上海市华师大二附中高一下学期期中数学试卷
2016-2017年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。
上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．向量的单位向量是______. ()3,4a =【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.aa a【详解】因为，则，()3,4a = 5a == 所以，向量的单位向量为. a()1343,4,555a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：.34,55⎛⎫⎪⎝⎭2．若，，当实数k ＝______时，.()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥ 【答案】4或0【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．k 【详解】因为，，且，()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥所以，解得或， 240k k -+=0k =4k =故答案为：4或0．3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin 2y x =【答案】π2【分析】求出函数的对称轴即可求解.【详解】由已知条件得，Z ，即，Z ， π2π+2x k =k ∈ππ24k x =+k ∈因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 所以分别令，得，， 0k =1π4x =3π4x =即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ442-=故答案为：. π24．已知，则_________ 1sin cos 2αα+=sin 2α=【答案】34-【分析】原式两边平方后，即可计算的值.sin 2α【详解】因为，两边平方后， 1sin cos 2αα+=， ()2221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 24ααααααα+=++=+=所以. 3sin 24α=-故答案为：34-5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 45【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. αβsin 2απcos cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设顶角为，底角为，则，， αβ2παβ+=4cos 5α=又， 2πcos 12sin,0,222ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭sin2α∴===. πcos cos sin 22ααβ-⎛⎫∴===⎪⎝⎭6．方程在区间上的解集为______.sin cos 2x x =[]0,π【答案】π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， sin cos 2x x =2sin 12sin x x =-即，解得或， 22sin sin 10x x +-=sin 1x =-1sin 2x =因为，所以或， []0,πx ∈π6x =5π6所以方程在区间上的解集为,sin cos 2x x =[]0,ππ5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：.π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对()sin 2y x ϕ=+4π4,03π⎛⎫⎪⎝⎭称，那么的最小值为__________．ϕ【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数图象关于点成中心对称，则：， 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈整理可得：， ()136k k Z πϕπ=-∈则当时，有最小值.2k =ϕ6π【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数的最小正周期为____________．sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭【答案】2π【详解】解析：当时，，=2,x k k Z π∈sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭当时，，其中且，2,x k k Z π≠∈sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭2x k ππ≠+2x k ππ≠+画出图象可得函数周期为．2π故答案为：.2π9．已知，都是定义在R 上的函数，若，其中m ，n 实数，则称()f x ()g x ()()()h x mf x ng x =+为，在R 上的生成函数.已知，，，，则()h x ()f x ()g x 1m =1n =-()sin f x x =()cos g x x =，在上的生成函数的单调增区间为______.()f x ()g x R ()h x【答案】,Zππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间()h x 即可.【详解】由题意可知，()sin cos x x h x =-则， ()()()()sin cos πsin πcos πh x x x x x h x +=+=-=-+所以是函数的周期，π()h x 又∵， ()()()()sin cos sin cos x x x h h x x x =-----==∴函数为偶函数， ()h x当时，，π02x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭此时函数的单调递增区间为，Z , πππ2π2π242k x k -≤-≤+k ∈解得，Z , π3π2π2π44k x k -≤≤+k ∈当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，0k =π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，ππ2x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭此时函数的单调递减区间为，Z ， ππ3π2π+2π242k x k ≤+≤+k ∈解得，Z , π5π2π+2π44k x k ≤≤+k ∈当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，0k =π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上所述，函数的单调递增区间为,Z ,ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈故答案为：,Z .ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈10．已知向量的夹角为锐角，且满足、,a b a =b = ，都有成立，则的最小值为_______.{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=||1x y +≤a b ⋅v v 【答案】815【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得,b aθ|1,0xa yb xy += ，由得出()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤，令，得出，求不()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭t cos θ=()()222116+41541t t -≥-等式的解集可得结果.详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴,a bθ1xa yb += 0xy >22641664cos 1151515x y xy θ++=， ()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=即；又，由柯西不等式得()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤ ； ()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭令，则，化简得， cos t θ=()()222116+41541t t -≥-26460110t t -+≤解得，所以，即的最小值为，故答案为．111416t ≤≤328cos 1515a b θ⋅=≥ a b ⋅ 815815点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.二、单选题11．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） ABC A sin cos A B =ABC A A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必sin cos A B =2A B π+=2A B π=+2A π=sin cos A B ≠要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；sin cos A B =2A B π+=2A B π=+ABC A 若，则，所以是直角三角形不能推出;2A π=sin cos A B ≠ABC A sin cos A B =所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. sin cos A B =ABC A 故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.12．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． A ．98πB ．π C ．π D ．100π19721992【答案】B【详解】试题分析：因为，使y=sinωx （ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 所以，49×T≤1，即≤1， 1419724πω⨯所以，ω≥π，故选B ． 1972【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定应满足的条件．2πω13．已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列关于说法正确的是()[]πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]x ()f x （ ）①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④()f x []1,1-12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 4T =与的图像有且仅有两个公共点. ()f x 2y x =A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当时，，； 10x -≤<[]1x =-()1f x =-当时，，；当时，，； 01x ≤<[]0x =()0f x =12x ≤<[]1x =()1f x =当时，，；当时，，；…；23x ≤<[]2x =()0f x =34x ≤<[]3x =()1f x =-则，()[]π4sin 42f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭[][]()πππsin 4sin 222x x f x ⎛⎫⎛⎫+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭所以为周期函数，且最小正周期，即③正确； ()f x 4T =由此可知的值域为，即①错误；()f x {}1,0,1-若为奇函数，则，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，，12x =()110022f f ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭()111122f f ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；12x =1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在一个周期内作出的图象，如下图所示，()f x由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点, ()f x 2y x =O A 即④正确； 故选：C.14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为，，，则四边形ABCD 的周长为120A ∠=︒45B ∠=︒AB AD =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接AC ，BD ．利用正弦定理求出，6BD =AC =AB AD ==定理求出，即得解. BC CD +=【详解】连接AC ，BD ．由，及正弦定理，得，120A ∠=︒45B ∠=︒sin sin BD ACBAD ABC==∠∠解得，．6BD =AC =在中，，，，ABD △120BAD ∠=︒AB AD =6BD =所以AB AD ==因为四边形ABCD 内接于半径为 它的对角互补，所以， AC BD AB DC AD BC ⋅=⋅+⋅所以,所以， )BC CD =+BC CD +=所以四边形ABCD 的周长为． +故选：A ．三、解答题15．已知函数.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调增区间；()f x (2)求函数在的值域.()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】(1)7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2) ⎡-⎣【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 2π23x +【详解】（1）由可得， π2ππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 7ππ2π22π6,6k x k k -+≤≤-+∈Z 所以， 7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 所以函数单调递增区间为：；()f x 7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）令，由可得， 2π23t x =+2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2π,2π3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又因为函数在单调递减，在单调递增，sin y t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭所以在时有最小值-1，又， sin y t =3π2t =2πsin 3=sin 2π0=所以，所以函数在上的值域为． sin [t ∈-()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣16．已知函数，若对任意的实数x 都成立．()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭（1）求的最小值；ω（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，ω()()1(0)g x f kx k =+>π0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦方程恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． ()g xm =【答案】（1）；（2）． 23ω=[1m ∈+【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．4f π⎛⎫⎪⎝⎭ω（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形()g x ()y g x =y m =结合求解．【详解】（1）若对任意的实数x 都成立，则为函数的最大值，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭则，得，即， 2,46k k ππωπ-=∈Z 2,46k k ππωπ=+∈Z 28,3k k ω=+∈Z ∵，∴当时，取得最小值，最小值为； 0ω>0k =ω23ω=（2）在（1）中值的条件下，则，ω23ω=2()2cos 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2()()12cos 1,(0)36g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭∵的最小正周期为，∴，即，则，()g x π223k ππ=3k =()2cos 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象如图：()03y g x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭y m =，则，所以，则，03x π≤≤2662x πππ-≤-≤0cos 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭()13g x ≤≤且，()02cos 116g π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由图象知：要使恰有两个不同的解，则．()g x m =[1m ∈+【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．如图是函数图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两()sin(),(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点， (1)若点M 的坐标为（-1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标(2)若点M 的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式m m 2344MC MD π⋅=- ()f x【答案】(1) (2) (12),(30),(52)C N D -，，，π()2sin(+)4f x x =【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N ，D 点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D 坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初m 始角，即得三角函数解析式【详解】(1)设点C (a ,b )，由中点坐标公式得由中点坐标公式可得解得a =1，b =2，∴点C (1,2)，∴点N (3,0),点D (5,−2)；(2)同样由E (0,1)是线段MC 的中点，得A =2，由M (−m ,0),得C (m ,2),D (5m ,−2)；∴，2124MC MD m ⋅=- 又， 2344MC MD π⋅=-解得m =； 4π由，解得ω=1， 282T m ππω===∴φ=； 4π∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(x +).4π【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.18．已知常数，定义在R 上的函数.0a ≠()cos 2sin f x x a x =+(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；4a =-()y f x =(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值.n ∈N 1n ≥()y f x =()0,πn 【答案】(1)最大值为，； 3π2π,2x k k =-∈Z (2)，.1a =-1347n =【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的()f x x 值；（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个sin y x =y t =数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.【详解】（1）当时，4a =-()cos 24sin f x x x =-212sin 4sin x x =--232(sin 1)x =-+则当时，，此时， sin 1x =-()max 3f x =π2π,2x k k =-∈Z （2），2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+令，，则，sin t x =[1,1]t ∈-2()21f t t at -+=+得，，则方程有两个不相等的实数根，()0f t =2210t at --=280a ∆=+>()0f t =由韦达定理得，即两根异号， 1212t t =-①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题()0,11sin t x =2sin t x =()0,πn 意；②当，，即，， 11t =212t =-12122a t t +=-=-1a =当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =π2x =1sin 2x =-7π6x =11π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]1[1347π,1348π]2所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ()0f x =()0,πn n ∈N ③当，，即，， 11t =-212t =12122a t t +=-=--1a =-当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =-3π2x =1sin 2x =π6x =5π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]2[1347π,1348π]1所以在内恰有2021个根，()0f x =()0,1347π故满足题意，此时，. 1a =-1347n =。
