人教版初中八年级下册数学《16.1 二次根式(第1课时)》课件

当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1 ;
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知 （2） x 3 .
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
1 2
时， x 2 有意义．
2x 1
课堂小结
二次根式 有意义的 条件和非 负性
二次根式 的定义
在有意义 条件下求 字母的取 值范围
二次根式 的双重非 负性
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3.
探究新知
素养考点 2 二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
例2 已知实数x、y满足等式 y 3 x x 3 5 ，
求x2-2xy+y2的值.
解：
由题意得
3-x 0,
C．x＞1且x≠2 D．x＜1
连接中考
3.若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上
表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a2 1 B. 3 33
C. -1
1
D. 2 a
2.二次根式 2x 4 中的x的取值范围是（ D ）
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能力提升题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
求此三角形的周长．
解：由题意得 ∴a=3，
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
h2
km，那么它们的传播半径之比是
2Rh1 2Rh2
.
式子 2Rh1 表示什么？
2Rh2
公式中r= 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
素养目标
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次 根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
1. 理解二次根式的概念.
探究值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
连接中考
1.使 x 3 有意义的x的取值范围是（ C ）
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≠3
2.若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ A ） x2
A．x≥1且x≠2 B．x≤1
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14； （2）81； （3） - 0.8 ；（4） -3x (x 0) ;
（5）m (m，n异号，n 0）;（6） x2 4 ；（7）3 15 .
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
下列各式是二次根式吗?
课堂检测
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6x m都有意义，求
m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
A 1 有意义的条件：
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值
为____0__．
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x__≥_1__;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且__x_≠_2_.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
巩固练习
已知|3x-y-1|和 2x y 4 互为相反数，求x+4y的平 方根．
x
3
0,
解得：x=3.
把x=3,代入得y=-5.
所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.
总结：若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
巩固练习
已知y = x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式（第1课时）
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= 2Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
形如 a (a 0)的式子叫做 二次根式
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 或不等式组求出其解集
二次根式 a 中,a≥0且
a ≥0
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
16.1 二次根式/
谢谢 大家
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的 双重非负性