张荣军判断零点的存在性定理
函数中的零点问题
函数中的零点问题
作者：张则惶
来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第09期
一、问题背景
在函数导数的综合题中，经常会出现零点个数的讨论，或已知零点个数求参数取值范围等问题.在处理这些问题时，往往需要赋值取点，而如何比较快速方便的取点，这是很多同学学习中的一个难点.本文就取点策略做一些探讨.
二、预备知识
三、何为取点问题
即必须找到区间（a，b）的两个端点a，b，使得f（a）·f（b）<0，这就是所谓的“取点问题”，而比较麻烦的在于含有lnx，ex等的式子在赋值的时候不是很好处理.实质是这个点为何难找，就是这类超越不等式难解，但这只是一个存在性问题，并不是说要你把那个不等式解出来，而是说你能找到一个x或者一些x让那个不等式成立即可.既然是这样的话，就可以用放缩法，或者说局部放缩，把要解的不等式转化成一个易解的不等式即可.
四、典型例题
规律总结：放缩法是高中数学中一种较为重要的数学方法，在不等式、数列中常常用到.近几年在函数、导数的综合试题中，特别是零点中的找点问题，采取合适的放缩，将超越不等式转化为基本可解的不等式求解，从而可以快速找到我们需要的那个点.
五、两个经典模型
小结：由本文的一些粗浅探讨，不难发现，取点问题的关键在于选择适当的局部放缩，掌握常见指对不等式的放缩，就能快速解决这类问题.具体而言，先找常数，即與之有关的参数;其次，指找对，对找指，选取适当不等式放缩解出临界值，找到临界值后可适当调整更优化的点.适当练习后掌握上述常用放缩型不等式，就会让取点问题不再神秘，在处理这类压轴题时也就会游刃有余.。
方程零点存在性定理
方程零点存在性的证明中一类辅助函数的构造!孙)蒙)!国防科技大学理学院)长沙)"’%%#,"摘)要)介绍利用罗尔定理证明方程零点存在性时辅助函数的构造方法关键词)罗尔定理!辅助函数!微分方程)中图分类号)&’#+W ’我们先来看6’7中’8,页至’H ’页的几个例子(’ 设*K /I "且满足*%/*’+/*+,/%/*--/’2%"证明(方程*%/*’"/*+"+/%/*-"-2%在#%"’$内至少有一个实根(+ 设!#"$在**"$+上连续"在#*"$$内可导"且!#*$2!#$$2%"证明(%42/I "&&/#*"$$"使得!:#&$24!#&$(, 设函数!#"$在*%"’+上二阶可微"且!#%$2!#’$"!:#’$2’"证明(存在&/#%"’$"使得!F #&$2+(我们可以发现它们的共同特点(求证某个方程的零点存在性(我们可以利用罗尔定理来证明(为此需要构造一个辅助函数"通过对它的分析"利用罗尔定理"证明所求的零点存在(直观的分析"我们把要证明的问题描述为(欲证&&/**"$+"使得!#&$2%"我们需要构造一个-阶可微函数6#"$"使得6#-$#"$2!#"$"6#*$26#$$"且6:#?’$2%26#-#’$#?-#’$2%"其中"?K/#*"$$#K 2’"%"-#’$"这样"依次运用罗尔定理"就可完成证明(至此"我们把构造辅助函数的问题转化成一个-阶微分方程的-边值问题.(简单起见"不妨取6#*$26#$$2%"且?K2*"根据微分方程定性理论"如果!#"$连续"则6#"$是存在且唯一的(因此"理论上"我们完全可以用隐式表示出原函数(如果!#"$是易于求原函数的初等函数"我们只需求出原函数族的通式"然后根据已知条件确定系数即可作出辅助函数"如第,例"我们可以这样构造(对于方程!F #&$#+1%"令6:#"$20#!F #"$#+$O ""于是得6#"$的通式(6#"$2!#"$#"+/N "/^再由!#%$2!#’$"!:#’$2’"为使6#%$26#’$"并且6:#’$2%"可以解出(N2’"^2%"从而得该问题罗尔定理解法的辅助函数为(6#"$2!#"$#"+/"))仿此"问题’和+的的辅助函数分别为(6#"$2*%"/*’+"+/%/*--/’"-/’")6#"$25#4"!#"$))构造出辅助函数后"我们就可以按部就班的做下去"完成证明(详见6’7参考文献*’+孙清华"孙昊(数学分析内容,方法和技巧(武汉(华中科技大学出版社"+%%,(H 067-38"9730 高等数学研究:F G 3"+%%0 :;<=>?:>9@&A A ?B ?C D ;E ?C D ;>@:!收稿日期(+%%")’+)+H !修改日期(+%%0(%’(’%。
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【说明】
(1)函数 y＝f（x）在区间 [a，b]上有定义； (2)函数的图象是连续不断的一条曲线； (3)函数y＝f（x） 在区间[a，b] 两端点的函数值必 须满足f(a) ·f(b) ＜0 ； (4)函数 y＝f（x）在区间 (a，b)内有零点，但不唯 一； (5)用判定方法验证函数f（x） ＝x2 ，说明该方法 仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方 法.
