单因素方差分析的计算步骤
第十三章单因素设计方差分析
第十三章单因素设计方差分析方差分析是由英国统计学家Ronald Fisher 研究出来的，并以他的名字命名的方法，称为F检验。
它可以解决单因素和多因素实验设计结果的数据处理问题。
早期的心理学实验是严格的实验室控制实验。
在实验中只允许研究者感兴趣的一种变量作为自变量，希望观察到自变量引起的因变量的变化。
自变量也称为因素(factor)，在实验中只安排一个自变量的实验叫做单因素实验。
经典心理学实验通常是单因素实验。
单因素的实验可以较明确的观察到自变量与因变量之间的因果关系，较适用于研究比较单纯的心理现象，但往往无法说明复杂的心理现象。
现代的实验设计将一些额外变量引入实验成为实验中新的因素，以期实验的结果更贴近真实的情景，从而发展了多因素的实验设计。
统计中用符号表示实验设计时，常用大写的英文字母表示因素，如因素A、因素B、因素C等；用S表示被试（subject）。
把S写在表示因素符号的后边、前面或中间，则表示不同的实验设计，例如：单因素被试间设计AS、单因素被试内设计SA、多因素被试间设计ABS、多因素被试内设计SAB、混合设计ASB。
第一节t检验与I类错误当两个总体没有差异，而统计推论的结论说有差异，就犯了I类错误；当两个总体存在差异，而统计推论的结论说没有差异，就犯了II类错误。
通常，I类错误的发生概率用α表示，II类错误发生的概率用β表示。
当采用多个两两t检验时，发生I类错误的概率就会增大。
I类错误的计算公式如下：I类错误发生的概率＝1－(1－α)C（13.1）所以当要比较3个或3个以上的总体平均数两两检验时，应采用方差分析（analysis of variance）的方法。
一个显著的F值表示，在所比较的总体平均数里至少有两个总体平均数存在着显著差异。
第二节方差分析的原理方差（V ariance）有时也称为变异数（V ariation），是表示一组数据离散程度的统计量。
方差的总体参数用符号σ2表示；方差的样本统计量用符号S2表示。
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析的计算步骤Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。
结果如下表：m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设()m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2==σ。
可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。
因此检验因素A 的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：μ====m a a a H 210:或者 具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令j x 表示第j 种水平的样本均值，式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST 代表，则，其中,n x x ij ∑∑=它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，即 SSA SSE SST +=（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
Excel进行单因素方差分析的步骤
Excel进行单因素方差分析的步骤Excel是一种功能强大的电子表格软件，可以用于进行各种数据分析，包括单因素方差分析。
单因素方差分析是一种常用的统计方法，用于比较不同组之间的均值是否存在显著差异。
下面是在Excel中进行单因素方差分析的步骤：步骤1：准备数据首先，需要准备好用于分析的数据。
假设我们有一个实验，分为三个组，每个组有若干个观测值。
我们需要将这些观测值依次输入到Excel的一些工作表中。
步骤2：计算各组的均值和总均值在Excel中，可以使用平均值函数（AVERAGE）计算每个组的均值。
将这些均值记录在另一列或另一个工作表中。
然后，使用平均值函数计算所有组的总均值。
步骤3：计算组内平方和和组间平方和使用Excel的平方和函数（SUMSQ）来计算每个组的组内平方和。
组内平方和可以通过将每个观测值与其对应组的均值之差的平方相加来计算。
然后，使用平方和函数计算组间平方和。
