(完整word版)热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案
大学热力学统计物理第四版汪志诚答案2
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T Tpακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p = 其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T p ακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp T p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T p V T p -即00p V pV C T T ==（常量），或 .p V C T = （5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学统计物理(汪志成)1
多体问题
热力学极限系统：
N N ,V , V
有限
02 热力学系统分类
(１).按系统和外界关系有 孤立系统(孤系) 有无能量、 物质交换
封闭系统(闭系)
开放系统(开系)
注意：不同系统的性质不同； 绝对的孤系不存在。 (２).按化学组成有： 单元系：具有单一化学成分的系统。
也可以解出
pC FBC ( pB ,VB ;VC )
如果A、B和C同时达到热平衡，则（2），（4）应同时成 立，则
FAC ( pA ,VA ;VC ) FBC ( pB ,VB ;VC )
（5）
根据热平衡定律，A，B也达到热平衡，则，
f AB ( pA ,VA ; pB ,VB ) 0
(P,V) V
4).弛豫过程（时间） 非平衡态 → 平衡态
５.热力学过程 1).过程:
状态随时间的变化.
2).分类: (1).按中间态性质分：(演示). 平衡过程（准静态过程）：中间态全是平衡态。 可以用P-V图上的一条线表示。
非平衡过程（非静态过程）：中间态只要有一个是非平衡态。
非平衡过程（非静态过程）： 中间态只要有一个是非平衡态。 (2).按与外界的关系分： 自发过程 非自发过程
紧密结合教学内容采取以下做法 A． 提出参考提纲，要求学生对系综理论进行全面，系统 的总结。特别要求学生在自学，独立思考的基础上，深入 分析三种系综等价的含义，等价的原因，既等价为什么又 要引入不同系综的理由，自编自解等价的问题，并总结根 据实际问题选用恰当系综的体会。 B． 以“假如你是德拜……”为题，提出参考提纲，在学 生自学的基础上，以讨论的方式，以“再发现”的学习模 式，研究“晶格振动比热的德拜理论”。从而达到体会统 计模型提出思考过程。
热力学与统计物理汪志诚答案
热力学与统计物理汪志诚答案【篇一：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】xt>1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?解：已知理想气体的物态方程为?。
pv?nrt,（1）由此易得??1??v?nr1??,（2） ??v??t?ppvt1??p?nr1??,（3） ??p??t?vpvt???t??????????2??.（4）v??p?t?v??p?p1??v??1??nrt?11.8 满足pvn?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明： n??cv n?1理想气体在多方过程中的热容量cn为cn?解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量??q???u???v?cn?lim???p?????. （1） ?t?0?t??n??t?n??t?n对于理想气体，内能u只是温度t的函数，??u?所以??v?cn?cv?p??. （2）??t?n将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得。
（3） tvn?1?c1（常量）将上式微分，有1 / 15vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0,所以v??v???.（4） ??(n?1)t??t?n代入式（2），即得cn?cv?pvn???cv,（5） t(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量c多方过程，多方指数n?cn?cpcn?cvn如果是常数，该过程一定是。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有du??q??w.（1）对于准静态过程有?w??pdv,对理想气体有du?cvdt,气体在过程中吸收的热量为?q?cndt,因此式（1）可表为(cn?cv)dt?pdv. （2）用理想气体的物态方程pv?vrt除上式，并注意cp?cv?vr,可得(cn?cv)dtdv?(cp?cv).（3） tv将理想气体的物态方程全式求微分，有dpdvdt??. （4） pvt式（3）与式（4）联立，消去dt，有 t(cn?cv)2 / 15dpdv?(cn?cp)?0. （5） pv令n?cn?cpcn?cv，可将式（5）表为dpdv?n?0. （6） pv如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得。
热力学与统计物理课后答案.docx
《热力学与统计物理学》课后习题及解答选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数压强系数卩和等温压缩系数為。
解：由理想气体的物态方程为PV = uRT 可得:1.2证明任何一种具有两个独立参量T,尸的物质，其物态方程可由实验测得的 体胀系数Q 及等温压缩系数紡，根据下述积分求得:\nV = \(adT-K T dP)以八尸为自变量，物质的物态方程为：V = V(T,P)如耘〒 专’试求物态方程。
解: 体胀系数: 其全微分为：dV dT + p ar dP dP = aVdT-VK T dP, y- = adT-K T dP体胀系数:压强系数：0 =等温压缩系数: 丄P等温压缩系数:这是以八P 为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得:}nV = j （adT-K T dP ） 根据题设,将6（=丄,K T =丄，代入：ln/=f 丄dT -丄dPT T P }{T P 丿得:lnr = ln- + C, PV = CT,其中常数c 由实验数据可确定。
P1.5描述金属丝的儿何参量是长度厶，力学参量是张力£,物态方程是 ./、（£, L, r ） = o,实验通常在1几下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：“丄（学］,等温杨氏模量定义为：Y = -（^},其中/是 L （打人 牡。
厶力金属丝的截面积。
一般来说，a 和Y 是厂的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如 果温度变化范围不大，可以看作常量。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由 7；降至3时，其张力的增加为：\^ = -YAa （T 2-T^ 解:由/（£,厶，T ）= 0,可得：£ = £（L, T ）微分为：〃£ = （等）血+ （善］刃\由题意可知：dL = O.即：d£ = -aAYdT,积分得：A£ = -aAY(T 2 ・TJ1. 7在25 °C 下，压强在0至1000 p n 之间,测得水的体积为：K = （18.066-0.715x 10~3P + 0.046x 1 O'6P 2\m\mor ［Q 如果保持温度不变，将 1 mol 的水从1几加压至1000 求外界所作的功。
汪志诚(习题解答)汇总
热力学与统计物理习题解答第一章 热力学的基本规律⒈1 求理想气体的体胀系数α、压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由p T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α，V T p p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1β，TT p V V ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=1κ。
将RT pV =代入，得：VR T p V =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂， p R T V p =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂，2p RT p V T-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂。
于是：T 1==βα ， pK T 1= 。
1.7 在25O C 下，压强在0至1000P n 之间测得水的体积为：V =（18.066 —0.715×10-3p +0.046×10-6p 2）cm 3.mol -1。
若保持温度不变，将1mol 的水1P n 加压至1000P n ，求外界对系统作的功W 。
解：V =（18.066 —0.715×10-3p +0.046×10-6p 2）cm 3.mol -1= （18.066 —0.715×10-3p +0.046×10-6p 2）×10-6m 3.mol -1dp p dV 66310)10092.010715.0(---⨯⨯+⨯-=dp p p pdV W P P 66310012110)10092.010715.0(---⨯⨯+⨯--=-=⎰⎰1.33=J ·mol -11.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强0p 时将活门关上。
证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U 与原来在大气中的内能U O 之差U —U O = p O V O ，其中V O 是它原来在大气中的体积。
若气体是理想气体，求它的温度与体积V 。
解： 设进入小匣的那部分气体在大气中的状态为（p O 、V O 、T O ）因为气体是绝热而等压地冲入匣内，可设想用活塞等压地将气体压入匣中。
热力学统计物理第四版汪志诚答案及习题解答
热力学统计物理第四版汪志诚答案及习题解答在学习热力学统计物理这门学科时，汪志诚先生所著的《热力学统计物理》第四版是众多学子的重要参考书籍。
然而，在学习过程中，课后的习题往往成为检验和巩固知识的关键环节。