函数零点存在性定理
【变式训练】
若二次函数y ＝ － x2 ＋mx －1的图象与两端点为 A(0，3)
，B(3，0) 的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值 范围.
解：线段AB的方程是 x＋y＝3(0≤x≤3)
由题意，得方程数解
y＝－ x2 ＋mx－1
解得：x2－(m＋1)x＋4＝0 在0≤x≤3 上有两个实根 令f（x）＝ x2－(m＋1)x＋4 ，则二次函数 在0≤x≤3 上有两
二次函数y ＝ax2 ＋bx＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________. 解：由上表提供信息，知函数的零点是－2，3，且开口向 上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值 集合是(－ ∞， －2) ∪(3， ＋ ∞) 评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键.
知识点——
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【函数零点存在性的判定方法】
对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于 函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处 理？
如果函数y＝f（x）在区间[a，b] 上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b) ＜0 ，那 么，函数 y＝f（x）在区间(a，b) 内有零点.即存 在c ∈ (a，b)，使得f(c) ＝0 ，这个 c也就是方程 的根.
高中数学讲义微专题09 零点存在的判定与证明
微专题09 零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b ∃∈，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ⋅<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ⋅>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ⋅的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ⋅一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b ∈，则()0,x a x ∈时，()0f x <；()0,x x b ∈时，()0f x > 6、判断函数单调性的方法： （1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ⋅为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -⎛⎫⎛⎫-=+⋅--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()020f =-<11232022f ⎛⎫=⋅-=-<⎪⎝⎭()12310f e e =+-=-> ()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭ 01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,eD. (),e +∞ 思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
例析2013年高考中的零点问题_张建军
证明函数图象交点个数 （ 2013 年 陕 西 高 考 题 ） 已 知 函 数
f（ x） = e ， x ∈ R． 证明： 曲线 y = f （ x） 与曲线 y = 1 2 x + x + 1 有唯一的公共点 ． 2 解 1 2 问题等价于函数 φ（ x） = e － x － 2
x
无解 ． f （ f （ x） ） = x 在［ 0， 1］上有解等价 所以， 0， 1］上有解 ． 于方程 f （ x） = x 在［ ex + x － a， x ∈［ 0， 1］ ， 由x = 槡 得 2 x a = －x +x+e， x ∈［ 0， 1］ ．
2 x x ∈［ 0， 1］ ， 令 g（ x） = － x + x + e ， 则
x － 1 零点的个数 ． 因为 φ（ 0 ） = 1 － 1 = 0 ， 所以 φ（ x） 存在零 点 x = 0．
x 又 φ' （ x） = e － x － 1 ， x 令 h（ x） = φ' （ x） = e － x － 1 ， 则
2 af （ x） + b = 0 ， 得 f （ x ） = x1 或 f （ x ） = x2 ． 因 f （ x1 ） = x1 ， x1 ＜ x2 ， 故当 x1 是极大值点时， 如 x0 ， f （ x ） = x2 仅 图 1 知 f （ x） = x1 有两个根 x1 、 x1 ＞ x2 ， 有一个根 x3 ； 当 x1 是极小值点时， 如图 2 知 f （ x） = x1 有两个根 x1 、 x0 ， f （ x） = x2 仅有 一个根 x3 ．
c， 则函数 f （ x） = （ x － a ） （ x － b） + （ x － b） （ x － c） + （ x － c） （ x － a ） 的两个零点分别位于区 间 解 ． 因为 f （ a） = （ a － b） （ a － c） ＞ 0 ，
零点存在定理的理解与辨析
零点存在定理的理解与辨析零点定理，也叫派索多·贾马尔定理，是指一个多项式函数等于零，零点定理可以帮助我们知道该多项式函数的零点是什么：1. 定义：零点定理指的是在一个函数多项式的图像中，当函数值为0时，多项式就一定有对应的零点，即若一个多项式P(x)，当且仅当P(x) = 0 时，存在x0使得P(x0) = 0。
2. 证明：假设P(x)有n阶，则可表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n由泰勒公式，多项式就可以展开为如下的函数：P(x) = f(x) = f0 + f1x + f2x^2 +f3x^3+ … + fnx^n又由于P(x) = 0，则f也要等于0。
所以零点定理也可以表达为：【假设一个n阶多项式P(x)的展开函数f(x)的n阶项系数不为0，则当f(x) = 0时，多项式P(x)也有相应的零点】3. 应用：零点定理经常用于求解多项式函数的零点，例如一元多项式函数P(x) = 3x^2 - 5x + 3，当P(x) = 0时，则0 = 3x^2 - 5x + 3，可得到两个实数解2/3，1。
以及一元二次方程式求解方法，二元一次方程章形式求解方法等均可使用零点定理，同理，n阶一元多项式函数也可以求出n个零点。
4. 特点：零点定理仅限于一元多项函数，不具有通用性，另外，零点定理只告诉我们多项式函数的零点是什么，但是无法给出零点的复杂度。
5. 限制：零点定理的限制在于其局限性，特别是当函数的最高项系数a_n=0时，零点定理就不能成立，另外，零点定理只可以给出实数的零点，而不能给出复数的零点。
总之，零点定理是一个有用的定理，虽然它有一定的局限性和限制，但可以帮助我们准确求出一元多项式函数的零点。
通过理解零点定理，学生可以更快速、正确的求解多项式函数的零点问题。
零点存在性定理
12
引导:
（4）若一个函数图象在[a，b]上连
续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗y ？为什么?你能举个
例子吗?
a o bx
(5) 若一个函数图(1) 象在[a，b]上不连
函数图象 (简图）
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3. －4源自2x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
3
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0（ ）
5
-2
-1
问题1：此图象是否能 表示函数？
