分式运算的八种技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
分式运算中的常用技巧(教师版)解读
分式运算中的常用技巧(教师版在数式的相关运算中,分式的运算是同学们感到比较头疼的,含分式的综合解答题的正确率也比较低;其实分式的运算涵盖知识点多,技巧性强,是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误,除了知识上原因,方法技巧也很重要;我觉得除了要掌握常规的计算方法,有必要掌握一些计算的技巧,下面我精选一部分含分式的解答题,让我们共同来探究.1、先约分、再计算:例.计算:444242222++-+++x x x x x x x分析:按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母(2x x 2+后通分,化成同分母的分式后再相加;细心的同学会发现,若把两个分式的分子、分母分解因式后,先约分就已经是同分母了,就“省去”了通分的过程;相比较先约分、再相加显得更为简捷.解:原式=(((((2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2x 2++-+-++=+=+++++ 变式训练: 2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分:例.计算:4214121111x x x x ++++++- 分析:本题中原所有分式的最简公分母是((((241x 1x 1x 1x -+++,若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了;如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错;比如,若我们先计算111x 1x +-+,最简公分母为((1x 1x -+即21x -,则111x 1x +-+ 2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---,后面的如法炮制,过程清楚,计算简便. 解:原式((=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x 1x1x1x 1x1x1x1x+-+-+++=++=++--++-++-++=((444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x +-+=+=-+---变式训练:①.1684211618141211x x x x x --+++++++;②.1111x 4x 6x 5x 7+--++++.3、整体通分法: 例.计算:242++-a a 分析:本题若把a 2-分成两项与后面的通分在想加减,要多一些计算的过程;若把a 2-看成一个整体,即a 21-再与后面的通分显然更简单.解:原式=((222a 2a 24a 44a 44a a 2a 2a 2a 2a 2a 2-+--++=+==++++++变式训练:4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法: 例. 计算:(((((((10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x分析:本题若将原式通分再相加,进行手工计算的式子有多长,时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析,我们类比小学的:;;;11111111111162323123434204545==-==-==-⨯⨯⨯这个裂“项”的技巧,有:(((((;;;111111111x x 1x 1x x 1x 2x 2x 1x 2x 3x 3x 2=-=-=-----------,以此类推,最后互为相反数特征的不和为0,最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.解:原式=1111111111x 1x x 2x 1x 3x 2x 99x 98x 100x 99-+-+-++-+---------- =+1111111111x x 1x 1x 2x 2x 3x 98x 99x 99x 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+--+-+⎪⎪⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =11x x 100-+-=((x 100xx x 100x x 100--+--=(100x x 100-变式训练:(((((((((11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律:例.计算:1x 11x x 1x x 22-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-- 分析:本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的,见下面的方法1;其二、用分配律进行运算,见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解:(方法1:先算括号里的原式=((((((1x 11x 1x 1x x 1x 1x 1x x 22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+ =((((1x 1x 11x 1x x x x 2x 222-+÷+-+-+=((((11x 1x 1x 1x x3x 2-+⨯+-+ =x 3x 2+(方法2:利用分配律原式=((11x 1x 1x x 1x x 2-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-- =((((1x 1x 1x x1x 1x 1x x 2-+⨯+--+⨯-=((1x x 1x x 2--+=x x x 2x 222+-+ =x 3x 2+变式训练:x2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---6、巧代换:例.