因此，对于这本书的答案及习题解答的需求也就应运而生。
首先，我们来谈谈为什么需要答案及习题解答。
对于初学者来说，刚刚接触热力学统计物理的概念和理论，理解上可能存在一定的困难。
通过完成习题，可以更好地掌握知识点，加深对理论的理解。
而答案及习题解答则能提供一个参考，帮助学生判断自己的解题思路是否正确，及时发现错误并加以改正。
同时，通过对比自己的解法和标准答案，还能学习到不同的解题方法和技巧，拓宽思维方式。
接下来，我们具体看一下这本教材中的一些典型习题以及相应的解答。
比如，在热力学部分，有关于热力学第一定律和第二定律的应用问题。
以一个封闭系统的绝热膨胀为例，要求计算系统内能的变化以及熵的变化。
对于这类问题，关键是要正确运用热力学第一定律和熵的定义式。
在解答过程中，首先要明确系统的初末状态，确定所涉及的热力学变量。
然后，根据绝热过程的特点，即没有热量交换，再结合热力学第一定律，就可以求出内能的变化。
而熵的变化则需要根据熵的定义式，并考虑过程的可逆性或不可逆性来进行计算。
在统计物理部分，常见的习题包括计算理想气体的配分函数、热力学量以及粒子在势场中的分布等。
以计算理想气体的配分函数为例，需要运用量子力学的知识和统计物理的方法。
通常，会先将理想气体的能量表示为粒子的动能和势能的和，然后根据量子力学的能级公式，对能量进行量子化。
接着，利用配分函数的定义式，对所有可能的量子态进行求和或积分，就可以得到理想气体的配分函数。
在解答这些习题时，要特别注意以下几点：一是对基本概念和公式的掌握要扎实。
热力学统计物理中有很多复杂的公式和概念，如果没有理解透彻，很容易在解题时出现错误。
二是要注意解题的逻辑和步骤。
每一步的推导都要有依据，不能凭空想象或随意省略步骤。
热力学与统计物理课后答案 汪志诚
147第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln .S k Ω=解:对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!l ll l l Ωa a ωω=−∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()ln ln ln ln .l l l l l l l l lΩa a a a ωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN Uαβαβαβ⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=++()ln ,l l l k Ξa αβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()ln ln 1.l l lΞe αβεω−−=+∑（4）由费米分布e 1l ll a αβεω+=+易得1481e l l l la αβεωω−−+=−（5）和l n.l ll la a ωαβε−+=（6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为ln ln.ll ll lΞa ωωω=−∑（7）将式（6）和式（7）代入式（3），有ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω⎛⎞−=+⎜⎟−⎝⎠∑()()ln ln ln .l l l l l l l l lk a a a a ωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（8）比较式（8）和式（2），知ln .S k Ω=（9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1,ln 1ln 1,s s s s ss s s s sS k f f f f S k f f f f =−++⎡⎤⎣⎦=−+−−⎡⎤⎣⎦∑∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数.s∑表示对粒子的所有量子态求和.同时证明，当1s f <<时，有()B.E. F.D.M.B.ln .s s s sS S S k f f f ≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l ll l l l l l l ll S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦⎡⎤−=−−+⎢⎥⎣⎦∑∑1491ln 1ln ,lll l l l l l l l a a a a k ωωωωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑（1）式中l∑表示对粒子各能级求和.以ls la f ω=表示在能量为l ε的量子态s 上的平均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到~,l lsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =−+−−⎡⎤⎣⎦∑（2）由于1s f ≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =−−++⎡⎤⎣⎦∑（3）对于玻色系统0s f ≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在1s f <<的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln 11s s s s sf f f f f ±≈±≈−∓∓∓∓所以，在1s f <<的情形下，有()B.E. F.D.ln .s s s sS S k f f f ≈≈−−∑（4）注意到s sf N =∑，上式也可表示为B.E. F.D.ln .s s sS S k f f Nk ≈≈−+∑（5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2N h U NkT g V mkT ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（1）（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利150用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3Up V=（2）可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2h p nkT n g mkT ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（3）式中Nn V=是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为32272311,22π2V VU C T h Nk n mkT ∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎢⎥=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦∓（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.VC S dT S V T=+∫（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln .22π2hS Nk T Nk n S V g mkT ⎛⎞=±+⎜⎟⎝⎠（6）式中的函数()0S V 可通过下述条件确定：在322312πN hn V mkT λ⎛⎞=<<⎜⎟⎝⎠的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g ），可确定()0S V ，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln .22π2mkT hS Nk ng h g mkT ⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎛⎞⎢⎥=+±⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7）弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数ln Ξ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱151简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0.在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度c T 由条件()0d e1ckT D nεεε+∞=−∫（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e1ckT L m n h εε+∞=−∫（2）二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定.令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=−∫（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x−−−−==+++−−⋯则d 111e 123xx +∞=+++−∫⋯11.n n∞==∑（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱152因斯坦凝聚.8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212x y x V m x y z ωωω=++中运动.