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 例1:求函数 fx4x212x9 的零点个数。
再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
x32x60
(3)
(4)
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
19
必做题:
1、教材P 92 A组 2
2、函数 ylo2g|x| 1 的零点有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究题：
设函数 f(x)2xa x1
2019人教A版数学必修一《3.1.2函数零点的存在性定理》教案
人教版必修一精品教学资料3.1.2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程,理解零点存在性定理,并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2．过程与方法经历由特殊到一般的过程,在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理,从而掌握零点存在性定理的过程中,养成研究问题的良好的思维习惯.3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程,学会观察问题,发现问题,从而解决问题；养成良好的科学态度,享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑,通过问题解决析疑,从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法,即学生自主探究与教师启发,引导相结合.（四）教学过程.学生总结师生完善补充学生自主完成例1 已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0},B = { x ∈R |x ＜0},若A ∩B ≠∅,求实数a 的取值范围.【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0}= 3{|(1)()0}2a a a +-≥= 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1,x 2均非负,则1212340,.2260.a Ux x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1},所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}.例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0,x ∈R },B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0, x ∈R },若A ∪B = A ,求实数a 的值.【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0,x ∈R },∴A = {–4,0}. ∵A ∪B =A ,∴B ⊆A .1°当B = A ,即B = {–4,0}时,由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅,即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0. 解得,a ＜–1.3°当B = {0},即方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时,2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时,即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述,若A ∪B =A ,则a ≤–1或a = 1.。
2019年高考数学(理)专题06函数与方程﹑函数模型及其应用命题猜想
【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.f x的单调性；（1）讨论()f x有两个零点，求a的取值范围.（2）若()【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知， ()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即.又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x 2－3x(x≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x ，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≤a ，x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x 3（x≤a ），h （x ）＝x 2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x 2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a 3>a 2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）. 【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x 2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套． (1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝m x －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x 3－56x 2＋240x －278（2<x<6），从而f′（x ）＝12x 2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝⎛⎭⎫103，6上，f′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数. （1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.（2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x 2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
函数的零点存在定理
《函数的零点存在定理》一、教材内容分析《函数的零点》第二课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。
1、教材的地位与作用函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。
方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。
可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。
2、内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。
函数零点是研究当函数)f的值为零时，相应的自变量x的取值，(x反映在函数图象上，也就是函数图象与x轴的交点横坐标。
由于函数)xf，其本身已是方程的形式，因(=(xf的值为零亦即0)而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程f有解，则函数)(xxf存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，(=)也是函数图象与x轴的交点横坐标。
顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。
