关于函数y3—sinx2cosx值域的探究

扣．
思路２：若注意到本题图形的几何信息，利 用数形结合的思想，可考虑用直线斜率的方式 求解．
为单位圆，厂（ｚ）＝恙２参薏表示连结定 解：令“＝一ＣＯＳＸ，口＝ｓｉｎｚ，贝０“２＋口２＝１
点Ｐ（２，３）与单位圆“２＋勘２＝１上任何一点 （“，铆）所成直线的斜率，显然该直线与圆相切
离等于１，即矧１ 时斜率可取得最值，此时，原点到这条直线的距 ＾Ｊ 七ｋ２吐得卿±扣３．
１、试题的再现与解答
（１）求证：ｍｎ≥１；
题目 过双凿线Ｃ：ｚ２一Ｙ２＝１的右焦点 Ｆ２的直线与右支交于Ａ、Ｂ两点，且线段
（２）当直线ＡＢ的斜率惫∈［４３，３］时，求署
的取值范围．（２００８年华师一附中高三年级五
ＡＦ２、ＢＦ２的长度分别为优、恕，ｍ≥肌
月第二次压轴考试试题）
警｝■｝ｊ■■｝■ｅ■｝誊｝ｊ‘｝ｊＩ－｝ｊ●｝■｝蕾｝誓｝ｊ妇■皇ｊ‘ｅ誓ｅ■｝！Ｉｌ｝薯ｅ■ｅｊ●｝■｝妇誓｝■ｅ—ｋ■｝■ｅ■音■ｅ囊船誊｝业省｝■｝■皇警｝誓｝ｊ‘ｅ鲁｝
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的交点．
在弄懂了三角形的重心后，四面体的情况
我们也可以类比的解决．
解：设想四面体ＡＢＣＤ由
Ｄ
平行于底面ＡＡＢＣ的薄
路２的思想方法，对拓展学生的思维，提高学生
的能力非常有效．
例１设ｆ（ｘ）＝ｌ０９２（ｘ＋１），若０＜ａ＜ｂ
＜ｃ，试比较幽、丘些、幽的大小．
ａ
Ｄ
Ｃ
曲线Ｙ２一ｚ２＝１的上支，双曲线的渐近线斜率 为±１，所以函数ｆ（ｘ）＝￣／１＋ｚ２图像上任意
上两￡点女连渊线＜１的，斜．率·的 ．Ｉ绝厂对（口值）一 一厂定（小６）于Ｉ＜１Ｉ， 口一即
参考文献
［１］钱瑕玲主编．普通高中课程标准实验教科书·数学 （选修２—２）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００７． ［２］李云杰．高考中数学命题的推广［Ｊ］．高中数学教与 学，２００４，９． ［３］张巧凤．从平面到空间类比思维［．厂］．高中数学教与 学，２００４，１１．
·２４·
万方数据
中学数学研究
其实函数ｆ（ｚ）＝√１＋ｚ２的图像就是双
意Ａｃ＞忌ＢＣ，·‘．原不等式成立． 如果没有去挖掘试题内涵也没有去挖掘解
题的应用功能，不仅没有这个问题的多种解法， 更不会有关于这个问题的引伸和变式，也就体 验不到问题的活力与价值了，这无疑是入宝山 而空返，本文的目的就是想强调在教学中应以 提高学生的思维能力为宗旨，它是数学活动的 核心．
△４卑ｌＣｆ组成．这些三角形的ｃ 重心在相应的中线Ｃ互；上，且
每一条中线Ｃ墨；都平行于
图５
ＣＥ，它们都位于面ＣＤＥ上，所以四面体的重心
在面ＣＤＥ上．称这样的面ＣＤＥ为四面体的中
面，由同样的推理可得，重心在每一个中面上．
又每两个中面交于一条直线，三条直线交于一
点，这就是四面体的重心．
反思：这个解答我们借助类比思想，由简单
ｂ Ｉ．
例３ 已知ｌ＜口＜ｂ，求证：口６—１＞ｂ４＿。．
思路：问题的叙述如此简 洁，但要证这个不等式，却似 乎无从下手，现对不等式两边