如果原子是玻色子，试证明：在c T T ≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y z εωωω=++ℏ的基态，在3,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：31.202,c kT N ω⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠ℏ其中()13.x y z ωωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为31.c N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222y x z x y z p p p m x m y m z m m m εωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（1）这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222x y z n n n x x y y z z n n n εωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ℏℏℏ,,0,1,2,x y z n n n =⋯（2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T 时处在量子态,,x y z n n n 上的粒子数为,,11112221.e1x y z x x y y z z n n n n n n kT a ωωωµ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=−ℏℏℏ（3）处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即153()0.2x y z µεωωω<≡++ℏ（4）化学势µ由()01,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωωεµ⎡⎤+++−⎣⎦=−∑ℏ（5）确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值c T 时，µ将趋于0.ε临界温度c T 由下式确定：()1,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωω⎡⎤++⎣⎦=−∑ℏ（6）或,,1,e1x y zx y zn n n n n n N ++=−∑（7）其中(),,.ii i cn n i x y z kT ω==ℏ在1ickT ω<<ℏ的情形下，可以将i n 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注意到在d d d x y z n n n 范围内，粒子可能的量子态数为3d d d ,c x y z kT n n n ω⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ即有3d d d ,1x zy x y zc n n n kT n n n N eω++⎛⎞=⎜⎟⎝⎠−∫ℏ（8）式中()13.x y z ωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()11e 1e 1eee.x y z x y z x y z x y zx y zn n n n n n n n n n n n l n n n l ++−++++∞−++−++==⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦=∑积分等于154000030d d d e d e d e d e 111.202.y xz x y z x y z l n l n l n x y zn n n l l n n n n n n l ∞+∞+∞+∞−−−++=∞==−==∑∫∫∫∫∑所以式（8）给出13.1.202C N kT ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（9）式（9）意味着，在,0N ω→∞→而3N ω保持有限的极限情形下，C kT 取有限值.上述极限称为该系统的热力学极限.在c T T <<时，凝聚在基态的粒子数0N 由下式确定：30 1.202,kT N N ω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ上式可改写为31.C N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（10）式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovo et al.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.8.6承前8.5题，如果,z x y ωωω>>，则在z kT ω<<ℏ的情形下，原子在z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明C T T <时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+ℏ的基态，在2,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：21.645,C kT N ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ其中()12.x y ωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为21.C N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠155解:在,z x y ωωω>>的情形下，原子z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在c T T <时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+ℏ的基态.临界温度c T 由下式确定：2d de 1x y x y C n n kT n n N ω+∞+⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫ℏ21.645,C kT ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（1）其中()12,x y ωωω=201d d 11.645.e 1x yx y n n l n n l∞+∞+===−∑∫（2）在,0N ω→∞→而N ω保持有限的热力学极限下c kT 为有限值，有12.1.645C N kT ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（3）C T T ≤时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比由下式确定：20 1.645,kT N N ω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ或21.C N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（4）低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovo et al及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirż̇et al.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K 的平衡辐射.（b）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为156()223d d .πV D c ωωωω=（1）温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e1kTD N T ωωωωω=−ℏ（2）因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为()223d .πe1kTVN T cωωω+∞=−∫ℏ（3）引入变量x kTω=ℏ，上式可表示为()3223033233d πe 12.404.πx V kT x x N T c k VT c +∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠=∫ℏℏ或()332332.404.πk n T T c =ℏ（3）在1000K 下，有163210.n m −≈×在3K 下，有835.510.n m −≈×8.8试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd ,d ,e1hc kThc u T λλλλλ=−并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m λ满足方程m hc x kT λ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠5 5.x e x −+=这个方程的数值解为 4.9651.x =因此,4.9651m hcT kλ=m λ随温度增加向短波方向移动.157解:式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,d d .πe 1kTu T c ωωωωω==−ℏℏ（1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有22πd d .c ωλλ=（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd ,d .e1hc kThc u T λλλλλ=−−（3）令hcx kTλ=，使(),u T λ取极大的波长m λ由下式确定：5d 0.d e 1x x x ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（4）由式（4）易得55e .x x −−=（5）这方程可以用数值方法或图解方法求解.图解方法如下：以x 为横坐标，y 为纵坐标，画出两条曲线1e ,,5x y x y −=−=如图所示.两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96.精确的数值解给出 4.9651.x =所以使(),u T λ为极大的m λ满足4.9651m hc T kλ=15832.89810m K.−=×⋅（6）右方是常量，说明m λ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),u T λ为极大的m λ与式（8.4.11）给出的使(),u T ω为极大的m ω并不相同.原因是(),u T λ是单位波长间隔的内能密度，(),u T ω是单位频率间隔的内能密度.m λ与m ω分别由5d 0d e 1x x x ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（4）和3d 0d e 1x x x ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（7）确定，其中.hcx kT kTωλ==ℏ由这两个方程解得m x 显然不同.8.9按波长分布太阳辐射能的极大值在480nm λ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度.