学而思高中题库完整版三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版

题型一：与三角恒等变换的综合题

【例1】 函数2π()sin 222sin 4f x x x ⎛

⎫=-- ⎪⎝

⎭的最小正周期是 ．

【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛

⎫=++∈ ⎪⎝

⎭R ，．

⑴求()f x 的值域；

⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =，

3c =，求a 的值．

【例3】 已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛

⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭．

⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的取值范围；

⑵当tan 2α=时，()3

5

f x =

，求m 的值．

【例4】 已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R

⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡

⎤

⎢⎥⎣

⎦，上的最大值和最小值；

⑵若06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，，求0cos2x 的值．

【例5】 已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示．

⑴求,ωϕ的值；

⑵设()()4

πg x f x f x ⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭，求函数()g x 的单调递增区间．

板块四.三角函数的综合

y O

x

1

π2

π4

-1

【例6】 已知函数()223sin 2sin cos 33cos f x a x a x x a x b =+⋅++02x π⎛

⎫≤≤ ⎪⎝

⎭的值域为

[3,2-]，求a 、b 的值．

【例7】 已知函数213

cos cos 12y x x x =+⋅+，R x ∈．

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【例8】 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22

ππ

ϕ-

<<）

，其部分图象如图所示．

y x

O

-

π4

π4

-1

1

⑴求()f x 的解析式；

⑵求函数()44ππg x f x f x ⎛

⎫⎛⎫=+⋅

- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值及相应的x 值．

【例9】 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,13π⎛⎫

⎪⎝⎭

．

⑴求实数a 、b 的值；

⑵若0,2πx ⎡⎤

∈⎢⎥⎣

⎦，求函数()f x 的最大值及此时x 的值．

【例10】 设函数1

()3sin cos cos sin 22

πf x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．

⑴求()f x 的最小正周期；

⑵当0,2πx ⎡⎤

∈⎢⎥⎣

⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．

【例11】 已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛

⎫=-+- ⎪⎝

⎭

⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．

【例12】 已知函数22()2sin cos sin cos ()2222

R x x x x

f x a a =+-∈

⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式； ⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求

cos21sin 2x

x

+的值．

题型二：与二次函数的综合题

【例13】 已知4

π

x ≤

，求函数2cos sin y x x =+的最小值

【例14】 求函数222sin cos y x x =--的最大值和最小值。

【例15】 设二次函数2()f x x bx c =++(,)b c R ∈，已知不论,αβ为何实数，恒有

(sin )0f α≥，(2cos )0f β+≤，

（1）求证：1b c +=-；（2）求证3c ≥。

【例16】 已知函数2cos sin 3y x x =-+，[,]62

x ππ

∈，求函数的最大值。

【例17】 当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围. 【例18】 求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.

【例19】 求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.

【例20】 求函数253sin cos 82y x a x a =++-(0)2

πx ≤≤的最大值

【例21】 函数2()12cos 2sin 2f x a x x a =---的最小值为()g a ，R a ∈.

⑴求()g a

⑵若1

()2

g a =

，求a 及此时()f x 的最大值

【例22】 若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，且0a >，求,a b 的

值

【例23】 若2sin cos 0x x a ++=有实数根，试确定实数a 的取值范围.

【例24】 为使方程2cos sin 0x x a -+=在02π,⎛

⎤ ⎥⎝

⎦内有解，则a 的取值范围是( )

A.11a -≤≤

B.11a -<≤

C.10a -<≤

D.5

4

a -≤

【例25】 已知函数2sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.

【例26】 已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-．

（Ⅰ）求π3f ⎛⎫

⎪⎝⎭

的值；

（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．

题型三：与不等式的综合题

【例27】 已知定义在(4],-∞上的减函数()f x ，使得

27

(sin )(12cos )4

f m x f m x -++≤，

对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .

【例28】 已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,R αβ∈有：