2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷
10.已知△ 中， ，则
【答案】：
二.选择题
11.如果 是第三象限的角，那么 必然不是下列哪个象限的角（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】：B
【解析】：
解：∵α是第二象限角，
∴α∈（2kπ+ ，2kπ+π），k∈Z，
∴ ∈（ kπ+ ， kπ+ ），k∈Z．
∴是第一或二，四象限角．
【解析】：
解：（1）由题可得：
∴
（2）∵
∴
∴bc=6
∵
∴
即BC的取值范围为
（3）∵∠EDF+∠BAC=
∴
又
当且仅当DE=DF时等号成立，此时AD是∠BAC的角平分线。
∴
=
=6
∴
当DE=DF，AB=AC时，
则
∴
【答案】：C
【解析】：
解：将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
14.已知函数 满足 恒成立，则（）
A.函数 一定是奇函数B.函数 一定是奇函数
C.函数 一定是偶函数D.函数 一定是偶函数
【答案】：D
上海市华师大二附中高一数学下学期期中试卷(含解析)
上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△AB C的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=解答：解：由，得sin=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S△ABC=，运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈），判断其为奇函数，可得g （x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：=2+令g（x）=（x∈），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π表示π的奇数倍，（4k±1）π也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在上是减函数，∴f（x）在上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A 为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos （2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈，f（x）=2sin（2x+）在上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈，得2x0+∈．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．专题：综合题．分析：（1）作出图形，结合图形由，能求出．（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）法一：，由此能求出x B﹣y B的最小值．法二：由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解答：解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是2015届高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．。
2014-2015年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷含参考答案
2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．2（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（s inα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为1cm2．【解答】解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：12．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．【解答】解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．=﹣2．【解答】解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．5．（3分）化简：=﹣1．【解答】解：由题意=故答案为﹣16．（3分）若α是第三象限角，且，则=．【解答】解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．【解答】解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．【解答】解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．【解答】解：=2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与【解答】解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k ±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选：A．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选：B．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（co sβ），故选：C．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．【解答】解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x 0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．【解答】解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．【解答】解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．∴．（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x 增大而减小，故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。
上海市华师大二附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题
上海市华师大二附中【最新】高一下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．求值arctan cot 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭_________. 2．函数 ()f x =的定义域是____________.3．若tan 3θ=-，则()sin sin 2cos θθθ-=_____________.4．若()0,2x π∈，sin cos x x =-成立的x 的取值范围是___________. 5．若arcsin arccos 6x x π-=，则x =_________.6．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.7．已知02πθ<<，将cos ,cos(sin ),sin(cos )θθθ从小到大排列___________8．若关于x 的函数sin y x ω=在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ω的取值范围是_________ 9．已知,,44x y a R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦、，且33sin 20,14sin 20.2x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，则cos （x+2y ）的值为____.10．设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.二、单选题11．为了得到3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将3cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向右平移8π D ．向左平移8π12．,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且tan cot αβ<，则必有（ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．32παβ+< D ．32παβ+> 13．下列函数中以π为周期，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A ．()tan cot1x y = B ．sin y x =C ．cos2x y =-D ．tan y x =- 14．下列命题中错误的是（ ）A ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos2f y y =成立;B ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin 2f y y =成立;C ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos3f y y =成立;D ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin3f y y =成立;三、解答题15．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.16．若关于x 的方程sin 0x x a ++=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值.17．已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++. （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域.18．用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一a b R表示c. 个）？在ABC存在的情况下，用,,参考答案1．6π 【解析】【分析】根据反正切函数求解.【详解】arctan(cot )arctan 336ππ== 故答案为：6π 【点睛】本题考查反正切函数，考查基本分析求解能力，属基础题.2．{|2()}x x k k Z π=∈【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解三角方程得结果.【详解】 cos 10cos 1cos 1cos 12()x x x x x k k Z π-≥∴≥≤∴=∴=∈故答案为：{|2()}x x k k Z π=∈【点睛】本题考查函数定义域以及解三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．32【分析】先弦化切，再代入得结果.【详解】()22222sin 2sin cos tan 2tan 963sin sin 2cos sin cos tan 1912θθθθθθθθθθθ--+-====+++ 故答案为：32【点睛】本题考查弦化切，考查基本分析求解能力，属基础题.4．5[,]44ππ【分析】先配方，再解三角不等式，即得结果.【详解】1sin 2sin cos sin cos x x x x -=-=-|sin cos |sin cos sin cos 04x x x x x x x π⎛⎫∴-=-∴-=-≥ ⎪⎝⎭， (0,2)x π∈，7444x πππ∴-<-<，04x ππ∴≤-≤，解得544x ππ≤≤. 故答案为：5[,]44ππ 【点睛】本题考查二倍角正弦公式以及解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.5【分析】 根据反三角函数确定范围，再取正弦化简方程解得结果. 【详解】1arcsin arccos sin(arcsin arccos )62x x x x π-=∴-= 21cos(arcsin )sin(arccos )2x x x -= 因为arcsin arccos 6x x π-=，所以arcsin 0x >所以(0,1]x ∈，cos(arcsin )sin(arccos )x x ==221(1)22x x x --=∴=（负舍）；【点睛】本题考查解简单反三角函数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．cos(sin )cos sin(cos )θθθ>>【分析】利用三角函数的正弦线知，当0x >时，sin x x <，结合余弦函数的单调性，即可得到答案．【详解】因为sin x x <，所以02πθ<<，sin θθ<，所以cos(sin )cos θθ>，令cos x θ=，所以cos sin(cos )θθ>，故答案为：cos(sin )cos sin(cos )θθθ>>.【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数值的大小，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意常见不等式“0x >时，sin x x <”的运用．8．3(,][1,)2-∞-⋃+∞【分析】 有最大值为，即在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最高点，根据w 正负分情况讨论即可。
2014-2015学年上海市华东师大二附中高一(下)期中数学试卷
2014-2015学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共2小题，共8.0分）1.若且，则的终边所在的象限为第______ 象限．【答案】二【解析】解：，，的终边所在的象限为第二象限．故答案为：二．利用三角函数值的符号，直接判断角所在象限即可．本题考查三角函数值的符号，角所在象限，是基础题．2.一个扇形的面积是，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为______ ．【答案】2【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，，面积所以解得：，，所以扇形的圆心角的弧度数是．故答案为：2．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系，属于基础题．二、解答题（本大题共1小题，共4.0分）3.化简：．【答案】解：【解析】由诱导公式和两角和与差的正弦函数公式展开即可化简求值．本题主要考察了诱导公式和两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．三、填空题（本大题共7小题，共28.0分）4.若角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与射线重合，则______ ．【答案】【解析】解：角终边与射线重合，取点，，则，，，，，，故答案为：利用三角函数的定义取点，，进行求解即可．本题主要考查三角函数求值，利用三角函数的定义是解决本题的关键．5.函数的值域为______ ．【答案】，【解析】解：，，，故，当且仅当时“”成立，而，，故，故函数的值域是，，故答案为：，．根据x的范围，求出的范围，根据基本不等式的性质求出函数的值域即可．本题考查了求函数的值域问题，考查正切函数的性质以及不等式的性质，是一道中档题．6.若，，则适合的角的集合是______ ．【答案】【解析】解：，适合的角满足，，，角的集合是．故答案为：．适合的角满足即可．本题考查了三角函数的化简，及三角函数的取值情况，属于基础题．7.已知的外接圆半径为R，且其中，是角，的对边，那么的大小为______ ．【答案】【解析】解：的外接圆半径为R，且，，故答案为：．先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得到结论．本题重点考查正弦定理的运用，考查三角式的恒等变形，属于基础题．8.定义运算例如，，则函数在区间，上的单调递增区间为______ ．【答案】，，，，，【解析】解：函数，，，，，，故由正、余弦函数的图象可知，函数在区间，上的单调递增区间为，，，，，故答案为：，，，，，先根据题意确定函数的解析式，再由正余弦函数的图象可得答案9.若满足条件，的有且只有两个，则边c所有可能的值域构成的集合是______ 用区间表示．【答案】，【解析】解：根据题意，在中，，，则有，则，若符合题意的有且只有两个，则有，故有，即c的取值范围为，；故答案为：，．根据题意，由正弦定理可得，变形可得，结合题意，符合题意的有且只有两个，可得的范围，即可得c的取值范围，即可得答案．此题考查正弦定理的应用，涉及正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．10.已知函数当，，，时，用x和n表示的______ ．【答案】【解析】解：，，则，，，，，，，故答案为．