上海市华师大二附中高一下学期期中数学试卷
2016-2017年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。
上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．向量的单位向量是______. ()3,4a =【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.aa a【详解】因为，则，()3,4a = 5a == 所以，向量的单位向量为. a()1343,4,555a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：.34,55⎛⎫⎪⎝⎭2．若，，当实数k ＝______时，.()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥ 【答案】4或0【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．k 【详解】因为，，且，()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥所以，解得或， 240k k -+=0k =4k =故答案为：4或0．3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin 2y x =【答案】π2【分析】求出函数的对称轴即可求解.【详解】由已知条件得，Z ，即，Z ， π2π+2x k =k ∈ππ24k x =+k ∈因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 所以分别令，得，， 0k =1π4x =3π4x =即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ442-=故答案为：. π24．已知，则_________ 1sin cos 2αα+=sin 2α=【答案】34-【分析】原式两边平方后，即可计算的值.sin 2α【详解】因为，两边平方后， 1sin cos 2αα+=， ()2221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 24ααααααα+=++=+=所以. 3sin 24α=-故答案为：34-5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 45【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. αβsin 2απcos cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设顶角为，底角为，则，， αβ2παβ+=4cos 5α=又， 2πcos 12sin,0,222ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭sin2α∴===. πcos cos sin 22ααβ-⎛⎫∴===⎪⎝⎭6．方程在区间上的解集为______.sin cos 2x x =[]0,π【答案】π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， sin cos 2x x =2sin 12sin x x =-即，解得或， 22sin sin 10x x +-=sin 1x =-1sin 2x =因为，所以或， []0,πx ∈π6x =5π6所以方程在区间上的解集为,sin cos 2x x =[]0,ππ5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：.π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对()sin 2y x ϕ=+4π4,03π⎛⎫⎪⎝⎭称，那么的最小值为__________．ϕ【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数图象关于点成中心对称，则：， 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈整理可得：， ()136k k Z πϕπ=-∈则当时，有最小值.2k =ϕ6π【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数的最小正周期为____________．sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭【答案】2π【详解】解析：当时，，=2,x k k Z π∈sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭当时，，其中且，2,x k k Z π≠∈sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭2x k ππ≠+2x k ππ≠+画出图象可得函数周期为．2π故答案为：.2π9．已知，都是定义在R 上的函数，若，其中m ，n 实数，则称()f x ()g x ()()()h x mf x ng x =+为，在R 上的生成函数.已知，，，，则()h x ()f x ()g x 1m =1n =-()sin f x x =()cos g x x =，在上的生成函数的单调增区间为______.()f x ()g x R ()h x【答案】,Zππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间()h x 即可.【详解】由题意可知，()sin cos x x h x =-则， ()()()()sin cos πsin πcos πh x x x x x h x +=+=-=-+所以是函数的周期，π()h x 又∵， ()()()()sin cos sin cos x x x h h x x x =-----==∴函数为偶函数， ()h x当时，，π02x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭此时函数的单调递增区间为，Z , πππ2π2π242k x k -≤-≤+k ∈解得，Z , π3π2π2π44k x k -≤≤+k ∈当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，0k =π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，ππ2x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭此时函数的单调递减区间为，Z ， ππ3π2π+2π242k x k ≤+≤+k ∈解得，Z , π5π2π+2π44k x k ≤≤+k ∈当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，0k =π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上所述，函数的单调递增区间为,Z ,ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈故答案为：,Z .ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈10．已知向量的夹角为锐角，且满足、,a b a =b = ，都有成立，则的最小值为_______.{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=||1x y +≤a b ⋅v v 【答案】815【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得,b aθ|1,0xa yb xy += ，由得出()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤，令，得出，求不()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭t cos θ=()()222116+41541t t -≥-等式的解集可得结果.详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴,a bθ1xa yb += 0xy >22641664cos 1151515x y xy θ++=， ()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=即；又，由柯西不等式得()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤ ； ()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭令，则，化简得， cos t θ=()()222116+41541t t -≥-26460110t t -+≤解得，所以，即的最小值为，故答案为．