专题：分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
分式问题的多种解法
分式问题的多种解法分式是数学中常见的一种形式，通常表示为两个数之间的比值。
在解决分式问题时，我们可以采用多种不同的方法来求得最终答案。
本文将介绍几种常用的解法，帮助读者更好地理解和运用分式。
一、通分法通分法是解决分式加减法的常用方法。
当两个分式的分母不同的时候，我们需要通过求得它们的公共倍数，使它们的分母相同，然后再进行加减运算。
例如，对于分式$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的最小公倍数为6，然后将两个分式都通分为$\frac{3}{6}$和$\frac{4}{6}$，最终得到$\frac{7}{6}$作为它们的和。
二、化简法化简法是解决分式问题的另一种常见方法。
当一个分式的分子和分母可以化简为最简形式时，我们可以将其化简为约分后的分式。
例如，对于分式$\frac{6}{9}$，我们可以化简为$\frac{2}{3}$，从而得到最简形式的答案。
三、换元法换元法是解决一些复杂的分式问题的有效方法。
通过引入一个新的未知数或变量，我们可以将原始分式转化为更容易处理的形式。
例如，对于分式$\frac{x+1}{x}$，我们可以引入一个新的变量$y=x+1$，从而将原始分式转化为$\frac{y}{y-1}$，然后再进一步求解。
四、倒转法倒转法是解决除法分式问题的一种重要方法。
当一个分式为除法形式时，我们可以将其倒转为乘法形式，然后再进行计算。
例如，对于分式$\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}$，我们可以将其倒转为$\frac{3}{4} \times \frac{6}{5}$，然后再计算得到$\frac{9}{10}$。
五、代入法代入法在解决一些复杂的分式问题时也十分实用。
通过将一些条件或特定数值代入到分式中，我们可以简化问题的求解过程。
例如，对于分式$\frac{x}{y}$，如果给定$x=2$，$y=3$，我们可以直接代入这些数值得到$\frac{2}{3}$作为最终答案。
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分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法例1 计算：211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
（一）合理运用逐项通分我是一个标题
例1:
常规策略：一次通分，然后化简。
巧妙解法：
画龙点睛：对分母应用平方差公式，依次合并两个分式，比全部通分要简便。
练习题：
（二）恰当利用拆项解题
例2：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：
画龙点睛：化分式为部分分式，其实质就是把分母较复杂的分式拆成几个分母较简单的分式的代数和，能达到化繁为简的目的。
练习题：
（三）巧用换元法解题
例3：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：设x－y＝a，y－z＝b,z－x＝c.
画龙点睛：通过观察发现，
x＋y－2z＝(y－z)－(z－x),
x＋z－2y＝(x－y)－(y－z),
y＋z－2x＝(z－x)－(x－y),
从而考虑用换元法。
练习题：
常规策略：可先解出方程的根，然后代入计算。
巧妙解法：将x4＋x3－4x2＋x＋1＝0方程两边除以x2，得
画龙点睛：注意x≠0时，方程两边才能同时除以x2.
练习题：
（五）设辅助参数
左边＝[a2＋(ak)2＋(ak2)2]
[(ak)2＋(ak2)2＋(ak3)2]＝
a4k2(1＋k2＋k4)2,
右边＝（a2k＋a2k3＋a2k5）2＝
a4k2(1＋k2＋k4)2
所以原式成立。
画龙点睛：遇到连比，可设辅助参数解题。
练习题：。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式是数学中常见且重要的运算形式，它可以表示两个数之间的比例关系或者一个数与一个无穷小量之间的关系。
分式的运算需要注意一些技巧和方法，下面我将详细介绍一些常用的技巧和方法。
1.分式的化简：分式的化简是指将一个复杂的分式转化为一个更简单的分式，通常可以通过约分或者通分来达到目的。
- 约分：如果分式的分子和分母有一个公因子，可以将这个公因子约掉。
例如，$\frac{8}{12}$可以约分为$\frac{2}{3}$。
- 通分：如果分式的分母不同，可以通过求最小公倍数来将分母变为相同的数。
例如，$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$可以通分为$\frac{5}{15}$和$\frac{6}{15}$。
2.分式的加减：分式的加减运算需要将分母变为相同，然后对分子进行相应的加减操作。
- 通分：对于两个分母不同的分式，需要找到它们的最小公倍数，然后将分母变为最小公倍数，再对分子进行加减操作。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$可以通分为$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$。
- 减法的变形：对于分式的减法运算，可以改写为加法的形式，即将减号变为加号，然后将第二个分式的分子取反。
例如，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$可以写为$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$。
3.分式的乘法：分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘得到结果。
- 化简：如果乘法运算结果可以进行约分，则进行约分。