设abc 1=,求1c ac c1b bc b 1a ab a ++++++++的值?分析:由abc 1=,可知1abc =,且c 0≠;若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c ,中间的分式的分母1换成abc ,本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式,一切问题便都迎刃而解了.解:∵abc 1=∴1abc =,且c 0≠∴原式 =(ac b c ac b cabc ac c bc b abc ac c 11ac c b ac c 1ac c 1++=++++++++++++++=ac 1cac c 1ac c 1ac c 1ac c 1ac c 11++++++++++=++= 点评:本题在破解题上有些特殊性,须从1abc =才能看的出些端倪;当我们把中间分式的1换成abc 后,就很容易看得出后面两个是同分母的分式了,在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.7、设参法(辅助未知数法:例.已知5z4y 3x ==,求2222y xy 2x 3y 2xy 3x -++-的值?分析:本题通过5z4y 3x ==的条件可以找出x y z 、、之间的关系,然后变换代入进行分式的约分,但过程繁杂.若设x y zk 345===,则,,x 3k y 4k z 5k ===,代入后进行计算就比较简单了(这里k 起个辅助作用,最后会约去的.解:设x y zk 345===,则,,x 3k y 4k z 5k ===,代入:((((22222222222222223k 33k 4k 25y x 3xy 2y 9k 36k 50k 23k 23263x 2xy y 27k 24k 25k 26k 33k 23k 4k 5y -⨯⋅+⨯-+-+====+-+-+⨯⋅-变式训练:已知::::a b c 235=,求22222a ab b 3a 2ab 2b -++-的值.8、“因式分解”法:例.计算:((((11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a分析:本题若按常规解法,就要先算括号里面的,也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算,步骤是比较多的.我们发现((222211a b a b -----=-,可以借用整式中分解因式的技巧,将((222211a b a b -----=-分解成((1111a b a b ----+-,然后进行约简. 解:原式=((((((111111111111a b ab ab ab a b a b ------------+-÷+++-÷- =1111a b a b -----++=12a -=2a变式训练:2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-9、乘方法、倒数法:例.已知51=+x x ,求①、221x x +;②、44-+x x ;③、1242++x x x . 分析:本题按常规解法将要求的式子配方,然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力,基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②,若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内;③题可以用倒数(分子、分母颠倒的办法解决. 略解:,,2222111x 5x 5x 225x x x ⎛⎫+=∴+=∴++= ⎪⎝⎭①. 221x 25223x +=-=②. 221x 23x+=22244244111x 23x 2529x 5292527x x x ⎛⎫∴+=∴++=∴+=-= ⎪⎝⎭,, ③.设242x m x x 1=++,则422221x x 11x 123124m x x ++==++=+= ∴1m 24=,即242x 124x x 1=++.变式训练:⑴.若1m 7m -=,求①. 22m m --;②. 441m m+;③.242m m m 1++ 的值.⑵.若221a 5a+=,试求1a a -的值.10、去分母法:例.已知:a b 、都是正实数,且b a b a +=-211,求22b 2ab 3a 2ab7-+的值?分析:两头凑,从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab 与22a b -之间的关系而要求的代数式变形后是以ab 与22a b -为结构的.解:((22112b a 2b a a b 2ab a b 2ab a b a b ab a b--=∴=∴-+=∴-=-++∴(((227ab 7ab 7ab 7ab 7ab722ab 3ab 22ab 3ab 4ab 3ab ab 2a b 3ab======-⨯-+⨯-+-+--+原式变式训练:若331x y -=,求+2225x y3x 2x y 3xy-的值.11、分类讨论:例.已知k bca a cbc b a =+=+=+,判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限?分析:要判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限的关键是要确定k 的取值情况,而k 的取值和a b c 、、有关,由于本题未给定a b c 、、的条件,所以要进行讨论. 在当a b c 、、均不等于0的情况下,分为a b c 0++=和a b c 0++≠进行讨论,见下面的解答.解:⑴.当a b c 、、均不等于0且a b c 0++≠时,有((((a b b c a c 2a b c k 2c a b a b c+++++++===++++,即y 2x 2=-,此时一次函数的图象经过一、三、四象限.⑵.当当a b c 、、均不等于0, 但a b c 0++=时,此时,,a b c a c b b c a +=-+=-+=-,代入c a b k 1c a b---====-,即y x 1=-+,此时一次函数的图象经过一、二、四象限.