111416t ≤≤328cos 1515a b θ⋅=≥ a b ⋅ 815815点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.二、单选题11．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） ABC A sin cos A B =ABC A A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必sin cos A B =2A B π+=2A B π=+2A π=sin cos A B ≠要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；sin cos A B =2A B π+=2A B π=+ABC A 若，则，所以是直角三角形不能推出;2A π=sin cos A B ≠ABC A sin cos A B =所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. sin cos A B =ABC A 故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.12．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． A ．98πB ．π C ．π D ．100π19721992【答案】B【详解】试题分析：因为，使y=sinωx （ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 所以，49×T≤1，即≤1， 1419724πω⨯所以，ω≥π，故选B ． 1972【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定应满足的条件．2πω13．已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列关于说法正确的是()[]πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]x ()f x （ ）①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④()f x []1,1-12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 4T =与的图像有且仅有两个公共点. ()f x 2y x =A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当时，，； 10x -≤<[]1x =-()1f x =-当时，，；当时，，； 01x ≤<[]0x =()0f x =12x ≤<[]1x =()1f x =当时，，；当时，，；…；23x ≤<[]2x =()0f x =34x ≤<[]3x =()1f x =-则，()[]π4sin 42f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭[][]()πππsin 4sin 222x x f x ⎛⎫⎛⎫+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭所以为周期函数，且最小正周期，即③正确； ()f x 4T =由此可知的值域为，即①错误；()f x {}1,0,1-若为奇函数，则，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，，12x =()110022f f ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭()111122f f ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；12x =1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在一个周期内作出的图象，如下图所示，()f x由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点, ()f x 2y x =O A 即④正确； 故选：C.14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为，，，则四边形ABCD 的周长为120A ∠=︒45B ∠=︒AB AD =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接AC ，BD ．利用正弦定理求出，6BD =AC =AB AD ==定理求出，即得解. BC CD +=【详解】连接AC ，BD ．由，及正弦定理，得，120A ∠=︒45B ∠=︒sin sin BD ACBAD ABC==∠∠解得，．6BD =AC =在中，，，，ABD △120BAD ∠=︒AB AD =6BD =所以AB AD ==因为四边形ABCD 内接于半径为 它的对角互补，所以， AC BD AB DC AD BC ⋅=⋅+⋅所以,所以， )BC CD =+BC CD +=所以四边形ABCD 的周长为． +故选：A ．三、解答题15．已知函数.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调增区间；()f x (2)求函数在的值域.()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】(1)7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2) ⎡-⎣【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 2π23x +【详解】（1）由可得， π2ππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 7ππ2π22π6,6k x k k -+≤≤-+∈Z 所以， 7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 所以函数单调递增区间为：；()f x 7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）令，由可得， 2π23t x =+2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2π,2π3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又因为函数在单调递减，在单调递增，sin y t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭所以在时有最小值-1，又， sin y t =3π2t =2πsin 3=sin 2π0=所以，所以函数在上的值域为． sin [t ∈-()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣16．已知函数，若对任意的实数x 都成立．()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭（1）求的最小值；ω（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，ω()()1(0)g x f kx k =+>π0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦方程恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． ()g xm =【答案】（1）；（2）． 23ω=[1m ∈+【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．4f π⎛⎫⎪⎝⎭ω（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形()g x ()y g x =y m =结合求解．【详解】（1）若对任意的实数x 都成立，则为函数的最大值，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭则，得，即， 2,46k k ππωπ-=∈Z 2,46k k ππωπ=+∈Z 28,3k k ω=+∈Z ∵，∴当时，取得最小值，最小值为； 0ω>0k =ω23ω=（2）在（1）中值的条件下，则，ω23ω=2()2cos 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2()()12cos 1,(0)36g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭∵的最小正周期为，∴，即，则，()g x π223k ππ=3k =()2cos 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象如图：()03y g x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭y m =，则，所以，则，03x π≤≤2662x πππ-≤-≤0cos 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭()13g x ≤≤且，()02cos 116g π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由图象知：要使恰有两个不同的解，则．