解:由上题式（6）知32.89810m K.m T λ−=×⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K 6000K.48010T −−×==×8.10试根据热力学公式d VC S T T=∫及光子气体的热容量求光子气体的熵.解:式（8.4.10）给出光子气体的内能为24433π.15k U VT c =ℏ（1）由此易得其定容热容量为159243334π15V V U k C VT T c ∂⎛⎞==⎜⎟∂⎝⎠ℏ（2）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d ,V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫（3）积分沿任意一条积分路线进行.如果取积分路线为由（0，V ）到（T ，V ）的直线，即有24242333334π4πd ,1545Tk k V S T T T c c ==∫ℏℏ（4）其中已取积分常量0S 为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T ，V ）的直线，结果如何？8.11试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值.解:根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e 1cp p p h βθθϕ−（1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元.以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数.它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数.因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e 1cpp p c cp h βθθϕθ⋅⋅−（2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J 为160π232π2300023302d sin cos d d e 12πd .e 1u cp cp c p pJ h c p p h ββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅−=−∫∫∫∫令x cp β=，上式可表示为4233042432π1d e 12ππ6,90u x c x xJ h c c kT h c β+∞⎛⎞=⋅⎜⎟−⎝⎠⎛⎞=⋅⋅⎜⎟⎝⎠∫或24423π.60u k J T c =ℏ（3）在6000K ，有727.1410J m ;u J −=×⋅在1000K ，有520.5510J m .u J −=×⋅8.12室温下某金属中自由电子气体的数密度283610m ,n −=×某半导体中导电电子的数密度为28310m n −=，试验证这两种电子气体是否为简并气体.解:根据§8.5，在e 1α>>，即31n λ<<的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e 1α<<，即31n λ>>的情形下，气体形成强简并的费米气体.3223,2πh n n mkT λ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（1）将283300,610m T K n −==×代入，得33101,n λ≈>>（2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体.将203300K,10m T n −==代入，得35101,n λ−≈<<所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.161金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13银的导电电子数密度为28 3.5.910m −×试求0K 时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.解:根据式（8.5.6）和（8.5.8），0K 下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n .式（8.5.6）给出()()222303π.2n mµ=ℏ（1）将31342839.110kg, 1.0510J s, 5.910m m n −−−=×=×⋅=×ℏ代入，即得()1800.87610J 5.6eV.µ−=×=（2）费米速率F υ等于61F 1.410m s .υ−==×⋅（3）式（8.5.8）给出0K 下电子气体的压强为()()10200 2.110Pa.5p n µ=≈×（4）8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p =>（1）其中F p 是费米动量，即0K 时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为FF34F 30F 23F38π1d 34.8π14d 3p p Vp pp h p p V p p p h ===∫∫（2）因此电子的平均速率为162F F 33.44p p υυm m ===（3）8.15试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4nυΓ=其中Nn V=是电子的数密度，υ是平均速率.解:绝对零度下电子速率分布为F F 1,,0,,f υυf υυ=≤=>（1）式中F υ是0K 时电子的最大速率，即费米速率.单位体积中速率在dυd d θϕ间隔的电子数为()32F 32sin d d d .m υυυυhθθϕ≤（2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z 轴的单位面积器壁上的碰撞数为3232cos sin d d d .m d υυυhΓθθθϕ=⋅（3）将上式积分，υ从0到F ,υθ从0到π,2ϕ从0到2π，得0K 时电子气体的碰壁数为F π32π32300034F 32d sin cos d d 211242υm υυh m υh Γθθθϕπ==⋅⋅⋅∫∫∫34F3π.2m υh=（4）但由式（2）知单位体积内的电子数n 为163F 3π2π2300033F 32d sin d d 2122π3υm υυh m υh Γθθϕ==⋅⋅⋅∫∫∫33F 38.3m υh π=（5）所以F 31.444n υnυΓ=⋅=最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速a = 1.8.8）），试证明在0K理想费米气体中a =解:式（1.8.8）已给出声速a为a =，（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数.根据能氏定理，0K 下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0K 下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0K 下理想费米气体的压强为()()()22523220523π52p n n mµ==ℏ()()22523353213π.52m mρ=ℏ（2）故()2222F32213π,323Sp p n m m m ρ⎛⎞∂==⎜⎟∂⎝⎠ℏ即164a ==（3）8.17等温压缩系数T κ和绝热压缩系数S κ的定义分别为1T Tp V κρ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠和1.S Sp V κρ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠试证明，对于0K 的理想费米气体，有()()()3100.20T S n κκµ==解:根据式（8.5.6）和（8.5.4），0K 下理想费米气体的压强为()()5223232203π.552N p n mV µ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠ℏ（1）在温度保持为0K 的条件下，p 对V 的偏导数等于()2223223π.32T p N V m V ∂⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠ℏ由式（A.5）知()()222232313.23π2T TV V p p N N V m V −⎛⎞∂==⎜⎟∂∂⎛⎞⎝⎠⎛⎞⎜⎟∂⎜⎟⎝⎠⎝⎠ℏ（2）所以0K 下()()5223231331.2203π2T T V V V p n N m V κµ⎛⎞∂=−==⎜⎟∂⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ（3）根据能氏定理，T =0的等温线与S =0的等熵线是重合的，因此0K 下.T SV V p p ⎛⎞⎛⎞∂∂=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠由此可知165()131.20S S V V p n κµ⎛⎞∂=−=⎜⎟∂⎝⎠（4）式（4）也可以从另一角度理解.式（2.2.14）和（2.2.12）给出s VT pC C κκ=（5）和2.p V TVT C C ακ−=（6）由式（6）知，0K 下,p V C C =所以式（5）给出0K 下.S T κκ8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f µµεµµ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0µ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch µεεµ==⋅∫故166()1330.8n ch µπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（3）0K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch V ch µµεεεεεµ===⋅∫∫()30.4N µ=（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为()110.34U p n V µ==（5）8.19假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解:根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m h πεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f µµεµµ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0µ由下式确定：()()02204π4πd 0,A A N m m h hµεµ==∫即()220.4π4πh N h m A mµ==（3）0K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m NU m h h µεεµµ===∫（4）167仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5）因此0K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n µ=（6）8.20已知0K 时铜中自由电子气体的化学势()07.04eV,µ=试求300K 时的一级修正值.