，，则，，，利用，，可得，即可得出结论．本题考查函数的解析式，考查学生的计算能力，属于中档题．四、选择题（本大题共4小题，共16.0分）11.下列函数中，最小正周期为的奇函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，其最小正周期为，不符合题意；对于B、，其最小正周期为，且为奇函数，符合题意；对于C、，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、，其最小正周期为，不符合题意；本题考查三角函数周期的计算，涉及函数奇偶性的判定，关键是正确化简原函数的解析式．12.中，如果，则为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 锐角或直角三角形【答案】A【解析】解：依题意可知，，，为钝角故选：A利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得进而判断出，进而断定C为钝角．本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．13.计算得A. B. C. D.【答案】A【解析】解：．故选：A．利用诱导公式化简所求，进而计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．14.已知点，，，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：；；；．其中正确不等式的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：由于表示直线OA的斜率，表示直线OB的斜率，A在第三象限时，与原点连线斜率为正，B在第四象限时，与原点所连直线斜率为负，故，不一定成立．由于函数的图象在，上是下凹型的，而表示线段AB 中点的纵坐标，故有；成立．由题意可得，而函数在，上是增函数，故有成立，故不正确．故正确．故选：B．对于根据斜率公式判断即可，对于根据函数的单调性判断即可，对于根据正弦函数的图象和性质判断即可本题主要正弦函数的单调性，线段的中点公式以及直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．五、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，求的值；若，且，求的面积．【答案】解：由正弦定理，得即由余弦定理，，再由，，得【解析】通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得，进而求得．通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得的面积．本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式属基础题．16.设，，且，，求．【答案】解：，，，．，．．．【解析】，依上述角之间的关系便可求之．本题主要考查了余弦函数两角和公式的运用在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系其中变角是常见的三角变换．17.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知，m，于A处测得水深m，于B处测得水深m，于C处测得水深m，求的余弦值．【答案】解：如图作交BE于N，交CF于M．，，．在中，由余弦定理的变形公式，得．【解析】先利用勾股定理分别求得，和EF，进而利用余弦定理求得的值．本题主要考查了解三角形问题的实际应用综合考查了三角形问题中勾股定理，余弦定理的灵活运用．18.在半径为1，圆心角为的扇形中，求内接矩形面积的最大值．【答案】解：图一，设，则．在中，，，矩形面积．故图一矩形面积的最大值为．图二可拆分成两个，图一角是，图二拆分后角是，故根据图一得出的结论，可得矩形面积的最大值为，而图二时由两个这样的图形组成，两个则为．故图二矩形面积的最大值为．【解析】将图二可拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论，图一角是，图二拆分后角是，故矩形面积的最大值为，由此可得结论．本题考查扇形内接矩形面积问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是发现两个图之间的联系，利用已有的结论进行解题，是中档题．19.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在，的草图．【答案】解：的定义域为R；分，为偶函数；分，当，时，，当，时，单调递减；当，时，，单调递增；又是周期为的偶函数，在，上单调递增，在，上单调递减；分当，时，，；当，时，，．的值域为，；分由以上性质可得：在，上的图象如图所示：分【解析】本题研究的顺序为：先研究定义域、奇偶性、周期性，再研究函数的单调性、值域，最后画出图形．本题考查二倍角公式的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，以及的图象及性质．。
华二附中高一下期中2016.4
华师大二附中高一数学期中试卷2016.04一. 填空题1. 求值arctan(cot)3π=2. 函数()f x =的定义域是3. 若tan 3θ=-，则sin (sin 2cos )θθθ-=4. 若(0,2)x π∈sin cos x x =-成立的x 的取值集合是5. 若arcsin arccos 6x x π-=，则x =6. 函数cos1()log (sin )f x x =的单调递增区间是7. 若02πθ<<，则cos θ、cos(sin )θ、sin(cos )θ的大小顺序为8. 若关于x 的函数sin y x ω=在[,]32ππ-上的最大值为1，则ω的取值范围是 9. 已知,[,]44x y ππ∈-，a R ∈，并且有方程组33sin 2040.5sin 20x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩成立，则 cos(2)x y +=10. 设函数sin 2sin ()1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是 ① 定义域是{|,}2x x k k Z ππ≠+∈；② 值域是R ；③ 最小正周期是π；④ ()f x 是奇函数；⑤ ()f x 在定义域上单调递增；二. 选择题11. 为了得到3sin(2)4y x π=+的图像，只需将3cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移4π B. 向右平移4π C. 向左平移8π D. 向右平移8π 12. ,(,)2παβπ∈，且tan cot αβ<，则必有（ ）A. αβ<B. αβ>C.32παβ+< D. 32παβ+> 13. 下列函数中以π为周期，在(0,)2π上递减的是（ ） A. tan (cot1)x y = B. |sin |y x = C. cos 2y x =- D. tan ||y x =-14. 下列命题中错误的是（ ）A. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(cos )cos 2f y y =成立B. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(sin )sin 2f y y =成立C. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(cos )cos3f y y =成立D. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(sin )sin 3f y y =成立三. 解答题15. 已知,(0,)αβπ∈，7sin(5)cos()2παπβ-=+))απβ-=+， 求α、β的值；16. 若关于x 的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有两个不同的实数根α、β，求实数a 的取值范围及相应αβ+的值；17. 已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++； （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域；18. 用a 、b 、c 分别表示ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的边长，R 表示ABC ∆的外接圆半径；（1）若2R =，2a =，45B ︒=，求AB 的长；（2）在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定的三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c ；微信公众号:上海试卷参考答案一. 填空题1.6π 2. {|2,}x x k k Z π=∈ 3. 32 4. 5[,]44ππ 5. 2 6. 3[2,2]2k k ππππ--()k Z ∈ 7. cos(sin )cos sin(cos )θθθ>> 8. 3(,][1,)2-∞-+∞U 9. 1 10. ②④二. 选择题11. D 12. C 13. A 14. B三. 解答题 15. 4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=；16. (2,(2)a ∈-U ；当(2,a ∈-，3παβ+=；当(2)a ∈，73παβ+=；17.（1）2142t y t-=+，[t ∈；（2）；18.（1（2）略；（3）① 2a R b >≥或2a b R ≥≥时，不存在；② 当2a R =且2b R <时，存在一个，c =③ 当a b ==，存在一个，c a =；④ 当2b a R <<，存在两个，2c R =；。
上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 - 副本
华东师大二附中2022学年第二学期期中考试卷高一 数学（考试时间：90分钟 卷面满分：100分）一、 填空题（每题4分，共40分）1、向量()3,4a =的单位向量是________.2、若()1,,(4,)a k b k k ==−，当实数k =_______时，a b ⊥.3、函数sin 2y x =的两条对称轴之间距离的最小值为______.4、若1sin cos 2αα+=，则sin 2α=_______.5、在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是45，则底角的余弦值是_________. 6、方程sin cos 2x x =在区间[]0,π上的解集为______.7、将函数()sin 2y x ϕ=+的图像向左平移4π个单位后得到函数图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为__________. 8、函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________.9、已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若()()()h x mf x ng x =+，其中m ，n 实数，则称()h x 为()f x ，()g x 在R 上的生成函数.已知11m n ==−，，()|sin |f x x =，()|cos |g x x =，则()f x ，()g x 在R 上的生成函数()h x 的单调增区间为________.10、已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||15b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、 选择题（每题只有一个正确答案，每题4分，共16分）11、ABC ∆中，“B A cos sin =”是“ABC ∆是直角三角形”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 12、为了使函数sin (0)y wx w =>在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则w 的最小值为( )A 、98πB 、1972πC 、1992π D 、100π13、已知函数()[]sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是（ ）①()f x 的值域为[-1,1]；②12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数； ③()f x 为周期函数，且最小正周期T=4；④()f x 与2y x =的图像有且仅有两个公共点.A 、①②③B 、②④C 、③④D 、①③14、克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了古人制作弦表的原理，其中涉及到如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论. 如右图所示，四边形ABCD内接于半径为23的圆，120A ∠=︒，45B ∠=︒，AB AD =，则四边形ABCD的周长为（ ）A 、4362+B 、103C 、4342+D 、4352+三、 解答题（共44分）15、（本题10分）已知函数()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求()f x 的单调增区间；(2)求函数()f x 在20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭的值域.16、（本题10分）已知函数()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立．（1）求ω的最小值；（2）在（1）中ω值的条件下，若函数()()1(0)g x f kx k =+>的最小正周期为π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()g x m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.17、（本题12分）如图是函数)sin()(ϕω+=x A x f (0>A ，0>ω，20πϕ<<)图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，)1,0(E 是线段MC 的中点．（1）若点M 的坐标为()1,0−，求点C 、点N 和点D 的坐标；（2）若点M 的坐标为()(),00m m −>，且2344MC MD π⋅=−，试确定函数)(x f 的解析式．18、（本题12分）已知常数，定义在R 上的函数()cos 2sin f x x a x =+．（1）当4a =−时，求函数()y f x =的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；（2）已知常数n ∈N ，1n ≥，且函数()y f x =在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值．。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷 带详解
【解析】
【分析】
通过换元，令 则 ，将函数零点转化为函数 的图象与直线 有三个交点，利用数形结合求得 的范围.
【详解】函数 ， ，令 则 ，函数 恰有三个零点，可转化为函数 的图象与直线 有三个交点，如图： 根据三角函数图象的性质可得 ， ，所以 ， 即 ，由 ，可得 ，所以 的取值范围是 .
④ 图像关于 中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据 可判断；②由 、 可判断；③ 时， ，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于 对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是 对称轴，①错误；
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
（1）求 值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在区间 上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到 函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【详解】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍后所得到的图象对应的函数记作 ，已知常数 ， ，且函数 在 内恰有 个零点，求常数 与 的值．
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题(含解析)
②由 、 分别平行于以顶角为 的等腰三角形的底边，但不一定有 、 ，故 不一定为△ 的垂心，错误；
③由 、 表示 与 、 中点的连线，且分别与 、 垂直，即为 、 的垂直平分线交点为 ，故 为△ 的外心，正确．
10.点 在△ 所在的平面内，则以下说法正确的有__________．
①若 ，则点 为△ 重心；
②若 ，则点 为△ 垂心；
③若 ，则点 为△ 的外心．
二､选择题（本大题4小题，每小题5分）
11.函数 的值域是
A. B. C. D. 以上均不对
12.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 相交于 两点，且 ，则 =
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间 三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．
6.函数 的最小正周期是__________．
7.已知 ，且 ，则 ______.
8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 .若 ，则 _________.
9.已知A、 、 三点共线，对该直线外任意一点 ，都有 ，则 最小值为_______
上海市华师大二附中高一数学下学期期中试卷(含解析)
上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=解答：解：由，得sin=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S△ABC=，运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈），判断其为奇函数，可得g （x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：=2+令g（x）=（x∈），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π表示π的奇数倍，（4k±1）π也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在上是减函数，∴f（x）在上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A 为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos （2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈，f（x）=2sin（2x+）在上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈，得2x0+∈．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．专题：综合题．分析：（1）作出图形，结合图形由，能求出．（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）法一：，由此能求出x B﹣y B的最小值．法二：由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解答：解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是2015届高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．。
上海市华师大二附中2014-2015学年高一数学下学期期中试.
