二次函数的特点和应用——研究性学习
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用引言：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义和图像特点二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像在抛物线的顶点处取得极值。
二、二次函数的性质1. 零点和因式分解二次函数的零点是指使得f(x) = 0的x值。
根据二次函数的定义，我们可以通过求解ax² + bx + c = 0的根来求得零点。
而对于因式分解，我们可以将二次函数表示为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)的形式，其中x₁和x₂是二次函数的零点。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的轴线，它垂直于x轴，并通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求解f(x) = ax² + bx + c = 0的x值来得到。
而抛物线的顶点则是对称轴上的点，它的x坐标由对称轴的方程给出，y坐标可以通过代入x的值计算得到。
3. 极值和最值二次函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
根据二次函数的图像特点，当a > 0时，函数的极小值在顶点处取得；当a < 0时，函数的极大值在顶点处取得。
而最值则是函数在定义域上的最大值或最小值。
三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中一个重要的概念，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
当物体的运动轨迹为抛物线时，我们可以通过二次函数来描述其运动状态。
通过分析二次函数的性质，我们可以求解物体的最高点、最远点以及落地点等问题。
2. 经济学中的成本和收益在经济学中，成本和收益是一个重要的概念。
二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
二次函数的特点和应用——研究性学习
二次函数图象的特点和应用——郭亚龙等二次函数是我们学习数学必须掌握的一项知识，它不仅在数学学科中有重要作用，而且在我们生活的方方面面（如建筑工程业、航空航天及军事等方面）都具有重要的意义。
为了更多的了解和掌握有关二次函数及二次函数的图象的知识，我们小组利用假期对二次函数的图象进行了各方面的探索、探讨和归类等工作。
我们想知道二次函数图象的特点和在生活中的详细应用。
为此，我们首先复习和巩固了一些二次函数及二次函数的图象的基本知识和特点：一、二次函数的基本理论。
（一）概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数a≠0)的函数叫做一元二次函数。
（二）表达式及特征：1、一般式：f（x）= ax2+bx+c（a≠0）；2、顶点式：f（x）=（x+a）2+b3、双根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（三）图象及性质：一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴为直线x=-2a/b，顶点坐标为（-2a/b，（4ac-b2）/4a）。
当a＞0时，抛物线开口向上，函数在#上单调递减，在#上单调递增；当a＜0时，抛物线开口向下，函数在#上单调递减，在#上单调递增。
（四）一元二次函数一一元二次方程的关系。
二次函数的图象与x轴的交的横坐标是对应的方程的实数根。
（五）一元二次函数的最值。
（六）一元二次函数的奇偶性。
二次函数为偶函数。
（七）一元二次函数的单调性。
1、当a＞0时，函数在区间（-∞,-b/2a]上为减函数，在[-b/2a，+∞）上为增函数；当a＜0时，函数在（-∞,-b/2a]上为增函数，在[-b/2a，+∞）上为减函数。
二、二次函数的典型题目。
（一）、解答式问题：已知二次函数f（x）满足f（2）=-1，f （-1）=-1，且的最大值是8，试确定次二次函数。
解：设二次函数的一般式为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），解得二次函数为y=-4x2+4x+7。
本题为用待定系数法求二次函数的表达式的方法，能够简洁的求出二次函数的表达式。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。
a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。
2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。
一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。
顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。
对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。
2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。
当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。
三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。
对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。
这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。
2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。
例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。
通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。
二次函数的性质和应用
二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。
本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。
一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。