例如，$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4.分式的除法：分式的除法是将两个分式交叉相乘，即将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧一、利用分式的性质进行分解1.互质因式法：当分式的分子和分母没有公因式时，可以将分子和分母直接以括号括起来，形成一个整体，以简化表达式的形式。
例如：分解分式a/(b+c)时，可以直接写成a/[(b+c)]。
2.分子因式分解法：当分子为多项式时，可以尝试对分子进行因式分解，再将分母与因式分解结果进行组合。
例如：分解分式 (x^2 + xy)/[(x^2 + y^2)(x-y)]，可以先对分子进行因式分解，得到 x(x+y)/[(x-y)(x^2 + y^2)]，再将分子与分母组合。
3.分母因式分解法：当分母为多项式时，可以尝试对分母进行因式分解，再将分子与因式分解结果进行组合。
例如：分解分式(x^2+2x+1)/(x^3-1)，可以将分母进行因式分解，得到(x-1)(x^2+x+1)/(x-1)(x^2+x+1)(x+1)，然后将分子与分母的公因式相消。
二、利用分母的无理根进行分解当分母中存在无理数根，如√2、√3等时，可以通过有理化的方法将分母有理化，再进行分解，以简化计算。
例如：分解分式1/(√2+√3)，首先采用有理化的方法将分母有理化为(√2-√3)(√2+√3)，再将分子与有理化后的分母相乘即可。
三、利用分式的运算性质进行分解1.加减法性质：分式的加减可以通过找到公共分母，对分子进行加减来简化计算或分解。
例如：分解分式(a/c+b/c)/(d/c-e/c)，公共分母为c，分子可以写成(a+b)/c，分母可以写成(d-e)/c，再将分子与分母相除即可简化。
2.乘法性质：分式的乘法可以将分子与分母的公因式化为一个因式，从而简化计算或分解。
例如：分解分式 (a^2b^3cd^2)/(8abc^2d^3) ，分式中的公因式有 a、b、c、d，可以将公因式取出，得到 (ab^2d)/(8d^3)，再简化计算。
四、利用分式的逆运算进行分解有时可以利用分式的逆运算，如倒数运算、分子分母对调等，将分式进行变换，再进行分解。
分式运算的几点技巧
分式运算的几点技巧
分式运算的几点技巧
分式运算的一般就是按分式运算法则和运算顺序进行
运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算
（答案：）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡
计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
六. 见繁化简
例6. 计算：
解：原式
说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。
方能起到事半功倍的。
【知识点解析】专题训练2 分式运算的八种技巧
1 a＋1
＋
1 a＋1 a＋2
＋
1 a＋2 a＋3
＋
＋
1 a＋99 a＋100
.
解：原式＝
提示：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，
常用
进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．
技巧6 整体代入法
6．已知
1 a
＋
1 b
1 , 1＋1 6b c
1 , 1＋1 9a c
1c
的值．
解：
将上面各式两边分别相加，得
易知abc≠0，所以
技巧7 倒数求值法
x 7．已知 x2－3x＋1
－1, 求 x2 的值． x 4－9 x 2＋1
解：
技巧8 消元法
8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求 5x2＋2 y2－z2 的值． 2x2－3 y2－10z2
a2＋3a a2＋6a＋9
解：
提示：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分 解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这 样可使计算过程简化．
技巧2 顺次相加法
2．计算：
x
1
＋ 1
1＋ x＋1
2x ＋ x 2＋1
4x3 . x4＋1
解：原式
提示：此类题在计算时，采用“分步 通分相加”的方法，逐步递进进行计 算，达到化繁为简的目的．在解题时 既要看到局部特征，又要全局考虑．
要点提示
分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或 具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有 时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、 解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到事半功倍、化繁 为简的效果．
五年级数学技巧如何解决分式运算问题
五年级数学技巧如何解决分式运算问题分式是数学中非常常见的运算形式，而在五年级的数学学习中，分式的运算是一个相对难度较高的内容。
因此，如何采用适当的数学技巧解决分式运算问题，成为了五年级学生需要掌握的重要技能之一。
本文将介绍几种常用的数学技巧，帮助五年级学生解决分式运算问题。
一、化简分式化简分式是解决分式运算问题的第一步，也是基础中的基础。
对于一个分式，如果分子和分母有相同的公因数，就可以进行化简。
例如，对于分式3/6，可以通过将分子和分母同时除以3，得到化简后的分式1/2。
这样一来，分式的计算就变得更加简单明了。
二、分式的相加与相减在解决分式的相加与相减问题时，我们需要先找到分式间的公共分母。
例如，对于分式1/3和1/4的相加，我们可以找到它们的最小公倍数12，然后将分子按照公共分母进行加减，即可得到1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12。
同理，对于分式的相减也可以采用相同的方法。
三、分式的乘法与除法分式的乘法与除法相对于相加与相减来说，稍微有些复杂。
在进行分式的乘法时，我们可以直接将分子和分母相乘，例如，1/2 × 2/3 =2/6 = 1/3。