这是函数与方程关系认识的第一步。
零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。
如果函数)y=在区间[]bf(xa,上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间()b a ,内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。
定理的逆命题不成立。
方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。
二、教学内容诊断分析本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数。
通性通法｜函数“零点问题”最常三招
通性通法｜函数“零点问题”最常三招要说导数中最常见的题型，当然应该就是零点问题了。
有娃说，极值点也是常考的。
但极值点不就是导函数的零点么！也刻意翻了翻近几年的全国卷考题：年份全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷2020单调性函数不等式单调性函数不等式切线零点范围2019极值点零点个数零点个数切线单调性最值2018单调性极值点对数平均不等式函数不等式零点个数函数不等式极值点2017单调性零点个数极值点函数最值函数最值数列不等式2016零点个数极值点偏移单调性函数最值函数最值函数不等式2015切线零点个数单调性函数最值是不是发现，函数的零点，绝对算是个高频考点了？零点考什么？高考中对于零点的考查，主要还是通过函数零点的这个问题背景，考查考生的逻辑推理和数学运算能力的。
逻辑推理和数学运算，不正是很多同学的弱项的么？所以说，零点问题，对于很多同学来说，还是有一定的难度的。
当然，今天我们主要介绍零点的一般性处理思路，看看能不能达到类似于通性通法的效果。
那么，还是先熟悉一下零点的相关概念吧。
Part 1相关知识点一、函数的零点①函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点。
函数的零点不是坐标，也不是一个具体的点，而是一个数。
②函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。
③零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点。
存在性定理，只能判定函数在某个区间内有没有零点，但不能判定零点个数。
零点个数的确定往往需要结合函数的图像去进行判定。
④二分点估算零点第一步：确定区间[a,b],并验证f(a)·f(b)<0,并给出精度ε；第二步：求区间(a,b)的中点x1；第三步：计算f(x1).①若f(x1)＝0，则x1就是零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1，此时零点x0∈(a,x1);③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1，此时零点x0∈(x1,b);④判断x0是否达到精度ε，即|a-b|<ε，则得到零点a或b;若达不到，则重复第②到④步。
新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
第二课时零点的存在性及其近似值的求法课标要求 1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间.2.了解二分法求函数的近似零点.3.能解决二次函数零点分布问题.素养要求 1.通过判定零点所在区间及二分法求零点的近似值，培养数学运算素养.2.通过零点个数的判定、二次函数零点分布问题，培养逻辑推理、直观想象素养.一、函数零点存在性定理1.思考路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？提示第(1)组能说明小明的行程一定曾渡过河.2.填空函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.温馨提醒(1)利用函数零点存在定理只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数.(2)函数满足定理两个条件时，一定有零点，不满足定理的两个条件，也可能有零点.3.做一做判断正误(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.(×)提示 不正确.如函数f (x )＝x 2在[－1，1]上的零点0. (2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )f (b )<0.(×)提示 不正确.如函数f (x )＝x 2在(－1，1)上的零点为0.但f (－1)·f (1)＝1>0. (3)若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[a ，b ]上至多有一个零点.(√) (4)若f (x )在[a ，b ]上为单调的连续函数，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点.(√) 二、二分法1.思考 央视“购物街”栏目有猜价格游戏，主持人给出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内猜中，则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜中的可能性？ 提示 可不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速地接近真实价格.2.填空 (1)二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. (2)二分法求函数近似零点的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，且f (a )f (b )<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x 0的近似值x 1，使得|x 1－x 0|<ε的一般步骤如下：第一步 检查|b －a |≤2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步.第二步 计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步. 第三步 若f (a )f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<0，将a ＋b 2的值赋给b (用a ＋b2→b 表示，下同)，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )<0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步. 这些步骤可用如图所示的框图表示.温馨提醒 (1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x 轴，这样的零点为变号零点)的近似值.(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现.(3)由|b －a |≤2ε可知令x 1＝a ＋b2，x 1与函数的零点x 0之间的误差，|x 1－x 0|一定小于ε，原因是|x 1－x 0|<|x 1－b |＝|a ＋b 2－b |＝|a －b 2|≤ε.也可以是|x 1－x 0|<|x 1－a |＝|a ＋b2－a |＝|a －b2|≤ε. 3.做一做 判断正误(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(×) 提示 求出的方程的根也可以是准确值. (2)函数f (x )＝|x |可以用二分法求零点.(×)提示由f(x)的图像知零点为不变号零点.(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(×)提示零点可在左侧或右侧区间内.