变式训练:已知a b c 、、均是不等于0的有理数,试求:b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc ++++++的值?课外选练:一、计算或化简:;ba a 2ab b a a b b a .1-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫⎝⎛- ;b a b2a b a b a 1a 2.2---+-+ (;3x x 13x 4x 1x 2x 1x 2x x x 2x .322222+÷-++++--⋅---((((;6a a a a 3a 4a a a 2.42222-++++-;1a 44a 44a 2a 4.5⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯-;21a 1a 44a 14a 81.622⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--- ;1a 4a 4a 2a a 4a 21a a 4a .732222++++--+⋅+-- ;y xy 2x y x y x x y xy 2x x y x .8222232+-+⋅-÷++- (((1x 2x xx 1x x1x 2x .92222--+⋅-÷+-((.4x 2x 4x x 2x 4x .1022-+-+-+二、解答题:2015 年周末班学案 1.如果自信释放潜能；付出铸就成功！求的值？ 18 2.已知 x 为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的 x 值的和？，其中先化简,再求值:若求的值？先化简,再求值x 5.在三个整式 x2 -1，中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个进行化简，再求当时分式的值？ 6.阅读题：当时，有时，有当时，有 a 请运用上面的结论解答下面的问题：时，计算的值，并比较与y2 的大小？ 7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：解：原式= = 1 1第一步第二步第三步回答：⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为⑵.第二步使用的法则的字母的表达式；⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是；⑷.在以上三步中，第步有错误，请写出正确答案. ；的值，雯 8.下课了，老师给大家布置了一道作业题：当时，求代数式雯一看，感慨道：“今天的作业要算得久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程有这样一道试题：“先化简，在求值其中马虎做该题时把错抄成，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？3” 1 ” 模式题组; x 1 1 ⑴、已知：求的值？ x x 62015 年周末班学案⑵、已知： x 2 -求自信释放潜能；付出铸就成功！ WLS 1 的值？ x2 ⑶、已知： x x2 的值求。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法例1 计算：211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x=1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x=。
分式运算的常见应用技巧
∴不等式组的解集为－1<x<1，即整数x＝0，
则A＝－
1. 3
技巧10 整体法求值 12．【中考·齐齐哈尔】先化简，再求值：
1－ 2 x
x2－4 x＋4 － x＋4 ，
x 2－4
x＋2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x－2 x
( x－2)2 － x＋4 ( x＋2)( x－2) x＋2
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从 左向右下降，y随着x的增大而减小．
＝
x－x 2·xx＋ －22
－
x＋4 x＋2
＝
x＋2－ x＋4 x x＋2
∵x2＋2x－15＝0，
( x＋2)2－x( x＋4)
＝
x( x＋2)
＝
4 x2＋2x ,
∴x2＋2x＝15. ∴原式＝ 4 .
15
点拨： 本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌
握分式的基本运算．先按照分式计算的顺序(先算 乘除，再算加减)化简分式．再根据题目的需要， 灵活运用条件x2＋2x－15＝0转化整体代入求值．
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1－讲
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
分式方程的几种特殊解法
分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：781222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：13242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。
小学数学中的简单分式运算技巧
小学数学中的简单分式运算技巧在小学数学中，分式运算是一个相对简单但又重要的概念。
掌握一些简单的分式运算技巧可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍一些小学数学中的简单分式运算技巧，帮助学生们提高计算效率和准确性。
1. 分数的加法和减法在小学数学中，我们经常需要对分数进行加法和减法运算。
当分母相同时，我们可以直接将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，计算1/4 + 2/4，我们只需要将分子1和2相加得到3，然后写上共同的分母4，答案为3/4。
同样地，对于减法运算，我们也是将分子相减，并保持分母不变。