()g x m =[1m ∈+【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．如图是函数图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两()sin(),(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点， (1)若点M 的坐标为（-1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标(2)若点M 的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式m m 2344MC MD π⋅=- ()f x【答案】(1) (2) (12),(30),(52)C N D -，，，π()2sin(+)4f x x =【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N ，D 点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D 坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初m 始角，即得三角函数解析式【详解】(1)设点C (a ,b )，由中点坐标公式得由中点坐标公式可得解得a =1，b =2，∴点C (1,2)，∴点N (3,0),点D (5,−2)；(2)同样由E (0,1)是线段MC 的中点，得A =2，由M (−m ,0),得C (m ,2),D (5m ,−2)；∴，2124MC MD m ⋅=- 又， 2344MC MD π⋅=-解得m =； 4π由，解得ω=1， 282T m ππω===∴φ=； 4π∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(x +).4π【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.18．已知常数，定义在R 上的函数.0a ≠()cos 2sin f x x a x =+(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；4a =-()y f x =(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值.n ∈N 1n ≥()y f x =()0,πn 【答案】(1)最大值为，； 3π2π,2x k k =-∈Z (2)，.1a =-1347n =【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的()f x x 值；（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个sin y x =y t =数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.【详解】（1）当时，4a =-()cos 24sin f x x x =-212sin 4sin x x =--232(sin 1)x =-+则当时，，此时， sin 1x =-()max 3f x =π2π,2x k k =-∈Z （2），2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+令，，则，sin t x =[1,1]t ∈-2()21f t t at -+=+得，，则方程有两个不相等的实数根，()0f t =2210t at --=280a ∆=+>()0f t =由韦达定理得，即两根异号， 1212t t =-①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题()0,11sin t x =2sin t x =()0,πn 意；②当，，即，， 11t =212t =-12122a t t +=-=-1a =当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =π2x =1sin 2x =-7π6x =11π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]1[1347π,1348π]2所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ()0f x =()0,πn n ∈N ③当，，即，， 11t =-212t =12122a t t +=-=--1a =-当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =-3π2x =1sin 2x =π6x =5π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]2[1347π,1348π]1所以在内恰有2021个根，()0f x =()0,1347π故满足题意，此时，. 1a =-1347n =。
2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷
10.已知△ 中， ，则
【答案】：
二.选择题
11.如果 是第三象限的角，那么 必然不是下列哪个象限的角（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】：B
【解析】：
解：∵α是第二象限角，
∴α∈（2kπ+ ，2kπ+π），k∈Z，
∴ ∈（ kπ+ ， kπ+ ），k∈Z．
∴是第一或二，四象限角．
【解析】：
解：（1）由题可得：
∴
（2）∵
∴
∴bc=6
∵
∴
即BC的取值范围为
（3）∵∠EDF+∠BAC=
∴
又
当且仅当DE=DF时等号成立，此时AD是∠BAC的角平分线。
∴
=
=6
∴
当DE=DF，AB=AC时，
则
∴
【答案】：C
【解析】：
解：将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
14.已知函数 满足 恒成立，则（）
A.函数 一定是奇函数B.函数 一定是奇函数
C.函数 一定是偶函数D.函数 一定是偶函数
【答案】：D
上海市华师大二附中高一数学下学期期中试卷(含解析)
上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△AB C的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=解答：解：由，得sin=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S△ABC=，运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈），判断其为奇函数，可得g （x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：=2+令g（x）=（x∈），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π表示π的奇数倍，（4k±1）π也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在上是减函数，∴f（x）在上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A 为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos （2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈，f（x）=2sin（2x+）在上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈，得2x0+∈．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．专题：综合题．分析：（1）作出图形，结合图形由，能求出．（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）法一：，由此能求出x B﹣y B的最小值．法二：由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解答：解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是2015届高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．。
2014-2015年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷含参考答案
