(完整版)(考研高数)基本初等函数图像与性质

（高数）基本初等函数图像与性质

1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则

2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性

3.每个函数的图像很重要

一、幂函数 a x =y (a 为常数）

最常见的几个幂函数的定义域及图形

1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；

2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1)；

如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对

称;m，n均为奇数时,跟原点对称。

4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

二、指数函数

x

a

y=(a是常数且01

a a

>≠

，)，)

,

(+∞

-∞

∈

x

图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0

三、对数函数

x

y

a

log

=

(a是常数且01

a a

>≠

，)，(0,)

x∈+∞；

四、三角函数

正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，

正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，

余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；

五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，

反正切函数

x

y arctan

=，)

,

(+∞

-∞

∈

x，

)

2

,

2

(

π

π

-

∈

y

，

反余切函数

x

y cot

arc

=，)

,

(+∞

-∞

∈

x，)

,0(π

∈

y．

Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔Beta

Γγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔Delte

Εε：艾普西龙Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔Iota

Κκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达Lambda

Μμ：缪Mu Νν：拗Nu

Ξξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron ∏π：派Pi Ρρ：柔Rho

∑σ：西格玛Sigma Ττ：套Tau

Υυ：宇普西龙Upsilon Φφ：fai Phi

Χχ：器Chi Ψψ：普赛Psi

Ωω：欧米伽Omega