高中数学第二章函数的概念与基本初等函数研究性学习

第二章函数的概念与基本初等函数 研究性学习
一、课标要求：
（1）函数的概念和图象
①通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合和对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数。

③了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数，并求出给定自变量所对应的函数值，画出函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）。

④理解函数的单调性概念及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义。

了解函数奇偶性的含义。

⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质。

（对复合函数的一般概念和性质不作要求）。

（2）指数函数
理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算。

理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。

通过实际案例了解指数函数模型。

会用指数函数解决简单的实际问题。

（3）对数函数
理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

了解对数函数模型的实际案例； 了解对数函数的概念；理解对数函数的单调性与特殊点。

知道指数函数y =a x
与对数函数y =log a x 互为反函数（a > 0, a ≠1）（不要求一般地形式化讨论反函数的定义，也不要求求已知函数的反函数）。

（4）幂函数
了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, 12
1,y y x x == 了解幂函数的图象变化情况。

（5）函数与方程
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；了解二次函数的零点与相应的一元二次方程根的联系。

从而了解函数的零点与方程根的联系。

了解二分法求方程近似解的方法，能借助计算器求形如
30,0,log 0x a x ax b a bx c x bx c ++=++=++=等方程的近似解。

（6）函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义和简单应用。

二、本章设计意图
本章立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题和思想解决相关问题，体会函数与方程的有机联系．通过函数知识的学习，使学。

运用集合的观点，理解函数的概念，研究函数的性质，最后利用函数的知识生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题，达到培养学生的创新思维的目的．
本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分
类讨论、化归等思想方法。

围绕教育目标和数学思想方法，本章有针对性地进行如下设计：
为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本章采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，由浅入深，将函数的知识串联起来，既完善了知识体系完整性、系统性，又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段．函数引入中的三个问题：我国从1949年到1999年的人口数据表、自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式、某城市一天24小时内的气温变化图，既与初中时学习的函数内容相联系，又蕴含了函数的三种表示方法——列表法、解析法、图象法，起到了承上启下的作用．这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础．而某城市一天24小时内的气温变化将函数概念、函数的图象、函数的单调性、函数的零点有机地贯通。

为了所有学生都能参与到数学学习中来，激发每一个学生的学习热情和学习兴趣，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力，教材设置了旁白、思考、探究、实验、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间，从而促使教学方式和学生学习方式的改变．
为了适应学生个性发展的需要，教材在练习的基础上，将习题分为“感受·理解、思考·运用、探究·拓展”三个部分．“感受·理解”面向全体学生，体现了本章的基本要求，初步理解函数知识，并用来解决一些简单的问题；“思考·运用”面向多数学生，深化对函数概念的理解，并能运用函数函数知识解决一些较复杂问题；“探究·拓展”为学生提供一些富有挑战性的问题，以激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养。

本章注重信息技术与相关知识的整合。

利用信息技术在信息收集、资源获取、数据计算、视觉显示等方面的优势，丰富学习手段，呈现以往教学中难以呈现的课程内容。

如在作指数函数、对数函数、幂函数的图象以及探索方程根的存在性与二分法求方程的近似解、数据拟合等活动中，多次利用Excel等现代信息技术，并且通过旁白、阅读等作了使用信息技术的提示，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现，感受现代技术手段在数学学习中的作用，促进学习，帮助学生认识数学的本质．为了使学生了解掌握函数的基本研究方法，本章多次设计了让学生观察、思考、判断的情境．如在函数的单调性、奇偶性的学习过程中，引导学生观察函数的图象，由图象的直观性理解数学的本质，培养学生的观察、判断、抽象、概括能力．在基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的性质、方程的解与函数的零点的关系、二分法求方程的近似解等知识点，也进行了多次的探索．
为了使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展中的作用，体现数学的文化价值。

本章在旁白、阅读材料、探究案例中介绍了无理指数幂、对数的发明者与发展历史及其价值、开普勒、钢琴与指数曲线等，使学生感受到数学对推动社会发展的作用，明白数学的社会需求是数学发展的动力，了解数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观，激发学生学习数学的兴趣．在学生的能力培养上，本章也进行了整体设计．通过对函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究、思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过揭示对象之间的内在联系，培养学生的辩证思维能力；通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题和交流的能力；通过案例探究，培养学生的创新意识与探究能力；通过实习作业，培养学生的数学建模能力和实践能力．
三、教材分析及教学建议
内容：
函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础．学生学习函数的知识分四个阶段。

第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象．本章是第二个阶段（数学1），第三个阶段将学习三角函数（数学4）、数列（数学5），第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高．本章在学生学习函数知识的过程中只是一个中间环节．为了使学生为后续阶段的学习打下良好的基础，这里应该在初中学习的基础上，系统学习函数知识，培养学生应用函数知识的意识．
对于函数概念的引入，教材通过具体实例，让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对应关系。

教学应从学生已有的函数知识入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一般概念．如：
(1)随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；
(2)打电话时，通话费用与通话时间之间的关系；
(3)中国的国内生产总值正在逐年增长；
(4)汽车行驶中，耗用的汽油与路程的关系；
等等．
形式化、符号化，是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用y＝f(x)来表示，不仅简单，而且深刻。

又如在说明单调增函数时，符号语言“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”是对自然语言“随着x的增大，f(x)也增大”的精确刻画。

这样，学生在说明函数的单调性时，就有了一个形式化的模式，便于书写说明．教学时应将这两种描述方式进行对比，使学生体会到使用符号语言的优点和美感，养成运用符号语言的习惯．
数学的发展引起了计算工具的改革和进步，反过来，计算工具的广泛应用，又促进了数学的发展．为了帮助学生体会函数是刻画现实世界中变量之间依赖关系的数学模型，充分利用现代信息技术体现数学的应用功能，教学中，教师应有意识地利用适当的信息技术辅助教学．
在教学过程中，应突出本章的核心——函数，其本质是两个变量之间的相互依赖关系，体现函数对应法则的“输入、输出”功能，函数的性质只是对应法则在函数定义域上的表现，离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的．应重视问题提出的背景，充分发挥这些问题的载体作用，体现它们的数学价值．本章的教学大约安排32课时．具体如下：
2．1 函数的概念与图象约10课时
2．2 指数函数约5课时
2．3 对数函数约5课时
2．4 幂函数约2课时
2．5 函数与方程约3课时
2．6 函数模型及其应用约3课时
数学探究案例——钢琴与指数曲线约1课时
实习作业约1课时
小结与复习约2课时
2结构：
具体内容分析及教学建议：。