2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．2（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（s inα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为1cm2．【解答】解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：12．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．【解答】解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．=﹣2．【解答】解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．5．（3分）化简：=﹣1．【解答】解：由题意=故答案为﹣16．（3分）若α是第三象限角，且，则=．【解答】解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．【解答】解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．【解答】解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．【解答】解：=2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与【解答】解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k ±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选：A．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选：B．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（co sβ），故选：C．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．【解答】解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x 0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．【解答】解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．【解答】解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．∴．（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x 增大而减小，故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。
上海市华师大二附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题
上海市华师大二附中【最新】高一下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．求值arctan cot 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭_________. 2．函数 ()f x =的定义域是____________.3．若tan 3θ=-，则()sin sin 2cos θθθ-=_____________.4．若()0,2x π∈，sin cos x x =-成立的x 的取值范围是___________. 5．若arcsin arccos 6x x π-=，则x =_________.6．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.7．已知02πθ<<，将cos ,cos(sin ),sin(cos )θθθ从小到大排列___________8．若关于x 的函数sin y x ω=在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ω的取值范围是_________ 9．已知,,44x y a R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦、，且33sin 20,14sin 20.2x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，则cos （x+2y ）的值为____.10．设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.二、单选题11．为了得到3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将3cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向右平移8π D ．向左平移8π12．,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且tan cot αβ<，则必有（ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．32παβ+< D ．32παβ+> 13．下列函数中以π为周期，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A ．()tan cot1x y = B ．sin y x =C ．cos2x y =-D ．tan y x =- 14．下列命题中错误的是（ ）A ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos2f y y =成立;B ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin 2f y y =成立;C ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos3f y y =成立;D ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin3f y y =成立;三、解答题15．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.16．若关于x 的方程sin 0x x a ++=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值.17．已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++. （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域.18．用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一a b R表示c. 个）？在ABC存在的情况下，用,,参考答案1．6π 【解析】【分析】根据反正切函数求解.【详解】arctan(cot )arctan 336ππ== 故答案为：6π 【点睛】本题考查反正切函数，考查基本分析求解能力，属基础题.2．{|2()}x x k k Z π=∈【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解三角方程得结果.【详解】 cos 10cos 1cos 1cos 12()x x x x x k k Z π-≥∴≥≤∴=∴=∈故答案为：{|2()}x x k k Z π=∈【点睛】本题考查函数定义域以及解三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．32【分析】先弦化切，再代入得结果.【详解】()22222sin 2sin cos tan 2tan 963sin sin 2cos sin cos tan 1912θθθθθθθθθθθ--+-====+++ 故答案为：32【点睛】本题考查弦化切，考查基本分析求解能力，属基础题.4．5[,]44ππ【分析】先配方，再解三角不等式，即得结果.【详解】1sin 2sin cos sin cos x x x x -=-=-|sin cos |sin cos sin cos 04x x x x x x x π⎛⎫∴-=-∴-=-≥ ⎪⎝⎭， (0,2)x π∈，7444x πππ∴-<-<，04x ππ∴≤-≤，解得544x ππ≤≤. 故答案为：5[,]44ππ 【点睛】本题考查二倍角正弦公式以及解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.5【分析】 根据反三角函数确定范围，再取正弦化简方程解得结果. 【详解】1arcsin arccos sin(arcsin arccos )62x x x x π-=∴-= 21cos(arcsin )sin(arccos )2x x x -= 因为arcsin arccos 6x x π-=，所以arcsin 0x >所以(0,1]x ∈，cos(arcsin )sin(arccos )x x ==221(1)22x x x --=∴=（负舍）；【点睛】本题考查解简单反三角函数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．cos(sin )cos sin(cos )θθθ>>【分析】利用三角函数的正弦线知，当0x >时，sin x x <，结合余弦函数的单调性，即可得到答案．【详解】因为sin x x <，所以02πθ<<，sin θθ<，所以cos(sin )cos θθ>，令cos x θ=，所以cos sin(cos )θθ>，故答案为：cos(sin )cos sin(cos )θθθ>>.【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数值的大小，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意常见不等式“0x >时，sin x x <”的运用．8．3(,][1,)2-∞-⋃+∞【分析】 有最大值为，即在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最高点，根据w 正负分情况讨论即可。
