高中数学《函数的概念》课件
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高中数学《函数的概念》课件
定义域和值域
了解函数定义的形式及其定义域 和值域非常重要。
函数的图像
函数图像的概念
掌握如何根据函数的定义、域、值域和公式绘制函数的图像。
如何绘制函数图像
学习如何使用函数的公式和几何方法来绘制函数的图像。
函数的对称性
探究函数的不同对称性，例如奇偶性和周期性。
函数的性质
1
奇偶性与周期性
了解函数的基本性质，例如奇偶性和周期性，可以帮助简化函数的分析。
高中数学《函数的概念》 ppt课件
数学是一门让人兴奋的学科。接下来，我们将探讨高中数学的一个关键主题： 函数的概念。通过本课程，你将深入了解函数的基本定义、图像、性质及其 实际应用。
函数的定义
定义及其常见表示形式
掌握函数的不同表示形式是理解 数学中其他相关概念的基础。
自变量和因变量
发现自变量和因变量之间的关系 对于定义函数是至关重要的。
函数在工程学中的应用
了解如何在工程学中使用函数来 解决复杂的问题，例如建筑和机 械设计。
总结与展望
1
函数的重要性及其实际应用
掌握函数的概念和应用，可以让你更好地理解标准数学中的其他相关主题。
2
未来函数研究的发展趋势
了解当前对函数研究的最新趋势是什么，可以让你更好地理解数学的未来。
3
课程回顾及展望
回顾本课程的内容，并思考如何将所学应用到实际的问题中。
2
单调性和极值
发现函数的单调性和极值有助于确定函数的最大值和最小值。
3
泰勒公式与函数的逼近
了解如何使用泰勒公式来将函数逼近到无穷小的阶数，以获得更多信息。
函数的应用
函数在经济学中的应用
学习如何使用函数来分析经济数 据，例如股票市场和消费趋势。
人教版高中数学必修一第一章函数的概念课件PPT
例3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f [f (0)]； 解 f(0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f(1)＝2×1＋1＝3. (2)求函数 g(x)＝01，，xx为为无有理理数数， 的定义域，值域； 解 x为有理数或无理数，故定义域为R. 只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}.
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
高中数学《函数的概念》课件
精炼作业
理解概念 巩固定义域求法
对应法则的应用 理解二对一的对应关系； 初步感知偶函数的特征
教学流程
学生知识的内化过程
形成概念
分析三个实例， 利用知识迁移得到概念
学生能否用自己的语言 表述概念.
深化概念
学生能否将新旧知识建 立关联，并正确辨析.
应用概念
变量表达形式不同， 但对应法则相同
学生能在不同环境中联想 并使用知识.
授课教师：
函数概念发展历程
函数概念的解析式说 函数概念的变量依赖说 函数概念的变量对应说
由任一变量和常数的任一形式所构成的量 ——1718年 约翰•贝努利
如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时， 前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个 量的函数。 ——1755年 欧拉 《微分学原理》
函数概念的集合对应说 函数概念的集合关系说
教学目标设置
教学重点 理解函数的概念. 教学难点
学情分析
教学流程
形成概念
实例引入后，归纳共同点得到函数定义 利用初中函数定义，通过知识迁移得到概念
1 明确初高中定义的区别和联系
深化概念 2 确定函数的要素有哪些？
应用概念 变量表达形式不同，但对应法则相同 小结与作业
小结与作业
学生能构建自己的知识网络
高中数学第一册3.1.1函数的概念课件
2
2x 1
(3) y
x 3
(4) y 2 x x 1
课堂作业
1、求函数 = 4 − 5 + 2 − 3的值域
2、已知函数 = 2 + 4 + 5（ ∈ ）
（1）若 = −1，求 = 的定义域；
（2）若函数 = 的定义域为R，求实数的取
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的
集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题
的值域？
函数的值域是集合B的子集。
问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；
问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。
【答案】 C
【解析】 函数 y＝x 的定义域为 R；y＝( x)2 的定义域为[0，＋∞)；y＝ x2
x，x>0
＝|x|，对应关系不同；y＝
－x，x<0，
为 R.故选 D.
【答案】 D
3
对应关系不同；y＝ x3＝x，且定义域
例4.求下列函数的值域
(1) y x 1;
(2) y x 2 x 3, x 2, 1, 0,1, 2,3 ;
(3)当 a≠－1 时，求 f(a＋1)的值．
【解】
(1)要使函数 f(x)有意义，必须使 x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
1
1 5
(2)f(－1)＝－1＋
＝－2，f(2)＝2＋2＝2.