组间平方和可以通过将每个组的均值与总均值之差的平方乘以该组的观测数量相加来计算。
步骤4：计算均方计算组内平方和和组间平方和的均方，即将组内平方和除以自由度（观测数量减去组数）得到组内均方，将组间平方和除以组数减1得到组间均方。
步骤5：计算F值使用Excel的F分布函数（FDIST）来计算F值。
F值可以通过将组间均方除以组内均方来计算。
步骤6：确定显著性水平和临界值根据实验设计和显著性水平的设置，确定F分布的临界值。
在Excel 中，可以使用F分布的临界值函数（FINV）来计算临界值。
步骤7：进行假设检验根据F值和临界值的比较结果，进行假设检验。
如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，即组均值存在显著差异。
如果F值小于等于临界值，则不能拒绝原假设，即组均值没有显著差异。
步骤8：进行事后比较（可选）如果在步骤7中发现组均值存在显著差异，可以使用Excel的多重比较方法，如Bonferroni校正、Tukey HSD等，进行事后比较。
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素方差的结果分析
单因素方差的结果分析
单因素方差分析是一种用于比较两个或更多个样本均值之间差异的方法。
在进行单因素方差分析时，需要进行以下几个步骤：
1. 建立假设：首先需要建立原假设和备择假设。
原假设通常是认为各组样本的均值之间没有显著差异，备择假设则认为各组样本的均值之间存在显著差异。
2. 计算平方和：计算总平方和（SST）和组内平方和（SSE）。
总平方和表示了所有样本值与总均值之间的差异总和，组内平方和表示了各组样本值与组均值之间的差异总和。
3. 计算均方：计算总均方（MST）和组内均方（MSE）。
总均方是总平方和与自由度之间的比值，组内均方是组内平方和与自由度之间的比值。
4. 计算统计量：计算F统计量。
F统计量是组间均方与组内均方之比。
5. 判断显著性：根据F统计量的值与临界值进行比较，判断差异是否显著。
如果F统计量大于临界值，则可以拒绝原假设，认为各组样本的均值之间存在显著差异。
6. 进行事后比较：如果F统计量的结果显著，通常需要进行事后比较来确定哪些组之间存在显著差异。
常用的事后比较方法包括Tukey的HSD测试和
Bonferroni校正等。
通过以上步骤可以对单因素方差分析的结果进行分析，确定各组样本均值之间是否存在显著差异。
单因素试验的方差分析
=
2 2
=
2 s
2
;
(3)从每个总体中抽取的样本相互独立.
那么,要从已知数据中推断 s 个总体是否具有显著 的差异,就要比较各个总体的均值是否相等.设第 j 个总
体的均值为 j ,则要检验的假设为
H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
（8-1）
单 因 素 A 具 有 s 个 水 平 A1, A2 , , As , 在 每 个 水 平
推进器 B
A1
B1
58.2 52.6
B2
56.2 41.2
B3
65.3 60.8
燃料 A
49.1 54.1 51.6 A2 42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2 A3 58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7 A4 71.5 51.0 41.4
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素, 它们分别有 3 个、 4 个水平.这是一个双因素试验.试 验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有 无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射 程是否有显著的影响.
H1 : 1,2 ,
,
不全为0.
s
1.3 偏差平方和及其分解
定义 8.2 方和,其中
s nj
称 ST (Xij X )2 为样本的总偏差平 j 1 i1
称为样本的总均值.
1 s nj
X n j1 i1 X ij
s nj
定义 8.3 称 SE =
( Xij X .j )2 为样本的误差平方
差. SA 体现了各水平 Aj 的样本均值 X j 与总均值 X 之间
的差异,反映了样本之间的不同,它是由因素 A 的不同水 平效应的差异以及随机误差引起的.
