一元二次方程的应用 (含答案)

23.4 一元二次方程的应用

情境切入

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完全解读

知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤

列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；

（2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；

（4）解：求出所列方程的解；

（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

（6）答：写出答案．

友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题

（1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注

意挖掘题目中隐含的等量关系；

（2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转

化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系；

（3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写

成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致．

例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售

价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 .

思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月

平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2

，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。

解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得

50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。整理，得（1+x ）2=1.44.

解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。

所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。

解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。

例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四

个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.

思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和

宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.

解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得

(60－2x ) (40－2x ) ＝800.

原方程可写成：2

504000.x x -+=

解这个方程，得1210,40.x x ==

如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之

和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此240x =不符合题意，应舍去。

答：截去正方形的边长为10厘米。

温馨提示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注

意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.

范例探究

★基础思维探究

探究点1、与图形有关的问题

例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用

55米长的篱笆，围起一个面积为3003m 的矩形场地．组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长为多少？

思维点击：设与院墙垂直的边长为x m ，则与院墙平行的边长为(55-2x)m ，根据矩形面

积公式可列出方程式．

解：设与院墙垂直的边长为x m ，则与院墙平行的边长为(55-2x)m ，根据题意得： ()552300x x -=． 整理，得22553000x x -+=.

解方程，得1220,15.x x ==

当x ＝20，即与院墙垂直的边长为20米时，另一边长为20米，即与院墙平行的边长为

15米．

当x ＝15，即与院墙垂直的边长为15米时，另一边长为25米，即与院墙平行的边长为

25米．由于校园的院墙长20米，20＜25，所以此解不合题意，应舍去．

答：与院墙垂直的边长为20米，与院墙平行的边长为15米．

温馨提示：若设与院墙平行的边长为x m ，则与院墙垂直的边长为2

55x -m ．根据矩

形面积公式也可以列出方程式．但出现了分数，不如前一种设法好．

探究点2、利润问题

例2、某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40

元。为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

思维点击：每天售出的童装件数×每件童装的利润=每天这种童装的总利润。

解：设每件童装应降价x 元，根据题意，得()208401200.4x x ⎛⎫+

⨯-= ⎪⎝⎭ 化简，得2302000x x -+=，解得1220,10x x ==。

因为要尽快减少库存，所以x 应取20。

答：每件童装应降价20元。

温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。

探究点3、增长率问题

例3、某厂1月份生产零件 2 万个，第一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率

相同，求每月的增长率。

思维点击：

解：设每月的平均增长率为x ，依题意，得2+2（1+x ）+2（1+x ）2=7.98

经整理，得100x 2+300x-99=0，解得x 1=0.3=30%，x 2=-3.3不合题意，舍去。

答：每月的增长率为30%。

温馨提示：（1）解本题的关键是理解“7.98 万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注

意审题；（2）牢记公式()1n

a x

b ±=，a 为增长率（降低）前的基础数量，x 为增长率（降低率），n 为增长（降低）的次数，b 为增长（降低）后的数量.

★综合思维探究

例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条

和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？