－1
1
(3)当 a≠－1 时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋
.
a＋1
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
高中数学第2章函数1函数概念课件必修1高一必修1数学课件
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；
高中数学《函数的概念和性质》课件1 湘教必修1
f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) 则 称 f(x0)是 函f(数 x)在X上 的 最(最 大小 值 ).值
例如, y1six n , 在 [0,2]上, ymax2, ymin0; ysgx,n 在 ( , )上 , ymax1, ymin1;
在 (0, )上, yma xymi n1.
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在x0处 点的左、右极限 . 都存
3.第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、
右极限至少有 在,一 则个 称x不 0点 为存 函数 f(x)的第二类.间断点
例6 讨论函 f(x)数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
x 0
sixn sixn
2)
lim f(x)lim lim 1
x 0 0
x 0 0|x| x 0 0 x
limf(x)lim six n1 x=0为第一类间断点。
x 00
x 00|x|
3）limsin 1 不存在，∴x=0为第二类间断点。 x0 x
4）lxim0 xsin1x 0 ∴当a=0时f4(x)在x=0处连续。
函数的概念与性质
1、函数的连续性 2、函数的间断点 3、 闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.概念 设函 f(x数 )在 U(x0,)内有.定义
y
曲线不断
0
yf(x)
y
y
yf(x)
y
曲线断开
x
x
x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
函数f(x)随x的改变而逐渐改变
有突变现象
x U (x0,) ,xxx0, 称 为 自x0的 变增 量 .
例如, y1six n , 在 [0,2]上, ymax2, ymin0; ysgx,n 在 ( , )上 , ymax1, ymin1;
在 (0, )上, yma xymi n1.
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在x0处 点的左、右极限 . 都存
3.第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、
右极限至少有 在,一 则个 称x不 0点 为存 函数 f(x)的第二类.间断点
例6 讨论函 f(x)数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
x 0
sixn sixn
2)
lim f(x)lim lim 1
x 0 0
x 0 0|x| x 0 0 x
limf(x)lim six n1 x=0为第一类间断点。
x 00
x 00|x|
3）limsin 1 不存在，∴x=0为第二类间断点。 x0 x
4）lxim0 xsin1x 0 ∴当a=0时f4(x)在x=0处连续。
函数的概念与性质
1、函数的连续性 2、函数的间断点 3、 闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.概念 设函 f(x数 )在 U(x0,)内有.定义
y
曲线不断
0
yf(x)
y
y
yf(x)
y
曲线断开
x
x
x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
函数f(x)随x的改变而逐渐改变
有突变现象
x U (x0,) ,xxx0, 称 为 自x0的 变增 量 .
人教版高中数学必修一(1.2.1-1函数的概念)ppt课件
定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ） 象 1 5
对应法 则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)
x
2
2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对 应，不能称为映射。
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的概念课件 新人教A必修1
❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
人教版数学必修一1.2.1函数的概念精品课件(共21张PPT)
A={t|0≤t≤26} B={h|0≤h≤845}
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
《高中数学PPT课件——函数》
3
反函数
反函数是函数的逆运算，将函数的输 出值映射回输入值。
对数与指数的关系
对数函数与指数函数是互为反函数的 关系，它们可以互相抵消。
指数函数与对数函数的图像与性质
指数函数
指数函数的图像呈现出指数增 长或指数衰减的特点。
对数函数
对数函数的图像呈现出反比例 关系，随着自变量的增大，函 数值逐渐变化缓慢。
指数增长和指数衰减
指数函数可以呈现出快速增长 或快速衰减的趋势。
复合函数及其求法
1
复合函数
复合函数由两个函数组成，其中一个函数的输出值作为另一个函数的输入值。
2
求法
可以通过代入法、求导法或递推法等方法来求解复合函数。
3
函数运算法则
复合函数满足函数运算的一些基本法则，如分配律和结合律。
函数的奇偶性与周期性
奇函数与偶函数
奇函数关于坐标原点对称， 即f(x)=-f(-x)，偶函数关于 y轴对称，即f(x)=f(-x)。
周期函数
周期函数的图像在一定区 间内不断重复，满足 f(x+T)=f(x)，其中T是函数 的周期。
常用周期函数
正弦函数、余弦函数和正 切函数都是常见的周期函 数。
常用函数的图像与性质
正弦函数
函数是数学中的一种基本关系。它将一个集合的每个元素映射到另一个集合 的元素上。函数能够描述事物之间的联系和变化规律。
函数的符号表示及基本性质
符号表示
函数用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是 因变量。
奇偶性和周期性
函数的奇偶性决定了它的对称性，周期性描 述了函数的重复性规律。
定义域和值域
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是 函数所有可能的输出值。
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
人教版高中数学必修一1.2.1函数的概念ppt课件
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
例2、求下列函数的定义域。
（1）
f (x)
1
(12x)(x1)
(2) f(x) x4 x2 1
(3) ；f(x) x1 2－ x
例3、 已知： f =(xx2)x+3 求：f(-1), f(a),
f(x+1), f(
1 )，f(x2),f(f(x)), x
注意： 1在 y f中(xf)表示对应法则，不同 的函数其含义不一样。
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数等。
1.[引例1](P15)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击
中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h
（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
h13t 05t2 （﹡）
提出以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？ (2) 炮弹何时距离地面最高? (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (4) 对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系