解:根据式（8.5.17），温度为T 时金属中自由电子气体的化学势为()()()22π01,120kT T µµµ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦300K 下化学势()T µ对()0µ的一级修正为()()()22350 1.121001207.8810eV.kT πµµµ−⎡⎤−=−×⎢⎥⎣⎦=−×这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小.这一点可以从下图直接看出.图中画出了在不同温度下电子分布函数()f ε随ε的变化.0K 时电子占据了能量ε从零到()0µ的每一个量子态，而()0εµ>的状态则全部未被占据，如图中的0T 线所示.温度升高时热激发使一些电子从能量低于µ的状态跃迁到能量高于µ的状态.温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的1T 线和2T 线所示()12.T T <费米分布1e 1hTf εµ−=+168要求在任何温度下εµ=的状态12f =，即占据概率为1.2从图8-2可以看出，化学势µ必然随温度升高而减少，即()210.µµµ<<8.21试根据热力学公式VC S dT T=∫，求低温下金属中自由电子气体的熵.解:式（8.5.19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为()2π.20V kTC Nk µ=（1）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d .V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫（2）取积分路线为（0，V ）至（T ，V ）的直线，即有()()2220ππd ,2020T Nk kTS T Nk µµ==∫（3）其中已取积分常量0S 为零.8.22由N 个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为r ω，轴向频率为r λω的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为()()222222221.22x y z r m p p p x y z m εωλ=+++++试求0K 时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量.假设5-1210,3800s ,8r N ωλ===，求出数值结果.解:由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为(),,,x y z n n n r x y z n n n εωλ=++ℏ,,0,1,2,x y z n n n =⋯（1）式中已将能量零点取为1.2r λω⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ℏ理想费米气体的化学势(),T N µ由下式确定：169(),,1.e1r x y z x y zn n n n n n N βωλµ⎡⎤++−⎣⎦=+∑ℏ（2）如果N 足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于r ωℏ，或者温度足够高使r kT ω>>ℏ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分.令,,,d ,d ,d ,x x r y y r z z r x r y r z r n n n εωεωελωεωεωελω======ℏℏℏℏℏℏ式（2）可表达为()()3d d d 1.e 1x y z x y zrN βεεεµεεελω+++=+∫ℏ（3）引入新的积分变量x y z εεεε=++，可进一步将式（2）改写为()()31d d d ,e 1xyrN βεµεεελω−=+∫∫∫ℏ（4）式中被积函数只是变量ε的函数，与x ε和y ε无关.对一定的ε，d x ε和d y ε的积分等于以x ε轴、y ε轴和x y εεε+=三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于21.2ε所以式（4）可表达为()()d ,1D N eβεµεε−=+∫（5）其中()()231d d .2r D εεεελω=ℏ（6）它是能量在ε到d εε+范围内粒子的状态数.0K 时系统尽可能处在能量最低的状态.由于泡利原理的限制，粒子将从170能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为()0µ的状态止.()0µ由下式确定：()()()()30233011d .322rr N µµεελωλω==∫ℏℏ由此可得()()1306.r N µωλ=ℏ（7）0K 时费米气体的能量为()()()()()()0003343d 1d 20142rr E D µµεεεεελωµλω===∫∫ℏℏ()30.4N µ=（8）粒子的平均能量为()30.4εµ=（9）对于题给的数据，可得30nK,r ω=ℏ()0 3.5μK,F T k µ==2.7μK.Ek=8.23承上题，试求低温极限F T T <<和高温极限F T T >>下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解:首先讨论低温极限F T T <<的情形.根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分()0d ,e1kTI εµηεε+∞−=+∫（1）在低温极限下可展开为171()()()220πd 6I kT µηεεηµ′=++∫⋯（2）对于磁光陷阱中的理想费米气体，有20d ,e1kTc N εµεε+∞−=+∫（3）其中()31.2r c λω=ℏ上式确定费米气体的化学势.利用式（1），（2）可得2321π,3c kT N µµ⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦因此11233231πN kT c µµ−⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦()()22π01.30kT µµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（4）气体的内能为30d ,1kTc U eεµεε+∞−=+∫利用式（1），（2）可得()()()()()()24242224242224212π4π0112π430034π0112π4300C kT U C kT kT kT kT N µµµµµµµµ⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈−⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈−⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()223201π.430kT N µµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（5）热容量为()2d π.d 0U kTC Nk T µ==（6）172在高温极限F T T >>的情形下，有F e ee1.T kTTµα−−=≈≈（7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布.按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数()()1023e d 1e d 2rZ D βεβεεεεελω+∞−+∞−==∫∫ℏ()3312.2r βλω=ℏ（8）内能为1ln 3.U NZ NkT β∂=−=∂（9）上式与能量均分定理的结果相符.根据式（7.6.7），气体的化学势为()31Z ln ln 6.0kT kT kT N µµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=−=−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强.见B.DeMarco,D.S.Jin.Science.1999,285(1703).A.G.Truscott et al.Science.2001,191(2570).8.24关于原子核半径R 的经验公式给出()151/31.310m ,R A −=×⋅式中A 是原子核所含核子数.假设质子数和中子数相等，均为A /2，试计算二者在核内的密度.n 如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的()0µ以及核子在核内的平均能量.核子质量271.6710kg.n m −=×解:根据核半径的经验公式()11531.310m ,R A −=×⋅173假设核内质子数和中子数相等，均为2A ，则二者的密度均为()45-31520.0510m .4π1.310m 3A n A −=≈××⋅如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量()0µ为()()22231103π20.4310J 27MeV.n mµ−==×≈ℏ由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为()113050.2610J 16MeV.εµ−==×≈核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型.它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功.