2014-2015学年上海市华东师大二附中高一(下)期中数学试卷
2014-2015学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共2小题，共8.0分）1.若且，则的终边所在的象限为第______ 象限．【答案】二【解析】解：，，的终边所在的象限为第二象限．故答案为：二．利用三角函数值的符号，直接判断角所在象限即可．本题考查三角函数值的符号，角所在象限，是基础题．2.一个扇形的面积是，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为______ ．【答案】2【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，，面积所以解得：，，所以扇形的圆心角的弧度数是．故答案为：2．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系，属于基础题．二、解答题（本大题共1小题，共4.0分）3.化简：．【答案】解：【解析】由诱导公式和两角和与差的正弦函数公式展开即可化简求值．本题主要考察了诱导公式和两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．三、填空题（本大题共7小题，共28.0分）4.若角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与射线重合，则______ ．【答案】【解析】解：角终边与射线重合，取点，，则，，，，，，故答案为：利用三角函数的定义取点，，进行求解即可．本题主要考查三角函数求值，利用三角函数的定义是解决本题的关键．5.函数的值域为______ ．【答案】，【解析】解：，，，故，当且仅当时“”成立，而，，故，故函数的值域是，，故答案为：，．根据x的范围，求出的范围，根据基本不等式的性质求出函数的值域即可．本题考查了求函数的值域问题，考查正切函数的性质以及不等式的性质，是一道中档题．6.若，，则适合的角的集合是______ ．【答案】【解析】解：，适合的角满足，，，角的集合是．故答案为：．适合的角满足即可．本题考查了三角函数的化简，及三角函数的取值情况，属于基础题．7.已知的外接圆半径为R，且其中，是角，的对边，那么的大小为______ ．【答案】【解析】解：的外接圆半径为R，且，，故答案为：．先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得到结论．本题重点考查正弦定理的运用，考查三角式的恒等变形，属于基础题．8.定义运算例如，，则函数在区间，上的单调递增区间为______ ．【答案】，，，，，【解析】解：函数，，，，，，故由正、余弦函数的图象可知，函数在区间，上的单调递增区间为，，，，，故答案为：，，，，，先根据题意确定函数的解析式，再由正余弦函数的图象可得答案9.若满足条件，的有且只有两个，则边c所有可能的值域构成的集合是______ 用区间表示．【答案】，【解析】解：根据题意，在中，，，则有，则，若符合题意的有且只有两个，则有，故有，即c的取值范围为，；故答案为：，．根据题意，由正弦定理可得，变形可得，结合题意，符合题意的有且只有两个，可得的范围，即可得c的取值范围，即可得答案．此题考查正弦定理的应用，涉及正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．10.已知函数当，，，时，用x和n表示的______ ．【答案】【解析】解：，，则，，，，，，，故答案为．，，则，，，利用，，可得，即可得出结论．本题考查函数的解析式，考查学生的计算能力，属于中档题．四、选择题（本大题共4小题，共16.0分）11.下列函数中，最小正周期为的奇函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，其最小正周期为，不符合题意；对于B、，其最小正周期为，且为奇函数，符合题意；对于C、，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、，其最小正周期为，不符合题意；本题考查三角函数周期的计算，涉及函数奇偶性的判定，关键是正确化简原函数的解析式．12.中，如果，则为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 锐角或直角三角形【答案】A【解析】解：依题意可知，，，为钝角故选：A利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得进而判断出，进而断定C为钝角．本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．13.计算得A. B. C. D.【答案】A【解析】解：．故选：A．利用诱导公式化简所求，进而计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．14.已知点，，，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：；；；．其中正确不等式的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：由于表示直线OA的斜率，表示直线OB的斜率，A在第三象限时，与原点连线斜率为正，B在第四象限时，与原点所连直线斜率为负，故，不一定成立．由于函数的图象在，上是下凹型的，而表示线段AB 中点的纵坐标，故有；成立．由题意可得，而函数在，上是增函数，故有成立，故不正确．故正确．故选：B．对于根据斜率公式判断即可，对于根据函数的单调性判断即可，对于根据正弦函数的图象和性质判断即可本题主要正弦函数的单调性，线段的中点公式以及直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．五、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，求的值；若，且，求的面积．【答案】解：由正弦定理，得即由余弦定理，，再由，，得【解析】通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得，进而求得．通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得的面积．本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式属基础题．16.设，，且，，求．【答案】解：，，，．，．．．【解析】，依上述角之间的关系便可求之．本题主要考查了余弦函数两角和公式的运用在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系其中变角是常见的三角变换．17.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知，m，于A处测得水深m，于B处测得水深m，于C处测得水深m，求的余弦值．【答案】解：如图作交BE于N，交CF于M．，，．在中，由余弦定理的变形公式，得．【解析】先利用勾股定理分别求得，和EF，进而利用余弦定理求得的值．本题主要考查了解三角形问题的实际应用综合考查了三角形问题中勾股定理，余弦定理的灵活运用．18.在半径为1，圆心角为的扇形中，求内接矩形面积的最大值．【答案】解：图一，设，则．在中，，，矩形面积．故图一矩形面积的最大值为．图二可拆分成两个，图一角是，图二拆分后角是，故根据图一得出的结论，可得矩形面积的最大值为，而图二时由两个这样的图形组成，两个则为．故图二矩形面积的最大值为．【解析】将图二可拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论，图一角是，图二拆分后角是，故矩形面积的最大值为，由此可得结论．本题考查扇形内接矩形面积问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是发现两个图之间的联系，利用已有的结论进行解题，是中档题．19.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在，的草图．【答案】解：的定义域为R；分，为偶函数；分，当，时，，当，时，单调递减；当，时，，单调递增；又是周期为的偶函数，在，上单调递增，在，上单调递减；分当，时，，；当，时，，．的值域为，；分由以上性质可得：在，上的图象如图所示：分【解析】本题研究的顺序为：先研究定义域、奇偶性、周期性，再研究函数的单调性、值域，最后画出图形．本题考查二倍角公式的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，以及的图象及性质．。