上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36分）1.（3分）扇形的半径为1cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cmf .2. （3分）已知角 a 的终边过点 P （- 5, 12）,则cos a =.3. （3 分）已知I 一 H - I ，则 sin2 a =.42a tarr27. （3 分）在厶 ABC 中，若 b=1,二，.，贝U S A ABC =.8 （3分）隔河测算 A , B 两目标的距离，在岸边取 C, D 两点，测得 CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离 m10. （ 3分）定义在区间i ——j 上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P,2过点P 作PR 丄x 轴于点P 1，直线PR 与y=sinx 的图象交于点 P 2,则线段P 1P 2的长为.11. ( 3 分)已知函数 f (x ) =2x 2- ax+1，存在，使得 f (sin ?) =f (cos ?),4. (3分) 已知a 是锐角，则■-一「. J =.5. (3分)化简: sin (兀COt cos (- a) tan(K + Q) ▼* * 兀丄仃、sin (2K - Cl) sm I —+u )J6. (3分)是第三象限角，且： ■，则丄」_ sinx - 1 4cosx sinx（x €R9. （3分）定义 ■ I .，则函数£4 2则实数a的取值范围是.a 3 2 ■12. （3分）设函数f （工）二力 ・ " +1283（x €）的最大值为 M 最小2I 4+3COS 2Z +4值为 m 贝U M+m=、选择题（每小题 4分，共16 分）13. （ 4分）已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是（）15. ( 4分)给出下列三个等式： f (xy ) =f (x ) +f (y ) , f (x+y ) =f ( x ) f (y ),f Xx+y) = T 林饮 一•下列函数中不满足其中任何一个等式的是()1 - f (x) f (y)A.f (x ) =3xB . f (x ) =sinxC. f (x ) =log 2XD. f (x ) =tanx16. ( 4分)定义在 R 上的偶函数f (x )满足f (2 - x ) =f (x ),且在上是减函数，a , B 是钝角三角形的两个锐角，且a < B ，则下列不等式关系中正确的是()A. f ( sin a )> f (cos B ) B . f (cos a )< f (cos B ) C. f (cos a ) > f ( cos B ) D. f (sin a )< f (cos B )三、解答题（本大题共 48分）17. （ 6分）若一 '■■■-：,求」」丄■!」.的值.1+tanA 418. （ 8分）设厶ABC 的内角 A 、B C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a=1, b=2, cosC=4（I ）求厶ABC 的周长； （n ）求 cos （A- C ）的值.19・（10分）已知函数 f （x ） =2 亠］n —:. 「一'.（1） 求函数f （x ）的最小正周期及在 I,二］上的单调递增区间；（2） 若 f （x o ） ', x o € ■ ——•，求 cos2x 0的值.A.「与k 兀土 7T~2B . 2k n + n 与 4k n ± nc.7T ■?14. (4 分)在厶 ABC 中，若 cosAcosB > sinAsinB，则此三角形一定是（） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 形状不确定420. (10分)如图，单位圆(半径为 1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交 于点A ,与钝角a 的终边OB 交于点B (X B , y B )，设/ BAO=3 .(1) 用3表示a ；(2) 如果-厶，求点B (X B , y B )的坐标；5(3) 求X B - y B 的最小值.21. ( 14分)已知函数—，：. 是奇函数，定义域为区间AK +1D (使表达式有意义的实数 x 的集合).(1) 求实数m 的值，并写出区间 D(2) 若底数a 满足0v a v 1，试判断函数y=f (x )在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3) 当 x € A= 解答： 解：由 •,得 sin=sin a = -^_：13 13由a 是第三象限角，所以 I. '.：.'',2243故答案为：-. 点评： 本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力.则sina a 2sin_cos -^_o . a a __________ 2 2a —2sin —cos ——]22 .旳丄+2 aa2tan —二解得八=「或7. (3分)在厶ABC 中，若b=1,；,:,S ^ABC =—' 所以tan =—考点：正弦定理的应用.4专题：解三角形.分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S MBC=：•」，运算求得结果.解答：解：由于在△ ABC中，若b=1, 由正弦定理可得 --------- ：一si nB=二.2再由大边对大角可得B=一V A,. A=n - B- C='6 6.贝V s s B(=£bu・0inA=W^，故答案为<4点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题.8 （3分）隔河测算A, B两目标的距离，在岸边取C, D两点，测得CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离兀:様匚m考点：余弦定理；正弦定理.专题：计算题；解三角形.分析：依题意，利用正弦定理可求得AD, BD再利用余弦定理即可求得AB.解答：解：作图如下：•/ CD=200m / ADC=105 , / ACD=30 , / BDC=15 , / BCD=120 , •••/ CAD M CBD=45 , / BDA=90 ;.在△ ACD中，由正弦定理“口殳Q ，即mi緡 F券• AD=100*：「；在厶BCD中，同理可求BD=100 ..在直角三角形BDA中 ,由勾股定理得AB=「疝-二.二—二故A , B间的距离为200匚m.故答案为200 _.点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD, BD 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题.(x € R )的值域为.考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域. 专题：新定义；三角函数的图像与性质.分析：利用新定义，展开f ( x )利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数 的形式，根据余弦函数的值域求解即可.解答： 解：由题意 f (笙)二"°蓋1 =sin 2X +4COSX = - cos 2x+4cosx+仁-(cosx - 2)4cosx sinx2+5€.故答案为：. 点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力.10. ( 3分)定义在区间i .——j上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P,2过点P 作PR 丄x 轴于点P i ，直线PP 与y=sinx 的图象交于点 巳，则线段PQ 的长为2.3考点： 余弦函数的图象；正切函数的图象. 专题：三角函数的图像与性质.分析： 先将求P i F 2的长转化为求sinx 的值，再由x 满足6cosx=5tanx 可求出sinx 的值，从 而得到答案. 解答：解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值，99且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=—.线段P 1P 2的长为一3 39.( 3分)定义则函数■-：.故答案为：.点评：考查三角函数的图象、数形结合思想.“•(3分)已知函数f(x) =2x2-ax+1,存在-4「使得f(sin?) =f(cos?), 则实数a的取值范围是|考点：函数与方程的综合运用.专题：函数的性质及应用.分析：利用条件化简可得2 ( sin $ +cos $ ) =a,禾U用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围.解答：解：根据题意：2si n 冷-asin $ +1=2cos2© - acos $ +1,即：2 (sin2© - cos2© )=a (sin $ - cos $ )即：2 (sin $ +cos $ ) (sin $ - cos $ ) =a (sin $ - cos $ ),因为: $ €(77),所以sin $ - cos $ 工04 2故：2 (sin $ +cos $ ) =a,即：a=2、j[sin由$ € (+ =)得：| - I €( n /2 , 3n /4 )，也就是：sin ( q __[)€(.连，1)所以：a=2心sin (「\ )€( 2, 2 二)故答案为：1■ - 1点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用, 考查学生的计算能力，属于中档题.4 3 2 ■12. (3分)设函数f (工)二力一2玄(乂^)的最大值为M最小2 X4+3COS2X+4值为m贝U M+m=4考点： 函数最值的应用. 专题：函数的性质及应用.—3sinM _ 2 v分析：将函数化简，构造新函数 g (x ) =' (x €),判断其为奇函数，可得 g2 Z Q +3COS 2Z +4(X )max +g (x ) min =0 ,从而可得结论.解答：解：■ •「• ' -■ ■■■：' =2+-- . ■-2 X ^+3COS 2M +42 x q+3cos2x+4••• g ( x ) max +g ( x ) min =0• M + m=4+( x ) max +g (x ) min =4令 g (X )(x €),则 g (- x )=-g (x ),•••函数g (x )是奇函数故答案为：4 点评： 本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.二、选择题（每小题 4分，共16分）13. （ 4分）已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是（） A.上工与 I • IB . 2k n + n 与 4k n ±n 2 2C 八:+与丨一 _D.上亍与：*考点：终边相同的角. 专题：计算题. 分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断.解答： 解：由于 空表示丄的整数倍，而k n ± '' = （2k ± 1）''表示“的奇数倍，故这两2 2 2 2 2个角不是终边相同的角，故A 不满足条件.（2k+1） n 表示n 的奇数倍，（4k ± 1） n 也表示n 的奇数倍，故（2k+1） n 与（4k ± 1）n （ k € Z ）是终边相同的角，故 B 满足条件.k n + 1 = （k+ ） n 表示 n 的（k+ ）倍，而 2k n ± ' = （2k ± ） n 表示 n 的（2k ± ）6 6 6 6 6 6 倍，故两个角不是终边相同的角，故C 不满足条件.由于丄一表示——整数倍，而k n + “ = （ 3k+1 ）…表示——非3的整数倍，故这两个角不是终边 33 333相同的角，故D 不满足条件. 故选：B . 点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义.14. （ 4分）在厶ABC 中，若cosAcosB > sinAsinB ，则此三角形一定是（）考点：三角形的形状判断.专题：计算题. 分析： 先将条件等价于cos （ A+B > 0,从而可知C 为钝角，故可判断. 解答：解：由题意，T cosAcosB> sinAsinB/• cos （ A+B ）> 0 ••• cosC v 0•••C 为钝角故选A . 点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C 为钝角.15. ( 4 分)给出下列三个等式： f (xy ) =f (x ) +f (y ) , f (x+y ) =f ( x ) f (y ),•下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A.钝角三角形B.直角三角形C. 锐角三角形D.形状不确定71-f (x) f (y)xA. f (x) =3B. f (x) =sinxC. f (x) =log 2XD. f (x) =tanx考点：指数函数与对数函数的关系.分析：依据指、对数函数的性质可以发现 A C满足其中的一个等式，而D满足f (旳)=f 9 饮-,B不满足其中任何一个等式1 _ f txj f (yj解答：解：f (x) =3x是指数函数满足f (x+y) =f (x) f (y)，排除A.f (x) =log 2x是对数函数满足f (xy) =f (x) +f (y)，排除Cf (x ) =ta nx 满足- (旳)二亍9甘(叭 -，排除D.1 _ f S f (y)故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质.16. ( 4分)定义在R上的偶函数f (x)满足f (2 - x ) =f (x)，且在上是减函数， a , B是钝角三角形的两个锐角，且 a < 3，则下列不等式关系中正确的是()A. f ( sin a ) > f (cos 3 )B. f (cos a ) < f (cos 3 )C. f (cos a )> f ( cos 3 ) D. f (sin a ) < f (cos 3 )考点：奇偶性与单调性的综合.专题：函数的性质及应用.分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由 f (2-x ) =f (x)和偶函数的定义得f ( x) =f ( x+2)，求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据a和3的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数 f (x)的单调性进行判断.解答：解：•••偶函数f (x)在上是减函数，••• f ( x)在上是增函数，又•••偶函数f ( x)满足f (2 -x ) =f (x) ,••• f ( x) =f (x - 2),即f (x+2 ) =f (x)，函数的周期T=2,• f ( x)在上是增函数，T a , 3是钝角三角形的两个锐角，且 a <3 ,•根据余弦函数在(0 ,n )上递减得，0< cos 3 < cos a < 1,则f ( cos a ) > f ( cos 3 ).故选C.点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想.三、解答题(本大题共48分)17. (6分)若W，求的值.-11 --12 -考点： 两角和与差的正切函数. 专题： 三角函数的求值.分析：利用-■.,可求tanA 的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论.1十tanA 解答：解：••• • 川tan A=-1+tanA 31-1=丄:沱工:_ - '= ■1 - tanA . 1 E点评： 本题考 查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题.18. ( 8分)设厶ABC 的内角 A B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a=1，b=2, cosC=4(I)求厶ABC 的周长；(n)求 cos (A- C )的值.考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数.专题：计算题.分析： (I )利用余弦定理表示出 c 的平方，把a , b 及cosC 的值代入求出c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；(II )根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，然后由a , c 及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a 小于c 得到A 小于C,即A 为锐角，贝U 根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值. 解答： 解：(| )•., 2=a 2+b 2-2abcosC=1+4-4X =4,4二 c= 2,•••△ ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.(II )••• cosC= _,••• sinC= _ ___「= 】:=j'.V15•.sin A=丄=」 c 2 S=cosAcosC+sinAsinC =二+ 宀［耳］•/ a < c ,「. A v C,故A 为锐角.则• cos ( A- C )点评： 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题.19- ( 10分)已知函数f (X ) =2二］丄—丄_ -■二—(1)求函数f (x )的最小正周期及在..二•上的单调递增区间；2(2) 若 f (x o )=二 x o €「二 _「，求 cos2x o 的值.考点： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性. 专题： 计算题；三角函数的图像与性质.分析：(1 )利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f (x ) =2 ■:sinxcosx+2cos 2x-1化为：f (x ) =2sin (2x+ '),从而可求函数f (x )的最小正周期及在 「i. 上的单6 2」调递增区间；(2) 由(1)知，f (x o ) =2sin (2x o + )=',可求得 sin (2x o + 1)='，继而可求得 cos6 5 6 5(2x o +一)=-丄，而2x o = (2x o + )-一_,利用两角差的余弦即可求得cos2x o .6 5 r. 6解答： 解：(1)由数 f (x ) =2;.：「;sinxcosx+2cos 2x - 1，得 f (x ) =^ 5sin2x+cos2x=2sin(2x+ 1),6所以函数f (x )的最小正周期为 n ； •/2k n - =< 2x+_l V 2k n +, k € Z 2 6 2x €( k n -, k n +) , k € Z36又x €, f (x ) =2sin ( 2x+ )在上的单调递增区间为(0,')；6 6(2)由(1)知，f (x o ) =2sin (2x o + ),6-f ( x o )=一5K 3• sin ( 2x o +——)=,• cos2x o =cos由 X o €，得 2x o +€.从而cosz7T(2x 0+=cos (2x o +)6cos +sin6(2x o +)sin-1o -)=-=■:i.U点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题.20. (10分)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A,与钝角a的终边OB交于点B ( X B, y B),设/ BAO=3 .(1)用3表示a ；(2)如果--_■，求点B (X B, y B)的坐标；5(3)求X B- y B的最小值.考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用.专题：综合题.分析：(i)作出图形，结合图形由■- |-.:,能求出:_■'-...r2 2y R(2)由'',r=1，得Tj-. -,；i .. .. ■ 1 ： = • ] _ 一丄1 -- ：: - .由此能求出点B (X B, y B)的坐标；(3)法一I ，由此能求出X B- y B的最小值.2 2 2 2 2 法二：由a 为钝角，知X B V0, y B>0, X B+y B =1, X B- y B= - (- X B+y B), (- X B+y B) <2=2,由此能求出X B- y B的最小值.解答：解：(1)如图，•••厶「：丨厂二-■. ,(2)由'，又r=1 ,T-14 --15 -得/..._i.. ._ ■■w二 • — - J ——：：-•525由钝角a ，知订匸--;-I■-,25 25又 '■ ' -cos (□+芋)E [_1» -42•••X B- y B 的最小值为二.法二：a 为钝角，• x B V 0 , y B > 0,点评： 本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是 认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用.21. ( 14分)已知函数一 ，：. 是奇函数，定义域为区间ax+1D (使表达式有意义的实数X 的集合).(1) 求实数m 的值，并写出区间 D(2) 若底数a 满足O V a v 1，试判断函数y=f (x )在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3) 当 X € A=于是，当O v a v 1时，函数■- [ ,上是单调增函数.(3)法x Ei - y B =cos - 日inQ 二逅eg a +晋)2015届高考的常见题型•解题时要X B 2+y B 2=1，2 2 2(—X B +y B ) w 2 ( X B +y B ) =2,(3)v x € A=[a , b) (A? D, a 是底数)••• O v a v 1, a v b< 1.•••由(2)知，函数. ’上是增函数，即：〕：.■'■ |a1十x a 1+a解得ci= : 1 ■：-, . . :丄若b v 1,贝U f (x)在A上的函数值组成的集合为.；,不满足函数值组成的a 1+b集合是[1 , +R)的要求，•必有b=1.因此，所求实数a、b的值是a二—一「-一 .点评：本题从恒等式出发得到m另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题.-16 -。
上海市华二附中高一期中数学试卷
级数
应纳00 元的部分
二
超过 1500 元至 4500 元的部分
三
超过 4500 元至 9000 元的部分
四
超过 9000 元至 35000 元的部分
五
超过 35000 元至 55000 元的部分
六
超过 55000 元至 80000 元的部分
七
超过 80000 元的部分
满足 1 + 1 1的 x 构成的区间的长度之和为（ ） x−a x−b
A. a − b
B. a + b
C. 4
D. 2
三. 解答题 15. 设 a 、 b 都是正数，求证： a2 + b2 a + b .
