高中数学第二章函数的概念与基本初等函数研究性学习

第二章函数的概念与基本初等函数 研究性学习

一、课标要求：

（1）函数的概念和图象

①通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合和对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数。 ③了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数，并求出给定自变量所对应的函数值，画出函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）。

④理解函数的单调性概念及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义。了解函数奇偶性的含义。

⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质。

（对复合函数的一般概念和性质不作要求）。

（2）指数函数

理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算。

理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。

通过实际案例了解指数函数模型。会用指数函数解决简单的实际问题。

（3）对数函数

理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 了解对数函数模型的实际案例； 了解对数函数的概念；理解对数函数的单调性与特殊点。 知道指数函数y =a x

与对数函数y =log a x 互为反函数（a > 0, a ≠1）（不要求一般地形式化讨论反函数的定义，也不要求求已知函数的反函数）。

（4）幂函数

了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, 12

1,y y x x == 了解幂函数的图象变化情况。 （5）函数与方程

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；了解二次函数的零点与相应的一元二次方程根的联系。从而了解函数的零点与方程根的联系。

了解二分法求方程近似解的方法，能借助计算器求形如

30,0,log 0x a x ax b a bx c x bx c ++=++=++=等方程的近似解。

（6）函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义和简单应用。

二、本章设计意图

本章立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题和思想解决相关问题，体会函数与方程的有机联系．通过函数知识的学习，使学。运用集合的观点，理解函数的概念，研究函数的性质，最后利用函数的知识生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题，达到培养学生的创新思维的目的．

本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分

类讨论、化归等思想方法。

围绕教育目标和数学思想方法，本章有针对性地进行如下设计：

为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本章采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，由浅入深，将函数的知识串联起来，既完善了知识体系完整性、系统性，又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段．函数引入中的三个问题：我国从1949年到1999年的人口数据表、自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式、某城市一天24小时内的气温变化图，既与初中时学习的函数内容相联系，又蕴含了函数的三种表示方法——列表法、解析法、图象法，起到了承上启下的作用．这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础．而某城市一天24小时内的气温变化将函数概念、函数的图象、函数的单调性、函数的零点有机地贯通。

为了所有学生都能参与到数学学习中来，激发每一个学生的学习热情和学习兴趣，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力，教材设置了旁白、思考、探究、实验、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间，从而促使教学方式和学生学习方式的改变．

为了适应学生个性发展的需要，教材在练习的基础上，将习题分为“感受·理解、思考·运用、探究·拓展”三个部分．“感受·理解”面向全体学生，体现了本章的基本要求，初步理解函数知识，并用来解决一些简单的问题；“思考·运用”面向多数学生，深化对函数概念的理解，并能运用函数函数知识解决一些较复杂问题；“探究·拓展”为学生提供一些富有挑战性的问题，以激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养。

本章注重信息技术与相关知识的整合。利用信息技术在信息收集、资源获取、数据计算、视觉显示等方面的优势，丰富学习手段，呈现以往教学中难以呈现的课程内容。如在作指数函数、对数函数、幂函数的图象以及探索方程根的存在性与二分法求方程的近似解、数据拟合等活动中，多次利用Excel等现代信息技术，并且通过旁白、阅读等作了使用信息技术的提示，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现，感受现代技术手段在数学学习中的作用，促进学习，帮助学生认识数学的本质．为了使学生了解掌握函数的基本研究方法，本章多次设计了让学生观察、思考、判断的情境．如在函数的单调性、奇偶性的学习过程中，引导学生观察函数的图象，由图象的直观性理解数学的本质，培养学生的观察、判断、抽象、概括能力．在基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的性质、方程的解与函数的零点的关系、二分法求方程的近似解等知识点，也进行了多次的探索．

为了使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展中的作用，体现数学的文化价值。本章在旁白、阅读材料、探究案例中介绍了无理指数幂、对数的发明者与发展历史及其价值、开普勒、钢琴与指数曲线等，使学生感受到数学对推动社会发展的作用，明白数学的社会需求是数学发展的动力，了解数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观，激发学生学习数学的兴趣．在学生的能力培养上，本章也进行了整体设计．通过对函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究、思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过揭示对象之间的内在联系，培养学生的辩证思维能力；通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题和交流的能力；通过案例探究，培养学生的创新意识与探究能力；通过实习作业，培养学生的数学建模能力和实践能力．

三、教材分析及教学建议

内容：

函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础．学生学习函数的知识分四个阶段。第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象．本章是第二个阶段（数学1），第三个阶段将学习三角函数（数学4）、数列（数学5），第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高．本章在学生学习函数知识的过程中只是一个中间环节．为了使学生为后续阶段的学习打下良好的基础，这里应该在初中学习的基础上，系统学习函数知识，培养学生应用函数知识的意识．