华二附中高一下期中2016.4
华师大二附中高一数学期中试卷2016.04一. 填空题1. 求值arctan(cot)3π=2. 函数()f x =的定义域是3. 若tan 3θ=-，则sin (sin 2cos )θθθ-=4. 若(0,2)x π∈sin cos x x =-成立的x 的取值集合是5. 若arcsin arccos 6x x π-=，则x =6. 函数cos1()log (sin )f x x =的单调递增区间是7. 若02πθ<<，则cos θ、cos(sin )θ、sin(cos )θ的大小顺序为8. 若关于x 的函数sin y x ω=在[,]32ππ-上的最大值为1，则ω的取值范围是 9. 已知,[,]44x y ππ∈-，a R ∈，并且有方程组33sin 2040.5sin 20x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩成立，则 cos(2)x y +=10. 设函数sin 2sin ()1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是 ① 定义域是{|,}2x x k k Z ππ≠+∈；② 值域是R ；③ 最小正周期是π；④ ()f x 是奇函数；⑤ ()f x 在定义域上单调递增；二. 选择题11. 为了得到3sin(2)4y x π=+的图像，只需将3cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移4π B. 向右平移4π C. 向左平移8π D. 向右平移8π 12. ,(,)2παβπ∈，且tan cot αβ<，则必有（ ）A. αβ<B. αβ>C.32παβ+< D. 32παβ+> 13. 下列函数中以π为周期，在(0,)2π上递减的是（ ） A. tan (cot1)x y = B. |sin |y x = C. cos 2y x =- D. tan ||y x =-14. 下列命题中错误的是（ ）A. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(cos )cos 2f y y =成立B. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(sin )sin 2f y y =成立C. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(cos )cos3f y y =成立D. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(sin )sin 3f y y =成立三. 解答题15. 已知,(0,)αβπ∈，7sin(5)cos()2παπβ-=+))απβ-=+， 求α、β的值；16. 若关于x 的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有两个不同的实数根α、β，求实数a 的取值范围及相应αβ+的值；17. 已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++； （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域；18. 用a 、b 、c 分别表示ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的边长，R 表示ABC ∆的外接圆半径；（1）若2R =，2a =，45B ︒=，求AB 的长；（2）在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定的三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c ；微信公众号:上海试卷参考答案一. 填空题1.6π 2. {|2,}x x k k Z π=∈ 3. 32 4. 5[,]44ππ 5. 2 6. 3[2,2]2k k ππππ--()k Z ∈ 7. cos(sin )cos sin(cos )θθθ>> 8. 3(,][1,)2-∞-+∞U 9. 1 10. ②④二. 选择题11. D 12. C 13. A 14. B三. 解答题 15. 4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=；16. (2,(2)a ∈-U ；当(2,a ∈-，3παβ+=；当(2)a ∈，73παβ+=；17.（1）2142t y t-=+，[t ∈；（2）；18.（1（2）略；（3）① 2a R b >≥或2a b R ≥≥时，不存在；② 当2a R =且2b R <时，存在一个，c =③ 当a b ==，存在一个，c a =；④ 当2b a R <<，存在两个，2c R =；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1.求值arctan (cot^)= _______________________ .o2.函数f (x) __________________________ -:的定义域是.3.若tan 9= - 3,贝U sin 0 (sin B— 2cos 0) = _________________ .4.若x€( 0, 2n),则使-^1-^Fin2x=sinx - cosx成立的x的取值范围是 ________________________________IT5.若arcsinx —arccosx=^—，贝y x= .66._________________________________________________ 函数f (x) =logcosi (sinx)的单调递增区间是 _____________________________________________________________________ .7T7.若0v 0< —，贝U cos0, cos ( sin0), sin (cos 0)的大小顺序为_____________________________ .8若关于x的函数y=sin ax在［-..,..］上的最大值为1，贝U 3的取值范围是_______________________________兀\ x3+sins - 2a=0...--二匕且| ，则cos (x+2y)9.已知-■v L4 % +^sin2y+a=0亡：门1丿弋* 口inF10 .设函数f （x） = ■，关于f （x）的性质，下列说法正确的是____________________1+cosZs 一cosxn①定义域是{x| XM k n+ , k € Z};②值域是R;③最小正周期是n;④f （x）是奇函数；⑤f （x）在定义域上单调递增.二、选择题（4*4=16分）n11.为了得到y=3sin （2x+ .）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）n , n , n nA .向左平移一厂B .向右平移丁C .向右平移^D .向左平移—7T12.a, B€（迈-,n）,且tan a< cot 3,则必有（）" , 一一3兀- -3兀A . a< 3B. a> 3 C. a+ 3< D . a+ 3>IT13.下列函数中以n为周期，在（0,——）上单调递减的是（）A . y= （cot1）tanx B. y=| sinx| C. y= - cos2x D. y= - tan|x|14.下列命题中错误的是（）A .存在定义在［-1, 1］上的函数f （x）使得对任意实数y有等式f （cosy）=cos2y成立B .存在定义在［-1, 1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( siny ) =sin2y 成立C .存在定义在［-1，1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( cosy )=cos3y 成立D .存在定义在［-1,1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( siny ) =sin3y 成立三、解答题(8+10+12+14=44 分)求a, 3的值.16.若关于x 的方程sinx+J^cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根 a, 3,求实数a 的取值范围及相应的 a+ 3的值.(1) 设变量t=sin 0+cos 0,试用t 表示y=f (t )，并写出t 的范围;(2) 求函数y=f (t )的值域.18•用a , b , c 分别表示厶ABC 的三个内角A , B , C 所对边的边长，R 表示△ ABC 的外接圆 半径.(1) R=2, a=2, B=45 ° 求 AB 的长；2 2 2(2) 在厶ABC 中，若/ C 是钝角，求证：a 2+b 2v 4R 2；(3) 给定三个正实数 a , b , R ,其中bw a ,问a , b , R 满足怎样的关系时，以 a , b 为边长,R 为外接圆半径的厶ABC 不存在，存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在厶 ABC 存在的情况下，用 a , b , R 表示c .15.已知a,(0, n),并且 sin (5 n- a) ^^2 cos (石 n+ B) , cos (- a) = - ^2 cos ( n+ 3 ),17.已知函数si 卫。