ba
16.
解不等式组：
9 2x −1
7 x+2.
| x +1| 2
2
17. 缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务. ① 个人所得税率是个人所得税税额与应纳税收入额之间的比例；
−
1 20192
+
2 2019
，当且仅当
b 20192
|
a
|
=
|
a b
|
且a
0 时等号成立，即 a
=
−
2019 2018
二. 选择题 11. D
12. B
13. C
14. D
三. 解答题
15. 两边同时乘以 ab ，即证 a3 + b3 a2b + ab2 ，同时约去 (a + b) ，即证 a2 − ab + b2 ab ，
3
18. 已知集合 D = {x | x2 − ax + a2 −19 = 0} ，集合 B = {y | y = −x2 + 2x + 2, y Z+} ，集合 C = {x | y = 2 − x , x Z} ，且集合 D 满足 D B ， D C = .
上海市华师大二附中高一下学期期中数学试卷
2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．2．函数f（x）=的定义域是．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为．8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是．9．已知，且，则cos（x+2y）=．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．2．函数f（x）=的定义域是{x|x=2kπ，k∈z} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，故答案为：．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[]．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．【考点】反三角函数的运用．【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx）的值，可得x的值．【解答】解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．又cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，即cos（arcsinx）•cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）=•x+x•=，∴•x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或x2=，∴x=，或x=．经检验，x=不满足条件，故舍去．故答案为：．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．【解答】解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，又sinx＞0，∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，∴函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），故答案为：[）（k∈Z）．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；．【考点】三角函数线．【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．【解答】解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，∴当ω＞0时，由ω•≥，ω≥1，当ω＜0时，由ω•（﹣）≥，求得ω≤﹣，故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．9．已知，且，则cos（x+2y）=1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=﹣2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．∴x=﹣2y，即x+2y=0．∴cos（x+2y）=1．故答案为：1．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是②④．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，根据正切函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：f（x）===tanx（cosx），对于①，函数f（x）的定义域是{x|x≠2kπ+，x≠kπ+，x≠2kπ+，k∈Z}，故错误；对于②，函数f（x）的值域是R，故正确；对于③，由于f（x+π）===tanx（其中cosx≠），故错误；对于④，由于f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故正确；对于⑤，由正切函数的图象可知函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间，故错误．故答案为：②④．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y=3sin（2x+）变形为y=3sin[2（x+）]即可得到答案．【解答】解：∵y=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]．∴要得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象向左平移个单位．故选：D．12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞【考点】正切函数的图象．【分析】由题意可得α+β∈（π，2π），再根据tan（α+β）=＞0，可得α+β∈（π，），从而得出结论．【解答】解：α，β∈（，π），且tanα＜cotβ=＜0，∴tanα•tanβ＞1，α+β∈（π，2π），∴tan（α+β）=＞0，∴α+β∈（π，），故选：C．13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于y=tanx的周期为π，0＜cot1＜1，故y=（cot1）tanx的周期为π，且在（0，）上单调递减，故A满足条件．由于y=|sinx|在（0，）上单调递增，故排除B．由于在（0，）上，2x∈（0，π），函数y=﹣cos2x在（0，）上单调递增，故排除C．由于函数y=﹣tan|x|不是周期函数，故排除D，故选：A．14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令x=cosy∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x2﹣1成立，故A成立．对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y=4cos3y﹣3cosy 成立，即f（x）=4x3﹣3x成立，故B正确．令t=siny∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±）成立，即f（x）=2•（±）成立，故B错误．则对任意实数y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny﹣4sin3y 成立，即f（t）=3t﹣4t3成立，故D 成立，故选：B．三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知可得sinα=sinβ，cosα=cosβ，将两式平方后利用同角三角函数基本关系式解得或，结合角的范围即可得解α，β的值．【解答】解：∵由sin（5π﹣α）=cos（π+β），可得：sinα=sinβ，两边平方可得：sin2α=2sin2β，①由cos（﹣α）=﹣cos（π+β），可得：cosα=cosβ，两边平方可得：3cos2α=2cos2β，②∴①+②可得：sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，又∵sin2α+cos2α=1，∴解得：cos2α=，即：或，∵α，β∈（0，π），∴解得或．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由sinx+cosx+a=0，得sinx+cosx=﹣a，画出函数y=sinx+cosx=的图象，数形结合得答案．【解答】解：由sinx+cosx+a=0，得sinx+cosx=﹣a，令y=sinx+cosx=，∵x∈（0，2π），∴x+∈（，），作出函数的图象如图：若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，则﹣2，或，即或．当a∈（﹣2，﹣）时，；当a∈（﹣，2）时，．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由t=sin（t+）利用正弦函数的性质可求t的范围，平方后利用同角三角函数基本关系式可求sinθcosθ=，进而即可用t表示y=f（t）．（2）由y== [（t+2）+﹣4]，利用基本不等式即可求其最小值，进而求得最大值即可得解函数y=f（t）的值域．【解答】解：（1）∵t=sinθ+cosθ，∴t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[﹣，]，∴t2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ，∴sinθcosθ=，∴y===，t∈[﹣，]．（2）∵y==（）= [（t+2）+﹣4]，∵t∈[﹣，]．∴t+2∈[2﹣，2+]．∴（t+2）+=2，当且仅当（t+2）=，即t+2=时取等号．∵t+2∈[2﹣，2+]．∴函数的最小值为 [2﹣4]=．当t=﹣时，f（﹣）=，t=时，f（）=，∴函数的最大值为，故函数y=f（t）的值域为：[，]．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可sinA，b，利用大边对大角可得A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理即可得解AB的值．（2）利用余弦定理推出a2+b2＜c2，利用正弦定理推出a2+b2＜4R2．（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可．【解答】解：（1）∵R=2，a=2，B=45°，∴由正弦定理可得：，解得：sinA=，b=2，又∵a＜b，可得：A＜B，可得cosA==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，∴AB=c=4sinC=4×=．证明：（2）由余弦定理得cosC=，∵C为钝角，可得cosC＜0，∴a2+b2＜c2又∵由正弦定理得c=2RsinC＜2R，∴c2＜4R2，∴a2+b2＜4R2．解：（3）①a＞2R≥b或a≥b≥2R时，不存在；②当a=2R且b＜2R时，A=90°，存在一个，c=；③当a=b＜2R，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个，c=2RsinC=；④当b＜a＜2R，存在两个，c=．2016年9月2日。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）2019°角是第___ 象限角．2.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P（2.-3）.则sinα=___3.（填空题.4分）已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ ．4.（填空题.4分）函数y= √cosx的定义域为___ ．5.（填空题.4分）已知cos(π−α)=13，α∈(π，3π2) .则cot(α−π2) =___ ．6.（填空题.4分）已知sinα=45，α在第二象限.则tanα2=___ ．7.（填空题.4分）方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ ．8.（填空题.4分）已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ ．9.（填空题.4分）将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象.对于函数y=f（x）有以下四个判断：① 该函数的解析式为y=sin(x+π6)；② 该函数图象关于点(π3，0)对称；③ 该函数在[0，π6]上是增函数；④ 若函数y=f（x）+a在[0，π2]上的最小值为1.则a=12．其中正确判断的序号是___ （写出所有正确判断的序号）．10.（填空题.4分）已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ ．11.（单选题.4分）如果α是第三象限的角.那么α3必然不是下列哪个象限的角（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.（单选题.4分）函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13，13])的反函数是（）A. y=13sinx(x∈[0，π])B. y=13cosx(x∈[0，π])C. y=−13sinx(x∈[0，π])D. y=−13cosx(x∈[0，π])13.（单选题.4分）在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2acosB=c.且满足sinAsinB（2-cosC）=sin2C2 + 12.则△ABC为（）A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形14.（单选题.4分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.则（）A.函数f（x-1）一定是奇函数B.函数f（x+1）一定是奇函数C.函数f（x-1）一定是偶函数D.函数f（x+1）一定是偶函数15.（问答题.8分）已知sinα+cosα=23．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值．16.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的相邻对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象的一个最高点为(π12，2)．（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若x∈[0，π4] .求函数f（x）的最大值和最小值．17.