当分母不同时，我们可以通过找到它们的最小公倍数，将分母变成相同的，并保持分子不变。
例如，计算1/3 + 1/4，我们可以找到它们的最小公倍数为12，然后将分子和分母分别乘以相应的倍数，得到4/12 + 3/12 = 7/12。
2. 分数的乘法在小学数学中，分数的乘法可以通过将分子相乘，分母相乘来完成。
例如，计算1/3 × 2/5，我们将分子1乘以2得到2，将分母3乘以5得到15，答案为2/15。
3. 分数的除法分数的除法可以通过将除数的倒数乘以被除数来完成。
倒数是指在分数中，将分数的分子和分母对调位置。
例如，计算1/3 ÷ 2/5，我们可以将除数2/5的倒数变成5/2，然后乘以被除数1/3，得到5/2 × 1/3 =5/6。
4. 分数的化简分数的化简是指将一个分数表示为最简形式，即将分子和分母的公因数约分至最小。
例如，对于分数4/8，我们可以将分子和分母同时除以它们的最大公因数4，得到1/2。
5. 分数的比较在小学数学中，我们经常需要对分数进行比较大小。
当分母相同时，我们可以比较分子的大小。
例如，比较1/3和2/3的大小，由于分母相同，我们可以直接比较分子的大小，答案为1/3 < 2/3。
同样地，当分母不同时，我们可以找到它们的相等分数，然后比较分子的大小。
分式的运算技巧
分式的运算技巧分式的运算技巧包括四则运算、约分、通分和化简。
下面将一步步详细介绍这些技巧及其应用。
一、四则运算分式的四则运算包括加、减、乘和除。
加法和减法：先将分母化为通分的形式，然后在分子上进行加减运算即可。
求得结果后要记得将结果化简到最简形式。
例如：\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}乘法：将分数乘起来，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}除法：将被除数和除数的倒数相乘，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{ 5}{6}二、约分约分是指将一个分数化为最简形式的过程。
分母和分子同时除以它们的最大公约数即为最简形式。
最大公约数可以通过辗转相除法求得。
例如：\frac{6}{12}=\frac{1}{2}，因为6和12的最大公约数是6，所以分母和分子同时除以6即可。
\frac{20}{25}=\frac{4}{5}，因为20和25的最大公约数是5，所以分母和分子同时除以5即可。
三、通分通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的分数，使它们可以相加或相减。
通分步骤如下：1. 找到两个或多个分数的最小公倍数。
2. 将每个分数的分母变成最小公倍数，分子相应地乘上一个倍数。
3. 将分数的分子相加或相减，结果的分母与通分后的分母相同。
例如：\frac{2}{3}+\frac{1}{4}最小公倍数为12，分别乘以4和3得到通分后的分数：\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{8}{12}+\frac {3}{12}=\frac{11}{12}四、化简化简是指将一个分式化为最简形式或将分式中的分子和分母进行因式分解的过程。
分式求值的技巧点拨
分式求值的技巧点拨胡伟在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
一、巧用配方法求值例1 已知01x 5x 2=+-求44x 1x +的值。
解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x 1x =+∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。
二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值：1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。
其中231m -=，231n +=。
解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- n m mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----= ∵23231m --=-=，23231n +-=+=∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。
因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。
三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。
解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab 2)b a (ab 3)b a (2--+-= 53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。
四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。
分式通分的常用技巧
分式通分的常用技巧
张永平
分式加减运算的关键是通分，对于有些特殊的分式加减题，若按照常规方法进行通分，往往运算比较繁杂，不便于速算。
若能注意观察分式的结构特征，灵活运用解题技巧，则能化繁为简，常可收到事半功倍的效果。
下面向同学们介绍几种通分的常用技巧，供学习时参考。
一. 先整体考虑，再通分
例1. 计算
解：原式
二. 先结合，再通分
例2. 计算
解：原式
三. 先分组，再通分例3. 计算
解：原式
四. 先降次，再通分例4. 计算
解：原式
五. 先分解，再通分例5. 计算
解：原式
六. 先约分，再通分例6. 计算
解：原式
七. 先分离，再通分例7. 计算
解：原式
八. 先拆项，再通分例8. 计算
解：原式
九. 先添项，再通分例9. 计算
解：原式
十. 先变号，再通分
例10. 计算
解：原式
十一. 先代入，再通分
例11. 已知
，求
解：原式
年级初中学科数学版本期数
内容标题分式通分的常用技巧
