分式的运算技巧

分式的运算技巧

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分式

概念

形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；

当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:

1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：

（A,B,C为整式，且B、C≠0）

运算法则

约分

根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：

1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约

去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法则：

（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

用字母表示为：

分式的加减法法则：

同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用字母表示为：

异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

分式的除法法则：

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:

乘方

分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：

分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法：

（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值

（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。

分式方程解法的归纳：

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

【基础精讲】

一、分式的概念

1、正确理解分式的概念：

【例1】有理式（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -；（5）11－x ；（6）π

1中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.

(1) 例如，当x 为 时，分式

()()()

322-++x x x 有意义． 错解：3≠x 时原分式有意义．

(2) 不要随意用“或”与“且”。 例如 当x____时，分式有意义？

错解：由分母，得

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．

当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式1

1－x x +无意义．当x 时，分式112－x x -值为0．

二、分式的基本性质：

1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：

①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式．

②在分式的基本性质中，M ≠0．

③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．

④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．

(2)注意：

①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式

【例3】下列变形正确的是（ ）．

A ．

a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a b a b a b

-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式52x x y

-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ． A.扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变

2、约分

约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.

【例5】（1）化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a b a

+ D ．b - （2）化简2244

xy y x x --+的结果（）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - （3）化简62962-+-x x x 的结果是（）A ．23+x

B ．292+x

C ．292-x

D ．23-x 3、通分

通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：

（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;

三、分式的运算

1、分式运算时注意：

（1）注意运算顺序．例如，计算

a a a a +-⋅+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=

（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11

---x x x ，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；

（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．

（4）最后的运算结果应化为最简分式．

2、分式的乘除

注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.

(1)先把除法变为乘法；