目的。

3. 等价关系在等价性证明中的应用：等价关系在数学证明中起到重要的作用，可以用于证明两个数学对象的等价性。

2.6 等价关系与等价类

例3: A={a,b,c}, 求A上全体等价关系. 解: A上不同划分共有5种: a b c b a c b a c b a c b a c
R1= EA, R2=IA{<b,c>,<c,b>}, R3=IA{<a,c>, <c,a>}, R4=IA{<a,b>, <b,a>}, R5=IA.
可见R为A上等价关系。由R的定义可知，S=A/R 。
■
上述结论实际提供了一个由划分构造等价关系的做法。
例2：设A={a, b, c, d, e}, S={{a, b},{c},{d, e}}为A的划分，试由S确定A
的等价关系R。
解：我们用如下办法产生一个等价关系。
{a, b} {a, b} = {<a, a>, <a, b>, <b, a >, <b, b>} {c}{c} = {<c, c>} {d, e} {d,e} = {<d, d>, <d, e>, <e, d>, <e, e>} 对上面产生集合求并，即为R。 R＝{<a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d>, <e, e>,<a, b>, <b, a>, <d, e>, <e, d>}
类似地，一个集合A关于等价关系R的商可以看作是用R对A中的元素尽可能进行分类的结果，其表现形式是由等价类构成的集合，即把所有等价的元素放在一起

2. 等价类的性质
等价类的性质
设R为非空集A上的等价关系,

离散数学-3-10 等价关系与等价类revised

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U [a] R = A
三、商集
下面进一步证明，集合A上的一个划分确定了A的元素间等价关系。定理3 P133 定理3-10.3 集A上的一个划分确定了A的元素间的一个等价关系。
证明：设S={S1, S2, …, Sm}为集A的一个划分。定义R：aRb当且仅当a, b在同一分块中。下面证明R为A上等价关系。 1）因a与a在同一块中，故aRa，即R是自反的。 2）若a, b在同一块中，则b, a也在同一块中，故有aRb,bRa，即R对称。 3）若a与b在同一块中，b与c在同一块中，则必有a与c在同一块中，即 aRb, bRc必有aRc，故R传递的。可见R为A上等价关系。 *上述结论实际提供了一个由划分构造等价关系的做法。
因此：R1={<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 1>，<3,2>}∪ IA = EA R2={<2,3>,<3,2>}∪ IA R3={<1,3>,<3,1>}∪ IA R4={<1,2>,<2,1>} IA R5={<1,1>,<2,2>,<3,3>}∪IA
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三、商集
P134 例题4：设A={a, b, c, d, e}, S={{a, b},{c},{d, 例题4 e}}为A的划分，试由S确定A的等价关系R。解：我们用如下办法产生一个等价关系。 {a, b}×{a, b} = {<a, a>, <a, b>, <b, a >, <b, a>} {c}×{c} = {<c, c>} {d, e}×{d×e} = {<d, d>, <d, e>, <e, d>, <e, e>} 对上面产生集合求并，即为R。 R＝{<a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d>, <e, e>，<a, b>, <b, a>, <d, e>, <e, d>}

等价关系与等价类-集合与关系-离散数学

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⑵ 2)[x]R∩[y]R=Φ，当且仅当 <x,y>R。证明: ①设<x,y>R，证 [x]R∩[y]R=Φ。反证法：假设[x]R∩[y]R≠Φ，则存在z∈[x]R∩[y]R，即 z∈[x]R∧z∈[y]R，也即<x,z>∈R ，<y,z>∈R，由<y,z>∈R和R的对称性得<z,y>∈R，又由<x,z>∈R 、<z,y>∈R和R的传递性得 <x,y>∈R，与<x,y>R矛盾。所以若<x,y>R，则[x]R∩[y]R=Φ ②设[x]R∩[y]R=Φ，证<x,y>R。反证法：假设<x,y>∈R，则由等价类定义得 y∈[x]R，又因为<y,y>∈R ，所以y∈[y]R，所以y∈[x]R∩[y]R，与[x]R∩[y]R=Φ产生矛盾。所以若[x]R∩[y]R=Φ，则<x,y>R。由① ②可知[x]R∩[y]R=Φ，当且仅当 <x,y>R。

采用类似[x]R[y]R的方法证[y]R[x]R。

由a)和b)得 [x]R=[y]R。 ②若[x]R=[y]R，证<x,y>∈R。由于有<y,y>∈R ，所以y∈[y]R ，由[x]R=[y]R ，则 y∈[x]R ，即有<x,y>∈R。由①②可知[x]R=[y]R 当且仅当 <x,y>∈R。
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4 7 9 5 10 14 [1]R=[5]R=[9]R={1,5,9} [2]R=[6]R=[10]R=[14]R={2,6,10,14} [3]R=[7]R={3,7} [4]R={4}

