初中圆定理和公式汇总

4圆是定点的距离等于定长的点的集合

5圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7同圆或等圆的半径相等

8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

11定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的对角

12 ①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18圆的外切四边形的两组对边的和相等

19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

35 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆含d＜R-r(R＞r)

36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37 定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆

39 正n边形的每个角都等于（n-2）×180°／n

40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

42正三角形面积√3a／4 a表示边长

43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

44弧长计算公式：L=n兀R／180

45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

46公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）APC,APD,BPD,BPC 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中APC=CDP等

证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理图形已知结论证法

相交弦定理⊙O中，

AB、CD为

弦，交于

P.

PA·PB＝PC·PD

连结AC、BD，C=B,A=D,

所以△APC∽△DPB

相交弦定理的推论⊙O中，

AB为直

径，

CD⊥AB

于P.

PC2＝PA·PB

用相交弦定理.

切割线定理⊙O中，

PT切⊙O

于T，割

线PB交

⊙O于A

PT2＝PA·PB

连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦

切角等于同弧圆周角）所以

△PTA∽△PBT，所以

PT2＝PA·PB

切割线定理推论PB、PD为

⊙O的两

条割线，

交⊙O于

A、C

PA·PB＝PC·PD

过P作PT切⊙O于T，用两次切

割线定理

圆幂定理⊙O中，

割线PB

交⊙O于

A，CD为

弦

P'C·P'D＝r2－

OP'2

PA·PB＝OP2－r2

r为⊙O的半径

延长P'O交⊙O于M，延长OP'交

⊙O于N，用相交弦定理证；过P

作切线用切割线定理勾股定理证

8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

图1 图2