东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)

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东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）

一. 填空题

1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .

2. 幂级数()

()

1

1

12ln 1n

n n

n x n ∞

=-+∑的收敛域为 .

3. 交换积分次序:()()12

20

01

d ,d d ,d y y

y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰

⎰

.

4. 设曲线C 为圆周2

2

1x y +=,则曲线积分()2

23d C

x

y x s +-=⎰ .

二. 单项选择题

1.曲面24e 3z

xy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线

12

112

x y z --==

-的夹角为 [ ] (A)

4π (B) 3π (C) 2

π

(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1

sin d d 2d d D

D xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰

（B ）()()()1

sin d d 2sin d d D

D xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰

（C ）()()()()1

sin d d 2sin d d D

D xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰

（D ）

()()sin d d 0D

xy y xy x y +=⎰⎰

3．设∑

为上半球面z =

，则曲面积分

∑

的值为 [ ]

（A ）4π （B ）

165π （C ）16

3

π （D ）83π

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4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)

1．设(),z z x y =是由方程()

2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求

23z z

y

x x y

∂∂+∂∂ .

2．将函数()()

2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。

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3.

计算二重积分

d D

x y ,其中D 是由0x =

与()0x a =>所围

成的区域.

4．确定λ的值，使曲线积分

()()2

124d 62d C

x

xy x x y y y λλ-++-⎰在XoY 平面上与路径

无关。当起点为()0,0，终点为()3,1时，求此曲线积分的值。

5．设点()000,,P x y z 是球面2

2

2

:1x y z ∑++=上的一点，n 为∑在点P 的外側法向量，

求函数u x y z =++在点P 处沿方向n 的方向导数；

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四．(本题满分8分) 计算曲线积分()()22

d d C

y x x y x y I x y ++-=

+⎰

，其中C 是自点

()2,1A -沿曲线cos

2

y x π

=-到点()2,1B 的曲线段。

五．(本题满分8分) 计算曲面积分

()()281d d 4d d 2d d I x z y z yz z x y z x y ∑

=+∧-∧+-∧⎰⎰，

其中∑是曲面22

1z x y =++被平面3z =所截下的部分，取下側。

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六．(本题满分7分) 设立体Ω

由锥面z =

及半球面1z =已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量。

七．(本题满分6分) 证明不等式

22

sin d cos d 2

C

y x x x y y π

≤

-+≤

⎰，其中C 是圆周22

0x y x y +++=，取逆时针方向。