（问答题.12分）如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）．（1）根据图象.求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产.求m的最小值．18.（问答题.12分）在锐角△ABC中.已知cosA=5，S△ABC=6 .若点D是线段BC上一点13（不含端点）.过D作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F．.求EF的值；（1）若△AEF外接圆的直径长为134（2）求BC的取值范围；（3）问点D在何处时.△DEF的面积最大？最大值为多少？2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）2019°角是第___ 象限角．【正确答案】：[1]三【解析】：根据终边相同的角化为k•360°+α.k∈Z.α∈[0°.360°）即可．【解答】：解：2019°=360°×5+219°.是第三象限角．故答案为：三．【点评】：本题考查了终边相同的角的定义与应用问题.是基础题．2.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P（2.-3）.则sinα=___【正确答案】：[1] −3√1313【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义.求得sinα的值．【解答】：解：∵角α的终边经过点P（2.-3）.则 x=2.y=-3.r=|OP|= √4+9 = √13 .∴sinα= yr = 3√1313.故答案为：- 3√1313．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义.属于基础题．3.（填空题.4分）已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ ．【正确答案】：[1] 712【解析】：直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式.代入求解即可．【解答】：解：tanα=2.则 3sinα+cosα5sinα+2cosα = 3tanα+15tanα+2 = 3×2+15×2+2 = 712．故答案为： 712【点评】：本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值.考查计算能力． 4.（填空题.4分）函数y= √cosx 的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z【解析】：根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.再结合余弦函数的图象.求得x 的范围．【解答】：解：根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.可得 2kπ- π2 ≤x≤2kπ+ π2 （k∈Z ）. 故函数的定义域为[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z . 故答案为：[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z ．【点评】：本题主要考查余弦函数的图象的特征.解三角不等式.属于基础题． 5.（填空题.4分）已知 cos (π−α)=13，α∈(π，3π2) .则 cot (α−π2) =___ ．【正确答案】：[1] −2√2【解析】：由已知求得cosα.进一步得到tanα.再由诱导公式求 cot (α−π2) ．【解答】：解：由 cos (π−α)=13，α∈(π，3π2) . 得-cos α=13.即cos α=−13. ∴sinα= −2√23 .则tanα= sinαcosα = 2√2 ．∴ cot (α−π2) =-cot （ π2−α ）=-tanα= −2√2 ． 故答案为： −2√2 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题．6.（填空题.4分）已知 sinα=45，α 在第二象限.则 tan α2 =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可．【解答】：解：若sinα=45，α在第二象限.∴cosα=- 35.则tanα2 = sinα2cosα2= 2sinα2cosα22cos2α2= sinα1+cosα=451−35=2.故答案为：2【点评】：本题主要考查三角函数的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．7.（填空题.4分）方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ ．【正确答案】：[1]{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}【解析】：方程化为关于sinx的一元二次方程.求出sinx的值.再写出方程的解集．【解答】：解：方程5sinx=4+2cos2x可化为5sinx=4+2（1-2sin2x）.即4sin2x+5sinx-6=0.解得sinx= 34.或sinx=-2（不合题意.舍去）；所以该方程的解集为{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}．故答案为：{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}．【点评】：本题考查了三角函数方程的求解与应用问题.是基础题．8.（填空题.4分）已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ ．【正确答案】：[1] 3−3√2【解析】：由已知等式求得tanα.展开二倍角的正切求得tan π8.再由两角差的正切求解．【解答】：解：由2sinα=sin(α−π4) .得2sinα= √22sinα−√22cosα .∴ 4−√22sinα=−√22cosα .则tanα= −2√2+17．由tan π4 = 2tanπ81−tan2π8=1.解得tan π8= −1−√2（舍）或tanπ8=−1+√2．∴ tan(α−π8) = tanα−tanπ81+tanαtanπ8= −2√2+17−(−1+√2)1+(−√7)×(−1+3−3√2．故答案为：3−3√2．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查两角和与差的三角函数.考查计算能力.是中档题．9.（填空题.4分）将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象.对于函数y=f（x）有以下四个判断：① 该函数的解析式为y=sin(x+π6)；② 该函数图象关于点(π3，0)对称；③ 该函数在[0，π6]上是增函数；④ 若函数y=f（x）+a在[0，π2]上的最小值为1.则a=12．其中正确判断的序号是___ （写出所有正确判断的序号）．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题．【解答】：解：根据题意知.f（x）=sin（x +π3）.令x= π3则.y= √32≠0∴ ① ② 错误；由三角函数的性质知③ ④ 正确；故答案为③ ④ ．【点评】：本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用．10.（填空题.4分）已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ ．【正确答案】：[1] −√1010【解析】：由已知结合正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA.由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA.化为：2（sinA-2cosA）= 5b2+c2bc = 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .进一步得到sin（A-θ）≥1.又sin（A-θ）≤1.可得sin（A-θ）=1．得到A=θ+ π2+2kπ.k∈N*．求出sin（A+ π4）.再由诱导公式得答案．【解答】：解：7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC. 由正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA.∴a2= 7b2+3c2−2bcsinA2.又a2=b2+c2-2bccosA.∴ 7b2+3c2−2bcsinA2=b2+c2-2bccosA.化为：2（sinA-2cosA）= 5b 2+c2bc= 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .当且仅当√5 b=c时取等号．即2 √5 sin （A-θ）≥2 √5 .其中tanθ=2.sinθ= √5 .cosθ= √5即sin （A-θ）≥1.又sin （A-θ）≤1. ∴sin （A-θ）=1．∴A -θ= π2 +2kπ.即A=θ+ π2 +2kπ.k∈N *．∴sin （A+ π4 ）=sin （θ+ π4 + π2 +2kπ）=cos （θ+ π4 ） = √22 （cosθ-sinθ）= √22 ×（ √5 - √5 ）=- √1010 ．∴ cos (A −π4) =cos （ π4−A ）=sin （A+ π4 ）= −√1010． 故答案为：- √1010．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.4分）如果α是第三象限的角.那么 α3 必然不是下列哪个象限的角（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【正确答案】：B【解析】：先写出角α的范围.再除以3.从而求出 α3 角的范围.看出是第几象限角．【解答】：解：α是第三象限的角.则α∈（2kπ+π.2kπ+ 3π2 ）.k∈Z . 所以 α3∈（ 23kπ+ π3 . 23kπ+ π2）.k∈Z ； 所以 α3 可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：B ．【点评】：本题考查了角的范围与象限角的判断问题.是基础题．12.（单选题.4分）函数 y =π2+arcsin3x (x ∈[−13，13]) 的反函数是（ ） A. y =13sinx(x ∈[0，π]) B. y =13cosx(x ∈[0，π]) C. y =−13sinx(x ∈[0，π])D. y=−13cosx(x∈[0，π])【正确答案】：D【解析】：根据反三角函数的定义即可求出【解答】：解：函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13，13])的反函数是y=- 13cosx.x∈[0.π].故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义和性质.属于基础题．13.（单选题.4分）在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2acosB=c.且满足sinAsinB（2-cosC）=sin2C2 + 12.则△ABC为（）A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【正确答案】：C【解析】：已知第一个等式利用正弦定理化简.再利用诱导公式及内角和定理表示.根据两角和与差的正弦函数公式化简.得到A=B.第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形.右边利用二倍角的余弦函数公式化简.将A+B=C.A-B=0代入计算求出cosC的值为0.进而确定出C为直角.即可确定出三角形形状．【解答】：解：将已知等式2acosB=c.利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC.∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0.∵A与B都为△ABC的内角.∴A-B=0.即A=B.已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）= 12（1-cosC）+ 12=1- 12cosC.- 1 2 [cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1- 12cosC.∴- 12（-cosC-1）（2-cosC）=1- 12cosC.即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC.整理得：cos2C-2cosC=0.即cosC（cosC-2）=0. ∴cosC=0或cosC=2（舍去）.∴C=90°.则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．【点评】：此题考查了正弦定理.两角和与差的正弦函数公式.积化和差公式.二倍角的余弦函数公式.熟练掌握正弦定理是解本题的关键.属于中档题．14.（单选题.4分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.则（）A.函数f（x-1）一定是奇函数B.函数f（x+1）一定是奇函数C.函数f（x-1）一定是偶函数D.函数f（x+1）一定是偶函数【正确答案】：D【解析】：由三角函数图象的性质及函数图象的平移得：函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.得函数f（x）的图象关于直线x=1对称.即函数f（x+1）一定为偶函数.得解．【解答】：解：由函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.得函数f（x）的图象关于直线x=1对称.即函数f（x+1）一定为偶函数.故选：D．【点评】：本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移.属中档题．15.（问答题.8分）已知sinα+cosα=23．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数关系.利用平方进行计算即可（2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=23 .∴平方得sin 2α+2sinαcosα+cos 2α= 49 . 得2sinαcosα= 49 -1=- 59 . 得sinαcosα=- 518 ．（2）若α为第二象限的角.sinα＞0.cosα＜0. 则 1sin (π−α)−1cos (2π−α) = 1sinα - 1cosα = cosα−sinαsinαcosα . ∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=1+ 59 = 149 . ∴cosα-sinα=-√143. 