1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。
对称轴把图象分成两个对称的部分。
2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。
其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。
3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。
当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。
最小值或最大值统称为顶点。
4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。
当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。
二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。
例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。
抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。
2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。
例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。
3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。
非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。
例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。
4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。
二次函数的特点和应用——研究性学习
二次函数的特点和应用——研究性学习二次函数是高中数学的一个重要内容，其在数学和实际生活中具有广泛的应用。
本文将通过研究性学习的方式，探讨二次函数的特点和应用。
一、二次函数的定义及特点1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是不全为零的常数，a称为二次函数的系数，b、c为一次项和常数项。
2.特点：（1）顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。
（2）开口方向：二次函数的开口方向可由a的正负确定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
（3）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
（4）零点：二次函数的零点就是方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，有时也称为根。
二次函数可能有0、1或者2个零点。
（5）平移变换：对二次函数进行平移变换可以通过改变函数的系数实现。
平移可以使二次函数的顶点、对称轴位置发生变化。
二、二次函数的应用1.物理学中的应用（1）自由落体问题：当物体自由下落时，它的高度与时间之间的关系可以用二次函数表示。
（2）抛物线轨迹：抛体运动的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数描述。
2.经济学中的应用（1）成本函数和利润函数：企业的成本和利润函数往往是二次函数，通过对函数进行分析可以最优化企业的经营策略。
（2）供需曲线：市场的供需关系可以通过二次函数来表示，通过解方程可以求得市场的均衡价格和数量。
3.工程学中的应用（1）弹簧的伸长：弹簧的伸长与所加力的关系可以用二次函数表示。
（2）飞行器轨迹：飞行器的轨迹通常是一个抛物线，可以用二次函数描述。
4.生物学中的应用（1）物种数量的变化：一些物种数量的变化可以用二次函数来描述，通过分析可以预测物种的生态变化趋势。
（2）生物发育曲线：生物的发育过程往往可以用二次函数来表示，如种子发芽过程、昆虫蛹化过程等。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见且重要的一种函数类型。
它的特点是含有二次项的多项式函数，一般的形式为y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）。
本文将探讨二次函数的性质与应用，旨在帮助读者更好地理解和运用二次函数。
1. 二次函数的图像特点二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
此外，二次函数的图像在经过顶点，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质，即当x轴上的一个点关于顶点对称时，对应的函数值也是相等的。
这一特性可以通过函数关于x=-b/2a的对称性来解释。
3. 二次函数与一次函数的关系若将二次函数的一次项系数b取为0，则得到的函数为f(x)=ax²+c，此时就变成了一元二次方程。
一次函数可以看作是二次函数的一种特殊情况，在一次函数中，a=0，即y=c，其中c为常数。
4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数的根，即f(x)=0的解。
对于一般形式的二次函数，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到它的零点。
根的情况有三种：当判别式b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当判别式b²-4ac=0时，有两个相等的实根；当判别式b²-4ac<0时，没有实根。
5. 二次函数的最值二次函数在抛物线的顶点处取得最值。
当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
6. 二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，抛物线的运动轨迹、物体自由落体的高度与时间的关系、利润与销量的关系等都可以用二次函数来描述和分析。
通过建立二次函数模型，可以对实际问题进行预测和优化。
