三角函数定义域和值域
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
三角函数定义域和值域
三角函数定义域和值域sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕；tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R；cotx的定义域为x不等于kπ,值域为R；y=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]。
三角函数（也叫做“圆函数”）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为Rcotx的定义域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用；一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
三角函数的值域和最值
能力·思维· 能力·思维·方法
π 4．已知△ABC中， tan A + = −2 − 3 ,求使 ．已知△ 中 求使 4 π 取最大值时∠C 的大小. 2 y = 2 sin B + sin 2 B + 取最大值时∠ 的大小 6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 解题回顾】形如 d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Asin(2x+φ) 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如 为常数 +B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 的式子 求最值时不能忽视对定义域的思考
π
能力·思维· 能力·思维·方法
π 4．已知△ABC中， tan A + = −2 − 3 ,求使 ．已知△ 中 求使 4 π 取最大值时∠C 的大小. 2 y = 2 sin B + sin 2 B + 取最大值时∠ 的大小 6 π
∴tan A = 3, A =
能力·思维· 能力·思维·方法
5.试求函数 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值 的最大值和最小值. 试求函数 的最大值和最小值 又若x∈ ， 又若 ∈[0，π/2]呢? 呢 解题分析:对于 解题分析 对于 “sinx+cosx+2sinxcosx”形式的式子已经不能 形式的式子已经不能 解 令 “asinx+bcosx=√a ∈[ 2sin(x+φ)”统一变量 ： t 统一变量, 简单地利用 = sin x + cos x, 则t2+b− 2, 2], 统一变量,而必 之间的关系, 须利用换元寻找 “sinx+cosx”与 “sinxcosx”之间的关系,进而 与 之间的关系 统一变量. 统一变量. cos x = (sin x + cos x)2 −1= t 2 −1 又2sin x
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
三角函数定义域和值域
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习(3分钟完成)
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
2
y=sinx，x[0, 2]
x
2.写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
-1 0
1 2
1
t
练习： y cos x sin x 2 的值域。
点拨:统一函数名
三） 分式型
sin x 例3： 求y 的值域。 反表示法 sin x 2 点拨: 1.反表示 2.利用 sinx 1, cos x 1有界性 2y 解 : sin x sinx 1 1 y 2y 1 | | 1 两边平方 值域为 1, 3 1 y
D
C
A
B
； https:///u/5028959491
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这样，想找个有骨节有肩膊的都不能。”“或者也有，只轮不着我们罢了。”“你我倒也算了，老板——”“嘘！”很怕蝶宵华听见了伤心，偷 眼看他，他端坐鞍上，双目微阖，竟似僧人入定了。苏家，全凭苏小横在，才安定下来。明柯逃跑了，谁知嘉颜是帮着明柯弄亏空贪官中银子的， 也跟了明柯逃跑，临走还卷了一票。明远据说进京去，太守家似有悔婚之意。桩桩件件，每件都要压垮老太太。苏小横只道：“有我在！你们不 必问端底，等着就好。”众人也终于静了。回道观里，裳儿拿红纸剪着玩，有一搭没一搭的，又似剪窗花，又似只糟塌纸张，见苏小横回来，嘻 嘻笑道：“爷爷也计算差了。”苏小横道：“哦？”“盗坠索银的人，爷爷先把目标锁定在大哥、五哥身上，尤以五哥嫌疑更重，五哥手里也确 实有大笔银子来路不名，叫爷爷查出来，”裳儿弄着剪子，侃侃谈道，“可他旋即却糊涂得把田庄里贪得来的银子，都输在赌局里，以至于受蕙 妹妹胁迫，坏了笙表妹名声，吃了爹爹一顿杖，爬都爬不起来，爷爷就重点去调查大哥了罢？谁知五哥买通爹爹身边行杖的，筋骨无碍，装着养 伤，悄没声儿一切都打点好，拐了嘉颜姐姐，扔嘣就走了！把爷爷可摆了一道。”“是你被摆了一道。”苏小横道。裳儿手里的剪子，停了停。 “你将是独当一面的人，特立专行，生杀予夺，非如此，不足以在宫中固宠。”苏小横道，“内外种种，我知道的，你也知道，我并未瞒你，我 所不知道的，你也应该自己想办法知道，定出方略，克敌制胜。你没有做到，就是败了。宫中败亡，你把责任怪在爷爷头上，纵然爷爷肯承担， 有用么？”裳儿默然片刻，将剪子放下，端端正正拜苏小横一礼：“孙女谨受教。”“你剪的是什么？”苏小横看着那张叠了数叠、被剪了许多 刀的红纸。裳儿将红纸展开，胡乱纵横的刀痕，并未能形成任何花样：“这是裳儿的心境。”“本应如何呢？”苏小横又问。“本应，”裳儿打 开一本书，取出里面压得平平的剪纸，是鸳鸯戏水，“送于四姐姐贴在嫁妆箱上，给四姐姐道喜。”苏小横神色不动：“你四姐姐婚事有阻 碍。”“是。”裳儿知这也是考题，“大哥既进京，四姐姐婚事就没有阻碍了。”苏小横微微叹了口气：“你会看不起你大哥吗？”“不会。” 这倒是真心话，“虽说男女分工有别，但强盗杀来，若只余妇女，那妇女也必须举刃招架；同样道理，床帷间、私室里，若只有男儿能去，那末 男儿也该去。为家族效命，诗姐姐如此，裳儿如此，大哥如此，原没什么分别。”说着伤感起来，“爷爷，你可知孙女流落在外，最困苦时，只 为一勺掺着砂子的糙豆饭，他要我做什么都可以。”苏小横抚着裳儿的头：“爷爷救你太迟。”“相比很多人来说，已经