(4)精度ε越大，零点的精确度越低.(√)题型一函数零点存在定理的应用角度1判定函数零点所在的区间例1 函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)答案 B解析由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3<0，f(2)＝8＋2－5＝5>0，故有f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.(2)设方程2x＋x3＝10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n＋1)，n∈N＋，则n ＝________.答案 1解析设f(x)＝2x＋x3－10，则f(x)在R上为增函数.又f(0)＝－10，f(1)＝－7，f(2)＝2，∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1，2)，n＝1.思维升华确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.角度2确定函数零点的个数例2 (1)已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：x 12345 6y 123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点答案 B解析由表可知，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然f(1)·f(2)>0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点.(2)函数f(x)＝6x－x2零点的个数为________.答案 1解析法一∵f(x)＝6x－x2＝6－x3x，∴f(x)只有一个零点3 6.法二令y1＝6x，y2＝x2，在同一坐标系中作出它们的图像如图.两函数图像只有一个交点，故f(x)只有一个零点.思维升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数；(3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数.训练1 函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2，4]上的零点必定属于()A.[－2，1]B.[2.5，4]C.[1，1.75]D.[1.75，2.5]答案 D解析∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0，f(1.75)＝－1.515 625<0.∴f(x)在[－2，4]上的零点必定属于[1.75，2.5].故选D.(2)函数f(x)＝x3＋x＋1的零点个数为________.答案 1解析∵y＝x3，y＝x＋1在R上均为增函数，∴f(x)＝x3＋x＋1在R上单调递增且在R上图像是一条连续曲线.又∵f(－1)＝－1，f(0)＝1，∴f(x)在(－1，0)上有且只有一个零点.故f(x)＝x3＋x＋1只有一个零点.题型二二分法的应用角度1二分法概念的理解例3 (1)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3D.x4(2)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，已知验证f(2)f(4)<0，若给定精度为0.1，则需将区间等分________次.答案(1)C(2)4解析(1)二分法求函数f(x)的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而题图中函数在零点x3的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出.(2)开区间(2，4)的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n－1，因为用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，要求精确度为0.1，所以12n－1≤0.2，解得n≥4.角度2二分法求函数零点的近似值例4 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精度0.1).解由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：∴取x＝1.625＋1.752＝1.687 5为所求函数按精度要求为0.1的一个正数零点.思维升华 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.2.切记最后的区间的两端点满足|b－a|≤2ε，则取x＝a＋b2为所求函数零点的近似零点.训练2 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精度0.1). 解由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，∴f(x)在区间[1，1.5]内存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于1.375－1.25＝0.125<0.2，∴取x＝1.25＋1.3752＝1.3125为原函数精度为0.1的近似零点.题型三二次函数零点的分布例5 函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.解由题意知k≠0，当k＞0时，需f(1)<0，解得k>－4，故k>0；当k<0时，需f(1)>0，解得k<－4.综上k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华 1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布问题：(1)两零点都大于m ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a >m ，f （m ）>0；(2)两零点在(m ，n )内⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m <－b2a <n ，f （m ）>0，f （n ）>0；(3)一零点比m 大，一零点比m 小⇔f (m )＜0；(4)一零点比m 小，一零点比n 大(m ≤n )⇔f (m )＜0且f (n )＜0； (5)一零点在(m ，n )内，一零点在(p ，q )内(m ＜n ≤p ＜q )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （n ）＜0，f （p ）＜0，f （m ）＞0，f （q ）＞0.2.二次方程根的分布问题可转化为对应的二次函数的零点分布问题.训练3 若函数f (x )＝kx 2－(2k ＋1)x －3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k 的取值范围.解 ∵函数f (x )＝kx 2－(2k ＋1)x －3的图像是连续曲线，∴由题意可知f (－1)f (1)<0且f (1)f (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（3k －2）（－k －4）<0，（－k －4）（3k －6）<0，即⎩⎨⎧k >23或k <－4，k >2或k <－4，解得k <－4或k >2.故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).[课堂小结]1.判定零点个数，若函数的零点易求，可直接求出零点，否则，一种方法是利用零点存在定理并结合函数性质(如单调性)，另一种方法是把f(x)＝0转化为f1(x)－f2(x)＝0，作出在同一坐标系中f1(x)和f2(x)的图像，观察判断它们交点的个数.2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.