总结：二次函数作为一种重要的数学工具，在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见的一类函数，它的特点是含有二次项的多项式函数，通常表示为y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为实数且不全为零），在本文中我们将探讨二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质二次函数的图像为抛物线，其性质如下：1. 开口方向：由二次项的系数a的正负决定，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为二次函数，即抛物线的对称轴为x=-b/2a。
3. 对称性：抛物线关于对称轴对称，即f(x)=f(-b/2a+x)。
4. 零点：二次函数的零点为使得f(x)=0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
二、二次函数的应用由于二次函数具有较为简洁的数学表达式和良好的图像特点，因此在实际问题中有广泛的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 物体运动的模拟二次函数可以用来模拟抛体运动的轨迹。
假设一个物体从地面上沿着水平方向射出，经过一段时间后，它的轨迹可以用二次函数表示。
其中，抛物线的开口方向取决于物体的发射角度和初速度大小，而顶点坐标则可以表示物体的最高和最远点。
2. 经济学中的成本和收益问题在经济学中，成本和收益通常与产量或销售额等变量相关。
二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系，从而帮助企业或个人做出决策。
例如，一个生产商可以通过分析其成本函数来确定最佳产量，从而实现成本最小化。
3. 工程学中的曲线拟合在工程学中，需要对一些实验数据进行拟合，以找出合适的曲线来描述数据之间的关系。
二次函数可以较好地拟合一些非线性数据，因为它具有一定的弹性和灵活性。
通过拟合二次函数，可以预测未知数据点的取值，并帮助工程师做出正确的决策。
4. 地理学中的地形分析地理学研究中，经常需要对地形进行分析和描述。
二次函数可以用来模拟山脉和河流的起伏曲线，帮助研究人员理解地理变量之间的关系，比如高度和距离之间的关系。
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。
2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。
设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。
3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。
当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。
二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。
抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。
2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。
比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。
3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。
比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是一种常见的数学函数形式，由幂次为2的项和常数项组成。
它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质和应用，并介绍一些相关的数学原理。
一、基本形式和性质二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c（其中a≠0，a、b、c为常数）1. 零点和轴对称性二次函数的零点是方程f(x) = 0的解，可以通过求解ax^2 + bx + c =0来得到。
零点对应于函数图像与x轴相交的点，也称为函数的根。
二次函数的图像是关于一个垂直于x轴的轴对称的，称为二次函数的轴。
轴的方程为x = -b/(2a)。
2. 开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负值决定。
当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
3. 顶点和最值二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，对应于函数的最值。
顶点的横坐标为-x0，其中x0 = -b/(2a)；纵坐标为f(-x0)。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
最小值或最大值为f(-x0)。
二、二次函数的应用二次函数在多个领域中都有实际应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 物体的抛体运动当一个物体被竖直抛出时，其高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
在忽略空气阻力的情况下，物体的高度h随时间t的变化满足h(t) = -16t^2 + vt + h0，其中v是初速度，h0是初始高度。
通过分析二次函数的性质，可以确定物体的最高点、落地时间等信息。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述生产成本与产量之间关系的函数。
二次函数常常被用来表示成本函数。
根据具体情况，成本函数的系数可以代表固定成本、变动成本等。
通过研究二次函数的图像和顶点，可以分析最小成本或最大利润对应的产量。
3. 自然界中的抛物线轨迹许多自然界中的现象都可以用二次函数来解释，例如自由落体运动、流体的喷射轨迹等。
二次函数的相关性质与应用
二次函数的相关性质与应用二次函数是高中数学中比较重要的一类函数，它的图像呈现出U型或者倒U型的形状，具有多种性质和应用。
本文将介绍二次函数的相关性质以及它在现实生活中的应用，并探讨其中的数学原理和实际意义。
一、二次函数的一般形式及相关性质二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，a不等于0。
根据此一般形式，可以了解到以下几个与二次函数相关的性质。
1. 首先，二次函数的图像为抛物线，在坐标系中通常呈现U型或者倒U型。
这一性质决定了二次函数在不同区间内的增减性，以及极值点的存在性。