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。
一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。
其定义域是实数集。
根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。
正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。
值域为全体实数，即整个实数集R。
四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。
这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。
值域也为全体实数。
2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。
值域为正数和负数的并集，即R - {0}。
3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。
值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。
五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。
正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。
在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数值域
三角函数值域三角函数是数学中常见的一个重要概念，描述了一个角度与其对应的正弦、余弦、正切等数值之间的关系。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要深入研究它们的值域。
三角函数的值域是指函数所有可能取到的值的集合。
在这篇文章中，我们将探讨三角函数的值域，并深入讨论正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的反函数。
首先，让我们来了解正弦函数的值域。
正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在-1和1之间，即[-1,1]。
这是因为正弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，而且它在区间内是连续的。
接下来，我们来探讨余弦函数的值域。
余弦函数也是一个周期函数，它的取值范围也在-1和1之间，即[-1,1]。
与正弦函数相似，余弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，并且也是连续的。
正切函数是三角函数中的另一个重要的函数。
它的定义域是所有实数除去所有的奇倍数π/2，值域是整个实数集。
这是因为正切函数在定义域内是连续的且无界的，可以取到正无穷和负无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有它们的反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
这些函数的取值范围与对应函数的定义域相同。
例如，反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
这是因为反正弦函数的作用是将正弦函数的值映射回[-π/2,π/2]的范围内。
总结起来，三角函数的值域可以归纳如下：- 正弦函数的值域是[-1,1]。
- 余弦函数的值域是[-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集。
- 反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是[0,π]。
- 反正切函数的值域是(-π/2,π/2)。
需要注意的是，这里提到的值域仅仅是三角函数单独的值域，而在实际问题中，多个函数可能组合使用，进而限制函数的取值范围。
综上所述，三角函数的值域对于研究三角函数的性质和应用非常重要。
通过深入了解值域的特点，我们能够更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
三角函数是几年级的知识内容-概述说明以及解释
三角函数是几年级的知识内容-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
它主要研究在单位圆上各点的坐标与它们所夹角的关系，是描述角度大小和角度关系的一种有效工具。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，通过对三角函数的定义和性质的学习，可以帮助我们理解角度的概念，掌握角度的计算方法，以及解决与角度相关的问题。
在教育体系中，三角函数的学习通常安排在高中数学课程中。
具体来说，正弦函数和余弦函数的学习常常在高一下学期进行，而正切函数的学习则安排在高二的下学期。
三角函数的学习需要基本的代数和几何知识作为前提，所以在掌握了初等代数和平面几何的基础上，学生才能比较顺利地理解和应用三角函数的相关知识。
通过学习和应用三角函数，学生可以进一步理解三角形的性质、比例关系以及相关的计算方法。
在物理学中，三角函数还能帮助学生理解力学、波动、电磁波等课程中的各种现象和问题。
总之，三角函数作为数学的一个重要分支，对于学生的发展和学习具有重要的影响和作用。
掌握三角函数的基本概念和应用方法，有助于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力，以及拓宽他们的科学视野。
在未来的教育中，我们应不断改进和创新三角函数的教学方法，使学生更好地理解和应用这一知识内容，为他们的未来学习和发展打下坚实的基础。
1.2文章结构文章结构部分应该包括以下内容：在文章结构部分，我们将会详细讨论本文的组织架构和内容安排。
通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解和掌握本文的主旨。
本文共分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
下面将对每个部分的内容进行简要介绍。
引言部分是文章的开端，通过引言，我们会给读者一个整体的概述。