而在进行分式的除法时，我们需要将除号变为乘号，并且将除数倒置，然后进行分式的乘法，例如，1/2 ÷ 2/3 = 1/2 × 3/2 = 3/4。
四、分式的化简与换算当我们进行分式运算时，有时候会遇到需要换算的情况，例如将混合数转化为带分数的形式，或者将带分数转化为假分数的形式。
这时，我们只需要运用一些简单的数学技巧即可完成换算。
例如，将混合数3 1/2转化为带分数的形式，我们可以将整数部分与分数部分的和除以分母，即3 1/2 = (3 × 2 + 1)/2 = 7/2。
类似地，我们也可以将带分数转化为假分数的形式，例如7/2 = 3 1/2。
五、解决实际问题在数学学习中，我们学习的知识最终都要应用到实际问题中。
分式运算的几点技巧
分式运算的几点技巧分式运算的几点技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法例1. 计算：解：原式说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算(答案：)二. 分裂整数法例2. 计算：解：原式说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片(卡片数目不为零)，团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片?(答案：团团8张，圆圆4张)三. 拆项法例3. 计算：解：原式说明：对形如上面的'算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：(答案：)四. 活用乘法公式例4. 计算：解：当且时，原式说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
同类方法练习题：计算：(答案：)五. 巧选运算顺序例5. 计算：解：原式说明：此题若按两数和(差)的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和(差)的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
同类方法练习题：解方程(答案：)六. 见繁化简例6. 计算：解：原式说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
同类方法练习题：解方程(答案：)在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。
方能起到事半功倍的效率。
分式运算中的十二种常用技巧
分式运算中的十二种常用技巧在分式运算中，有很多常用技巧可以帮助我们简化表达式、求解问题。
下面我将介绍分式运算中的十二种常用技巧。
一、分子与分母的公因式法当分子与分母有公因式时，我们可以先约去它们的公因式，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3x^2}{4x}$，我们可以约去分子和分母的公因式 $x$，简化为 $\frac{3x}{4}$。
二、通分法对于两个分式，如果它们的分母不同，我们需要先将它们的分母化为通分，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$，我们可以将它们的分母化为通分，变为 $\frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$，再进行求和。
三、分数相加减法分数相加减法可以通过通分法化简，再按照分子相加减，分母保持不变的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$，我们可以先将其通分为 $\frac{9}{12} + \frac{2}{12}$，再进行求和，得到$\frac{11}{12}$。
四、负号的运用在分式运算中，可以用负号将有多个项的分式变为一个项的分式。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$，我们可以将其转化为 $\frac{ad - bc}{bd}$。
五、分式的乘法分式的乘法可以按照分子相乘、分母相乘的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$，我们可以将其简化为 $\frac{ac}{bd}$。
六、分式的除法分式的除法可以通过将被除数与除数的分子与分母交叉相乘，再进行约分得到结果。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，我们可以将它转化为 $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$，再进行约分。
七、分式的乘方分式的乘方可以通过将分子与分母分别进行乘方运算得到结果。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式计算的方法与技巧
分式计算的方法与技巧
分式的加减法法则是：1.同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变；2.异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算。
完成分式的加减运算后，若所得分式不是既约分式，应约分化为既约分式。
技巧：
1、整体通分法，将后两项看作一个整体，进行整体通分，可以简捷求解。
2、逐项通分法，通过观察各分母的特点，联想乘法公式，从左到右依次通分。
3、先约分，再通分：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值进行计算。
4、裂项相消法：通过观察，题目中的后两个分式的分母都是两个因数之积，而分子又是一个定值，要以将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再进行通分。
1。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式之一，它涉及到有理数的运算和表示。
