第一次课预备知识—集合数域和映射

第一次课 预备知识—集合、数域和映射
一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为
这个集合的元素. 用 a∈A
表示a是集合A的元素，读为：a属于A. 用
a ∈/ A
表示a不是集合A的元素，读为：a不属于A. 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，
2
3）一般，B中元素不一定都是A中元素的像； 4）A中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射. 集合A到集合B的两个映射σ及τ ，若对A的每个元素a都有σ(a) = τ (a), 则称它们相等，记作σ = τ . 例4 Z是全体整数的集合，2Z是全体偶数的集合，定义
σ(n) = 2n, n ∈ Z,
对于A到B的双射σ可以自然地定义它的逆映射，记为σ−1.因为σ为满射，所以B中每个元素都有 原像，又因为是单射，所以每个元素只有一个原像，定义
σ−1(b) = a, 当σ(a) = b. 显然，σ−1是B到A的一个双射，并且
σσ−1 = 1B, σ−1σ = 1A.
不难证明，如果σ, τ 分别是A到B，B到C的双射，那么乘积τ σ就是A到C的一个双射.
an1 an2 · · · ann
作业：
1. 证明集合P = {a + bi : a, b ∈ Q}是数域.
2. 设f : R → R由x → sin x 给出，问f 是否为由R到R的映射？单射？满射？如何选取值域，使 得f 为单射或满射，证明你的结论。
5
的数组成一数域，其中m, n为任意非负整数，ai, bj(i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, ..., m)是整数.
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.
数域的性质——定理所有的数域都包含有理数域.
三、映射
1. 映射——设A和B是两个集合，所谓集合到集合A到B的一个映射就是指一个对应法则，它使A中 每一个元素a都有B 中一个确定的元素b与之对应. 如果映射σ使元素a与元素b对应，那么就记为
如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就 称为一个数域.
例1 所有具有形如
√ a+b 2
√ 的数（其中a, b是任何有理数），构成一个数域.通常用Q 2来表示这个数域.
例2 所有可以表成形式
a0 + a1π + · · · + anπn b0 + b1π + · · · + bmπm
1
代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所 共有的.
4. 数域——定义1 设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积、商 （除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域 分别用字母Q、R、C 来代表. 全体整数组成的集合就不是数域. 如果数的集合P 中任意两个数作某一 种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的. 因此数域的定义也可以说成:
设A和B是两个集合，既属于A又属于B的全体元素所成的集合称为A与B的交，记为A ∩ B. 属于 集合A或者属于集合B的全体元素所成的集合称为A与B的并，记为A ∩ B. 二．数域 1. 记号： N ——自然数全体； Z——整数全体； Q——有理数全体； R——实数全体； C——复数全体. 2. 代数运算——关于数的加、减、乘、除等代数运算. 3. 代数运算封闭——设A是一个数的集合，若对任意的a, b ∈ A, a ∗ b ∈ A, 则称集合A关于代数运算*是 封闭的，其中*代表一种代数运算.
1Bσ = σ1A. 映射的乘法适合结合律.设σ, τ, ψ分别是集合A到B，B到C，C到D的映射，映射乘法的结合律就是
(ψτ )σ = ψ(τ σ).
设σ是集合A到B的一个映射，用
σ(A) 3
代表A在映射σ下像的全体，称为A在映射σ下的像集合. 显然
σ(A) ⊂ B.
3．满射——如果σ(A) = B，映射σ 称为映上的或满射. 满射判定——若对任意的b ∈ B, ∃a ∈ A 使得σ(a) = b，则σ为满射. 4. 单射——如果在映射σ下，A中不同元素的像也一定不同，即由x, y ∈ A, x = y, 一定有σ(a) = σ(y), 那么映射σ就称为1-1的或单射. 单射的判定——若σ(x) = σ(y)，可推出x = y，则σ为单射. 5. 双射——一个映射如果既是单射又是满射就称对应或双射.
我们使用如下记号： 当然也可以写成
n
a1 + a2 + · · · + +an = ai,
i=1
n
a1a2 · · · an = ai.
i=1
a1 + a2 + · · · + +an =
ai,
1≤i≤n
a1a2 · · · an =
ai.
1≤i≤n
,
4
2. 求和号的性质
容易证明，
n
n
λ ai = λai.
i=1
i=1
n
n
n
(ai + bi) = ai + bi.
i=1
i=1
i=1
nn
nn
(aij ) =
aij .
i=1 j=1
j=1 i=1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
分别先按行和列求和，再求总和即可.
σ(a) = b,
称b为a在映射σ下的像，而a称为b在映射σ下的一个原像. 变换——由集合A到A自身的映射，有时也称为A上的变换. 映射的判定——对任意的a ∈ A，存在唯一的b ∈ B使得σ(a) = b. 关于A到B的映射σ应注意： 1）A与B可以相同，也可以不同； 2）对于A中每个元素a，需要有B中一个唯一确定的元素b与它对应；
y = f (x)
都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 2. 映射的复合——对于映射可以定义乘法,设σ及τ 分别是集合A到B，B到C的映射，乘积τ σ定义为
τ σ(a) = τ (σ(a)), a ∈ A.
即相继施行σ和τ 的结果，τ σ是A到C的一个映射. 对于集合A到B的任何一个映射σ, 显然都有
Байду номын сангаас
这是Z到2Z的一个映射. 例5 设A，B是两个非空的集合，b0是B 中一个固定的元素，定义
σ(a) = b0, a ∈ A.
这是A到B的一个映射——常值映射. 例6 设A是一个集合，定义
σ(a) = a, a ∈ A.
即把A的每个元素都映到它自身，称为集合A的恒等映射或单位映射，记为1A . 例7 任意一个定义在全体实数上的函数
例8 判定上述例4中映射是否为单射，满射.
例9 f : R → R由x → tan x 给出，f 是否为映射，单射，满射？在怎样的定义域内f 是单射或满射？
四．求和号与求积号
1．求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域P 上n个数a1, a2, ..., an，
一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设A是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 A = {a : a具有的性质}. 不包含任何元素的集合称为空集，记作∅. 如果两个集合A与B 含有完全相同的元素，即a ∈ A当且
仅当a ∈ B ，那么它们就称为相等，记为A = B. 如果集合A的元素全是集合B的元素，即由a ∈ A可以推 出a ∈ B，那么A就称为B的子集合，记为A ⊆ B或B ⊇ A. 两个集合A和B如果同时满足A ⊆ B和B ⊆ A， 则A和B相等.