则 cosα−sinαsinαcosα = −√143−518=6√145．【点评】：本题主要考查三角函数值的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16.（问答题.12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中 A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 ）的相邻对称轴之间的距离为 π2 .且该函数图象的一个最高点为 (π12，2) ． （1）求函数f （x ）的解析式和单调递增区间； （2）若 x ∈[0，π4] .求函数f （x ）的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f （x ）取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0＜φ ＜π2 .所以φ= π3 .即f （x ）=2sin （2x+ π3）.（2）由三角函数的值域的求法得：当 x ∈[0，π4] .则2x+ π3 ∈[ π3 . 5π6 ].所以2sin （2x+ π3 ）∈[1.2].得解．【解答】：解：（1）由题意有：A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f （x ）取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0＜φ ＜π2 .所以φ= π3.即f（x）=2sin（2x+ π3）.令2kπ −π2≤2x+ π3≤2kπ+π2.得：k π−5π12≤x≤kπ+π12.（k∈Z）故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+ π3）．函数f（x）的单调递增区间为：[kπ −5π12 .k π+π12]（k∈Z）．（2）当x∈[0，π4] .则2x+ π3∈[ π3. 5π6].所以2sin（2x+ π3）∈[1.2].故函数f（x）的最大值为2.最小值为1．【点评】：本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域.属中档题．17.（问答题.12分）如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）．（1）根据图象.求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据图象最值求A.b.根据周期求出ω.利用特殊点求出φ的值.可求函数f（t）的解析式．（2）设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为（t+m）小时.依题意.有f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8≤9恒成立.展开由三角函数恒等变换化简整理可得：cos π6m≤- 12 .依据余弦函数图象得：2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.（k∈Z）.取k=0得m的范围.从而可求m的最小值．【解答】：（本题满分为14分）解：（1）由图知T=12= 2πω .∴ω= π6.…（1分）A+b=5.b-A=3.可得：A=1.b=4.…（3分）∴f（t）=sin（π6t+φ）+4.代入（0.5）.得φ= π2+2kπ.又0＜φ＜π.∴φ= π2…（5分）即f（t）=sin（π6 t+ π2）+4.…（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为（t+m）小时.由诱导公式.企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）=cos π6t+4；同理.企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）=cos π6（t+m）+4；两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8（t≥0）；------（8分）依题意.有f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8≤9恒成立.即cos π6（t+m）+cos π6t≤1恒成立.展开有：（cos π6 m+1）cos π6t-sin π6msin π6t≤1恒成立.------（10分）∵（cos π6 m+1）cos π6t-sin π6msin π6t=Acos（π6t+ϕ）.（其中.A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m .cosϕ= cosπ6m+1A；sinϕ= sinπ6mA）；∴A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m≤1.-----------------------（11分）整理得到：cos π6m≤- 12.------------------------（12分）依据余弦函数图象得：2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.（k∈Z）.即12k+4≤m≤12k+8.取k=0得：4≤m≤8∴m的最小值为4．-----------------------（14分）【点评】：本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识.考查建立三角函数模型.数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力.考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.属于中档题．18.（问答题.12分）在锐角△ABC 中.已知 cosA =513，S △ABC =6 .若点D 是线段BC 上一点（不含端点）.过D 作DE⊥AB 于E.DF⊥AC 于F ．（1）若△AEF 外接圆的直径长为 134 .求EF 的值； （2）求BC 的取值范围；（3）问点D 在何处时.△DEF 的面积最大？最大值为多少？【正确答案】：【解析】：（1）根据面积为6可得bc.然后由正弦定理可得EF ；（2）用余弦定理得到BC 2=b 2+c 2-2bccosA.然后用重要不等式可得BC 的范围；（3）设S △ABD =x.然后根据面积关系将△DEF 的面积用x 表示出来.再用一元二次函数求其最大值即可．【解答】：解：（1）∵在锐角△ABC 中. cosA =513 .∴sinA= 1213. ∵ S △ABC =12 bc• 1213=6 . ∴bc=13.∵△AEF 外接圆的直径长为 134. 由正弦定理可得. EF sinA = EF 1213= 134 .∴EF=3；（2）在△ABC 中.由余弦定理得. BC 2=b 2+c 2-2bccosA =b 2+c 2-10≥2bc -10=16. 当且仅当b=c= √13 时取等号. ∴BC≥4；BC 的取值范围：[4.+ ∞ ）；（3）设S△ABD=x.则S△ADC=6-x. ∵ S△ABC=12AB•AC•sinA=6 .∴AB•AC= 12sinA=13 .∵DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.∴ S△ABD=12AB•DE=x . S△ADC=12AC•DF=6−x .∴ DE=2xAB . DF=12−2xAC.∵ S△EDF=12DE•DF•sin(π−A)= 12•2xAB•12−2xAC•sinA= 24(−x2+6x)169=- 24169[(x−3)2−9] .∴当x=3时.S△EDF的最大值为. 216169．∴当x=3时.三角形ABD与三角形ADC面积相等∴D为BC的中点.∴当D为BC的中点时.△DEF的面积最大.最大值为216169．△【点评】：本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。
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2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1.求值arctan (cot^)= _______________________ .o2.函数f (x) __________________________ -:的定义域是.3.若tan 9= - 3,贝U sin 0 (sin B— 2cos 0) = _________________ .4.若x€( 0, 2n),则使-^1-^Fin2x=sinx - cosx成立的x的取值范围是 ________________________________IT5.若arcsinx —arccosx=^—，贝y x= .66._________________________________________________ 函数f (x) =logcosi (sinx)的单调递增区间是 _____________________________________________________________________ .7T7.若0v 0< —，贝U cos0, cos ( sin0), sin (cos 0)的大小顺序为_____________________________ .8若关于x的函数y=sin ax在［-..,..］上的最大值为1，贝U 3的取值范围是_______________________________兀\ x3+sins - 2a=0...--二匕且| ，则cos (x+2y)9.已知-■v L4 % +^sin2y+a=0亡：门1丿弋* 口inF10 .设函数f （x） = ■，关于f （x）的性质，下列说法正确的是____________________1+cosZs 一cosxn①定义域是{x| XM k n+ , k € Z};②值域是R;③最小正周期是n;④f （x）是奇函数；⑤f （x）在定义域上单调递增.二、选择题（4*4=16分）n11.为了得到y=3sin （2x+ .）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）n , n , n nA .向左平移一厂B .向右平移丁C .向右平移^D .向左平移—7T12.a, B€（迈-,n）,且tan a< cot 3,则必有（）" , 一一3兀- -3兀A . a< 3B. a> 3 C. a+ 3< D . a+ 3>IT13.下列函数中以n为周期，在（0,——）上单调递减的是（）A . y= （cot1）tanx B. y=| sinx| C. y= - cos2x D. y= - tan|x|14.下列命题中错误的是（）A .存在定义在［-1, 1］上的函数f （x）使得对任意实数y有等式f （cosy）=cos2y成立B .存在定义在［-1, 1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( siny ) =sin2y 成立C .存在定义在［-1，1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( cosy )=cos3y 成立D .存在定义在［-1,1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( siny ) =sin3y 成立三、解答题(8+10+12+14=44 分)求a, 3的值.16.若关于x 的方程sinx+J^cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根 a, 3,求实数a 的取值范围及相应的 a+ 3的值.(1) 设变量t=sin 0+cos 0,试用t 表示y=f (t )，并写出t 的范围;(2) 求函数y=f (t )的值域.18•用a , b , c 分别表示厶ABC 的三个内角A , B , C 所对边的边长，R 表示△ ABC 的外接圆 半径.(1) R=2, a=2, B=45 ° 求 AB 的长；2 2 2(2) 在厶ABC 中，若/ C 是钝角，求证：a 2+b 2v 4R 2；(3) 给定三个正实数 a , b , R ,其中bw a ,问a , b , R 满足怎样的关系时，以 a , b 为边长,R 为外接圆半径的厶ABC 不存在，存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在厶 ABC 存在的情况下，用 a , b , R 表示c .15.已知a,(0, n),并且 sin (5 n- a) ^^2 cos (石 n+ B) , cos (- a) = - ^2 cos ( n+ 3 ),17.已知函数si 卫。
