算法设计与分析

Ex.1(p20)若将y ← uniform(0, 1) 改为y ← x, 则上述的算法估计的值是什么？解：若将y ← uniform(0, 1) 改为y ← x，此时有，则k++，即，此时k++，由于此时x ← uniform(0, 1)，所以k/n=，则此时4k/n=2。所以上述算法估计的值为2。Ex.2(p23) 在机器上用估计π值，给出不同的n值及精度。

解：由ppt上p21可知，的大小，其中k为落入圆内的数目，n为总数，且π=，即需要计算4k/n。我们先令x ← un iform(0, 1)，y ← uniform(0, 1)。计算

的值，如果小于等于1，那么此时k++。最后计算4k/n的值即可估计此时的π值。代码的主要部分为：

执行结果为：

结果分析：随着N的取值不断地增加，得到的π值也就越来越精确。

Ex.3(p23) 设a, b, c和d是实数，且a ≤ b, c ≤ d, f:[a, b] → [c, d]是一个连续函数，写一概率算法计算积分：

注意，函数的参数是a, b, c, d, n和f, 其中f用函数指针实现，请选一连续函数做实验，并给出实验结果。

解：的值为y=，y=0，x=a，x=b围成的面积。根据之前的例子我们可以知道

= k(b-a)d/n。其中k是落在函数y=，x=a，x=b以及y=0所包围区间内的个数。代码的主要部分为：

运行结果为：

结果分析：

随着N的取值不断地增加，得到的积分值越来越精确。

Ex4(p24). 设ε,δ是(0,1)之间的常数，证明：若I是的正确值，h是由HitorMiss算法返回的值，则当n ≥ I(1-I)/ε2δ时有：

Prob[|h-I| < ε] ≥ 1 –δ

上述的意义告诉我们：Prob[|h-I| ≥ ε] ≤δ, 即：当n ≥ I(1-I)/ ε2δ时，算法的计算结果的绝对误差超过ε的概率不超过δ，因此我们根据给定ε和δ可以确定算法迭代的次数

()

解此问题时可用切比雪夫不等式，将I看作是数学期望。

证明：由切比雪夫不等式可知：

P( | X - E(X) | < ε ) ≥ 1 - D(X) / ε²

由题目知，E(X)=I。且根据题意，我们可知，在HotorMiss算法中，若随机选取n个点，其

中k个点在积分范围内，则。且k的分布为二项分布B(n，I)（在积分范围内或者不在

积分范围内），则。又因为k=x*n，所以D(X)=I(1-I)/n。再将E(X)和D(X)带入切比雪夫不等式中即可得到

Ex5(p36). 用上述算法，估计整数子集1~n的大小，并分析n对估计值的影响。解：由题知，集合的大小，通过计算新生成的集合中元素的个数来估计原集合的大小，代码的主体部分如下：

运行结果为（部分）：

结果分析为：

我也分析不出啥，可能N的值太小了。

Ex6(p54).分析dlogRH的工作原理，指出该算法相应的u和v。

解：因为x = (y-r) mod (p-1)。且r = log g,p(mod p) （由公式2）,即-r = log g,p

又因为y = log g,p c

所以x = (y-r) mod (p-1) = (log g,p c + log g,p) mod (p-1) = log g,p p

(由公式1)

又因为c = ba mod p , b=g r mod p

即x = log g,p a*(g r mod p)*= log g,p a

通过以上分析可以，该算法的u为ba mod p ，v为(y-r) mod (p-1)。

Ex7(p67). 写一Sherwood算法C，与算法A, B, D比较，给出实验结果。

解：Sherwood算法C的思想：

算法C在算法B的基础上做了一些改进，算法B取在val的前个数中找不大于x的最大整数y。算法C则是在1~n中随机挑选个数，从中找出不大于x的最大整数y。

算法A，B，C，D的具体实现如下图所示：

通过寻找某一个数X，计算A，B，C，D算法在表中查找X所需的访问数组元素的次数来比较算法A，B，C，D的性能。具体的执行结果如下图所示：

结果分析：

算法C的性能最优呀，还能说什么，总不能说这个算法不好吧。

Ex8(p77).证明：当放置（k+1)th皇后时，若有多个位置是开放的,则算法QueensLV 选中其中任一位置的概率相等。

证明：当放置(k+1)th皇后时，假设有n个位置开放，记为S1,S2,…,Sn。设选择位置Si时的概率为Pi。

如果Si被选中，此时必有uniform(1,…,i)=1，且对于所有的j>i，都有uniform(1,…,j)=0。

且P(uniform(1,…,i)=1) = 1/i。P(u niform(1,…,j)=0) = (j-1)/j

所以：

Pi = (1/i * i/i+1 * … * n-1/n) = 1/n

即选择位置Si的概率为1/n，所以算法选中其中任意位置的概率相等。

Ex9(p83).写一算法，求n=12~20时最优的StepVegas值。

解：对于每个N，当stepVegas从1取到N，对于每一个stepVegas我们重复计算100次，使用一百次的平均成功率以及平均执行时间来描述此stepVegas的性能。算法的主要代码如下图所示：

分别取N=12,13,14,…,20，对于每一个N，具体的执行结果如下图所示：

当N=12时，结果如下如所示，从图中我们可以看出此时的最优stepVegas为4：当N=13时，结果如下如所示，从图中我们可以看出此时的最优stepVegas为4：当N=14时，结果如下如所示，从图中我们可以看出此时的最优stepVegas为4：当N=15时，结果如下如所示，从图中我们可以看出此时的最优stepVegas为5：