单因素的方差分析和LSR法多重比较Excel表格计算
1、划分变异原因总变异=处理间变异＋区组间变异＋误差变异2、列出试验结果并初步计算，求处理和T,区组和T ，和总和T。
3、分解并计算各项平方和、自由度（1）求平方和n （区组）=4k （处理）=6矫正数39609.37501257.631099.3855.46102.79(2)求各项自由度235使用说明：①使用前请详细阅读文档为娱乐学习之用，处理及区组均为10个，作中的蓝字为使用者填入，其他如工作表、格式及果给予重视，如为“不能反映处理间效应”或“一、单因素随机化完全区组设计的方差分析2=nkT C =k 2i i=11n A SS C T ∙==∑－==∑=C SS T B －n 1j 2j .k 1=--=SS SS SS SS B A T e ==1-nk T f =-=1f k A =-=1n f B --=)1)(1(n k f e n n 2ij i=1j=1x T SS C ==∑∑－3155、进行F检验64（2）求F值32.092.70（3）查F表（4）检验由表中F值和F临界值相比较得知：①否定H01，差异极显著2②接受H02，区组间差异不显著1结论：该项试验结果能极显著反映处理间的效应。
已知k=65种 ， n=41.30893 3.16 4.351.3089 4.14 5.69②4 3.25 4.461.3089 4.25 5.84③5 3.31 4.551.3089 4.33 5.95④6 3.36 4.611.3089 4.40 6.03⑤0#VALUE!#VALUE! 1.3089#VALUE!#VALUE!⑥二、邓肯（Duncan）多重极差法（LSR法），a有2、3……等(1)求LSR（1）H 01：α1=α2=…=αH 02；β1=β2=…=β=1-nk T f =-=1f k A =-=1n f B =--=)1)(1(n k f e ==22/e A A S S F 22e /=B B F S S =X S =0#VALUE!#VALUE! 1.3089#VALUE!#VALUE!⑦0#VALUE!#VALUE! 1.3089#VALUE!#VALUE!⑧细阅读统计学有关资料，按照相关要求进行完善，同时建议按照统计学示例进行验算；②本之用，处理及区组均为10个，作者不承担由使用该文档而产生的法律责任，如不赞同，请删除；③文者填入，其他如工作表、格式及公式等内容请勿非专业改动或删除；④在输入数据后请对方差分析结为“不能反映处理间效应”或“不能接受”，多重比较已无意义，请核对原始数据。
单因素方差分析
一、
①提出假设：虚无假设：H0: μ1=μ2=μ3
备择假设为至少有一个组的和其它组不同
②已知显著性水平为：а=0.05
③查F临界值表：F0.05(2,19)=3.52 F0.01(2,19)=5.93
④计算样本的F统计量观测值：
N=22 K=3 df组间=2 df组内=19
SS T =3.073 SS B=0.388 SS W=2.685
MS B=0.194 MS W=0.141 F=1.372 P=0.277
⑤统计决断：由于P=0.277>0.05，所以接受H0拒绝H1 ，我认为三组之间不存在显著地差异
二、
①提出假设：虚无假设：H0: μ1=μ2=μ3
备择假设为至少有一个组的和其它组不同
②已知显著性水平为：а=0.05
③查F临界值表：F0.05(3,19)=3.13 F0.01(3,19)=5.01
④计算样本的F统计量观测值：
N=23 K=4 df组间=3 df组内=19
SS T =7636.870 SS B=2850.346 SS W=4786.524
MS B=950.115 MS W=251.922 F=3.771 P=0.028
⑤统计决断：由于P=0.028<0.05，所以拒绝H0接受H1 ，我认为三组之间存在显著地差异
⑤事后检验：
Post Hoc Tests
结论：通过事后检验表可以得到，治疗方案1与治疗方案4对患者的治疗效果是有显著的差异，治疗方案3与治疗方案4对患者的治疗效果是有极其显著的差异。
其余治疗方案之间或没有差异或差异不显著。
单因素方差分析范文
单因素方差分析范文单因素方差分析（One-way Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中一种常用的方法，用于比较三个或三个以上的组的均值是否存在显著差异。
本篇文章将从原理、假设、步骤和应用等方面进行介绍。
一、原理二、假设在进行单因素方差分析时，需要假设组间均值是否存在显著差异。
具体的假设如下：H0：各组均值相等（即组间均值差异不显著）H1：至少有两组均值不相等（即组间均值差异显著）三、步骤进行单因素方差分析的步骤如下：1.根据研究目的和问题选择合适的统计方法；2.收集数据，涉及到多个组的测量值；3. 计算总平方和（SS_total），表示总变异性大小；4. 计算组间平方和（SS_between），表示组间变异性大小；5. 计算组内平方和（SS_within），表示组内变异性大小；6. 根据以上计算结果，计算组间均方（MS_between）和组内均方（MS_within）；7. 计算F值，即F=MS_between/MS_within；8.根据设定的显著性水平（通常为0.05），查表或计算得到临界值；9.比较计算得到的F值与临界值，判断是否达到显著性水平。
四、应用1.医学研究：比较不同药物对疾病治疗效果的影响；2.教育研究：比较不同教学方法对学生学习成绩的影响；3.市场调查：比较不同广告对产品销量的影响；4.农业实验：比较不同施肥方式对作物产量的影响。
