2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.3 圆的基本性质导学案 (新版)沪科版

2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.3 圆

的基本性质导学案（新版）沪科版

【学习目标】

1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；

2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并学会运用这些关系解决有关问题；

3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．

【学习重难点】

重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理的推论；

难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．【课前预习】

1．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )．

A．8 B．2 C．10 D．5

答案：D

2．圆是旋转对称图形，对称中心为圆心．

3．顶点在圆心的角叫做圆心角．

4．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．

5．定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都相等．

这个定理可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．

【课堂探究】

1．弧与它所对的圆心角之间的关系

【例1】如图(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于D，求AD的度数．

分析：要求AD的度数，根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出∠DCA 的度数．

解：连接CD，如图(2)．

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°.

∵CD＝CA，

∴∠CDA＝65°.

∴∠DCA＝180°－65°×2＝50°.

∴AD的度数为50°.

点拨：在同圆或等圆中，解决有关弦、弧、圆心角的问题时，常常用到此三组量之间的对应关系．

2．弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理

【例2】如图(1)，M、N分别为⊙O的非直径弦AB、CD的中点，AB＝CD.求证：∠AMN ＝∠CNM.

分析：利用弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理．因为M、N分别是AB、CD的中点，连接OM、ON，则有OM⊥AB，ON⊥CD，OM＝ON，故易得结论．

证明：连接OM、ON，如图(2)．

∵M、N分别是⊙O的非直径弦AB、CD的中点，

∴OM⊥AB，ON⊥CD.

由AB＝CD，得OM＝ON.

∴∠OMN＝∠ONM.

∵∠AMN＝90°－∠OMN，∠CNM＝90°－∠ONM，

∴∠AMN＝∠CNM.

点拨：在解决弦、弧、弦心距的问题时，常要作出半径或弦心距，构造弦的一半、弦心距、半径组成的直角三角形．

【课后练习】

1．下列说法中不正确的是( )．

A ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

D ．当圆绕它的圆心旋转35°17′42″时，不会与原来的圆重合 答案：D

2．如图，MN 为⊙O 的弦，∠M＝50°，则∠MON 等于( )．

A ．50°

B ．55°

C ．65°

D ．80°

答案：D

3．在半径不相等的⊙O 1和⊙O 2中，11A B 与22A B 所对的圆心角都是60°，则下列说法正确的是( )．

A. 11A B 与22A B 的弧长相等

B. 11A B 和22A B 的度数相等

C. 11A B 与22A B 的弧长和度数都相等

D. 11A B 与22A B 的弧长和度数都不相等

答案：B

4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE 上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( )．

A ．40°

B ．60°

C ．80°

D ．120°

答案：C

5．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE.求证：∠B＝∠D.

证明：如图，连接OE、OF.

∵DF=BE，

∴∠DOF=∠BOE.

∵OD=OF=OB=OE，

∴△ODF≌△OBE.

∴∠B=∠D.

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