2. 其次，二次函数的a值决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这一性质可以通过计算二次函数的导数来进行证明，从而体现出与导数的相关性。
3. 另外，二次函数的顶点坐标可以通过求解二次方程的解来获得。
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(x)=-b^2/4a+c。
顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或者最高点（当a<0时），具有重要的几何意义。
4. 最后，二次函数的轴对称性是一个重要的性质。
对于任意一个二次函数，它的图像关于直线x=-b/2a对称。
这意味着，当我们确定了图像的一部分时，可以通过轴对称性来得到另一部分的信息。
二、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景。
1. 马鞍形建筑设计二次函数的图像呈现U型或者倒U型的形状，可以用来设计马鞍形建筑物。
比如，体育馆、停车场和演唱会场馆等运用了二次函数的特性，使得空间的设计更加合理，并且能够提供较好的视野和使用效果。
2. 投射运动的轨迹抛体的运动轨迹可以被建模为二次函数。
比如，物体在自由落体运动或者抛体运动下的轨迹都可以使用二次函数来描述。
此外，通过求解二次方程可以计算出物体的最大高度、最大水平距离等重要参数。
3. 线性加速度运动某些物体的运动状态可以通过二次函数来刻画。
数学研究性学习报告(二次函数)
班级：高二（6）班课题组长：余杭银课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：王少波研究性学习课题开题报告201 4 年5 月30 日班级高二（6）班研究课程数学课题名称二次函数图象特点的应用小组成员王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋组长余杭银指导教师王少波选择本课题的主要原因随着新课程标准如火如荼的实施，其核心理念“为了我们每一个学生的发展”越来越受到人们的关注与重视。
课程改革已成为转变学习方式的一场革命，学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、张扬、发展和提升的过程。
在这一背景下，我们成立了“二次函数图像的特点和应用”的课题研究小组。
开展本课题研究的目的与意义(1)顺应当前教育发展的需要。
在如今交流工具网络化和全球经济一体化的推动下，知识更新的速度越来越快，教育面临着前所未有的挑战。
按照素质教育要求，教师的职责不仅仅是传道授业解惑了，单单让我们学生从书本上获取知识是很难面向未来的。
人要在一生中不断学习，才能适应社会的快速发展，所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识，更重要的是，激发我们学生自主探究的积极性，培养我们学习的能力，为今后持续不断的发展打下坚定的基础。
我们学生一旦学会了学习的方法与能力，知识的获取将是无限的。
(2）促进我们学生发展的需要。
教育的核心应着眼于我们学生的全面发展，应立足于我们学生本位教育。
教学改革的真实意义：“即是使每个人发展自己的才能和创造潜力。
”因此，坚持以我们学生为本的改革方向，坚持教育培养的应该是有主体性的人，只有这样的人才能主动、积极地参与社会活动，并为社会进步作出贡献。
教育过程中通过启发、引导受教育者内存的教育需求，创设和谐、宽松、民主的教育环境，有目的、有计划地组织、规范各种教育活动，从而把我们培养成为自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的社会主体。
这就必须让我们从小在“探究”的教育活动中锻炼自己，养成良好的学习品质，获得终身发展的知识和能力。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，由多项式中的二次幂项（最高次数为2）和常数项构成。
本文将探讨二次函数的性质以及其在实际应用中的具体运用。
一、二次函数的定义和基本形式二次函数的一般定义如下：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向：由二次函数的系数a的正负决定。
若a > 0，则二次函数的抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 最值与顶点：当二次函数的开口方向向上时，最值为最小值，对应于抛物线的顶点；当开口方向向下时，最值为最大值，也对应于抛物线的顶点。
3. 对称轴和顶点坐标：二次函数的对称轴为经过顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动：二次函数可以描述抛体运动的轨迹。
通过确定抛物线的方程，可以计算出抛体的高度、飞行时间、最远距离等。
2. 经济学中的成本函数和收益函数：企业的成本函数和收益函数通常采用二次函数来描述。
通过求解最值，可以确定最大利润和最小成本对应的产量。
3. 建筑工程中的拱桥设计：拱桥的形状通常可以用二次函数来描述。
通过调整抛物线的参数，可以使得拱桥的结构更加稳定和美观。
4. 金融学中的期权定价：期权定价模型如Black-Scholes模型中，二次函数被用来描述股票价格的波动性。
这有助于判断期权的价格和风险。
5. 统计学中的回归分析：二次函数可以用来拟合数据，进行回归分析。
通过寻找最佳拟合曲线，可以预测和解释数据的趋势和关系。
四、总结二次函数作为一种常见的函数形式，在数学中具有重要的性质与应用。
通过对二次函数图像特点的了解，我们可以更好地理解和应用二次函数。
数学研究性学习报告(二次函数)
班级：高二（6）班课题组长：余杭银课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：王少波研究性学习课题开题报告201 4 年5 月30 日班级高二（6）班研究课程数学课题名称二次函数图象特点的应用小组成员王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋组长余杭银指导教师王少波选择本课题的主要原因随着新课程标准如火如荼的实施，其核心理念“为了我们每一个学生的发展”越来越受到人们的关注与重视。
课程改革已成为转变学习方式的一场革命，学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、张扬、发展和提升的过程。
在这一背景下，我们成立了“二次函数图像的特点和应用”的课题研究小组。
开展本课题研究的目的与意义(1)顺应当前教育发展的需要。
在如今交流工具网络化和全球经济一体化的推动下，知识更新的速度越来越快，教育面临着前所未有的挑战。
按照素质教育要求，教师的职责不仅仅是传道授业解惑了，单单让我们学生从书本上获取知识是很难面向未来的。
