分式运算的几种技巧

合集下载

分式通分的7种技巧

通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。

通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。

可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。

现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。

一、分组通分例1 计算-+-。

分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。

解原式=-+-=+=。

点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。

二、逐步通分例2 计算:+++。

分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。

若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。

解原式=++=++=+=。

三、整体通分例3 计算:x+y+。

分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。

解原式=(x+y)+=+= + =。

四、分解因式,约分后通分例4 计算-。

分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。

解原式=- =-==。

点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。

五、改变排序,一次通分例5 计算++。

分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。

解原式=++=++==0。

点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。

六、常量代换,自然通分例6 设abc=1,试求++的值。

分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。

解原式=++=++==1。

点评本题的解法很巧妙,它是在认真分析题目特点的基础上,利用分式的基本性质和常量代换,使其由“山重水复”变为“柳暗花明”的。

2019中考数学分式运算的几点技巧

2019中考数学分式运算的几点技巧
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

同类方法练习题：计算
(答案：)
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

同类方法练习题：有一些。

分式运算的八种技巧

分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。

3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。

4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。

请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。

6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。

7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。

10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。

11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。

12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。

13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组且x 为整数，求A 的值。

分式运算的技巧方法

分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。

下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。

2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。

最后再将两个分子相加或相减。

二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。

2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。

3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。

三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。

2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。

3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。

四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。

2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。

五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。

2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。

3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。

六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。

2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。

分式的运算技巧

分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。

无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

分式运算的若干技巧

分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。

尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。

以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。

2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。

3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。

4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。

这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。

5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。

6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。

7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。

以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。

当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。

分式运算的八种技巧

技巧1、直接约分法:
通过公式提公因式，直接约分即可！技巧2、整体通分法:
技巧3:顺次相加法:
先计算前两项，通分化简的结果再和第三项结合计算！技巧4:通分换元法
每个多项式有相同项的时候，可以考虑换技巧5:裂项相消法:
通过把每一项变形，达到与其它项相抵消技巧6:整体带入法
每一项通分整理后，把相同的项整体带入
技巧7:倒数求值法
直接求不方便，可先求其倒数
技巧8:消元法
多个参数计算，可用一个参数表示出其它
分式的基本性质，以及通分、约分都是分式运算的基础！。

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。

在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。

下面将介绍几种常用的分式运算技巧。

1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。

这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。

例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。

2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。

这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。

例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。

3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。

这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。

例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。

4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。

这种方法在分数的加减运算中经常使用。

例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。

如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。

5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。

初二数学上册：分式运算6大技巧+例题

初二数学上册：分式运算6大技巧+例题
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一、分段分步法
例1、计算：
分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

解：原式
二、分裂整数法
例2、计算：
分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

解：原式
三、拆项法
例3、计算：
分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式
，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。

在解某些分式方程中，也可使用拆项法。

解：原式
四、活用乘法公式
例4、计算：
分析：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。

解：当且时，
原式
五、巧选运算顺序
例5、计算：
分析：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。

解：原式
六、见繁化简
例6、计算：
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。

解：原式。

分式函数常用的变形技巧

分式函数常用的变形技巧分式函数是指含有分式的函数形式，包括有理函数、无理函数等。

在进行计算和简化分式函数时，常用的变形技巧有以下几种：1. 分式加减法的通分：当两个分式的分母不同的时候，需要进行通分操作。

通分的方法是将两个分母的最小公倍数作为新的分母，然后对应相乘得到的分子。

通分后，可以进行分子的加减操作。

例如，假设有两个分式函数为f(x) = a/x 和g(x) = b/x，其中a、b 为常数。

要计算f(x) + g(x)，需要对两个分式通分。

f(x) + g(x) 的通分结果为(ax + bx) / x，可以进一步简化为(a + b)。

2. 分式乘法的简化：在进行分式乘法时，可以简化分子与分母的表达式。

例如，假设有两个分式函数为f(x) = a/b 和g(x) = c/d，要计算f(x) ×g(x)，可以将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。