核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子.从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心.将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为150.410m −×，核内核子之间的平均距离约为152.410m −×，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为30.412.4100⎛⎞≈⎜⎟⎝⎠，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分.其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态.作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.253He 是费米子，其自旋为1/2在液3He 中原子有很强的相互作用.根据朗道的正常费米液体理论，可以将液3He 看作是由与原子数目相同的3He 准粒子构成的费米液体.已知液3He 的密度为-381kg m ⋅，在0.1K 以下的定容热容量为 2.89.V C NkT =试估算3He 准粒子的有效质量*.m174解:我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0K 理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量F p 的费米球：()123F 3π,p n =ℏ（1）F p p >的状态则完全未被占据.气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.F p 的大小取决于气体的数密度.n 朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子.液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同.对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量p 和自旋S 描述.在0K 费米液体处在基态时，准粒子占满了动量空间中半径为F p 的费米球，F p 仍由式（1）确定，但n 是液体的粒子数密度.费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.以()d f p ω表示单位体积中动量在p 到d p p +的准粒子数.在自旋量子数为1/2的情形下，有32d d .phω=()f p 满足归一化条件()d .f p n ω=∫（2）由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量()p ε与其他准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关.因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即()()d ,Ep f p V εω≠∫（3）而是分布函数()f p 的泛函.准粒子能量()p ε由下式定义：()()δδd ,Ep f p V εω=∫（4）或()()δ.δE V p f p ε⎛⎞∂⎜⎟⎝⎠=∂⎡⎤⎣⎦（5）上式的意义是，准粒子能量()p ε等于增加一个动量为p 的粒子所引起的系统能175量的增加.()p ε既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数()f p 的泛函.习题8.2曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式()()()(){}ln 1ln 1d ,S kV f p f p f p f p ω=−+−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫（6）式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布()f p 和空穴具有分布()1f p −所导致的熵.式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态.如果()f p 是某非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达.在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值.根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系.将式（6）中的()f p 理解为费米液体中准粒子的分布，费米液体的熵亦可由式（6）表达.在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值.可以证明，平衡态的分布具有下述形式：()()1.e1p kTf p εµ−=+（7）这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，1kT 和kTµ是拉氏乘子.显然，T 和µ分别是费米液体的温度和化学势.需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于()p ε是分布函数()f p 的泛函，式（7）实际上是分布函数()f p 的一个复杂的隐函数表达式.以()()()()00,f p p ε和()0µ分别表示0K 时的分布函数、准粒子能量和化学势.由式（7）可知，()()0f p 是一个阶跃函数：()()()()()()()()0001,0;0,0.p fp p εµεµ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩（8）上式给出0K 时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致.在接近0K 的低温下，分布函数应与阶跃分布()()0f p 接近.作为一级近似，可以用()()0f p 近似地确定准粒子的能量().p ε这意味着()p ε简单地成为p 的确定的函数()()0.p ε对于F p p ≈的动量值，可以将函数()()0p ε按F p p −作泰勒展开，即()()()()0F F 0,p υp p εµ−=−（9）其中()()F 0F p p υp ε⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦（10）176是准粒子在费米面的速度.对于理想费米气体，有()2F F ,.2pp p υm mε==可以类似地引入准粒子有效质量*m 的概念，定义*FF,p m υ=（11）并将()0µ和F ~p p 处的()()0p ε简单地记为()2F*0,2p mµ=（12）()()()20F *.2p p p p mε=≈（13）如§8.5所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8.5.19）和（8.5.6））()()222223ππ.203πV C kT mkTNk n µ==ℏ（14）根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为()()22*2223ππ,203πV C kT m kT Nk n µ==ℏ（15）其中*m 是费米液体准粒子的有效质量.将题中所给液3He 的实测数据代入，注意3He 的质量密度nm ρ=（m 是3He 原子的质量），可得3He 准粒子的有效质量约为*3.m m ≈（16）关于朗道费米液体理论，可参看《量子统计物理学》（北京大学编写组）§5.5和Lifshitz,Pitaevskii.Statistical Physics Ⅱ.§1,§2.177补充题1写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度.解:根据（6.2.14），二维空间中在面积A 内，在x p 到d ,x x y p p p +到d y yp p +的动量范围内，光子可能的量子态数为22d d .x yA p p h（1）换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A 内，动量大小在p 到d p p +范围内，光子的量子态数为24πd .Ap p h（2）再利用光子的能量动量关系cp ε=和能量频率关系εω=ℏ，可得二维空间中在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子的量子态数为()2d d .AD cωωωωπ=（3）根据玻色分布和式（3），可得温度为T 时二维平衡辐射在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子数为()2,d d .πe 1A N T c βωωωωω=−ℏ（4）对频率积分，得温度为T 时二维平衡辐射击的总光子数为()()02220,d d πe 11d πe 1x N T N T A cA x x c βωωωωωβ+∞+∞+∞==−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫∫∫ℏℏ2222π.6A k T c =ℏ（5）温度为T 时在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内，二维平衡辐射的能量为()22,d d .πe 1A u T c βωωωωω=−ℏℏ（6）这是二维平衡辐射的普朗克公式.对频率积分，得温度为T 时二维辐射场的内能为178()223220d πe 11d πe 1x Au T cA x x c βωωωβ+∞+∞=−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫∫ℏℏℏℏ33222.404.πA k T c =ℏ（7）参照式（2.6.7）或8.11题，可得二维辐射场的辐射通量密度u J 与内能密度的关系为33221.202.2πu c J u k T c π==ℏ（8）应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔.（参阅E.Yablonovitch.Jour.Mod·Opt.1994,41（173）.章蓓.光学微腔.见：介观物理.北京：北京大学出版社，1995.276）.不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的.补充题2金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性.这是泡利（Pauli ）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性.试根据费米分布导出0K 金属中自由电子的磁化率.解:§7.8和习题7.27讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向.离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。