人要在一生中不断学习，才能适应社会的快速发展，所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识，更重要的是，激发我们学生自主探究的积极性，培养我们学习的能力，为今后持续不断的发展打下坚定的基础。
我们学生一旦学会了学习的方法与能力，知识的获取将是无限的。
(2）促进我们学生发展的需要。
教育的核心应着眼于我们学生的全面发展，应立足于我们学生本位教育。
教学改革的真实意义：“即是使每个人发展自己的才能和创造潜力。
”因此，坚持以我们学生为本的改革方向，坚持教育培养的应该是有主体性的人，只有这样的人才能主动、积极地参与社会活动，并为社会进步作出贡献。
教育过程中通过启发、引导受教育者内存的教育需求，创设和谐、宽松、民主的教育环境，有目的、有计划地组织、规范各种教育活动，从而把我们培养成为自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的社会主体。
这就必须让我们从小在“探究”的教育活动中锻炼自己，养成良好的学习品质，获得终身发展的知识和能力。
二次函数的研究性学习
二次函数的特点及应用课题研究一、案例设计意图 1、研究背景二次函数是我们学习数学必须掌握的一项知识，它不但在数学学科中有重要作用，而且在我们生活的方方面面（如建筑工程业、航空航天及军事等方面）都具有重要的意义。
为了更多的了解和掌握相关二次函数及二次函数的图像的知识，这里对二次函数的图像实行了各方面的探索、探讨和归类及推广等。
2、研究目标通过对二次函数图像的特点和应用的研究，初步实现了以下目标：①初步探索符合数学学科特点的“探究——发现——创造”的教学模式，并形成探究性教学模式的具体操作方法和应用策略，同时能将应用于教学实践，并对教学产生实效； ②通过小组研究为载体，以研究性学习为核心，初步探索在课堂教学中展开探究性学习活动的一般途径和方法，同时，引导我们学生注重密切与社会生活的联系，初步培养我们学生自主创新意识和水平；③有利于同学们对二次函数加深理解，有利于同学们对二次函数进一步理解，也有利于我们学生解释生活现象，有利于提升我们学生的自主探究水平 二、具体探究角度特点：1、二次函数的三种表达形式（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()； （2）顶点式：y a x m h =-+()2，其中点（m,h ）为该二次函数的顶点； （3）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x轴的交点。
二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c （a ≠0）例1、（南通市）已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示。
求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）。
由图象可知A ，B ，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222y x x x =--+=--+1232123225822()() ∴该抛物线的顶点坐标为()32258，。
数学研究性学习报告(二次函数)
班级：高二（6）班课题组长：余杭银课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：王少波研究性学习课题开题报告1.二次函数的基本定义一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
2. 二次函数图象的特点及应用二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。
在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。
此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。
二次函数图象的特点一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。
且a ≠0）则称Y为X的二次函数。
①二次函数的三中表达形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，且 a≠0）；（2）顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a≠0）；（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（其中a≠0且 A( x1，0)和B(x2，0)为二次函数图像与x轴的交点坐标。
数学研究性学习报告(二次函数)
班级：高二（6）班课题组长：余杭银课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：***研究性学习课题开题报告1.二次函数的基本定义一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
2. 二次函数图象的特点及应用二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。
在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。
此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。
二次函数图象的特点一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。
且a≠0）则称Y为X的二次函数。
①二次函数的三中表达形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，且a≠0）；（2）顶点式[抛物线的顶点P(h，k) ]： y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a ≠0）；（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（其中a≠0且A( x1，0)和B(x2，0)为二次函数图像与x轴的交点坐标。
数学研究性学习报告(二次函数)
班级：高二（6）班课题组长：余杭银课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：王少波研究性学习课题开题报告1. 二次函数的基本定义一般地，把形如y=ax^2+bx+c (其中a, b, c是常数，0, be可以为0)的函数叫做二次函数(quadratic function )，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