即(a/b) ×(c/d) = (a ×c) / (b ×d)。

3. 分式除法的简化：在进行分式除法时，可以简化分子与分母的表达式。

例如，假设有两个分式函数为f(x) = a/b 和g(x) = c/d，要计算f(x) ÷g(x)，可以将除法转化为乘法，即f(x) ÷g(x) = f(x) ×(1/g(x))。

然后对g(x) 进行倒数的运算，即(1/g(x)) = (d/c) / x，最后再进行分式乘法的运算。

4. 合并同类项：在化简含有分式的多项式函数时，可以将具有相同变量和指数的项合并到一起。

例如，假设有一个多项式函数为f(x) = (a/x) + (b/x) + (c/x^2)，其中a、b、c 为常数。

可以将其中的分子相同的项合并，得到f(x) = (a + b + c/x) / x。

5. 提取公因式：在进行分式的因式分解时，可以提取公因式。

例如，假设有一个分式函数为f(x) = (ax + bx + cx) / x，可以提取公因式x，得到f(x) = (a + b + c)。

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。

以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。

化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。

2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。

3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。

二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。

通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。

2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。

三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。

具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。

2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。

乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。

3.合并同类项，将分子进行相加或相减。

四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。

具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。

2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。

五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。

分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。

六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。

2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。

分式求值五技巧

分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题以下向同学们介绍了几种常用的技巧一、巧用整体代换例1：已知：x 1=2，求221x 的值分析：用x 1表示221x ，用已知式整体代换所求式解：由x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4所以221x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2••x 1=4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4求2222n mn m mn m +--的值分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222cb a ac bc ab ++++的值分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了解：设2a =3b =4c =则a=2b=3c=4代入求值式：原式=2221694424332k k k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a a1=5则1242++a a a 为________ 分析：由a a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来即2241a a a ++=24a a 22a a 21a=a 221a 1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -21 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若x 1-y 1=31，求yxy x y xy x ---+3232的值分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义（2）尽量找整数，利于求值计算解：令=2代入已知等式得，y=6把=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+ 原式=4028-=-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活。