五、总结单因素方差分析是一种常用的统计方法，通过比较三个或三个以上组的均值差异来判断各组之间是否存在显著差异。
它的优点是可以同时比较多个组均值的差异，从而提高实验效率和减少误判，应用广泛且实用。
因此，研究者在进行多组均值比较时，可以选择单因素方差分析方法进行分析。
单因素重复测量方差分析
单因素重复测量方差分析单因素重复测量方差分析是统计学中常用的一种方法，用于比较在同一组个体上进行多次测量所得到的数据之间的差异。
本文将从介绍单因素重复测量方差分析的基本概念、假设条件、计算方法和结果解读等方面进行详细阐述。
一、基本概念单因素重复测量方差分析是通过比较同一组个体在不同时间点或条件下的多次测量结果，判断这些测量结果是否存在显著差异。
在进行单因素重复测量方差分析时，通常需要有一个待测因素（也称为处理因素），以及一个或多个水平（也称为处理水平）。
二、假设条件在进行单因素重复测量方差分析时，需要满足以下假设条件：1. 观测值之间相互独立；2. 测量误差服从正态分布；3. 同方差性：不同处理水平下的观测值方差应相等。
三、计算方法进行单因素重复测量方差分析时，需要先计算各个处理水平下的观测值的均值和总平均值，并构建方差分析表。
方差分析表包含总平方和、处理平方和、误差平方和、总均方、处理均方、误差均方和F值等信息。
通过比较F值与临界值（一般为0.05），来判断各处理水平之间是否存在显著差异。
四、结果解读在进行单因素重复测量方差分析后，如F值小于临界值，则说明各处理水平之间没有显著差异，即处理因素对测量结果没有影响；反之，如F值大于临界值，则可以认为各处理水平之间存在显著差异，即处理因素对测量结果有影响。
需要注意的是，在进行单因素重复测量方差分析时，存在一种可能的误解，即称F值大于临界值就代表存在显著差异。
事实上，F值较大仅表明处理因素对测量结果有影响，而具体哪些处理水平之间存在显著差异，还需要进行进一步的事后多重比较。
五、应用案例为了更好地理解单因素重复测量方差分析的应用，下面举一个简单的应用案例来说明。
假设我们要比较三种不同肥料对植物生长的影响，我们在相同的土壤条件下，随机选取了10个种子进行种植，并分别施加三种不同的肥料。
每天测量植物的生长量，连续记录了10天。
现在我们想知道这三种肥料对植物生长是否有影响。
单因素方差分析步骤（1）
单因素方差分析步骤：对于只有一种因素影响的资料，例如本例只检测血型这一种变量是否影响肺活量。
我们先确立假设和确立检验标准H0：假设不同血型的人的肺活量是有差异的H1：假设不同血型的人的肺活量是没有差异的。
第一步：选择检验方式第二步：确定比较方式第三布：在选项里选择描述方式第四步：得出结果：由本图可知，p》0.05，可知肺活量的总体方差无差异，方差齐则可做方差分析再有下图可知：p= 0.789是大与0.05的，所以不是小概率事件，不拒绝H0，所以认为不同血型的人的肺活量是没有差异的。
随机区组设计资料的方差分析2.如果对四种饲料对猪体重增加量有无差异进行分析，则可将猪随机分组，本例中以a代表分组，b代表饲料，x代表体重增加量如图：对于这种资料分析，应选用单变量方差分析，主要是影响因素是多样的，主要描述的是体重增加量。
那么我们首先应1、确定假设：对于处理组：H0，假设三种处理方式体重增加量是相等的H1，假设三种处理方式体重增加量是不等的。
对于区组：H0，假设三组之间体重增加量是相等的H1，假设三组之间体重增加量是不等的。
2、确立检验标准a=0.053、计算统计量F F1=MS处理/MS误差F2=MS区组/MS误差4、确定p值，做出推断结论。
第一步：选择分析方式第二步：选择确立因变量，本题描述的是体重增加量，故选用x，确立区间，处理措施。
如图：第三步：确定模型，本题为确定区组a与处理措施b的交互作用，因此选用a，b交互模式。
如图：如需作图比较分组a 与处理措施b 的交互作用对体重影响有无差异可添加对比组，如图：确定观察均值的两两比较，主要针对与各分组的均值比较，及各处理方式的均值比较：在选项里设定输出，描述统计及方差齐性检验，显示分组及处理方式的均值。
最后得出结果：有本图可知F＜3，p＞0.05，可知各组间方差齐，可做方差检验。
如下图所示，可知p≥0.05，统计无差异，所以可知，三种处理方式对体重增加是无差异的。
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。
这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⼆步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。
单因素方差分析步骤单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析步骤单因素方差分析的计算步骤一、单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A,且A有m个水平，分别记为A1,A2, Am,在每一种水平下，做n次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做xij表示在第j个水平下的第i个试验值i 1,2, n;j 1,2, m 。