即通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精度的区间，区间内中点可以作为函数零点的近似值.3.二次函数零点的分布多借助于函数图像，利用函数值的正负列出有关参数的不等式组分析求解.一、基础达标1.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是()x 123 5f(x)3－120A.(1，2)C.[2，5)D.(3，5)答案ABC解析由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数f(x)在[1，3]上一定有零点；由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点；则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.所以函数f(x)在(3，5)上不一定存在零点.2.用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A.[－2，1] B.[－1，0] C.[0，1] D.[1，2]答案 A解析 由于f (－2)＝－3＜0，f (1)＝6＞0，故可以取区间[－2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.3.下列关于函数f (x )，x ∈[a ，b ]的命题中，正确的是( ) A.若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则x 0是f (x )的一个零点 B.若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0的近似值C.函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 答案 A解析 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B 不正确；f (x )＝0的根也一定是函数f (x )的零点，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确. 4.(多选)在用二分法求函数f (x )零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.[－2，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案 ACD解析 ∵第一次所取的区间是[－2，4]， ∴第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.5.若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0，f (1)f (2)·f (4)<0，则下列命题正确的是( )A.函数f (x )在区间(0，1)内有零点B.函数f (x )在区间(1，2)内有零点C.函数f (x )在区间(0，2)内有零点D.函数f (x )在区间(0，4)内有零点 答案 D解析 由f (1)f (2)f (4)<0知，f (1)，f (2)，f (4)中有一个或三个小于0，∴函数f (x )在区间(0，4)内有零点，选D.6.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似零点，验证f (2)f (4)＜0，给定精度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________(填区间). 答案 (2，3)解析 ∵f (2)f (4)＜0，f (2)f (3)＜0， ∴f (3)f (4)＞0，故x 0∈(2，3).7.已知f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 答案 1.437 5解析 由于1.5－1.375＝0.125<0.2，∴取x ＝1.375＋1.52＝1.437 5为所求方程精度为0.1的近似根.8.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 画出函数f (x )的图像，如图所示.若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )，g (x )的图像有两个交点，由图可知12<k <1.9.若函数f (x )＝ax 2－x －1的负零点有且仅有一个，求实数a 的取值范围. 解 当a ＝0时，f (x )＝－x －1， 令f (x )＝0，得x ＝－1，符合题意； 当a >0时，此函数图像开口向上.又f (0)＝－1<0，结合二次函数图像(略)知符合题意； 当a <0时，此函数图像开口向下. 又f (0)＝－1<0，从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋4a ＝0，－－12a <0，即a ＝－14.综上可知，实数a 的取值范围为[0，＋∞)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14.10.用二分法求函数y ＝x 3－3的一个正零点(精度0.1).解 f (1)＝－2＜0，f (2)＝5＞0，因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，见下表：端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－2，f (2)＝5 [1，2] x 0＝1＋22＝1.5f (1.5)＝0.375[1，1.5]∴取x＝1.375＋1.52＝1.437 5为精度0.1的一个近似正零点.二、能力提升11.(多选)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点所在区间为()A.(－∞，a)B.(a，b)C.(b，c)D.(c，＋∞)答案BC解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)·(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.12.若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________.答案(－12，0)解析根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图.由图可知⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a >0，a <0，3－5＋a <0，27－15＋a >0，解得－12<a <0.13.已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a ，求满足下列条件实数a 的取值范围. (1)函数f (x )没有零点； (2)函数f (x )有两个零点； (3)函数f (x )有三个零点； (4)函数f (x )有四个零点. 解 令|x 2－2x |－a ＝0， 则|x 2－2x |＝a ，构造函数g (x )＝|x 2－2x |，y ＝a ，作出函数g (x )＝|x 2－2x |的图像(如图所示)，由图像可知：(1)当a ＜0时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像没有交点，即函数f (x )没有零点. (2)当a ＝0或a ＞1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有两个交点，即f (x )有两个零点.(3)当a ＝1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有三个交点，即f (x )有三个零点. (4)当0＜a ＜1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有四个交点，即f (x )有四个零点. 三、创新拓展14.