初中数学分式所有类型题目解题技巧

初中数学分式所有类型题目解题技巧分式求值的常用技巧一、倒数法：如果x+1x =3,则2421x x x ++的值多少? 18 二、平方法：已知x+1x =3 ,则 2x +21x=7 三、设参数法: 已知2a = 3b = 5c ≠0 求2222323ab bc ac a b c+-+-的值－653 四、整体代换法：已知1x -1y =3求2322x xy y x xy y +---=35五、消元代换法：已知abc=1,求1a ab a +++1b bc b +++1cac c ++=1六、拆项法：若a+b+c=0,求a(1b +1c )+b(1a +1c )+c(1a +1b)+3=0七、配方法：若求2221a b c ab ac bc ++---=16巧用增根妙解题.1 已知关于x 的方程 322x ax x -=--无解,求 a 的值－１ 2 若方程2251224m x x x x +-=-+- 有增根,则 m 的值.( D ) A14 B 12 C 1 D 12 或 -123 已知关于x 的方程2213122x x ax x x -+=+---的解是非负数,求a 的取值范围. a ≤１且a ≠-3解分式方程的几种技巧一、化假分式为真分式：解方程 14681357x x x x x x x x ++++-=--+++ x=-4 二、利用比例的性质：解方程 1513x x x x +-=-- x=2 三、拆项法：解方程111111(1)(2)(2)(3)(3)(4)x x x x x x x +++=------- x=5四、局部通分法：解方程11116352x x x x -=----- x=4列分式方程解实际问题基本步骤;1设2表:即用未知数表示其它未知量.3找:找等量关系.4列:即根据所找的等量的关系列方程.5解方程.6验,检验7答:对所提问题进行回答. 一行程问题: 常用的公式: 速度=路程/时间顺水(风)速度=船(飞机)速+水(风)速逆水(风)速度=船(飞机)速-水(风)速常用的技巧:有时设总路程为单位”1”,常画线段图进行分析.例:一小船由A 港到B 港顺流需行6小时,由B 港到A 港逆流需行8小时,一天,小船2于早晨6点由A 港出发,顺流到达B 港时,发现一救生圈在途中掉落水中,立即返回,1小时后找到救生圈.问(1)若小船按水流速度由A 港漂流到B 港,需要多少时间? (2)救生圈是在何时掉入水中的.解：设救生圈是在y 点时掉入水中148（１３－y ）＋18＊１＝16（１２－y ） y ＝１１二工程问题: 常用的公式: 工作效率=工作总量/工作时间甲乙合作的效率=甲的效率+乙的效率常用的技巧:通常设工作总量为单位一,并列表进行分析.例:某工程,甲独做恰好在规定的日期内完成,乙独做要超过规定3天才能完成.现由甲乙合作两天,剩下的工程由乙去做,恰好在规定的日期内完成,问规定的日期是多少天?解：设规定的日期是y 天，工作总量是单位一，并列表分析（1y ＋13y ＋）＋（y －２）13y ＋＝１三价格问题: 常用的公式: 单价=总价/数量常用的技巧; 有时设总价为单位一例:把总价都为480元的甲乙两种糖果混合成杂拌糖,杂拌糖平均价每斤比甲种糖少3元,比乙种糖多2元,问原来甲种糖和乙种糖的每斤价格各是多少斤?解：分式的值何时才能等于01 在什么条件下,分式1xx - 的值等于0呢? x= 02 在什么条件下,分式||11x x -- 的值等于0呢? x= -1 3 在什么条件下,分式 2164x x -+的值等于0呢? X= 4分式不等式的“影子”及解法一分式不等式的“影子”1 x 为何值时，分式21x -的值为负数？２ x 为何值时，分式 23x x- 的值为负数？３解不等式：1521xx +->0二分式不等式的解法：1 如果ab ＞0 那么a ＞0,b ＞0;a ＜0,b ＜0; ２如果ab ＜0 那么a ＞0,b ＜0;a ＜0,b ＞0;３如果AB ＞0 那么A ＞0,B ＞0;A ＜0,B ＜0; ４如果AB＜0 那么A ＞0,B ＜0;A ＜0,B ＞0;巧用分式解答分数问题1 计算：2221999199819991997199919992+-解：设19991998=a 那么原式=222(1)(1)2a a a -++-=12 ２计算：323220032*20032001200320032004--+-解：设2003= a 那么原式=32322(2)(1)a a a a a a -+-+-+=22(2)(2)(1)(1)a a a a a a -+-+-+=22(2)(1)(1)(1)a a a a ---+=21a a -+=667668 ３已知Ａ＝20002001－19992000 Ｂ＝19992000－19981999试比较Ａ与Ｂ的大小．解：设 2000= a 那么A=1aa +-1a a -= 21a a + B=1a a ----21a a =21a a-因为2a +a>2a -a>0 所以21a a +<21a a- 即Ｂ>Ａ４已知Ａ＝123456234567Ｂ＝123455234566试比较Ａ与Ｂ的大小解：23456>123455>0 123455234566<12345512345661++=123456234567即Ｂ<Ａ５比较12＊３４＊５６＊……*９９１００与１１０的大小解：因为2>1>0 所以12<21a a+<1121++=23同理34<45…99100<100101所以1 2＊３４＊５６＊……*９９１００<１１０6 设a, b, c为三角形ABC的三边,求证:ca＋b+ab＋c+ba＋c<2证明：a+b+c＞0。