等价关系与等价类

等价关系与等价类的应用举例
在数学中的应用举例
集合的划分
利用等价关系对集合进行划分，得到互不相交的子集，这些子集构成的集合称为原集合的一个划分。
商集
给定集合上的等价关系，可以构造出相应的商集。商集中的元素是原集合中的等价类，商集上的运算可以继承原集合的运算性质。
同余关系
在整数集中，同余关系是一种重要的等价关系。利用同余关系可以将整数集划分为若干个剩余类，每个剩余类中的元素具有相同的余数性质。
在计算机科学中的应用举例
数据压缩
在数据压缩中，利用等价关系将大量数据进行分类和归并，从而减少数据的存储空间。例如，在哈夫曼编码中，根据字符出现的频率构造哈夫曼树，将频率相近的字符归为一类，实现数据的高效压缩。
软件测试
在软件测试中，等价类划分是一种重要的测试方法。根据输入数据的等价关系将输入域划分为若干个等价类，然后从每个等价类中选取代表性数据进行测试，从而提高测试效率和准确性。
检查对称性
对于任意两个元素x和y，如果x与y等价，确认y与x是否也等价。
检查传递性
对于任意三个元素x、y和z，如果x与y等价且y与z等价，确认x与z 是否也等价。
等价关系的判定方法
检查自反性
确认任意元素x是否与其自身等价。
检查对称性
对于任意两个元素x和y，如果x与y等价，确认y与x是否也等价。
检查传递性
等价关系与等价类
contents
目录
• 引言 • 等价关系的定义与性质 • 等价类的定义与性质 • 等价关系与等价类的关系 • 等价关系与等价类的应用举例 • 总结与展望
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• 引言 • 等价关系的定义与性质 • 等价类的定义与性质 • 等价关系与等价类的关系 • 等价关系与等价类的应用举例 • 总结与展望

数据仓库与数据挖掘教程（第2版）课后习题答案第八章

第七章作业第七章作业说明等价关系、等价类以及划分的定义。

说明等价关系、等价类以及划分的定义。

等价关系：对于∀a ∈A （A 中包含一个或多个属性），A ⊆R ，x ∈U ，y ∈U ，他们的属性值相同，即fa （x ）= b （y ）成立，称对象x 和y 是对属性A 的等价关系。

的等价关系。

等价类：在U 中，对属性集A 中具有相同等价关系的元素集合成为等价关系IND （A ）的等价类。

的等价类。

划分：在U 中对属性A 的所有等价类形成的划分表示为A={Ei | Ei=[xi]a ，i=1,2，… }说明集合X 的上、下近似关系定义。

的上、下近似关系定义。

下近似定义：下近似定义：任一一个子集X ⊆U ，属性A 的等价类Ei=[x]A ，有：A-（X ）=U{Ei|Ei ∈A ∧Ei Ei⊆⊆X} 或A-（X ）={x|[x]A ={x|[x]A⊆⊆X} 表示等价类Ei=[x]A 中的元素x 都属于X ，即∀x ∈A-（X ），则x一定属于X 。

上近似定义：上近似定义：任一一个子集X ⊆U ，属性A 的等价类Ei=[x]A ，有：A-（X ）=U{Ei|Ei ∈A ∧Ei ∩X ≠∅}或A-（X ）={x|[x]A ∩X ≠∅} 表示等价类Ei=[x]A 中的元素x 可能属于X ，即∀x ∈A-（X ），则x 可能属于X ，也可能不属于X 。

说明正域、负域和边界的定义。

全集U 可以划分为三个不相交的区域，即正域（pos ），负域（neg ）和边界（bnd ）： POSA(X)= A-（X ）NEGA(X)=U- A-（X ） BNDA(X) = A-（X ）-A-（X ）4.粗糙集定义：粗糙集定义：若，即，即，即边界为空，称X 为A 的可定义集；的可定义集；否则X 为A 不可定义的，不可定义的，即，称X 为A 的Rough 集（粗糙集）集（粗糙集）确定度定义：确定度定义： ()A U A X A X X U a ----=其中U 和A X A X ---分别表示集合U 、（AX AX ---）中的元素个数）中的元素个数5. 在信息表中根据等价关系，我们可以用等价类中的一个对象（元组）来代表整个等价类，这实际上是按纵方向约简了信息表中数据。

等价关系与等价类集合与关系离散数学-文档资料

[3]R={3,7}
=[7]R
余数为3的等价类
[4]R={4}
余数为0的等价类
总结：
（1）集合中的10个元素都有一个等价类。
（2）各等价类之间或者完全相等或者不相交。
（3）所有等价类的并集就是A。
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[1]R=[5]R=[9]R={1,5,9} [2]R=[6]R=[10]R=[14]R={2,6,10,14} [3]R=[7]R={3,7} [4]R={4}
整数集合上的“小于”关系不是等价关系。
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例3-10.2 集合A={1,2,3,4,5,6,7,9,10,14}，R是A上的模4同余关系，试通过关系图说明R是等价关系。
分析：R={<x,y>|x除以4与y除以4的余数相同}
<x,y>∈R x(mod 4)=y(mod 4)或x≡y(mod 4)
每个关系子图即为一个等价类，位于此子图中的元素的等价类相同，等于该子图中的所有元素构成的集合。
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2、等价类性质
R是A上等价关系，任意x,y,z∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。
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二
元关
性质
系
自反对称传递反对称反自反
等价关系
有向图
等价类
商集
划分
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二、等价类
1、定义3-10.2 : x的等价类 R是A上的等价关系，对任何x∈A，集合[x]R称为由x生成的R等价类，简称x的等价类： [x]R={y|y∈A∧xRy} 简化写法：y∈[x]R xRy 讨论：（1）等价类[x]R是一个集合，且[x]R A。（2）[x]R中的元素是在等价关系R中，与x有等价关系R的所有元素组成的集合。（3）[x]R Φ， x∈[x]R。