在分式运算中，有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地进行运算。
以下是一些常见的分式运算技巧和方法。
1.分式化简：分式化简是分式运算的基础技巧。
化简分式可以使运算更加简便。
化简分式的方法包括因式分解、约分等。
例如，对于分式$\frac{12}{18}$，可以化简为$\frac{2}{3}$，使得运算更加简单。
2.公约数与公倍数：在分式运算中，找到分子和分母的公约数或公倍数可以帮助我们进行约分和通分。
例如，对于分式$\frac{6}{15}$，我们可以同时约分分子和分母的公约数2，得到$\frac{3}{5}$。
又如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，我们可以找到它们的最小公倍数12，通分得到$\frac{3}{12}$和$\frac{2}{12}$。
3.分数的乘法和除法：在分式的乘法中，我们可以直接将分子相乘，分母相乘。
例如，对于分式$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$的乘法运算，可以直接得到$\frac{8}{15}$。
在分式的除法中，我们可以将除法转换为乘法，即将除数的倒数乘以被除数，例如，$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$等价于$\frac{2}{3}*\frac{5}{4}=\frac{10}{12}$，然后再化简得到$\frac{5}{6}$。
4.分数的加法和减法：在分式的加法和减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减。
例如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{3}$的加法运算，我们需要将它们通分为$\frac{3}{12}$和$\frac{8}{12}$，然后再相加得到$\frac{11}{12}$。
对于减法运算，也是类似的步骤，例如，$\frac{2}{3}$减去$\frac{1}{4}$等价于$\frac{8}{12}$减去$\frac{3}{12}$，得到$\frac{5}{12}$。
专题分式运算中的常用技巧
重点：1.掌握设参数法进行分式运算；2.利用公式变形进行分式运算；3.掌握整体通分的思想方法。
难点：会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。
微课程1：设k 求值【考点精讲】运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。
除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k 求值，也叫做设参数法。
通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。
参数法，是许多解题技巧的源泉。
【典例精析】例题1已知0345a b c ==≠，求322a b ca b c-+--的值。
思路导航：首先设345a b c k ===，则可得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，然后将其代入322a b ca b c-+--，即可求得答案。
答案：解：设345a b ck ===（k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ⨯-⨯+-⨯-＝610k k -＝35-点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。
例题2已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--==，求223c bb a-+的值。
思路导航：仔细观察223c bb a-+，只要a 、b 、c 用同一个未知数表示，就可以约去分式中的未知数。
所以，设232537a b b c c a+--==＝k ，用k 来表示a 、b 、c ，然后将其代入所求的分式即可。
答案：解：设232537a b b c c a+--==＝k ， 则a ＋2b ＝5k ，① 3b －c ＝3k ，②2c －a ＝7k ，③由①＋③得，2b ＋2c ＝12k ， ∴b ＋c ＝6k ，④ 由②＋④，得4b ＝9k ， ∴b ＝94k ，分别代入①、④得， a ＝12k ， c ＝154k ，∴223c b b a -+＝159429322k k k k -+＝346kk -＝18- 例题3已知b c a c a b a b c +++==，计算()()()a b b c c a abc +++。
分式运算的十种常用方法
分式运算的十种常用方法1、拆项后合并例1 （1999年第十一届“五羊杯”初中数学竞赛题）计算：=__________。
分析直接计算较繁，仔细观察各分母数发现各项可利用公式：=()达到裂项求和的目的。
解原式===。
评注根据分数的性质，将分数拆项为两数的和（或差），利用互为相反数的两个数之和为0这一性质简化计算。
2、分解后约分例2 （1996年北京市初中数学竞赛题）计算：分析仔细观察分子、分母中各因式，可发现这些因式可用代数式n(n+3)+2（其中n 为自然数）表示，由于n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，因此每个因式均可分解为二个连续自然数之积约分便可。
解因为n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，所以原式===998。
评注有些计算题，运算关系比较复杂，可通过观察分式的分子，分母的特征，借助因式分解的技巧将分子，分母分解后，利用约分简化计算。
3、分组后通分例3 （1995年天津市初二数学竞赛题）化简：++--分析观察各分母分解后易知，第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易。
解原式=++-=-===0。