缒
取对数试试，即有（ｂ一１）ｌｇａ
＞（ｎ—１）１９６，’．‘口一１＞０，ｂ—
ｌ＞ｏ，．·．墨＞鸬（口一１＞０，ｂ一１＞ｏ）（１），
对这个不等式再作一点变化垃掣＞
￡（垒）二￡（Ｑ２＼￡（垒）二￡（Ｑ２、￡（￡）二￡（Ｑ２
２。、当ａ２＋ｂ２＞１且Ｉ ｂ ｌ＜１时，即点Ｐ（ｂ，
止铲或ｙ一＞ａｂ＋√弘ａ２＋１ｂ２－１． ｎ）在圆外且在一１＜ｂ＜１表示的平面区域内
时，斜率的取值范围即函数的值域为Ｙ≤
３。、当ａ２＋ｂ２＝１时，即点Ｐ（ｂ，ａ）在圆上 时，斜率的取值范围即函数的值域为Ｒ．
４。、当口２＋ｂ２＜ｌ时，即点Ｐ（ｂ，ａ）在圆内 时，斜率的取值范围即函数的值域为Ｒ．
到复杂的类比得到的，是方法上的类比．也可以
这样类比：设想四面体是由一条条线段组成的，。
它们都平行于棱ＡＢ，易见，这些小线段的中点
构成中面ＣＤＥ，下面的处理方法就一样了． 在教学过程中，通过类比，引导学生推广数
学命题，探求解题途径，深化对知识的理解，对 数学思想方法的掌握．理解类比推理的定义及 运用思路，通过给出题目的条件，有意识地营造 一个较为开放型的学习空间，至始至终由学生 带着问题，开展研究性学习，让学生经历“课堂 上研究问题，课后亦拓展问题”的过程．提高学 生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提 高学生的实践能力和培养其创新精神．
题目 求函数Ｙ＝鲁翟墼的值域．
１挖掘各种解法。揭示思维规律 思路１：注意到表达式中含有的正余弦函 数，可启发利用三角函数的有界性处理．
解：由Ｙ ２署鬻，得２ｙ＋ｙｃｏｓｘ ２ ３一
ｓｉｎｘ，￣／１十ｙ２ｓｉｎ（ｘ＋９）＝３—２ｙ．其中ｔａｎ妒＝
Ｙ，．．．１＋ｙ２≥（３－２ｙ）ｚ，解得２一每压≤ｙ≤２＋
７
岔一０
７
ｂ一０
Ｃ一０
’
．．．幽＞掣＞幽．
ｋ｝芈，表达式ｋ｝｝｝类似于直线的斜率公
式，于是设，（ｚ）＝ｌｇｘ，由１＜口＜ｂ，作图，易知
例２ 己知函数．厂（ｚ）＝￣／１＋ｚ２（ｚ∈Ｒ）， 当口≠ｂ时，比较Ｉ ｆ（ａ）一ｆ（ｂ）ｌ与ｌ ｎ—ｂ ｌ的 大小．
思路：我们在平时的解题中，当正向思维有 困难时，不妨考虑一下逆向思维，只有这样，才 可能有柳暗花明，峰回路转的喜悦和感受．
２挖掘试题内涵。提升思维品质 当我们获得问题的一种解法后，不要为一 时的收获而沾沾自喜，使思维停滞不前，要启发 学生对自己的思维过程进行积极的反思与监 控；题目会有怎样的变化和发展，是否有可改进
求函数岁。恙的值域． 的地方，从而通过反思深化对问题本质的理解． 引伸１
基本思路：设Ｕ＝ＣＯａｘ，口＝ｓｉｎｘ，则题目意 义为：求连结定点Ｐ（ｂ，ａ）与单位圆扰２＋口２＝ １上任何一点（Ｕ，勘）所成直线的斜率的取值范
＝１上任何一点（Ｕ，口）所成直线的斜率的取值
范围，印直线可一口＝志（Ｍ—ｃ）与椭圆孑ＵＺ＋豪
思路二将函支变形为ｙ：竺掣ａ ＝１相切时ｋ的取值即为斜率的最值。 ｄ（÷＋ｅｏｓｘ） “
●
：粤．鱼－－—－－一ｓｌｎｘ，设“：一∞ｓｘ，ｖ＝ｓｉｎｘ，则题 “与＋‘）ＯＳＺ ｄ