分式的化简与计算

分式的化简与计算分式（也称为有理数）是由一个整数的比值表示的数，其中分母不等于零。

在数学中，分式的化简与计算是一种重要的运算技巧，它可以使复杂的分式变得简单，并且有助于在解题过程中更加高效地进行计算。

本文将介绍分式的化简和计算方法，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

一、分式的化简当我们遇到一个复杂的分式时，我们可以通过化简来简化它，使得操作更加方便。

下面是一些分式的化简方法：1. 因式分解：如果分子和分母都可以因式分解，我们可以通过约去公因子的方式来简化分式。

例如，对于分式3x/6x，我们可以因式分解分子和分母得到3x/(2*3x)，然后约去公因子3x，最终得到1/2。

2. 合并同类项：如果分子或分母中包含多个项，我们可以将其中的同类项合并在一起。

同类项指的是具有相同的变量和指数的项。

例如，对于分式(2x+3y)/(4x+2y)，我们可以合并分子和分母中的x和y的项，得到(2x+3y)/(2(2x+y))，从而更简化了分式。

3. 分式的乘法和除法：对于两个分式的乘法，我们可以将其合并为一个分式。

例如，对于分式(1/2)*(2/3)，我们可以进行分子之间的乘法和分母之间的乘法得到1/3。

类似地，在分子和分母都是分式的除法中，我们可以将其转化为乘法，然后根据分子的性质进行约分。

二、分式的计算在日常生活和数学问题中，我们经常需要对分式进行计算。

下面是一些分式的计算方法：1. 分式的加法和减法：对于两个分式的加法和减法，我们可以先找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减，并保持分母不变。

例如，计算(1/2)+(1/3)，我们可以找到它们的最小公倍数6，然后将分子相加得到(3+2)/6=5/6。

2. 分式的乘法：对于两个分式的乘法，我们可以将其分子相乘，分母相乘，并将结果化简到最简分式。

例如，计算(2/3)*(4/5)，我们可以进行分子之间的乘法和分母之间的乘法得到8/15。

3. 分式的除法：在分式的除法中，我们可以将其转化为乘法，并将两个分式的转置相乘。

分式方程解法技巧

分式方程解法技巧要解决分式方程，需要掌握一些解法技巧。

以下是解决分式方程的常见技巧：1.清除分母：如果方程中存在分母，我们可以通过乘以一个适当的数来清除分母。

例如，如果方程中含有：a/b+c/d=e/f我们可以通分，使得方程变为：(a*d+b*c)/(b*d)=e/f或者直接消去分母，得到：a*d+b*c=e*(b*d)/f2.合并同类项：当方程中存在相同的分式项，我们可以将它们合并成一个分式。

例如，如果方程中含有：a/b+c/b=d/b我们可以合并分式项，得到：(a+c)/b=d/b3.变量代换：有时候，我们可以引入一个新的变量来替代原来的分式，从而简化方程。

例如，如果方程中含有：a/b=c/d+e/f我们可以假设y=c/d+e/f，并将方程变为：a/b=y接下来，我们只需要解决新的方程a/b=y，而不需要处理原方程中的复杂分式。

4.乘法法则：如果方程中存在两个分式相乘，我们可以将它们变为一个分式。

例如，如果方程中含有：(a/b)*(c/d)=e/f我们可以将两个分式相乘，得到：(a*c)/(b*d)=e/f5.分式与整数运算：当方程中存在分式与整数的运算，我们可以通过通分来简化方程。

例如，如果方程中含有：a/b=c+d/e我们可以通过通分，得到：(a*e)/b=c*e+d6.分式与分式运算：当方程中存在两个分式相加或相减，我们可以通分来简化方程。

例如，如果方程中含有：a/b+c/d=e/f我们可以通分，得到：(a*d+b*c)/(b*d)=e/f7.求倒数：有时候，我们可以通过求分式的倒数来简化方程。

例如，如果方程中含有：a/b=c/d我们可以将等式两边求倒数，得到：b/a=d/c8.分式的两侧取平方根：当方程中含有平方根时，我们可以通过两侧取平方根来简化方程。