首先，我们将简要介绍三角函数的概念和背景，包括定义、性质和应用等方面的基本知识。
然后，我们将展示整篇文章的结构，列举各个部分的主要内容。
正文部分是文章的主体，也是最重要的部分。
在这一部分，我们将围绕三角函数的定义、性质和应用展开详细的讨论。
高中数学诱导公式全集有了它三角函数一网打尽
将两个角的三角函数通过加减或乘除转化为 单个角的三角函数。
拓展延伸：其他相关知识点介绍
反三角函数
介绍反正弦、反余弦、反正切等反三角函数 的概念和性质；
三角函数的幂级数展开
通过幂级数展开式，将三角函数表示为无穷 级数的形式；
三角函数的积分与微分
介绍三角函数的积分和微分数表示
两角差正弦公式
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
应用举例：求值、化简和证明
求值
利用两角和与差三角函数公式， 可以求出一些特殊角的三角函数
值，如cos15°、sin75°等。
化简
在三角函数式的化简中，常常需 要利用两角和与差三角函数公式
进行化简，如化简 sin(x+y)+sin(x-y)等。
正弦函数（sine）
01
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cosine）
02
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tangent）
03
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
周期性奇偶性及对称性
01
02
03
周期性
正弦函数、余弦函数周期 为2π，正切函数周期为π 。
06
辅助角公式及其应用
辅助角概念及性质
辅助角定义
在三角函数表达式中，为了简化 计算或方便求解，引入的一个与 自变量有关的角，称为辅助角。
辅助角性质
辅助角与原函数中的角存在某种 关系，如相等、互补或互余等， 这种关系有助于简化三角函数表 达式。
辅助角在三角函数中的应用
1 2 3
化简三角函数表达式
$cosalpha = frac{1}{secalpha}$
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
三角函数
三角函数在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/x正弦（sin）:角α的对边比上斜边余弦（cos）:角α的邻边比上斜边正切（tan）:角α的对边比上邻边余切（cot）:角α的邻边比上对边 x正割（sec）:角α的斜边比上邻边余割（csc）:角α的斜边比上对边平方关系：(sinx)^2+(cosx)^2=1 1＋(tanx)^2＝(secx)^2 1＋(cotx)^2＝(cscx)^2 积的关系：sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secα cotα=cosα×cscαse cα=tanα×cscα cscα=secα×cotα·倒数关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα对称性180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
180度/2-α的终边关于y=x对称。
两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αt anα-cotα=-2cot2α公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝t anα co t（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot （π/2－α）＝ta nαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα定名法则 ;定号法则90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。
二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。
这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。
2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。
正切函数的取值范围是整个实数集。
3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。
反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。
这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。
三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。
在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。
2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。
通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。
四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。
未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。
三角函数定义域和值域PPT教学课件
(1).列表
y sin x, x 0,2
x
0
6
3
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2).描点
y
1-
-
(3).连 线
0
2
1 -
3 2
2
x
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、（ ，0）、3( ,-1)、
一）一次型 y=asinx+b
直接代入法
例1：求y 2sin x 1 值域。
分析：利用 sinx 1 cos x 1有界性
函数y 2sin x 1的值域为1，3
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是 a b
2
例5. y 2cos x sin( x )
2
2
3 sin2 x sin x cos x的值域.
