奥数专题完全平方数

学而思奥数网奥数专题 (数论问题完全平方数) 1、五年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

答：

2、五年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方

答

3、五年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数

答：

4、六年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

求满足下列条件的所有自然数：

(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。

答：

5、六年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(

答：

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1、五年级完全平方数习题答案：

解答：设此自然数为x，依题意可得

x-45=m^2; (1)

x+44=n^2 (2)

(m,n为自然数)

(2)-(1)可得 :

n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89

因为n+m>n-m

又因为89为质数，

所以：n+m=89; n-m=1

解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

2、五年级完全平方数习题答案：

解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明设这四个整数之积加上1为m，则

m为平方数

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

3、五年级完全平方数习题答案：

解答：

形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

或

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

综上所述，不可能是完全平方数。

4、六年级完全平方数习题答案：

解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

11｜N - 4或11｜N + 4

或

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

5、六年级完全平方数习题答案：

解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。