评注以容易通分为原则，把原分式分为若干组，然后分组运算再合并。
4、逐项合并通分例4 （1999年全国初中数学联赛题）计算：++的值。
分析若一次性完成通分，运算量很大，注意到分母(1-)与(1+)和(1-)与(1+)可用平方差公式逐项通分可以化简。
解原式=+==-2评注各分母之间若存在某种递进关系，一次通分难于完成时，可逐项通分。
5、换元后通分例5 （1997年北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛题）计算：(1--…-)(++…+)-(1--…-)×(++…+)分析在算式中，四个因数并不是相互独立的，都有，，…，，若用x=+…+，算式便得到简化。
解设x=+…+，则原式=(1-a)(a+)-(1-a-)a=(1-a)a+(1-a)×-(1-a)a+=-+=。
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初中数学专题：分式运算中的常用技巧编稿老师徐文涛一校雪二校黄楠审核敏知识点考纲要求命题角度备注分式的性质掌握利用分式的基本性质进行约分和通分分式的运算综合运用1. 利用设k的方法进行分式化简与计算2. 利用公式进行分式化简与计算3. 利用整体通分的思想对分式进行化简与计算常考二、重难点提示重点：1. 掌握设参数法进行分式运算；2. 利用公式变形进行分式运算；3. 掌握整体通分的思想方法。
难点：会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。
微课程1：设k求值【考点精讲】运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要容之一。
除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k求值，也叫做设参数法。
通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。
参数法，是许多解题技巧的源泉。
【典例精析】例题1 已知0345a b c==≠，求322a b ca b c-+--的值。
思路导航：首先设345a b ck===，则可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，然后将其代入322a b ca b c-+--，即可求得答案。
答案：解：设345a b ck ===（k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ⨯-⨯+-⨯-＝610k k -＝35-点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。
例题2 已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--==，求223c bb a-+的值。
思路导航：仔细观察223c bb a-+，只要a 、b 、c 用同一个未知数表示，就可以约去分式中的未知数。
所以，设232537a b b c c a+--==＝k ，用k 来表示a 、b 、c ，然后将其代入所求的分式即可。
答案：解：设232537a b b c c a+--==＝k ， 则a ＋2b ＝5k ，① 3b －c ＝3k ，② 2c －a ＝7k ，③由①＋③得，2b ＋2c ＝12k ， ∴b ＋c ＝6k ，④ 由②＋④，得4b ＝9k ， ∴b ＝94k ，分别代入①、④得， a ＝12k ， c ＝154k ，∴223c b b a -+＝159429322k k k k -+＝346kk -＝18-例题3 已知b c a c a b a b c +++==，计算()()()a b b c c a abc +++。
思路导航：设b c a c a ba b c+++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；然后将三式相加即可求出k 的值，代入即可求值。
答案：解：设b c a c a b a b c+++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；把这3个式子相加得2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k若a ＋b ＋c ＝0，a ＋b ＝－c ，则k ＝－1 若a ＋b ＋c≠0，则k ＝2()()()a b b c c a abc +++＝ck ak bk abc⋅⋅＝3k当k ＝－1时，原式＝－1， 当k ＝2时，原式＝8。
点评：用含k 的代数式表示出a ，b ，c 的值是解决本题的突破点。
【总结提升】设k 求值解题的基本步骤（1）设参数k ，即选择适当的参数k （参数的个数可取一个或多个）； （2）建立含有参数的方程或代数式；（3）消去参数，即通过运算消去参数，使问题得到解决。
例：已知x y za b b c c a ==---，求x y z ++的值。
解：设x y zk a b b c c a===---，于是有(),(),()x a b k y b c k z c a k =-=-=-，所以()()()x y z a b k b c k c a k ++=-+-+-＝0。
微课程2：活用公式变形【考点精讲】⇒ ⇒22()()a b a b a b -+=-完全平方公式和平方差公式是数学中的两个重要的乘法公式，也是同学们解题时常出错的难点。
在进行运算时，若能根据公式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用公式，可使问题化繁为简，收到事半功倍的效果，同时掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
【典例精析】例题1 已知a 2－5a ＋1＝0(0)a ≠，计算441a a+的值。
思路导航：让等式两边同时除以a ，得到1a a +＝5，然后对441a a+进行公式变形即可。