例如，如果方程中含有：√(a/b)=c/d我们可以两侧同时平方，得到：a/b=(c/d)^2然后继续求解得到结果。

这些技巧可以应用于各种类型的分式方程，但是在解题过程中还需要根据具体情况进行判断和使用。

例说通分的技巧

例说通分的技巧分式运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分，对于分式的通分，要讲究技巧。

下面介绍几种常用的通分技巧。

一. 逐步通分多个分式加减，有时不要将所有分式一起通分，而采取逐步通分的方法，这样比较容易化简。

例1. 化简4214121111yyyy++++++-。

解：原式421412)1111(yyyy++++++-=84442218141414)1212(yyyy y y -=++-=++++-=思路分析：如果整体通分，相对较为繁琐。

从题型结构看，几个分式的分母依次符合平方差公式。

把前两个分式相加，然后面再进行化简相对简单，所以，我们在计算多个分式加减时，先观察式子的特点，根据需要，采取分步通分的方法，这样使问题简化了。

二. 分组通分有多个分式相加减时，有时也可将其中某些分式结合在一起，分别通分，这样能使计算比较简便。

例2. 化简21121221+---++-x x x x 。

解：原式)1212()2121(+---+--=x x x x451214442422+-=---=x x x x 。

思路分析：如果将4个分式同时通分，运算量大，且容易出错，观察发现第一、四项，第二、三项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分化简。

因此，当我们遇到题目中的分式较多时，可先观察是否有相同分母的分式，适当分组简化。

三. 整体通分在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分。

例3. 化简112---a a a。

解：原式1)1)(1(12--+--=a a a a a111122-=-+-=a a a a 。

思路分析：在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而最终达到解决整个问题的目的。

四. 化简后通分对于分子、分母比较复杂的分式计算题，可将每一个分式的分子、分母分别分解因式，约分后再通分。

例4. 化简aa a a a a a a a a a a 618312214822222222+-+-----+---+。

分式因式分解的方法与技巧

分式因式分解的方法与技巧一、利用分式的性质进行分解1.互质因式法：当分式的分子和分母没有公因式时，可以将分子和分母直接以括号括起来，形成一个整体，以简化表达式的形式。

例如：分解分式a/(b+c)时，可以直接写成a/[(b+c)]。

2.分子因式分解法：当分子为多项式时，可以尝试对分子进行因式分解，再将分母与因式分解结果进行组合。

例如：分解分式 (x^2 + xy)/[(x^2 + y^2)(x-y)]，可以先对分子进行因式分解，得到 x(x+y)/[(x-y)(x^2 + y^2)]，再将分子与分母组合。

3.分母因式分解法：当分母为多项式时，可以尝试对分母进行因式分解，再将分子与因式分解结果进行组合。

例如：分解分式(x^2+2x+1)/(x^3-1)，可以将分母进行因式分解，得到(x-1)(x^2+x+1)/(x-1)(x^2+x+1)(x+1)，然后将分子与分母的公因式相消。

二、利用分母的无理根进行分解当分母中存在无理数根，如√2、√3等时，可以通过有理化的方法将分母有理化，再进行分解，以简化计算。

例如：分解分式1/(√2+√3)，首先采用有理化的方法将分母有理化为(√2-√3)(√2+√3)，再将分子与有理化后的分母相乘即可。

三、利用分式的运算性质进行分解1.加减法性质：分式的加减可以通过找到公共分母，对分子进行加减来简化计算或分解。

例如：分解分式(a/c+b/c)/(d/c-e/c)，公共分母为c，分子可以写成(a+b)/c，分母可以写成(d-e)/c，再将分子与分母相除即可简化。

2.乘法性质：分式的乘法可以将分子与分母的公因式化为一个因式，从而简化计算或分解。

例如：分解分式 (a^2b^3cd^2)/(8abc^2d^3) ，分式中的公因式有 a、b、c、d，可以将公因式取出，得到 (ab^2d)/(8d^3)，再简化计算。

四、利用分式的逆运算进行分解有时可以利用分式的逆运算，如倒数运算、分子分母对调等，将分式进行变换，再进行分解。