万有引力与航天专题复习

万有引力与航天专题

复习

Revised on November 25, 2020

万有引力与航天

一、行星的运动

1、 开普勒行星运动三大定律

①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。

③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比

值都相等。 即：

其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。

推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。

例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） 年 年 年 年 二、万有引力定律

1、万有引力定律的建立

①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律

①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正

比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件

（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用

（1）万有引力与重力的关系：

重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。

忽略地球自转可得：

例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度

3

2a k

T =2Mm F G r =1122

6.6710/G N m kg -=⨯⋅12

2m m

F G r =2R Mm

G mg =

地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法：

在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g

方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等

（注：结合 得到中心天体的密度）

例4.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。

例5. 2017年1月23日，我国首颗1米分辨率C 频段多极化合成孔径雷达(SAS)卫星“高分三号”正式投入使用，某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t 扫过的弧长为L ，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是（ ）

A. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为L

t B. 卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为2πθ

t

C. 地球的质量为L 3Gt 2θ

D. 卫星的质量为L 2

Gt 3θ

经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 2M ma=m m F G r πω⎛⎫= ⎪⎝⎭

2

22v 2一条龙：＝=mr =mr r T “地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝

（4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L

特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。

双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 例6经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体.如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2=3∶2.则可知

2'

''''

'R m M G mg =mg R Mm G =2

3

3

4R M πρ⋅=1

2

2121m m v v R R =

=

A．m

1、m

2

做圆周运动的角速度之比为3∶2

B．m

1、m

2

做圆周运动的线速度之比为2∶3

C．m

2做圆周运动的半径为

2

5

L

D．m

1做圆周运动的半径为

2

5

L

三、宇宙航行

1、人造卫星的运行规律

例7.已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球同步卫星与地心间的距离为r，则以下说法中正确的是

A．地面赤道上物体随地球自转运动的线速度为R

B．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为R

C．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为

R

GM

D．地球同步卫星的运行速度为gr

2、宇宙速度

第一宇宙速度：V1=s 第二宇宙速度：V2=s 第三宇宙速度：V3=s

注：（1）宇宙速度均指发射速度

（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度

3、地球同步卫星（通讯卫星）

（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h；

（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；

（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T不变）；

（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。

对同步卫星：运动规律：

例8由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h），故而其r、v、ω、T 、a 等均为定值。

如图所示，福州位于北纬26°05′，P是位于福州的物体。一颗地球卫星Q的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，下列说法正确的是（）

A. 地球同步卫星可能经过福州上空

B. P的周期比Q的周期小

C. P的线速度比Q的线速度小