3
1.统一角 2.降次 3.二合一
五） 其他形式：
一般一个式子中同时出现了sin x cos x和sin x cos x.
想到了 令t sin x cos x(t 2,
例5：y sin x cos x sin x cos x
y=3cosx, x 2
解: sin x 2 y 1 y
sinx 1
| 2 y | 1 1 y
三角函数性质及三角函数公式总结
三角函数性质及三角函数公式总结一。
三角函数的性质正弦函数 y = sin x 的定义域为实数集，值域为 [-1.1]，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为T = 2π。
在[0.π] 区间内，正弦函数单调递增，在[π。
2π] 区间内单调递减。
正弦函数是奇函数，即满足 sin(-x) = -sin(x)，同时具有对称性，即满足sin(π-x) = sin(x)。
余弦函数 y = cos x 的定义域为实数集，值域为 [-1.1]，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为T = 2π。
在[0.π/2] 区间内，余弦函数单调递减，在[π/2.π] 区间内单调递增。
余弦函数是偶函数，即满足 cos(-x) = cos(x)，同时具有对称性，即满足cos(π-x) = -cos(x)。
正切函数 y = tan x 的定义域为实数集，值域为 R，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为 T = π。
在(kπ - π/2.kπ + π/2) 区间内，正切函数单调递增或递减。
正切函数是奇函数，即满足 tan(-x) = -tan(x)，但没有对称轴。
二。
三角函数诱导公式三角函数诱导公式的作用是把求任意角的三角函数值，转化为求到2π角的三角函数值，或者把负角的三角函数转化为正角的三角函数。
例如，可以把180°～270°间的角的三角函数转化为锐角三角函数，或者把90°～180°间的角的三角函数转化为锐角三角函数。
同时，三角函数诱导公式还可以把任意角的正弦余弦函数进行转化。
三。
其他常用三角函数公式最基本的三角公式是 sin²x + cos²x = 1.两角和的余弦公式是 cos(a+b) = cosacosb - sinasinb。
两角差的余弦公式是 cos(a-b) = cosacosb + sinasinb。
三角函数与指数对数函数的性质与应用
三角函数与指数对数函数的性质与应用三角函数和指数对数函数是高中数学中常见且重要的数学函数。
它们在数学领域具有丰富的性质和广泛的应用。
本文将分别介绍三角函数和指数对数函数的性质以及它们在实际生活中的应用。
一、三角函数的性质与应用1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1，1]。
它有以下性质：（1）周期性：正弦函数的图像呈周期性振荡，周期为2π。
（2）对称性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
（3）最值：正弦函数在某些特定点处取得最大值1和最小值-1。
正弦函数在自然界和实际生活中有着广泛的应用。
比如在物理学中，正弦函数可以用来描述振动、波动和周期性现象。
另外，在航空航天领域，正弦函数可以用来计算飞行物体的轨迹和振动的频率。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数。
余弦函数的定义域为实数集，值域也是[-1，1]。
它有以下性质：（1）周期性：余弦函数的图像也呈周期性振荡，周期为2π。
（2）对称性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
（3）最值：余弦函数在某些特定点处取得最大值1和最小值-1。
余弦函数在数学、物理等领域有着广泛的应用。
例如在几何中，余弦函数可以用来计算两向量的夹角；在天文学中，余弦函数可以用来计算星球的亮度。
3. 正切函数正切函数是三角函数中最常见且重要的函数之一。
正切函数的定义域为实数集，但是在x=π/2+πk(k∈Z)处无定义。
它有以下性质：（1）周期性：正切函数的图像同样具有周期性，周期为π。
（2）奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
（3）极值点：正切函数在某些特定点处没有极值。
正切函数在工程学、物理学等领域有着广泛的应用。
例如在工程测量中，正切函数可以用来计算角度的大小和测量高度。
二、指数对数函数的性质与应用1. 指数函数指数函数是以底数为常数的变底数函数。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
三角函数总结大全附记忆口诀
三角函数总结大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面为大家整理的三角函数公式大全：（一）任意角的三角函数及诱导公式1．任意角概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
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2.二合一
例5. y 2cos x sin( x
1.统一角
1 cos 2 x sin x 2
2
3
) 3 sin x sin x cos x的值域.