• 1930 年库拉托夫斯基(Kuratowski)用集合概念给出现代函数定义为“若对 集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上 定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
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2．做一做
(1)区间(0,1)等于( )
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．{x|0<x<1} D．{x|0≤x≤1}
(2)对于函数 f：A→B，若 a∈A，则下列说法错误的是
() A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个 C．若 f(a)＝f(b)，则 a＝b D．若 a＝b，则 f(a)＝f(b)
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(2)设 M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数 y＝f(x) 的定义域为 M，值域为 N，对于下列四个图象，不可作为函 数 y＝f(x)的图象的是( )
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解析 (1)A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然 对任意 x∈A，y 值不一定唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1 ∈A，在 B 中找不到与之相对应的数．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线 x＝a，则与函数 的图象至多有一个交点，结合选项可知 C 中图象不表示 y 是 x 的函数．
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探究2 相同函数的判断 例 2 下列各组函数表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝xx D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
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第一章 集合与函数概念
1．2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念
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1．函数的概念
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2．区间 (1)一般区间
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(பைடு நூலகம்)无穷区间
3．两个函数相等的条件 (1)定义域相同； (2)对应关系完全一致．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函 数 值 域 中 的 每 一 个 数 都 有 定 义 域 中 的 数 与 之 对 应．( √ ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( × ) (3) 定 义 域 和 对 应 关 系 确 定 后 ， 函 数 值 域 也 就 确 定 了．( √ ) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个 元素．( √ )
＝x2，x∈A，y∈B；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则 f：对 A 中元素
求面积与 B 中元素对应．
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解 (1)对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不 属于 B，即 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应，所以 不是函数．
(2)对于 A 中的元素±1，在 f 的作用下与 B 中的 1 对应， A 中的元素±2，在 f 的作用下与 B 中的 4 对应，所以满足 A 中的任一元素与 B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应， 故是函数．
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(3)对于 A 中的任一元素，在对应关系 f 的作用下，B 中 都有唯一的元素与之对应，如±1 对应 1，±2 对应 4，所以 是函数．
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探究1 函数的概念
例 1 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的函数．
(1)A＝N，B＝N*，对应法则 f：对集合 A 中的元素取绝
对值与 B 中元素对应；
(2)A＝{－1,1，2，－2}，B＝{1,4}，对应法则 f：x→y
＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{－1,1，2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则 f：x→y
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【跟踪训练 1】 (1)下列对应关系或关系式中，是 A 到 B 的函数的是( )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图 C．A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2 D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
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(3)(教材改编 P19T2)已知函数 f(x)＝1＋|xx2－1|，则 f(－2) ＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
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D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所 以它们不是同一函数．
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拓展提升 判断两个函数为同一函数的条件
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解析 A 项中，由于 f(x)＝x 的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是 同一函数．
B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以 它们是同一函数．
C 项中，由于 f(x)＝1 的定义域为 R，g(x)＝xx的定义域 为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．
(4)集合 A 不是数集，故不是函数．
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拓展提升 判断对应关系是否为函数的步骤
(1)判断 A、B 是否为非空数集． (2)判断 A 中任一元素在 B 中是否有唯一的元素与之对 应．满足上述两条，则该对应关系是函数关系． (3)判断一个图象是否为函数图象的方法：过 x 轴上任一 点作垂线与图象相交，若只有唯一的交点，则图象是函数图 象，否则就不是函数图象．