顶点坐标[-b/2a,(4ac-bA2)/4a] 交点式为y=a(X-x1)(X-x2)[ 仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B( x2，0 )的抛物线]注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值) ，“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数一一也会遇到特殊情况) ，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别•如同函数不等于函数的关系。
2. 二次函数图象的特点及应用二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。
在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。
此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。
二次函数图象的特点一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数。
且a丰0) 则称Y为X 的二次函数。
①二次函数的三中表达形式：(1 )一般式：y=ax2+bx+c (其中a,b,c 为常数，且a* 0);(2)顶点式[抛物线的顶点P(h , k) ] : y=a (x-h ) 2+k (其中a,h.k为常数，且a丰0);(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (其中a 丰 0 且A( x1 , 0)和B(x2 , 0)为二次函数图像与x轴的交点坐标。
二次函数及应用研究
二次函数及应用研究二次函数是一个数学函数，可以用一条曲线来描述。
它的一般形式是：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c都是实数，且a不为零。
二次函数在数学中应用广泛，具有很多重要的性质和应用。
下面我将详细探讨二次函数及其应用。
首先，我们来讨论二次函数的性质。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线向上开口；当a小于零时，抛物线向下开口。
此外，二次函数的顶点坐标可以通过计算公式来求解，顶点的横坐标为-x轴的系数的一半，即x = -b / (2a)；纵坐标为代入横坐标得到的函数值。
二次函数的对称轴是通过顶点的直线，即x = -b / (2a)。
接下来，我们来讨论二次函数的应用。
首先，二次函数在物理学中的应用非常广泛。
例子之一是自由落体的运动。
自由落体下的物体受到的重力加速度是一个常数，可以用二次函数来描述。
在自由落体运动中，物体所经过的距离与时间的关系可以用二次函数来表示。
其次，二次函数在经济学中也有重要的应用。
例如，在市场需求和供应分析中，通常使用二次函数来拟合和预测市场需求和供应曲线。
通过分析二次函数的性质，我们可以得出很多有关市场运动和均衡价位的结论。
此外，二次函数还在金融学和工程学中有广泛的应用。
在金融学中，二次函数常用于建模金融市场中的价格波动和风险评估。
在工程学中，二次函数常用于建模物体的运动轨迹和结构的受力情况。
除了以上应用领域，二次函数还可以用于优化问题。
例如，在数学中，我们经常面临最小化一个二次函数的问题，这种问题可以通过求解函数的最小值来得到解。
此外，二次函数还可以用于解决几何问题。
例如，通过分析二次函数的图像和性质，我们可以解决与抛物线相关的几何问题，如确定抛物线的焦点、切线等。
总结而言，二次函数是数学中一个重要的函数，具有很多重要的性质和应用。
它在物理学、经济学、金融学、工程学等领域都有广泛的应用。
通过研究和应用二次函数，我们可以更好地理解和解决实际生活中的问题。
二次函数及应用研究
二次函数及应用研究二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是数学中最常见的函数之一、在数学中，函数是指一个集合与另一个集合之间的一种特殊的对应关系。
而二次函数是由一个二次方程定义的函数。
二次函数的一般形式是：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
二次函数在实际中的应用非常广泛，下面将介绍二次函数及其在数理化等学科中的应用。
首先，二次函数在几何学中有着重要的应用。
比如，在平面几何中，二次函数可用于描述抛物线，而抛物线的性质研究则涉及到了焦点、准线、对称轴等内容。
二次函数还可以用于描述圆的轮廓，将其参数化后可以得到圆的方程。
此外，二次函数在三维空间中也有重要的应用，比如描述二次曲面等。
其次，二次函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，自由落体运动中的物体高度与时间的关系可以用二次函数表示。
另外，光的折射定律也可以用二次函数表示。
此外，二次函数还可以描述振动系统的运动，比如弹簧振子、摆锤等。
此外，二次函数在经济学中也有着重要的应用。
经济学中常常用二次函数来描述成本、利润、收入等的关系。
例如，成本函数常常是一个二次函数，图像是一个开口向上的抛物线，可以用来研究最小化成本的问题。
另外，二次函数还可以用于描述市场需求和供给的关系，从而研究市场的均衡价格和数量。
此外，二次函数还可以用来研究金融领域的问题，比如股票价格的波动等。
最后，二次函数还在计算机科学中有着重要的应用。
计算机图形学中的曲线绘制，比如贝塞尔曲线，往往是由一组二次函数来表示的。
此外，二次函数还可以用于计算机模拟、数据拟合、优化算法等领域。
综上所述，二次函数是数学中一个重要的内容，其应用广泛涉及到几何学、物理学、经济学、计算机科学等多个学科领域。
对于学生来说，理解和掌握二次函数的性质和应用，将有助于他们更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
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二次函数图象的特点和应用
——郭亚龙等二次函数是我们学习数学必须掌握的一项知识，它不仅在数学学科中有重要作用，而且在我们生活的方方面面（如建筑工程业、航空航天及军事等方面）都具有重要的意义。
为了更多的了解和掌握有关二次函数及二次函数的图象的知识，我们小组利用假期对二次函数的图象进行了各方面的探索、探讨和归类等工作。
我们想知道二次函数图象的特点和在生活中的详细应用。
为此，我们首先复习和巩固了一些二次函数及二次函数的图象的基本知识和特点：