分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学
主题词分式通分的常用技巧栏目名称学法指导供稿老师审稿老师
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分式运算的八种技巧
技巧1、直接约分法:
通过公式提公因式，直接约分即可！技巧2、整体通分法:
技巧3:顺次相加法:
先计算前两项，通分化简的结果再和第三项结合计算！技巧4:通分换元法
每个多项式有相同项的时候，可以考虑换技巧5:裂项相消法:
通过把每一项变形，达到与其它项相抵消技巧6:整体带入法
每一项通分整理后，把相同的项整体带入
技巧7:倒数求值法
直接求不方便，可先求其倒数
技巧8:消元法
多个参数计算，可用一个参数表示出其它
分式的基本性质，以及通分、约分都是分式运算的基础！。
初中数学分式学习技巧
初中数学分式学习技巧初中数学分式学习技巧主要包括以下几点：1.理解分式的基本概念：首先要清楚分式的定义，即分式是两个整式的商。
理解分子、分母的概念，以及分式有意义的条件（分母不能为0）。
2.掌握分式的基本性质：包括分式的约分、通分、乘除法和加减法。
理解这些性质并熟练掌握它们的运算方法，是分式学习的关键。
3.多做练习：通过大量的练习，可以加深对分式性质的理解和掌握，提高解题速度和准确性。
在做题时，要注意分式的化简，避免结果出现最简公分母为0的情况。
4.学会观察和分析：在解决分式问题时，需要观察分式的结构，分析是否有公因式、是否可以用公式法等。
这需要一定的数学素养和逻辑思维能力。
5.善于总结和归纳：在学习的过程中，要善于总结和归纳各种分式运算的方法和技巧，形成自己的解题思路和方法体系。
此外，还有一些特殊的学习技巧可以帮助更好地掌握分式：1.整体通分法：将后两项看作一个整体，进行整体通分，可以简捷求解。
2.逐项通分法：通过观察各分母的特点，联想乘法公式，从左到右依次通分。
3.先约分，再通分：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值进行计算。
4.裂项相消法：通过观察，题目中的后两个分式的分母都是两个因数之积，而分子又是一个定值，要以将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再进行通分。
5.整体代入法：把条件时整理一下，然后整体代入求值。
6.公式变形法：把条件式进行变形，利用乘法公式再对要求的式子变形，然后代入。
7.设辅助参数法：利用条件式设一个辅助参数，再代入到所求的式子中去，达到化简的目的。
8.倒数变换法：把条件式整体取倒数，使条件更简单，所求的式子也取倒数，求出值后再倒过来。
9.特殊值法：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。
这种方法多用在填空题、选择题中。
以上这些技巧和方法可以帮助你更好地掌握初中数学分式的学习。
同时，还需要注意学习方法和学习态度的调整，保持积极的学习态度和良好的学习习惯。
分式通分技巧
如何巧妙地进行分式通分通分是分式加减运算的主要环节，其方法灵活，技巧性大，综合性强。
在进行加减运算时，若不加分析的采用一次性通分，往往运算比较麻烦；但若根据分式的分子、分母的结构特点，灵活巧妙地采取相应的通分方法和解题技巧，则可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。
下面总结如下:一、 整体通分。
将一个多项式视为一个整体，再与分式进行通分。
例1:计算a+2-a-24 解：a+2-a -24=12+a -a -24=a ---24a 222=a --2a 2=22-a a 例2：计算：16672001-a a -667a -1334a -1 解：原式=16672001-a a -11a 1334667++a =1)1(66720012001---a a a =11667-a 二、 逐步通分当分式的各分母按一定的规律分布且存在某种递进关系，一次通分难度较大时，可以采取逐步通分。
例、化简：a 11--204810248421204811024......11111111aa a a a a --++++++++++ =212a -204810248421204811024......111111aa a a a --+++++++++ =204812048a --204812048a - =0三、分组通分。
一次性通分有困难时，可以把易于通分的分式组合在一起分组通分。
例题、化简：b +a 1+b -a 1--++-22a b ab b a 22a bab b a +-+ 解:原式=(b -a 1-22b -a b ab a ++)+(22a 1b ab a b a b +-+-+) =33a 3b ab -+33a 3b ab +- =664a 6bab - 四、提取公因式后通分例1、化简：b)-a)(m -(m c m -+b)-b)(m -(a c b -+a)-a)(m -(b c b - 解：原式=b)-a)(m -(m c m -+b -a c b -.(a m b m ---11) =b)-a)(m -(m c m --b)-a)(m -(m c b - =b)-a)(m -(m b m - =a-m 1 例2、化简：86a 100020002000+-a a +23a 100020001000+-a a 解：原式=)4)(2(a 100010002000--a a +)1)(2(a 100010001000--a a =)1)(4(4.2a 10001000200010001000----a a a a =)1)(4(a 21000100010002000--+a a a 五、局部通分。
分式求值的几种常用方法
分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。
分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。
求解分式的数值可以使用几种常用的方法。
下面将介绍一些常用的方法。
1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。
2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。