热力学与统计物理课后答案.docx
《热力学与统计物理学》课后习题及解答选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数压强系数卩和等温压缩系数為。
解：由理想气体的物态方程为PV = uRT 可得:1.2证明任何一种具有两个独立参量T,尸的物质，其物态方程可由实验测得的 体胀系数Q 及等温压缩系数紡，根据下述积分求得:\nV = \(adT-K T dP)以八尸为自变量，物质的物态方程为：V = V(T,P)如耘〒 专’试求物态方程。
解: 体胀系数: 其全微分为：dV dT + p ar dP dP = aVdT-VK T dP, y- = adT-K T dP体胀系数:压强系数：0 =等温压缩系数: 丄P等温压缩系数:这是以八P 为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得:}nV = j （adT-K T dP ） 根据题设,将6（=丄,K T =丄，代入：ln/=f 丄dT -丄dPT T P }{T P 丿得:lnr = ln- + C, PV = CT,其中常数c 由实验数据可确定。
P1.5描述金属丝的儿何参量是长度厶，力学参量是张力£,物态方程是 ./、（£, L, r ） = o,实验通常在1几下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：“丄（学］,等温杨氏模量定义为：Y = -（^},其中/是 L （打人 牡。
厶力金属丝的截面积。
一般来说，a 和Y 是厂的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如 果温度变化范围不大，可以看作常量。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由 7；降至3时，其张力的增加为：\^ = -YAa （T 2-T^ 解:由/（£,厶，T ）= 0,可得：£ = £（L, T ）微分为：〃£ = （等）血+ （善］刃\由题意可知：dL = O.即：d£ = -aAYdT,积分得：A£ = -aAY(T 2 ・TJ1. 7在25 °C 下，压强在0至1000 p n 之间,测得水的体积为：K = （18.066-0.715x 10~3P + 0.046x 1 O'6P 2\m\mor ［Q 如果保持温度不变，将 1 mol 的水从1几加压至1000 求外界所作的功。
热力学与统计物理习题
0 m 2
2
U0 ；
Cm dT s0 。 T
（第三版）2.24、实验测得顺磁介质的磁化率 T 。如果忽略其体积的变化，试求特性函 数 f m, T ，并导出内能和熵。
时电介质的热容量与充电后再令电路断 开后的热容量之差。 2.19、 （2.21）已知顺磁物质的磁强化强度 m 为
C ， 若维持物质的温度不变， H（居里定律） T 使磁场由 0 增至 H ，求磁化热。 m
2.20 、 （ 2.23 ） 已 知 超 导 体 的 磁 感 应 强 度
B 0 H m 0 ，求证：
1 T1 T2 下吸收的，再计 2
算其熵的变化。并证明当 T T2 T1 T1 时，两种做法将得到一致的结果。 补充题：两个热容量分别为常数 C1 和 C2 ，初始温度分别为 T1 和 T2 的固体，在与外界绝热 的情况下接触，并达到平衡，试求两固体的总熵变 S ，并证明 S 0 ，当 T1 T2 时取等 号，当 T1 T2 时取不等号。
2L m 2 D d d 。 h 2
5
1
6.3、试证明，对于二维自由粒子，在面积 L 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为
2
D d
2 L2 md 。 h2
6.4、 在极端相对论情形下， 粒子的能量动量关系为 cp 。 试求在体积 V 内， 在 到 d 的能量范围内三维粒子的量子态数。 6.5、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和 N 。粒子间的相互作用很弱，可以看作 是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制，试证明，在 平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 al l e
热力学统计物理第四版答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T =（5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热统
mv2
e 2kT
v2dv
f v 称为麦克斯韦速率分布函数
10
7.3 麦克斯韦速度分布律
二、最概然速率，平均速率，方均根速率 1、最概然速率：
vm
2kT m
2、平均速率：v
8kT
m
3、方均根速率： vs
3kT m
11
7.3 麦克斯韦速度分布律
三、例题：泻流泻流 用麦克斯韦速度分布率计算单位时间内碰到单位面
3、低温下氢气的性质？
二、量子统计：双原子分子理想气体的内能和热容量
t v r
配分函数： Z
el l
e t
v
r
( it
v j
r k
)
l
t ,v,r
et t ev v er r z1t z1v z1r
二、满足经典极限条件的玻色(费米)系统热力学量的统计 表达式
Z1
el l
l
U N ln Z1
N e Z1 N
Y y ln Z1
因玻色、费米系统的微观状态数： M .B.
N!
因此
S
Nk (ln
Z1
ln
Z1)
k
ln
N!
S k ln M .B. N!
F .D.
l
l! al!(l
al )!
c
N! al ! l
(
l
h0 r
) al
l
2
三种分布的关系
玻耳兹曼分布 玻色分布 费米分布
热力学与统计物理答案(汪志诚)
第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV = V nRTP P nRT V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=αT PV RnT P P V /1)(1==∂∂=βP PnRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1Tα=1T p κ= ,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pVV T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以, dp dT VdVdp V dT V dV T T κακα-=-=,所以, ⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdpT dT V =-=⎰:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。
问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。
线胀系数定义为ηα)(1TL L ∂∂=等杨氏摸量定义为T L A L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积，一般说来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。
热力学与统计物理学 王志诚 第四版总复习
T V p S S p
S V p T p T
麦氏关系给出了S、T、P、V四个变量之间的偏导数之
间的关系。利用麦氏关系，可以把一些不能直接从实验测
量的物理量用例如物态方程(或α和KT)和热容量等可以测 量的物理量表达出来。
推进活塞压缩汽缸内 的气体时，气体的体 积、密度、温度或压 强都将变化
平衡状态描述
状态参量:平衡态系统具有确定的宏观物理量， 这些量不全部独立。可任意选取一组 独立宏观量确定平衡态。 态函数: 表示为状态参量函数的其他宏观量。 状态参量：几何参量、力学参量、电磁参量、化学参量。
几何参量（长度、面积、体积等） 力学参量（力、压强等）
2H 2H pS Sp
T V p S S p
3. 自由能
F U TS
dF SdT pdV
F F F F (T , V ), dF dT dT T V V T F F S S (T , V ), p p (T , V ) T V V T
理想气体：在任何情况下都遵守玻马定律，阿氏定律及焦耳 定律的气体。
pV nRT
R=8.31J· -1·-1——摩尔气体常量 mol K
•实际气体物态方程
范德瓦耳斯方程：
引力修 正项
斥力修 正项
an ( p 2 )(V nb) nRT V
2
简单固体和液体：
V (T , P) V0 (T0 , P ) T T0 kT P 0 1
2U 2U VS SV
T p V S S V
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1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = 由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ 11,V p nR p T pV T β∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p T V V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=-（2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .TV dT dp ακ=-⎰ （3） 若11,T T p ακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p -即000p V pV C T T ==（常量），或.pV CT =(5) 式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数T κ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和T κ看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为()()000(,),01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦ 解: 以,T p 为状态参量，物质的物态方程为(),.V V T p =根据习题1.2式（2），有.T dVdT dp Vακ=- （1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在α和T κ可以看作常量的情形下，有()()000ln,T VT T p p V ακ=---（2）或()()()()0000,,.T T T p p V T p V T p eακ---=（3）考虑到α和T κ的数值很小，将指数函数展开，准确到α和T κ的线性项，有()()()()0000,,1.T V T p V T p T T p p ακ=+---⎡⎤⎣⎦（4） 如果取00p =，即有()()()00,,01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦（5）1.7 小匣题解：将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能U 与其原来在大气中的内能0U 由式（1.5.3）0U U W Q -=+（1）确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，0.Q = 过程中外界对系统所做的功可以分为1W 和2W 两部分来考虑。