一、二次函数的基本理论。
（一）概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数a≠0)的函数叫做一元二次函数。
（二）表达式及特征：
1、一般式：f（x）= ax2+bx+c（a≠0）；
2、顶点式：f（x）=（x+a）2+b
3、双根式：
f（x）=a（x-x1）
（x-x2）
（三）图象及
性质：
一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴为直线x=-2a/b，顶点坐标为（-2a/b，
（4ac-b2）/4a）。
当a＞0时，抛物线开口向上，函数在
#上单调递减，在#上单调递增；当a＜0时，抛物线开口
向下，函数在#上单调递减，在#上单调递增。
（四）一元二次函数一一元二次方程的关系。
二次函数的图象与x轴的交的横坐标是对应的方程的实
数根。
（五）一元二次函数的最值。
（六）一元二次函数的奇偶性。
二次函数为偶函数。
（七）一元二次函数的单调性。
1、当a＞0时，函数在区间（-∞,-b/2a]上为减函数，
在[-b/2a，+∞）上为增函数；当a＜0时，函数在（-
∞,-b/2a]上为增函数，在[-b/2a，+∞）上为减函数。
二、二次函数的典型题目。
（一）、解答式问题：已知二次函数f（x）满足f（2）=-1，f （-1）=-1，且的最大值是8，试确定次二次函数。
解：设二次函数的一般式为f（x）=ax2+bx+c
（a≠0），解得二次函数为
y=-4x2+4x+7。
本题为用待定系数法求二次函
数的表达式的方法，能够简洁的求出二次函数的表达式。
（二）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3].
利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。
（三）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。
解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1……
本题为运用函数与方程的思想
方法。
……
（四）、实根问题：设二次
函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）
-x=0的两根x1和x2，满足0＜x1＜
x2＜1，求a的取值范围。
解得0＜a
＜3-2√（2）.
本题是用数型结合的思想来做的。
（五）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c 和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=o （a，b，c∈R且a≠0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。
解得A1B1的取值范围是（√3,2√3）.
本题是二次函数和一次函数的共同问题。
由此看出，二次函数在解决数学问题是具有非同小可的作用！我们必须完全掌握二次函数的数学问题的计算方法。
三、二次函数的实际生活运用。
我们可以从应用题中探讨二次函数的生活中的利用。
（一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。
现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。
据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。
（1）请写出y与x之间的关系式；
（2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？
解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。
（2）由y=-5x2+100x+6000得
当x=-b/2a=10时，
Ymax=（4ac-b2）/2a=60500
所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。
（二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。
已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值。
解：关系式为y=-x 2+3x （0＜x ＜3）
Y=-（x-3/2）
2+9/4，又因为0＜x ＜3
所以当x=3/2时，
矩形的面积最大，为9/4。
（三）、利用二次函数
解决利润问题。
在2006年的
青岛崂山北宅樱桃节前夕。
某果品批发公司为指导今明年的樱桃销
售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
判断x 与y 之间的关系，求出函数关系式，若樱桃进价为13元/千克，求销售利润p （元）与
销售价x 之间的关系，
并求出当x 取何值时，p
的值最大。
解：建立平面
直角坐标系，如图 销售价x （元/千克）
…
25 24 23 22 … 销售量y （千克） …
2000 2500 3000 3500 …
所以y=-500x+14500
由题意得：p=-500x2+21000x-188500
=-500（x-21）2+32000
所以当x=21时p最大，为32000（元）。
（四）、拱桥问题。
如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米,
求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米
的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？
解：由题意可知，抛物线的
关系式为y=-（1/25）x2；
计算可知卡车不能安
全通过，若要安全通过i，速度
应超过60 千米/时。
（五）、二次函数与裁剪问
题。
如图，边长为2的
矩形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数y=x+t的图象l随t的不同取值而变化，位于l的右下方，由l和矩形的边围成的图形的面积为s.
（1）当t取何值时s=3？
（2）在平面直角坐标系中，画出s关于t的图象。
解：（1）由计算可得，当t=4-√2时，s=3.
（2）由题意的s=｛①-（1/2）t2（0＜t＜2），②-（1/2）（t-4）2+4（2≤t≤4）函数图象如图所示。
通过以上的研究和探讨，我们解
决了有关二次函数的性质和应用问
题，我们发现二次函数的图象在解决
各种问题中具有不可替代的作用。
从
而学会熟练应用二次函数图象解决问
题是我们必须掌握的能力。