目意义为：求连结定点Ｐ（号，詈）与单位圆Ｕ２
围．
问题：当点Ｐ（ｂ，ａ）的位置变化时，直线斜 率的范围将发生怎样的变化．
１。、当口２＋ｂ２＞ｌ且ｌ ｂ ｌ＞１时，即点Ｐ（ｂ，
万方数据
口）在圆外且在ｂ＞１或ｂ＜一１表示的平面区 域内时，斜率的取值范围即函数的值域为
——。矿ｊ＿≮ｙ≮——孑ｊｒ一’ ａｂ一￣／ｎ２＋ｂ２—１／ ／口６＋￣／口２＋ｂ２·１
＝０．此方程有实根的充要条件是△≥０，即４—
４（ｙ一３）（３ｙ一３）＞／ｏ．解得２一号√３≤ｙ≤２＋
扣．
思路１是解决此类问题的一个通法，利用 了三角函数的有界性，但是运算复杂，还要利用 到不等式的放缩，但若能注意挖掘图形的几何 信息，更具特色的解法二也就不难想到了，它体 现了解析法与综合法的有机结合，表明了知识 与方法的融会贯通对问题解决的重要作用．
引伸２求函数ｙ＝｝己譬尝的值域．
设”＝一ｂｃｏｓｘ，口＝ｂｓｉｎｘ，则题目意义 为：求连结定点Ｐ（ｃ，ａ）与圆“２＋础２＝ｂ２上任 何一点（“，口）所成直线的斜率的取值范围．
求函数ｙ＝忠的值域． 讨论情况同引伸１．
引伸３ 思路一设乱＝一ｄｃｏｓｘ，口＝ｂｓｉｎｘ，则题
目意义为：求连结定点Ｐ（ｃ，ａ）与椭圆孑ＵＺ＋堑ｂ２
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· 万２方６·数据
关于函数(y=3—sinx/2+cosx)值域的探究
作者： 作者单位： 刊名：ห้องสมุดไป่ตู้
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
何伟成 江西省新余市渝水一中,338000
中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2009，""(7) 0次
２００９年第７期
中学数学研究
关于函数ｙ＝｝篙值域的探究
江西省新余市渝水一中（３３８０００）何伟成
笔者认为课堂教学的核心应该放在学生思 维能力的培养和提高上．因此，作为教师只有紧 紧围绕培养和提高学生思维能力来实施教学， 才算是抓住了教学的本质和核心．本文就一道 常见的三角函数值域题，探究其解题思路，并加 以延伸和拓广．
２００９年第７期
．‘．２＿扣≤ｙ≤２＋扣．
思路３：若将该题转化为定义域为Ｒ的二
次函数，则可用判别式法．
２ｔａｎ－“４－
３一————————兰ｒ＿一
１＋ｔａｎ：普
解：由ｙ＝暑氅＝ １一ｔａｎ２普
１＋ｔＪ鲁
————ｊＬ—ｊ，令ｔａｎ ３＋３ｔａｎ２鲁一２ｔａｎ普
ｉｘ＝ｔ，则ｔ∈Ｒ，
此时３＋ｙｔ＝秆警要，即（ｙ－３）ｚｔ２仫＋３ｙ－３
思路：本题看似无处入
手，但若注意到图形特点，将
三个式进行变形为：
￡（堡）二￡（Ｑ） ．￡（鱼２二￡（鱼）
ａ一０
、
ｂ一０
、
．ｙ。
勿卜、．
｝Ｄ
赵皇皇丢⑩就发现这个形式印为直线的斜率
形式，因此上面三数即为连结曲线，（ｚ）＝ ｌ０９２（ｘ＋１）上的三点Ａ（ａ，厂（ａ））、Ｂ（ｂ，
ｆ（ｂ））、Ｃ（ｃ，ｆ（ｃ））与原点所成直线的斜率（如 图），由图可知，倾角越大，斜率越大，因此有