已知函数f (x )＝3x 2－1在区间(0，1)上有唯一零点x 0，如果用“二分法”求这个零点(精度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是________，此时并规定只要零点的存在区间(a ，b )满足|a －b |<2ε时，用a ＋b2作为零点的近似值，那么求得x 0＝________. 答案 4 1932解析 开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n ≤0.1，即2n ≥10， ∵24＝16，∴n ＝4.故计算4次就可满足要求， ∴将区间(0，1)等分的次数至少是4次. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，∴第一次得到区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34>0，∴第二次得到区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58>0，∴第三次得到区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，58； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫916<0，∴第四次得到区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫916，58. ∴函数零点为916＋582＝1932.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》9
函数与方程教学设计一、教材分析1地位与作用本节内容为苏教版版必修1第三、对数函数和幂函数》第四节《函数的应用》的第一课时《函数与方程》，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。
2教学目标：（1）了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与轴的交点三者的关系；（2）理解函数零点存在性定理，利用函数图象判断函数在某区间上是否存在零点；（3）经历“类比—归纳—应用”的过程，初步体会函数方程思想。
3 教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理。
4教学难点：对零点存在性定理的准确理解。
二、过程分析1教学结构设计：2教学过程设计：（一）创设情境，感知概念（1）一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．填空：问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标．意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．（2）一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？为什么？师生互动，在学生回答的基础上，老师加以改善，从而得出一般的结论：方程()0f x =有几个根，()y f x =的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标． 意图：通过二次函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念． （1）函数零点．概念：一般地，我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为()y f x =的零点． 说明：①函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的根；函数()y f x =的零点就是其图象与x 轴交点的横坐标． ②函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ③零点对于函数而言，根对于方程而言．例1．写出下列函数的零点：（1）2()237f x x x =+-；（2）()ln(1)f x x =-；（3）()3x f x e =-．设计意图：函数零点的解法，求相应方程的实数根．复习前面学习的二次方程，对数方程，指数方程，并体会方程的根与相应函数零点之间的密切联系．（三）实例探究，归纳定理．辨析应用，熟悉定理．例2．判断函数12)(2--=x x x f 在区间(2,3)上是否存在零点． 设计意图：判断函数在区间上是否存在零点．通过对例2的研究发现两种处理方法：法一：用方程的思想解决函数零点问题 法二：利用函数图像解决零点存在性问题，并通过归纳得出零点存在性定理． 判断连续函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点的一个方法：若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点说明：（1）[,]a b ，(,)a b 题中为什么区间不统一，反例1()12x a f x a x b x b -=⎧⎪=<<⎨⎪=⎩（2）该结论无法确定零点的个数，通过画图说明，并说明函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，不能得到()()0f a f b ⋅<例3．求证：函数1)(23++=x x x f 在区间(2,1)--上存在零点．例3设计意图：简单运用零点存在性定理．（四）综合应用，拓展思维．例4判断函数()lg3f x x x=+-是否存在零点．例4设计意图：函数图像不熟悉，而且没有给出区间，怎么判断零点是否存在？灵活运用零点存在性定理找到零点存在区间。
判断零点的存在性定理
课题：判断函数零点的存在性---------根的存在性定理学习目标：（一）知识与技能：2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法：自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观：1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史..重点难点：重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性.课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。
如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…问题·探究（一）回顾旧知，“温故知新”。
1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）.2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.巩固练习：求下列方程的根．（1）0652=+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x（二）提出问题，“星河探秘”。
（零点存在性）问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．（4）观察上面（3）的函数图象：若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异）（三）讨论探索，发现“新大陆”。
【学海导航】江苏省高中数学第一轮总复习 第2章第15讲 函数与方程课件 苏教
1.如图所示的函数图象与x轴都有交点， 则不能用二分法求函数零点的是 __(3_)_(_5_)(_6_)_(写出所有符合条件的序号)．
2.已知关于x的方程ax＋2a＋1＝0在(－ 1,1)上有一个实数根，则实数a的取值范 围是__(－__1_，__－__1_)_ __
3
3.若 方 程 m ＋ 1x＝ x有 解 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 __(_ －__ ∞_ ，__ 1_ ] ____
2 函 数 f x 的 定 义 域 为 ( 0， ＋ )．
令
f
x
＝
lo g
2 x＋
1 2
x＋
2＝ 0，
得
lo g
2 x＝
－
1 2
x－
2.