8S 日2015-2016学年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析、填空题(4*10=40分)z n 、 arctan (cot ——)=3反三角函数的运用.【解答】TT故答案为：2.函数 f (x ) =pGWX — 1 的定义域是{x| x=2k n k € z}【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式的性质得到 cosx=1，解出即可. 【解答】解：由题意得：cosx - 1 > 0, cosx > 1,... cosx=1,/• x=2k n, k € Z,故答案为：{x| x=2k n, k € z}.3.若 tan e= — 3,贝V sin 0 (sin B — 2cos 0) =_—【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值. 【解答】 解:T tan 0= — 3,. sin 0 ( sin 0— 2cos 0)si. J B 一 占皿 & 匚口日 ° tan? B _ 2tan 89+6 j=—f=" •；=1="故答案为：..【考点】三角函数的化简求值.【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx >cosx ，再由已知i .求值【考点】【分析】 利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得 TTarctan (cot ——)的值.34.若x €( 0, 2n),则使 .-■■: : .>'=si nx — cosx 成立的x 的取值范围是EH]& 兀解：arctan (cot . ) =arctan ( 0x的范围求得x的具体范围.【解答】解:•.］…二【二•= ："二二--二二一门一：：：匚匸：=1 ; ■■ ■ :' =si nx _cosx ,.•. sinx>cosx, 又 x€( 0, 2 n), xe 「」］■故答案为：€ ［二.二］.44【考点】反三角函数的运用.由题意可得 arcsinx 与 arccosx= 均为锐角，x > 0,求得 cos (arcsinx — arccosx ) 的6兀TT JT解：arcsinx €( , —), arccosx €( 0, n), arcsinx — arccosx=——,22 6arcsinx 与 arccosx 均为锐角， x > 0.n 又 cos (arcsinx — arccosx ) =cos =^^6 2即 cos (arcsinx ) ?cos (arccosx ) +sin (arcsinx ) sin ( arccosx )=—7?x+x? —7厂, .i _ J'?x =4 x 2 (1 — x 2) =—^ x 2=「，或 x 2=—,.x=¥,或 x=..经检验,x =[不满足条件,故舍去. 故答案为:* .6.函数 f (x ) =log cosi (sinx )的单调递增区间是[ ■ .t ) ( k € Z ) .【考点】复合函数的单调性.【分析】由0vcosiv 1，得外函数y=log cosi t 在定义域内单调递减，再求出内函数 t=sinx 的减 区间，取使t 大于0的部分得答案. 【解答】解：令t=sinx , ■/ 0v cos1 v 1,•••外函数y =log cos1t 在定义域内单调递减， 又 sinx > 0, 八 (k € Z )时，内函数t=sinx 大于0且单调递减,【分析】 值，可得 x 的值.【解答】•••当 x € ［5.若 arcsinx — arccosx=兀7•••函数 f (x ) =log cosi ( sinx )的单调递增区间是[一- -二 )(k € Z ),•••当 3> 0 时，由 3? # , 3# 1 ,2 2JT 1T3当 3V 0 时，由 3? (- — ) # —，求得 3W-— 故答案为：｛ 3 3# 1或3W-弓｝.因为f (u )在区间［一?. 一一「上是单调增函数，并且是奇函数,• f (x ) =-f (2y ) =f (- 2y ).• . x= — 2y ,即 x+2y=0 .故答案为:[-7-工 F ) (k € Z ).7.若 0V 7T0v 「-,贝U cos 0, cos ( sin0), sin (cos 0) 的大小顺序为 cos (sin 0) > cos 0>sin(cos 0);【考点】【解答】 三角函数线.观察知道，利用 x >0时，sinxvx ,结合余弦函数的单调性解答.JI解：因为 sinx v x ，所以 Ov 0V p-, sin 0v 0,所以 cos (sin 0) > cos 0,令 x=cos 0,所以 cos 0> sin (cos 0),故答案为： cos (sin 0) > cos 0> sin (cos 0)；& 若关于x 的函数y=sin 3X 在［-=,——］上的最大值为1，则 3的取值范围是 { 3| 3#或【考点】【分【解答】 正弦函数的图象.利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得解：•••关于x 的函数y=sin 3在［-一二-，〒-］上的最大值为3的取值范围.9.已知 盂,y€令］,&€尺，且,x 3+sinx - 2a=04y J +ysin2y+apO则cos (x+2y ) =_1【考点】【分析】 奇三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数. 设f (u ) =u 3+sinu .根据题设等式可知求得f解：设 由①式得f (x ) f(2y ) =-2a .f (x ) =2a , f (2y ) =-2a , (x ) = - f ( 2y ) =f (- 2y ).进而推断出x+2y=0 .进而求得 f ( u ) =u 3+sinu .=2a ,由②式得 进而根据函数的cos (x+2y ) =1.••• cos ( x+2y ) =1 .故答案为：1.u i rf y = u i riy10.设函数f (x ) = •^ ，关于f(x )的性质，下列说法正确的是②④I+COFZX - CQSX对于⑤，由正切函数的图象可知函数在整个定义域上不单调, 故答案为：②④ 二、选择题(4*4=16分)n11.为了得到y=3sin (2x+——)的图象，只需将 y=3cos2x 的图象( )A .向左平移——B .向右平移——C .向右平移一D .向左平移一【考点】函数y=Asin(3X+$)的图象变换.JT、 71【分析】把函数y=3sin (2x+ )变形为y=3sin[2 (x+ ..)]即可得到答案.4H【解答】解：••• y=3sin (2x+ ) =3sin[ 2 (x+ ..)].•要得到y=3sin (2x+)的图象，只需将 y=3cos2x 的图象向左平移 一丄个单位.4o故选：D .①定义域是｛x| XM k n+ k € Z};【考点】 【分三角函数的化简求值.利用二倍角公式化简函数解析式，根据正切函数的图象和性质逐一分析各个选项即【解答】” r sin2x - sinx sinx(2cosx - 1)i解: f (X ) = —-= 「 .=tanX (cosX 「)，k € Z ｝，故错误;对于②，函数f (x )的值域是R ，故正确; 对于③，由于f (x+n)" =履肚［"二汁二=ta nx (其中 l+cos2 Cx+^) 一兀)cosx (2cosx+l^cosxM -*),故错误；对于④，由于f (- x ) 确；sint - 2x) - sint - x) 1+co 吕(—2x) — cos ( 一 x) sins(2COSK - 1)cosx(2cosx — 1)=-f (x ),故正有无数个单调增区间，故错误. ② 值域是R ; ③ 最小正周期是 n; ④ f (x )是奇函数；⑤ f (x )在定义域上单调递增. 可得解. 对于①，函数f (X )的定义域是｛X|XM 2k n x M k n+兀X M 2k n5兀TT3€ (可，n)，且 tan aV cot 3,则必有(（n,西），从而得出结论.213.下列函数中以 n 为周期，在（0,——）上单调递减的是（）tanxA . y= （cotl ）B . y=| sinx|C . y= — cos2xD . y= — tan|x|【考点】正弦函数的图象.【分析】利用三角函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【解答】解：由于y=tanx 的周期为n, 0v cotl v 1,故y = （COt 1 ） tanx 的周期为n ,且在（0,）上单调递减，故 A 满足条件.IT由于y=|s 也|在（0, ^）上单调递增，故排除 B .由于在（0,詈）上，2x €（ 0, n ）,函数y= — cos2x 在（0，善）上单调递增，故排除 C .UU由于函数y= — tan|x|不是周期函数，故排除 D , 故选：A .【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结 论. 【解答】解：令x=cosy € ［ — 1, 1］, 则对任意实数y ,有等式f （cosy ） =cos2y 成立，即f （x ）=2x 2— 1成立，故A 成立.33对任意实数y 有等式f （cosy ） =cos3y=4cos y — 3cosy 成立，即f （x ） =4x — 3x 成立，故B 正 确.12. a,【考点】【分析】 3兀3 B . a> 3 C. a+ 3 V正切函数的图象. 由题意可得a+ 3^（ n, D . a+3>2 n),再根据 tan ( a+ 3)tanCl +tan f -“—乂>0，可得 a+3C【解答】解：a, 3€（牛，n ）, tanO- +tanP:tan(a+3) — 故选：C .且 tan av cot 3= ------ — V 0 ,二 tan a? n 3> 1, a+3€(n,t an p3 jr> 0, — a+ 3^( n,------------22 n ),),14.下列命题中错误的是（ A .存在定义在 B .存在定义在 C .存在定义在 D .存在定义在【考点】 [-1, [—1, [-1, [—1,）1］上的函数f 1］上的函数f 1］上的函数f 1］上的函数f (x) (x) (X ) (X) 使得对任意实数 使得对任意实数 使得对任意实数 使得对任意实数 y 有等式f ( cosy ) =cos2y 成立 y有等式 f ( siny ) =sin2y 成立 y 有等式f ( cosy ) =cos3y 成立 y 有等式 f ( siny ) =sin3y 成立二倍角的余弦；二倍角的正弦.令 t=siny € ［ - 1, 1］，则对任意实数 y ，有等式 f (siny ) =sin2y=2sinycosy=2t ? (土 行厂］-_ 成立，即f (x ) =2? (土寸j 一疔')成立，故B 错误.则对任意实数y ,有等式f (sin3y )=sin3y=3siny - 4sin 3y 成立，即f ( t )=3t - 4t 3成立，故D 成立， 故选：B .求a, ®的值.【考点】三角函数的化简求值. 可得sin 沪近sin ® 忑 cos 沪占cos ®,将两式平方后【分析】利用诱导公式化简已知利用同C0£a = -^厂，结合角的范围即可得解 a, ®的值.【解答】解: T 由sin( 5 n- a) =tr cos (±n+B)，可得：sin a 二sin ®两边平方可得: ① _ _ _ _由占COS (- a) = -©COS(n+B )，可得：灵 COS «=£C OSB ,两边平方可得：3cos 2 a=2cos 2 ②2 2 2 2.•.① + ②可得：sin a+3cos a=2sin ®+2cos ®=2,.22又 T Sin a+cos a=1 ,3兀57£~T16.若关于x 的方程sinx W3cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根 a, ®求实数a 的取值范围及相应的 a+ ®的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用.It【分析】 由 sinx+ "cosx+a=0, 得 sinx+ "cosx= - a , 画出函数 y=sinx+ L COSX =^L ：-.J的图象，数形结合得答案._ _【解答】 解：由 sinx+ "cosx+a=0, 得 sinx+ :_cosx= - a ,三、解答题( 8+10+12+14=44 分) 15.已知a,3€ (0, n)，并且 sin( 5n- a) =7cos (£n+B ),忑 cos (- a)=-忑 cos (n+3 ), (V2)cos^—或”cos P =—角三角函数基本关系式解得 sin 2 a=2si n 2^,• •解得：cos 2 a=—，即:COS 口厂或,V3COS p =—cos at =-—2cos P = -u-•••解•' a , 3€( 0, n ),-12令 y=sinx+ 二cosx=：；：- ：“ 一作出函数：＜■的图象如图： 若关于x 的方程sinX+讥cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根a, 3,则—2 J 「，或 「 匸「丄，即一 J 丁： .一 . ' 1或.'.-二当 a € (— 2,-二)时，3.汀-；当 a € (- ", 2)时，I ” 二_¥17. 已知函数(1)设变量t=sin 0+cos 0,试用t 表示y=f (t ),并写出t 的范围;(2)求函数y=f (t )的值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用.数基本关系式可求sin ecos 0=「八，进而即可用t 表示y=f (t ).23(t+2) + .厂-4］，利用基本不等式即可求其最小值，进而求得最大值即可得解函数y=f (t )的值域. 【解答】 解：(1)T t=sin 0+cos0,••• x€( 0, 2 n), ••• x+兰 €n TH ) '，')，【分析】 (1)由 t=y sin (t+一 )利用正弦函数的性质可求 t 的范围，平方后利用同角三角函4+21 • t=s in 0+cos 0= m s in ( 0+• t 2=si n 2 2 Ocos 0+2sin ecos e=1 +2sin 0,t 2• sin 0cos 0=- (2)由 y=(2) v y= =— - (「 =厶[(t+2) + 4],4+2t 2 t+2 2 t+2t € [ -「，— "] . _••• t+2€ [2 -二 2+ 二].•••( t+2) + .厂二； 「=2 二，当且仅当(t+2) = | 一，即 t+2=二时取等号.••• t+2€ [2 -二 2+ =].•••函数的最小值为 [2 .二-4]=:二 当 t=—[时，f (—二)=^^t =，时，f ( )= ---- :—-•函数的最大值为.4故函数y=f (t )的值域为：[二；一-].18. 用a , b , c 分别表示厶ABC 的三个内角A , B , C 所对边的边长，R 表示△ ABC 的外接圆 半径.(1) R=2, a=2, B=45 ° 求 AB 的长；(2) 在厶ABC 中，若/ C 是钝角，求证：a 2+b 2v 4R 2；(3) 给定三个正实数 a , b , R ,其中bw a ,问a , b , R 满足怎样的关系时，以 a , b 为边长, R 为外接圆半径的厶ABC 不存在，存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在厶ABC 存在的情况下，用 a , b , R 表示c .【考点】正弦定理.【分析】(1)由已知及正弦定理可 sinA , b ,利用大边对大角可得 A 为锐角，利用同角三角函 数基本关系式可求 cosA ，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，利用正弦定理即可得解 AB 的值.(2) 利用余弦定理推出 a 2+b 2< c 2,利用正弦定理推出 a 2+b 2< 4R 2.(3)分类讨论判断三角形的形状与两边 a , b 的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即 可.•/ R=2, a=2, B=45 ° 2 二 b 二 C二 1皿 ■ / QinZ 解得：sinA=，一，b=2 ：,VA <B ，可得 cosA= _ _ _ ： ■ ! ,=^^ 1V2 V3 V2 V2+V6 •. sinC=sin (A+B ) =sinAcosB +cosAsinB==亠 , 2 2 2 2 4• y =：-； I I I T , i i.-挡 ・ ------- y= ------2+t4+21 【解答】解：(1) •由正弦定理可得: 又••• a < b ,可得: t € [—=刁.AB=C=4S inC=4 x l?=. / :.2 2 2证明：（2）由余弦定理得cosC= ：_ -2ab••• C为钝角，可得cosCv 0,.a2+b2v C2又•••由正弦定理得c=2RsinC v 2R,••• C2v 4R2,.a2+b2v 4R2.解：（3）①a> 2R> b或a> b > 2R时，不存在；② 当a=2R且bv2R时，A=90 °存在一个，c=J討亠严；②当a=bv 2R，/ A= / B且都是锐角sinA=sinB= £时，△ABC存在且只有一个, c=2RsinC= 一寸订.：③当bv av 2R，存在两个,討挿-讽土詔新- /~2R-2016年9月2日。