同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。
3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。
这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。
5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。
例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
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分式运算综合题
1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷1
1
2-x ，其中x=2
2、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷1
1
2-a ，其
中a 满足a 2
-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2
232y x y
x --。
4、化简：
12+x x -1422-+x x ÷1
22
2+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=2
24x y xy
-，用“＋”
或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选
一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(
b 1+
c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b
1
)
的值。
7、已知两个式子：A=
442-x ，B=21+x ＋x
-21
，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.A 大于B
8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋x
x |
|化简的结果
是（ ）
A.－1
B.1
C.2
D.3
9、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +b
a
= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知
3-x m －2+x n =)
2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2
的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=
1+a a +1+b b ，N=1
1+a ＋1
1
+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1
22
2++-x x x ,其中x 满足x 2
+x-2=0.
14、已知A=（x-3）÷4
)
96)(2(2
2-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,
(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
1-
3x ＜3
4
，
15、计算：21-x －12-x ＋12+x －2
1+x 。
16、计算：3
22
32
23322342b b a ab a b a ab b a b a b a a ---++-+
17计算：2
121111x
x x ++++-
18、计算：
)
2018)(2017(1)2)(1(1)1(11++--++-+-x x x x x x x
19、阅读下面的解题过程：已知12+x x =31
，求142+x x 的
值。
解：由12+x x =31
知x ≠0,所以x x 12+=3，即
x+
x
1
=3.所以
241x x +=x 2＋21
x
=(x+
x
1
)2
-2=32
-2=7.故142+x x 的值为7
1。
该题的
解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知132+-x x x =5
1
，求1242++x x x 的值。
20、已知实数a,b,c 满足a+b=ab=c ，有下列结论：①若c ≠0,则
a 1+b
1
=1；②若a=3，则b+c=9;③若a=b=c ，则abc=0;④若a,b,c 中只有两个数相等，则a+b+c=8。
其中正确的是 （填正确结论的序号）。
21、一个批发零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小明购买铅笔，如果给九年级学生每人买1支，那么只能按零售价付款，需用（m 2-1）元；如果多买60支，那么可按批发价付款，同样需用（m 2-1）元。
设九年级共有x 名学生，解答下列问题：
（1）求x 的取值范围。
（2）每支铅笔的零售价、批发价分别为多少元？（用含x,m 的式子表示）
（3）每支铅笔的零售价比批发价贵多少元？
22、计算：（1+
x -11）÷12--x x ·2
1
--x x
23、先化简：（12222-+x x x -122
2+--x x x x ）÷1
+x x
，然后解答下列问题：
（1）当x=3时，求分式的值.
(2)原分式的值能等于－1吗？为什么？
24、先化简，再求值：(a a a 222-++4412+--a a a ) ÷a
a 4
-，
其中a 满足a 2
-4a-1=0.
25、计算；[2)(1b a +－2
)(1b a -]÷（b a +1－b
a -1
）。
26、已知x （
y 1＋z 1）＋y （x 1＋z 1）＋z （x
1＋y 1
）+3=0，且
x 1＋y 1＋z
1
≠0，求x+y+z 的值。
27、已知x 为正整数，且
32+x ＋x -32＋9
1822-+x x 也为正整数，求所有符合条件的x 的值。
28、已知x+y+z=0，xyz ≠0,求||z y x +＋||x z y +＋
|
|y x z
+的值。