分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧

分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 整体通分法

例1 计算：

2

11

a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.

【解】

22

22(1)(1)

(1)(1)

11(1)11

111

1

a a a a a a a a a a a a a a a a

二、 先约分后通分法

例2 计算2221

232

4x x x x x x

分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。

解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21

+x +2+x x =21++x x

三、 分组加减法

例3计算21-a +12

+a -12-a -21+a

分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。

解：原式=（21-a -21+a ）+（12

+a -12-a ）

=44

2-a +142--a =)1)(4(1222--a a

四、 分离整数法

例4 计算

3

x 4

x 4x 5x 2x 3x 1x 2x ---

--+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)1

1243x x x x x x x x

=1111(1

)(1)(1)(1)1243x x x x =1111

1243

x x x x

=。。。

五、 逐项通分法

例5 计算：4

4

322x

a x 4x a x 2x a 1x a 1--+-+-- 分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问

题简单化。

同类方法练习题：计算1x 2

1x 11x 12

+-+--1

x 81x 484+-+-

六、 裂项相消法 例6 计算：

1111

...(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)

a a a a a a a a .

分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到

111(1)1

a a a

a ，这样可抵消一些项.

解：原式=11

111111()()()...()11223910

a a a a a a a a =

1110

10

(10)

a

a a a

七、 整体代入法 例7．已知

1x +1

y

=5求2522x xy y x xy y -+++的值

解法1：∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=11

2()5

112x y

x y

+-++=25552⨯-+=57

解法2：由

1x +1

y

=5得，x y xy +=5, x+y=5xy

∴

2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy

+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =5

7

练习：若

11x y -=5，求3533x xy y

x xy y

+---的值．

八、 公式变形法

例8．已知a 2

-5a+1=0，计算a 4

+

4

1

a

解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a

=5 ∴a 4

+

41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a

)2-2]2-2=(52-2)2

-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2

+21x

的值．

九、 设中间参数法 例9．已知

b c a += a c b += a b c +，计算：()()()

a b b c c a abc +++ 解：设b c a += a c b += a b c

+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ；

把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k

若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1 若a+b+c ≠0，则k=2

()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc

⋅⋅=k

3

当k=-1时，原式= -1

当k=2时，原式= 8

练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则

=+-y

x y

x 3__________。 （2）已知

6

z

5y 4x ==，则

z 3z 4y 3x 2+-=_____________。 十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）

例10．已知21

a

a a -+=7，求2421a a a ++的值

解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =8

7

∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=15

49

∴242

1a a a ++=4915

练习：已知a+1

a

=5．则242

1a a a ++=__________. 十一、 特殊值法(选填题) 例11. 已知abc=1,则

1a ab a ++＋1b bc b ++＋1

c

ca c ++=_________.

分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则 原式=

11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+1

3

=1.

说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．