2
2.降次
3.二合一
五） 其他形式：
一般一个式子中同时出现了sin x cos x和sin x cos x.
t 2 1 想到了 令t sin x cos x(t 2, 2 ) 则sin x cos x 2 y 例5：y sin x cos x sin x cos x
6
)
(3) y 2cos x-1
练 (4) y lg(2sin x-1)
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型
例1：求y 2sin x 1 值域。
y=asinx+b
直接代入法
分析：利用 sinx 1 x 1有界性 cos
) 2 sin( x
3
）
练习：y 2sin x cos x的值域.
1.降次
值域为 5, 5 例5. y cos2 x sin x cos x的值域.
原式的值域为 2， 2
1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 1 cos 2 x 2 2
3.写出y A sin( wx )或y A cos( wx ) 2 T [ | A |,| A |] (1)值域__________ (2)周期__________| |
二.填表
y sin x
定义域 值域 最值 周期
y cos x
R
R
[1,1]
x 2k
[1,1]
x 2k 时y max 1
x 2k
2
时y max 1
T 2
2
时y min 1 x 2k 时y min 1
T 2
一. 求三角函定义域:
例1.求下列函数的定义域;
1 (1) y 1 sin x
(2) y
1 1 sin(2x+
cos x 2 练习： y cos x 1
四）二合一
利用a sin x b cos x a 2 b2 sin( x )
y a sin x b cos x
3
例4. y sin x 3 cos x的值域.
解：原式= 1 3） sin( x （
2 2
S AB BC 2R cos sin 2R sin 2 sin 2 1
S 2R2
当2 90， 45时，圆内接矩形面积最大 即 这时圆内接矩形为内接正方形。
A D
C
B
练习：
如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，
要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使某一边AD落在圆的直径上，另 两点B,C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径 长为a,如何选择关于点O对称的点A，D 的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
-1 0
1 2
1
t
练习： y cos x sin x 2 的值域。
点拨:统一函数名
三） 分式型
a sin x b y c sin x d
sin x 例3： 求y 的值域。 反表示法 sin x 2 点拨: 1.反表示 2.利用 sinx 1, cos x 1有界性 2y 解: sin x sinx 1 1 y 2y 1 | | 1 两边平方 值域为 1, 3 1 y
D
C
ABLeabharlann 解： 设t=sinx+cosx,则t 2 , 2
t2 1 原式化为： y=t+ 2
1 1 2 1 2 = （t 1） 1 = t t 2 2 2
t 2, 2
1
2
0
2
x
1 y min =-1 , y max = + 2 2
sin x cos x 练习：y 1 sin x cos x
六：应用题求最值 例6：把一段半径R的圆木锯成横截面为矩形的
木料，怎样锯法才能使得横截面的面积最大。
解：因为锯得的矩形横截面是圆内接矩形 （如图所示），设BAC=，则AB=2Rcos , BC=2Rsin .因此，矩形的面积
函数y 2sin x 1的值域为 1， 3
练习：口答下列函数的值域 [－1，3] (1)y=-2sinx+1 [－1，5] (2) y=3cosx+2 总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是 最小值是 a b
a b
例2：求 y sin x sin x 1的值域。 二次函数法
准备好白纸!!!! 我们要默写了!!!
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习(3分钟完成)
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
2
y=sinx，x[0, 2]
x
2.写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
2
二)二次型 y a sin2 x b sin x c
点拨:1.换元(注明新元取值) 2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
解:令t sin x 1,1
y
1 3 当t 时，y min 2 4
2
1 2 3 y (t ) 2 4
当t=-1时，ymax =3