8S 日2015-2016学年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析、填空题(4*10=40分)z n 、 arctan (cot ——)=3反三角函数的运用.【解答】TT故答案为：2.函数 f (x ) =pGWX — 1 的定义域是{x| x=2k n k € z}【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式的性质得到 cosx=1，解出即可. 【解答】解：由题意得：cosx - 1 > 0, cosx > 1,... cosx=1,/• x=2k n, k € Z,故答案为：{x| x=2k n, k € z}.3.若 tan e= — 3,贝V sin 0 (sin B — 2cos 0) =_—【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值. 【解答】 解:T tan 0= — 3,. sin 0 ( sin 0— 2cos 0)si. J B 一 占皿 & 匚口日 ° tan? B _ 2tan 89+6 j=—f=" •；=1="故答案为：..【考点】三角函数的化简求值.【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx >cosx ，再由已知i .求值【考点】【分析】 利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得 TTarctan (cot ——)的值.34.若x €( 0, 2n),则使 .-■■: : .>'=si nx — cosx 成立的x 的取值范围是EH]& 兀解：arctan (cot . ) =arctan ( 0x的范围求得x的具体范围.【解答】解:•.］…二【二•= ："二二--二二一门一：：：匚匸：=1 ; ■■ ■ :' =si nx _cosx ,.•. sinx>cosx, 又 x€( 0, 2 n), xe 「」］■故答案为：€ ［二.二］.44【考点】反三角函数的运用.由题意可得 arcsinx 与 arccosx= 均为锐角，x > 0,求得 cos (arcsinx — arccosx ) 的6兀TT JT解：arcsinx €( , —), arccosx €( 0, n), arcsinx — arccosx=——,22 6arcsinx 与 arccosx 均为锐角， x > 0.n 又 cos (arcsinx — arccosx ) =cos =^^6 2即 cos (arcsinx ) ?cos (arccosx ) +sin (arcsinx ) sin ( arccosx )=—7?x+x? —7厂, .i _ J'?x =4 x 2 (1 — x 2) =—^ x 2=「，或 x 2=—,.x=¥,或 x=..经检验,x =[不满足条件,故舍去. 故答案为:* .6.函数 f (x ) =log cosi (sinx )的单调递增区间是[ ■ .t ) ( k € Z ) .【考点】复合函数的单调性.【分析】由0vcosiv 1，得外函数y=log cosi t 在定义域内单调递减，再求出内函数 t=sinx 的减 区间，取使t 大于0的部分得答案. 【解答】解：令t=sinx , ■/ 0v cos1 v 1,•••外函数y =log cos1t 在定义域内单调递减， 又 sinx > 0, 八 (k € Z )时，内函数t=sinx 大于0且单调递减,【分析】 值，可得 x 的值.【解答】•••当 x € ［5.若 arcsinx — arccosx=兀7•••函数 f (x ) =log cosi ( sinx )的单调递增区间是[一- -二 )(k € Z ),•••当 3> 0 时，由 3? # , 3# 1 ,2 2JT 1T3当 3V 0 时，由 3? (- — ) # —，求得 3W-— 故答案为：｛ 3 3# 1或3W-弓｝.因为f (u )在区间［一?. 一一「上是单调增函数，并且是奇函数,• f (x ) =-f (2y ) =f (- 2y ).• . x= — 2y ,即 x+2y=0 .故答案为:[-7-工 F ) (k € Z ).7.若 0V 7T0v 「-,贝U cos 0, cos ( sin0), sin (cos 0) 的大小顺序为 cos (sin 0) > cos 0>sin(cos 0);【考点】【解答】 三角函数线.观察知道，利用 x >0时，sinxvx ,结合余弦函数的单调性解答.JI解：因为 sinx v x ，所以 Ov 0V p-, sin 0v 0,所以 cos (sin 0) > cos 0,令 x=cos 0,所以 cos 0> sin (cos 0),故答案为： cos (sin 0) > cos 0> sin (cos 0)；& 若关于x 的函数y=sin 3X 在［-=,——］上的最大值为1，则 3的取值范围是 { 3| 3#或【考点】【分【解答】 正弦函数的图象.利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得解：•••关于x 的函数y=sin 3在［-一二-，〒-］上的最大值为3的取值范围.9.已知 盂,y€令］,&€尺，且,x 3+sinx - 2a=04y J +ysin2y+apO则cos (x+2y ) =_1【考点】【分析】 奇三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数. 设f (u ) =u 3+sinu .根据题设等式可知求得f解：设 由①式得f (x ) f(2y ) =-2a .f (x ) =2a , f (2y ) =-2a , (x ) = - f ( 2y ) =f (- 2y ).进而推断出x+2y=0 .进而求得 f ( u ) =u 3+sinu .=2a ,由②式得 进而根据函数的cos (x+2y ) =1.••• cos ( x+2y ) =1 .故答案为：1.u i rf y = u i riy10.设函数f (x ) = •^ ，关于f(x )的性质，下列说法正确的是②④I+COFZX - CQSX对于⑤，由正切函数的图象可知函数在整个定义域上不单调, 故答案为：②④ 二、选择题(4*4=16分)n11.为了得到y=3sin (2x+——)的图象，只需将 y=3cos2x 的图象( )A .向左平移——B .向右平移——C .向右平移一D .向左平移一【考点】函数y=Asin(3X+$)的图象变换.JT、 71【分析】把函数y=3sin (2x+ )变形为y=3sin[2 (x+ ..)]即可得到答案.4H【解答】解：••• y=3sin (2x+ ) =3sin[ 2 (x+ ..)].•要得到y=3sin (2x+)的图象，只需将 y=3cos2x 的图象向左平移 一丄个单位.4o故选：D .①定义域是｛x| XM k n+ k € Z};【考点】 【分三角函数的化简求值.利用二倍角公式化简函数解析式，根据正切函数的图象和性质逐一分析各个选项即【解答】” r sin2x - sinx sinx(2cosx - 1)i解: f (X ) = —-= 「 .=tanX (cosX 「)，k € Z ｝，故错误;对于②，函数f (x )的值域是R ，故正确; 对于③，由于f (x+n)" =履肚［"二汁二=ta nx (其中 l+cos2 Cx+^) 一兀)cosx (2cosx+l^cosxM -*),故错误；对于④，由于f (- x ) 确；sint - 2x) - sint - x) 1+co 吕(—2x) — cos ( 一 x) sins(2COSK - 1)cosx(2cosx — 1)=-f (x ),故正有无数个单调增区间，故错误. ② 值域是R ; ③ 最小正周期是 n; ④ f (x )是奇函数；⑤ f (x )在定义域上单调递增. 可得解. 对于①，函数f (X )的定义域是｛X|XM 2k n x M k n+兀X M 2k n5兀TT3€ (可，n)，且 tan aV cot 3,则必有(（n,西），从而得出结论.213.下列函数中以 n 为周期，在（0,——）上单调递减的是（）tanxA . y= （cotl ）B . y=| sinx|C . y= — cos2xD . y= — tan|x|【考点】正弦函数的图象.