结果如下表3.1：表3.1 单因素方差分析数据结构表为了考察因素A对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A的m个水平A1,A2, Am看成是m个正态总体，而xij i 1,2, n;j 1,2, m 看成是取自第j总体的第i个样品，。
因此，可设xij~Naj, ,i 1,2, n;j 1,2, m可以认为aj j, j是因素A的第j个水平Aj所引起的差异。
因此检验因素A的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：2H0:a1 a2 am 或者H0: 1 2 m 0具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令xj表示第j种水平的样本均值，xj xi 1njijnj式中，xij是第j种水平下的第i个观察值，nj表示第j种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST代表，则，SST (xij x)2 其中x xnij,它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE表示，其计算公式为： 2 SSE x ij jj i其中j反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA表示，SSA的计算公式为：SSA j x njj x用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SST,SSE,SSA之间存在着一定的联系，这种联系表现在：22 SST SSE S SA因为：x ij x x ij j j x2 2 2 x ij j j x2 x ij j j x在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，2(xij x)2 (xij j)2 (j x)2即SST SSE S SA（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
单因素方差分析公式总结
单因素方差分析公式总结单因素方差分析是统计学中常用的一种分析方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
在进行单因素方差分析时，我们需要计算一系列的统计指标和公式，以便更好地理解和解释研究结果。
下面是单因素方差分析中常用的公式总结。
一、总平方和 (Total Sum of Squares, SST)总平方和是用来衡量所有观测值与总均值之间的离散程度，其计算公式为：SST = Σ(xi - x)^2其中，xi代表每个观测值，x代表总均值，Σ代表求和。
二、处理组平方和 (Between-group Sum of Squares, SSB)处理组平方和用来衡量不同处理组之间的均值差异，其计算公式为：SSB = Σ(nk * (xk - x)^2)其中，nk表示每个处理组的样本量，xk代表每个处理组的均值，x代表总均值，Σ代表求和。
三、误差平方和 (Error Sum of Squares, SSE)误差平方和是用来衡量同一处理组内观测值与处理组均值之间的离散程度，其计算公式为：SSE = Σ((xi - xk)^2)其中，xi代表每个观测值，xk代表每个处理组的均值，Σ代表求和。
四、总均方 (Mean Square Total, MST)总均方用来衡量所有观测值与总均值之间的离散程度，其计算公式为：MST = SST / (N - 1)其中，SST代表总平方和，N代表总观测值个数。
五、处理组均方 (Mean Square Between, MSB)处理组均方用来衡量不同处理组之间的均值差异，其计算公式为：MSB = SSB / (k - 1)其中，SSB代表处理组平方和，k代表处理组的个数。
六、误差均方 (Mean Square Error, MSE)误差均方用来衡量同一处理组内观测值与处理组均值之间的离散程度，其计算公式为：MSE = SSE / (N - k)其中，SSE代表误差平方和，N代表总观测值个数，k代表处理组的个数。
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析的计算步骤步骤1：制定假设首先，我们需要明确研究的问题以及相应的假设。
通常，单因素方差分析的研究问题是判断不同组之间均值是否存在显著差异，即研究问题可以被表述为"不同组的均值是否相等"。
根据问题，我们可以制定空假设和备择假设。
空假设通常是"不同组的均值相等"，而备择假设通常是"不同组的均值不相等"。
步骤2：收集数据在进行单因素方差分析之前，我们需要收集相关数据。
收集数据的过程可能涉及实验设计、随机采样等方法。
数据的收集应该遵循一定的数据收集原则，以保证数据的真实性和可靠性。
步骤3：计算平均值第一步是计算每个组的平均值。
对于每个组，将其所有观测值相加，然后除以观测值的总数，即可得到该组的平均值。
计算每个组的平均值是了解数据分布和比较不同组均值的重要步骤。
步骤4：计算组内平方和接下来，我们需要计算组内平方和。
组内平方和表示每个组内各个观测值与该组平均值之差的平方的总和。
具体计算方法如下：-对于每个观测值，将其与该组的平均值相减，然后将结果平方。
-对于每个组，将每个观测值得到的平方差加起来，即得到该组的组内平方和。
-最后，将所有组的组内平方和相加，得到总的组内平方和。
步骤5：计算组间平方和接下来，我们需要计算组间平方和。
组间平方和表示不同组平均值之间的差异的平方的总和。