一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由0V 变为零。
由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强0p 可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。
过程中大气对系统所做的功为1000.W p V p V =-∆=另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则20.W =因此式（1）可表为000.U U p V -=（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有00,p V nRT =（3）000()()1V nRU U C T T T T γ-=-=-- （4）式中n 是系统所含物质的量。
代入式（2）即有0.T T γ=（5） 活门是在系统的压强达到0p 时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作0p ，其物态方程为00.p V nR T γ=（6）与式（3）比较，知 0.V V γ= （7）1.8 满足npV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为 1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n nnQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数， ,V n U C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2）将多方过程的过程方程式npV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TVC -=（常量）。
（3）将上式微分，有12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=所以.(1)nV V T n T ∂⎛⎫=-⎪∂-⎝⎭ （4）代入式（2），即得,(1)1n V V pV n C C C T n n γ-=-=-- (5)其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量nC 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n p n VC C n C C -=-。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有đđ.dU Q W =+ （1） 对于准静态过程有đ,W pdV =- 对理想气体有,V dU C dT =气体在过程中吸收的热量为 đ,n Q C dT =因此式（1）可表为().n V C C dT pdV -= （2）用理想气体的物态方程pV vRT =除上式，并注意,p V C C vR -=可得()().n V p V dT dVC C C C T V-=-（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有.dp dV dT p V T += （4） 式（3）与式（4）联立，消去dTT，有 ()()0.n V n p dp dVC C C C p V -+-= （5） 令n p n VC C n C C -=-， 可将式（5）表为0.dp dV n p V+= （6） 如果,p V C C 和n C 都是常量，将上式积分即得n pV C =（常量）。
（7） 式（7）表明，过程是多方过程。
1.10 声波在气体中的传播速度为α=假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u 和焓h 可由声速及γ给出：()21a a u u h h γγγ=+=+-200,-1其中00,u h 为常量。
解：根据式（1.8.9），声速a 的平方为2v,a p γ= （1） 其中v 是单位质量的气体体积。
理想气体的物态方程可表为,mpV RT m +=式中m 是气体的质量，m +是气体的摩尔质量。
对于单位质量的气体，有 1v ,p RT m += （2）代入式（1）得 2.a RT m γ+=（3）以,u h 表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。
由式（1.7.10）—（1.7.12）知0,1RT m u m u γ++=+- 0.1RTm h m h γγ++=+- （4）将式（3）代入，即有 20,(1)a u u γγ=+-20.1a h h γ=+- （5） 式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和γ即可确定气体的比内能和比焓。
1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温度随高度的变化率dTdz，并给出数值结果。
解：取z 轴沿竖直方向（向上）。
以()p z 和()p z dz +分别表示在竖直高度为z 和z dz +处的大气压强。
二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即 ()()(),p z p z dz z gdz ρ=++ （1）式中()z ρ是高度为z 处的大气密度，g 是重力加速度。
将()p z dz +展开，有()()(),d p z dz p z p z dz dz +=+代入式（1），得()().dp z z g dzρ=-（2）式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。
以m +表大气的平均摩尔质量。
在高度为z 处，大气的摩尔体积为()m z ρ+，则物态方程为()(),()m p z RT z z ρ+= （3）()T z 是竖直高度为z 处的温度。
代入式（2），消去()z ρ得()().()d m gp z p z dz RT z +=- (4）由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为、1.S T T p p γγ⎛⎫∂-= ⎪∂⎝⎭ （5）综合式（4）和式（5），有()1().S d T d m gT z p z dz p dzR γγ+⎛⎫∂-==- ⎪∂⎝⎭（6）大气的 1.41γ=（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质量为3122910kg mol ,9.8m s m g +---=⨯⋅=⋅，代入式（6）得()110K km .dT z dz -=-⋅（7）式（7）表明，每升高1km ，温度降低10K 。
这结果是粗略的。
由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km ，大气温度降低6K 左右。
1.12 假设理想气体的p V C C γ和之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T V 和的关系，该关系式中要用到一个函数()F T ，其表达式为()ln ()1dTF T T γ=⎰-解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足0.V C dT pdV += 用物态方程pV nRT =除上式，第一项用nRT 除，第二项用pV 除，可得0.V C dT dVnRT V+= （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），,,p V p VC C nR C C γ-==可将式（2）改定为10.1dT dV T V γ+=- （3）将上式积分，如果γ是温度的函数，定义1ln (),1dTF T T γ=-⎰ （4）可得1ln ()ln F T V C +=（常量）， (5)或()F T V C =（常量）。
（6）式（6）给出当γ是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T 和V 的关系。
1.13 利用上题的结果证明：当γ为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为211.T T η=-解：在γ是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有2111ln,V Q RT V = （1） 3224ln ,V Q RT V = （2）32121214ln ln .V VW Q Q RT RT V V =-=- （3）根据 1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有1223()(),F T V F T V = （4）2411()(),F T V F T V = （5）从这两个方程消去1()F T 和2()F T ，得3214,V V V V = （6） 故2121()ln ,VW R T T V =- （7）所以在γ是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为2111.T WQ T η==- （8） 1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。