【分析】利用三角函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【解答】解：由于y=tanx 的周期为n, 0v cotl v 1,故y = （COt 1 ） tanx 的周期为n ,且在（0,）上单调递减，故 A 满足条件.IT由于y=|s 也|在（0, ^）上单调递增，故排除 B .由于在（0,詈）上，2x €（ 0, n ）,函数y= — cos2x 在（0，善）上单调递增，故排除 C .UU由于函数y= — tan|x|不是周期函数，故排除 D , 故选：A .【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结 论. 【解答】解：令x=cosy € ［ — 1, 1］, 则对任意实数y ,有等式f （cosy ） =cos2y 成立，即f （x ）=2x 2— 1成立，故A 成立.33对任意实数y 有等式f （cosy ） =cos3y=4cos y — 3cosy 成立，即f （x ） =4x — 3x 成立，故B 正 确.12. a,【考点】【分析】 3兀3 B . a> 3 C. a+ 3 V正切函数的图象. 由题意可得a+ 3^（ n, D . a+3>2 n),再根据 tan ( a+ 3)tanCl +tan f -“—乂>0，可得 a+3C【解答】解：a, 3€（牛，n ）, tanO- +tanP:tan(a+3) — 故选：C .且 tan av cot 3= ------ — V 0 ,二 tan a? n 3> 1, a+3€(n,t an p3 jr> 0, — a+ 3^( n,------------22 n ),),14.下列命题中错误的是（ A .存在定义在 B .存在定义在 C .存在定义在 D .存在定义在【考点】 [-1, [—1, [-1, [—1,）1］上的函数f 1］上的函数f 1］上的函数f 1］上的函数f (x) (x) (X ) (X) 使得对任意实数 使得对任意实数 使得对任意实数 使得对任意实数 y 有等式f ( cosy ) =cos2y 成立 y有等式 f ( siny ) =sin2y 成立 y 有等式f ( cosy ) =cos3y 成立 y 有等式 f ( siny ) =sin3y 成立二倍角的余弦；二倍角的正弦.令 t=siny € ［ - 1, 1］，则对任意实数 y ，有等式 f (siny ) =sin2y=2sinycosy=2t ? (土 行厂］-_ 成立，即f (x ) =2? (土寸j 一疔')成立，故B 错误.则对任意实数y ,有等式f (sin3y )=sin3y=3siny - 4sin 3y 成立，即f ( t )=3t - 4t 3成立，故D 成立， 故选：B .求a, ®的值.【考点】三角函数的化简求值. 可得sin 沪近sin ® 忑 cos 沪占cos ®,将两式平方后【分析】利用诱导公式化简已知利用同C0£a = -^厂，结合角的范围即可得解 a, ®的值.【解答】解: T 由sin( 5 n- a) =tr cos (±n+B)，可得：sin a 二sin ®两边平方可得: ① _ _ _ _由占COS (- a) = -©COS(n+B )，可得：灵 COS «=£C OSB ,两边平方可得：3cos 2 a=2cos 2 ②2 2 2 2.•.① + ②可得：sin a+3cos a=2sin ®+2cos ®=2,.22又 T Sin a+cos a=1 ,3兀57£~T16.若关于x 的方程sinx W3cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根 a, ®求实数a 的取值范围及相应的 a+ ®的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用.It【分析】 由 sinx+ "cosx+a=0, 得 sinx+ "cosx= - a , 画出函数 y=sinx+ L COSX =^L ：-.J的图象，数形结合得答案._ _【解答】 解：由 sinx+ "cosx+a=0, 得 sinx+ :_cosx= - a ,三、解答题( 8+10+12+14=44 分) 15.已知a,3€ (0, n)，并且 sin( 5n- a) =7cos (£n+B ),忑 cos (- a)=-忑 cos (n+3 ), (V2)cos^—或”cos P =—角三角函数基本关系式解得 sin 2 a=2si n 2^,• •解得：cos 2 a=—，即:COS 口厂或,V3COS p =—cos at =-—2cos P = -u-•••解•' a , 3€( 0, n ),-12令 y=sinx+ 二cosx=：；：- ：“ 一作出函数：＜■的图象如图： 若关于x 的方程sinX+讥cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根a, 3,则—2 J 「，或 「 匸「丄，即一 J 丁： .一 . ' 1或.'.-二当 a € (— 2,-二)时，3.汀-；当 a € (- ", 2)时，I ” 二_¥17. 已知函数(1)设变量t=sin 0+cos 0,试用t 表示y=f (t ),并写出t 的范围;(2)求函数y=f (t )的值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用.数基本关系式可求sin ecos 0=「八，进而即可用t 表示y=f (t ).23(t+2) + .厂-4］，利用基本不等式即可求其最小值，进而求得最大值即可得解函数y=f (t )的值域. 【解答】 解：(1)T t=sin 0+cos0,••• x€( 0, 2 n), ••• x+兰 €n TH ) '，')，【分析】 (1)由 t=y sin (t+一 )利用正弦函数的性质可求 t 的范围，平方后利用同角三角函4+21 • t=s in 0+cos 0= m s in ( 0+• t 2=si n 2 2 Ocos 0+2sin ecos e=1 +2sin 0,t 2• sin 0cos 0=- (2)由 y=(2) v y= =— - (「 =厶[(t+2) + 4],4+2t 2 t+2 2 t+2t € [ -「，— "] . _••• t+2€ [2 -二 2+ 二].•••( t+2) + .厂二； 「=2 二，当且仅当(t+2) = | 一，即 t+2=二时取等号.••• t+2€ [2 -二 2+ =].•••函数的最小值为 [2 .二-4]=:二 当 t=—[时，f (—二)=^^t =，时，f ( )= ---- :—-•函数的最大值为.4故函数y=f (t )的值域为：[二；一-].18. 用a , b , c 分别表示厶ABC 的三个内角A , B , C 所对边的边长，R 表示△ ABC 的外接圆 半径.(1) R=2, a=2, B=45 ° 求 AB 的长；(2) 在厶ABC 中，若/ C 是钝角，求证：a 2+b 2v 4R 2；(3) 给定三个正实数 a , b , R ,其中bw a ,问a , b , R 满足怎样的关系时，以 a , b 为边长, R 为外接圆半径的厶ABC 不存在，存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在厶ABC 存在的情况下，用 a , b , R 表示c .【考点】正弦定理.【分析】(1)由已知及正弦定理可 sinA , b ,利用大边对大角可得 A 为锐角，利用同角三角函 数基本关系式可求 cosA ，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，利用正弦定理即可得解 AB 的值.(2) 利用余弦定理推出 a 2+b 2< c 2,利用正弦定理推出 a 2+b 2< 4R 2.(3)分类讨论判断三角形的形状与两边 a , b 的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即 可.•/ R=2, a=2, B=45 ° 2 二 b 二 C二 1皿 ■ / QinZ 解得：sinA=，一，b=2 ：,VA <B ，可得 cosA= _ _ _ ： ■ ! ,=^^ 1V2 V3 V2 V2+V6 •. sinC=sin (A+B ) =sinAcosB +cosAsinB==亠 , 2 2 2 2 4• y =：-； I I I T , i i.-挡 ・ ------- y= ------2+t4+21 【解答】解：(1) •由正弦定理可得: 又••• a < b ,可得: t € [—=刁.AB=C=4S inC=4 x l?=. / :.2 2 2证明：（2）由余弦定理得cosC= ：_ -2ab••• C为钝角，可得cosCv 0,.a2+b2v C2又•••由正弦定理得c=2RsinC v 2R,••• C2v 4R2,.a2+b2v 4R2.解：（3）①a> 2R> b或a> b > 2R时，不存在；② 当a=2R且bv2R时，A=90 °存在一个，c=J討亠严；②当a=bv 2R，/ A= / B且都是锐角sinA=sinB= £时，△ABC存在且只有一个, c=2RsinC= 一寸订.：③当bv av 2R，存在两个,討挿-讽土詔新- /~2R-2016年9月2日。