具体计算方法如下：-对于每个组，将其平均值与总体平均值相减，然后将结果平方。
-对于每个组，将每个计算得到的平方差相加，即得到该组的组间平方和。
-最后，将所有组的组间平方和相加，得到总的组间平方和。
步骤6：计算均方接下来，我们需要计算组内均方和组间均方。
组内均方是组内平方和除以自由度（总观测值数减去组数）得到的结果，而组间均方是组间平方和除以自由度（组数减去1）得到的结果。
步骤7：计算F值计算F值是判断组间均方和组内均方之间差异是否显著的重要步骤。
F值是组间均方除以组内均方计算得到的结果。
最新SPSS单因素方差分析步骤
spss教程：单因素方差分析用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异和变动。
方差分析前提：不同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布。
所以方差分析就是研究不同水平下各个总体的均值是否有显著的差异。
统计推断方法是计算F统计量，进行F检验，总的变异平方和 SST，控制变量引起的离差SSA（Between Group离差平方和），另一部分随机变量引起的SSE（组内Within Group离差平方和），SST=SSA+SSE。
方法/步骤1.计算检验统计量的观察值和概率P_值：Spss自动计算F统计值，如果相伴概率P小于显著性水平a，拒绝零假设，认为控制变量不同水平下各总体均值有显著差异，反之，则相反，即没有差异。
2.方差齐性检验：控制变量不同水平下各观察变量总体方差是否相等进行分析。
采用方差同质性检验方法（Homogeneity of variance），原假设“各水平下观察变量总体的方差无显著差异，思路同spss两独立样本t检验中的方差分析”。
图中相伴概率0.515大于显著性水平0.05，故认为总体方差相等。
趋势检验：趋势检验可以分析随着控制变量水平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的，线性变化，二次、三次等多项式。
趋势检验可以帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观察变量总体作用的程度。
图中线性相伴概率为0小于显著性水平0.05，故不符合线性关系。
3.多重比较检验：单因素方差分析只能够判断控制变量是否对观察变量产生了显著影响，多重比较检验可以进一步确定控制变量的不同水平对观察变量的影响程度如何，那个水平显著，哪个不显著。
常用LSD、S-N-K方法。
LSD方法检测灵敏度是最高的，但也容易导致第一类错误（弃真）增大，观察图中结果，在LSD项中，报纸与广播没有显著差异，但在别的方法中，广告只与宣传有显著差异。
4. 相似性子集：由图可知，划分的子集结果是一样的。
通常在相似性子集划分时多采用S-N-K 方法的结论。
单因素方差分析方法
单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。
总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。
在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差: 组间均方差2Bs∧=1B-a v组内均方差2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下,要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。
原假设 H：均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1：均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验：F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a —1，分母自由度为ab-a 的F 分布。
给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，α，则说明原假设H不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。
下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。
例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥,得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。
表2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48 乙 49 50 47 47 46 49 丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H：三者产量均值相等；备择假设H 1：三者的产量均不相等,对于影响产量的因素仅化肥种类一项,因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验. ⑴新建工作表“例1”,分别单击B3：D8单元格,输入表2的产量数值。
数据方差分析范文
数据方差分析范文方差分析是建立在t检验的基础上，与t检验不同的是，方差分析可以同时比较多个样本的均值差异。
