(完整word版)热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。

解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = 由此易得11

,p V nR V T pV T

α∂⎛⎫=

== ⎪

∂⎝⎭ 11,V p nR p T pV T β∂⎛⎫=

== ⎪∂⎝⎭ 2111

.T T V nRT V p V p p

κ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =

αdT κdp -⎰如果1

1

,T T p

ακ==

，试求物态方程。 解：以,

T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =

其全微分为.p T V V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫

=+ ⎪

⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p T

dV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪

∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为

.T dV

dT dp V

ακ=-

（2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T

V dT dp ακ=

-⎰ （3） 若

11,T T p ακ=

=，式（3）可表为11ln .V dT dp T

p ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000

ln

=ln ln ,V T p

V T p -即000p V pV C T T ==（常量），或.pV CT =(5) 式（5）就是由所给11

,T T p

ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。

1.3 简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数T κ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和T κ看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为()()000(,),01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦ 解: 以,T p 为状态参量，物质的物态方程为(),.V V T p =根据习题1.2式（2），有

.T dV

dT dp V

ακ=- （1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在α和T κ可以看作常

量

的

情

形

下

，

有

()()000

ln

,T V

T T p p V ακ=---（2）或

()()()()

0000,,.T T T p p V T p V T p e

ακ---=（3）考虑到α和T κ的数值很小，将指数函数展开，

准确到α和T κ的线性项，有()()()()0000,,1.T V T p V T p T T p p ακ=+---⎡⎤⎣⎦（4） 如果取00p =，即有()()()00,,01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦（5）

1.7 小匣题解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U 与其原来在大气中的内能0

U 由式（1.5.3）0U U W Q -=+

（1）确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，0.Q = 过程中外界对系统所做的功可以分为1W 和2W 两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由0V 变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强0p 可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为1000.W p V p V =-∆=

另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则20.W =因此式（1）可表为000.U U p V -=

（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有00,p V nRT =（3）

000()()1

V nR

U U C T T T T γ-=-=

-- （4）式中n 是系统所含物质的量。代入式（2）即有0.T T γ=（5） 活门是在系统的压强达到0p 时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作0p ，其物态方程为00.p V nR T γ=（6）与式（3）比较，知 0.V V γ= （7）

1.8 满足n

pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为 1

n V n C C n γ

-=

- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

0lim .n T n n

n

Q U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数， ,V n U C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭所以.n V n

V C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2）将多方过程的过程方程式n

pV C =与理想气体的物

态方程联立，消去压强p 可得1

1n TV

C -=（常量）。 （3）将上式微分，有12

(1)0,

n n V dT n V TdV --+-=所以.(1)n

V V T n T ∂⎛⎫

=-

⎪∂-⎝⎭ （4）代入式（2），即得,(1)1n V V pV n C C C T n n γ-=-=-- (5)其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量

n

C 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数

n p n V

C C n C C -=

-。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

解：根据热力学第一定律，有đđ.dU Q W =+ （1） 对于准静态过程有đ,W pdV =- 对