答案：解：因为a≠0，将a 2－5a ＋1＝0两边都除以a 整理得：1a a+＝5，所以44242411122a a a a a a +=+⋅⋅+-=2221()2a a +-＝22211(22)a a a a +⋅⋅+-－2＝221[()2]2a a+--＝（52－2）2－2＝527点评：本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。
解答本题的关键是将1a a+看做一个整体代入。
例题2 计算248162481611111()()()()()x x x x x xx x x x+++++2(1)x - 思路导航：将原式乘以代数式1()x x -，同时再除以代数式1()x x-，即可连续利用平方差公式。
答案：解：原式＝248162248161111111[()()()()()()](1)()x x x x x x x x x x x x x x x-+++++-÷- 22248162224816111111[()()()()()](1)x x x x x x x x x x x x x -=-++++-÷3223221()(1)1xx x x x =--⋅- 32321()x x x =-⋅33311x x=-点评：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
例题3 已知15a a+=，求2421a a a ++的值。
思路导航：本题将2421a a a --的分子、分母颠倒过来，即变为求4221a a a ++＝2211a a++的值，再利用公式变形求值就简单多了。
答案：解：∵15a a +=，∴21()25a a +=，即22123a a+=，∴4221a a a ++＝2211a a ++＝23＋1＝24。
∴2421a a a --＝124点评：利用x 和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程更加简捷。
【总结提升】完全平方公式的常见变形： （1）a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ， （2）a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ， （3）（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，（4）a 2＋b 2＋c 2＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋ac ＋bc ） 平方差公式的常见变形：（1）位置变化：（a ＋b ）（－b ＋a ）＝－（b 2－a 2）；（2）符号变化：（－a －b ）（a －b ）＝－（a 2－b 2）； （3）系数变化：（3a ＋2b ）（3a －2b ）＝ 9a 2－4b 2； （4）指数变化：（a 3＋b 2）（a 3－b 2）＝a 6－b 4；（5）项数变化：（a ＋2b －c ）（a －2b ＋c ）＝a 2－（2b －c ）2；（6）连用变化：（a ＋b ）（a －b ）（a 2＋b 2）＝（a 2－b 2）（a 2＋b 2）＝a 4－b 4。
微课程3：整体通分【考点精讲】分式的加减运算过程中，一般要按照运算法则同级运算从左到右计算。
异分母分式加减的运算法则是“异分母的分式相加减，先通分变为同分母的分式，然后再加减。
”但对于一些较为特殊的异分母分式加减运用此规则显得麻烦。
因而需根据题型，灵活运用其法则及有关知识进行解答。
在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而最终达到解决整个问题的目的。
【典例精析】例题1 计算：3211x x x x ---- 思路导航：题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求能作为整体的部分，那么计算起来可以简便一些。
对于本题可以将后面的部分看做一个整体进行通分。
答案：解：原式＝32(1)1x x x x -++-＝32(1)(1)11x x x x x x -++---＝31x x -－311x x --＝11x -。
点评：本题是求一个分式与一个多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相加，可以使解法更简便。
例题2 计算：2001667133466711a a a a ---- 思路导航：将后三项看做分母是1，变为20016671334667111a a a a ++--，整理后，利用完全平方公式即可解答。
答案：解：原式＝20016671334667111a a a a ++--＝20016676671334667667(1)(1)11a a a a a a -++---＝20012001667(1)1a a a --- ＝66711a - 点评：本题考查分式的加减，在计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分子和整个分母。
注意到6671334,a a 与2001a 之间的关系，利用换元法，可以将问题转化为我们熟悉的形式。
【总结提升】若题目为整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。
解此类题可运用整体思想，把整式看做分母是“1”的一个整体参与计算，可达到简化目的，使计算简便。
例如：计算分式422a a+--时，可将a ＋2看做一个整体，将其分母看做“1”进行通分，可使运算过程大大简化。
（答题时间：60分钟）设k 求值1. 已知x ：2＝y ：3＝z ：0.5，则32x y zx y z+--+的值是（ ）A. 17B. 7C. 3D. 132. 若实数a 、b 、c 、d 满足b c d a ===，则2222a b c d +++的值是（ ）A. 1或0B. －1或0C. 1或－2D. 1或－13. 若x 是一个不等于0的数，且x 2－3x ＋1＝0，则24231x x x ++等于（ ）A. 110B. 112C. 10D. 12二、填空题4. 若0357x y z ==≠，则x y zx++＝___________。
5. 若2a ＝3b ＝4c ，且abc≠0，则2a bc b+-的值是______________。