方差分析分为单因素方差分析和多因素方差分析两种。
1.单因素方差分析单因素方差分析是指比较一个自变量对一个因变量的影响。
具体步骤如下：（1）建立假设：首先，我们需要建立零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设可以假设所有样本的均值相等，备择假设可以假设至少有一个样本的均值与其他样本的均值不同。
（2）计算总平方和（SST）：总平方和反映了所有样本观测值与总均值之间的总离差平方和，用于度量所有样本的总变异程度。
（3）计算处理间平方和（SSB）：处理间平方和衡量了不同处理之间的差异程度，也就是不同样本均值之间的差异程度。
（4）计算误差平方和（SSE）：误差平方和度量了同一处理下的观测值与该处理均值之间的差异，也就是同一组数据内部的差异程度。
（5）计算F值：F值是处理间平方和与误差平方和之比。
如果F值大于临界值，则拒绝零假设，即存在显著差异。
（6）进行事后检验（Tukey HSD检验等）：如果拒绝了零假设，我们可以进一步进行事后检验来比较各组样本之间的差异。
2.多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量。
多因素方差分析可以用于研究不同自变量对因变量的影响以及不同自变量之间的交互作用。
具体步骤如下：（1）建立假设：与单因素方差分析类似，需要建立零假设（H0）和备择假设（H1）。
（2）计算总平方和（SST）：总平方和反映了所有观测值与总均值之间的总离差平方和。
（3）计算处理间平方和（SSB）：处理间平方和衡量了不同处理之间的差异程度。
（4）计算误差平方和（SSE）：误差平方和度量了同一处理下的观测值与该处理均值之间的差异。
（5）计算F值：F值是处理间平方和与误差平方和之比。
如果F值大于临界值，则拒绝零假设。
（6）进行事后检验（如双因素方差分析的LSD检验等）：如果拒绝了零假设，我们可以进一步进行事后检验来比较不同组别之间的差异。
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一、 单因素方差分析的计算步骤
假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。
结果如下表3.1： 表3.1单因素方差分析数据结构表
为了考察因素
A 对实验结果是否有显着性影响，
我们把因素A 的m 个水平m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可
设()m j n i a N x j ij
,2,1;,2,1,,~2==σ。
可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。
因此检验因素A 的各
水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：
μ====m a a a H 210:或者
具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值 令j x 表示第
j 种水平的样本均值，
式中，ij x 是第
j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数
（二）计算离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST 代表，则， 其中,n
x
x ij
∑∑=
它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：
其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：
用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：
在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有， 即SSA SSE SST
+=
（三）计算平均平方
用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
对SST 来说，其自由度为1-n ，因为它只有一个约束条件，即
0)(=-∑∑x x
ij。
对SSA 来说，其自由度是1-m ，这里m 表
示水平的个数，SSA 反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：
对SSE 来说，其自由度为m n -，因为对每一种水平而言，其观察值个数为j n ，该水平下的自由度为1-j n ，总共有m 个水平，因此拥有自由度的个数为m n n m j -=-)1(。
与离差平方和一样，SSE SSA SST ,,之间的自由度也存在着关系，即 这样对SSA ，其平均平方MSA 为： 对于SSE ，平均平方MSE 为： （四）方差分析表
由F 分布知，F 值的计算公式为：
为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：
表3.2方差分析表
（五）作出统计判断
对于给定的显着性水平α，由F 分布表查出自由度为),1(m n m --的临界值αF ，如果
αF F >，则拒绝原假设，说明因素对指标起显着影响；如果αF F ≤，则接受原假设，说
明因素的不同水平对试验结果影响不显着。