设
y
＝
1
lo g 2 x，
y
＝
2
－
1 2
x－
2.
易
知
函
数
y
＝
1
lo
g
2
x在
(0，
＋
)上
是
单
调
增
函
数
，
y
＝
2
－
1 2
x－
2在
(0，
＋
)上
是
单
调
减
函
数
．
由于它们的图象只有一个交点，
2x x3
.
当 x [ 1 , 2 ]时 ， f x 0 .所 以 f x 在 [ 1 , 2 ]上 是 减 函 数 ，
2
2
则
f
x m ax ＝
f
(1 2
)＝ 1 2，
f
【新教材】2021版高中数学人教B版必修第一册学案：3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 (含解析)
第2课时零点的存在性及其近似值的求法课程标准学法解读1．结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理．2．了解二分法求方程解的一般性.1．会求函数的零点，掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．(数学抽象)2．掌握用二分法求方程近似解的步骤．3．通过本节课的学习，帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法，逐步帮助学生树立数学建模的思想.必备知识·探新知基础知识1．函数零点存在定理(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)＜0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，__即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0__.思考1：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点．图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.2．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束，如果不成立转到第二步；第二步：计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数，若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≠0，转到第三步； 第三步，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2→b ，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (b )＜0，将a ＋b 2→a ，回到第一步．思考2：当|b －a |＜2ε时，取区间(a ，b )的中点作为零点的近似解，区间(a ，b )上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x 0，区间(a ，b )的其他点为x ′，x ′也可能是零点的近似解，即满足|x ′－x 0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．基础自测1．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间[a ，b ]内( C ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点解析：如图所示，当f (a )＞0，f (b )＞0时，函数图像与x 轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点．故A 、B 、D 不正确，C 正确．2．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( C ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,2]D ．[2,3]解析：令f (x )＝x 3－x －3，易知函数f (x )＝x 3－x －3在R 上的图像是连续不断的，f (1)＝－3＜0，f (2)＝8－2－3＝3＞0，f (－1)＝－3＜0，f (0)＝－3＜0，f (3)＝21＞0，结合选项知，f (1)·f (2)＜0，故函数f (x )＝x 3－x －3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间为[1,2]．3．用二分法求函数f (x )＝－4x 2＋8x －1的零点x 0时，第一次计算得f (0)＜0，f (0.5)＞0，f (1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( C )A ．(0.5,1)，f (0.75)B ．(0,0.5)，f (0.125)C ．(0,0.5)，f (0.25)D ．(0,1)，f (0.125)解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x 0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f (0.25)． 4．用二分法求函数f (x )的一个零点，参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067 f (1.562 5)≈0.003f (1.549 5)≈－0.029f (1.540 0)≈－0.060据此数据，可得f (x )的一个零点的近似值(精度0.01)为__1.556__.解析：由参考数据知，f (1.562 5)≈0.003＞0，f (1.549 5)≈－0.029＜0，即f (1.549 5)·f (1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f (x )的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称__4__次就可以发现这枚假币．解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．关键能力·攻重难类型 函数零点所在区间的求法 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( A )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝2x 2－1x 的零点所在的区间是( B )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫14，13思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系． 解析：(1)因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，所以f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，所以f (a )f (b )＜0，f (b )f (c )＜0，故∃x 1∈(a ，b )，x 2∈(b ，c )，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．(2)f (1)＝2－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2＝－32＜0，即f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＜0， 所以∃x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，f (x 0)＝0，且f (x )的图像在⎝⎛⎭⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．┃┃对点训练__■1．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－5x ＋6)g (x )＋x 2－8，其中函数y ＝g (x )的图像是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.∵f (2)＝4－8＝－4＜0，f (3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f (x )的图像在R 上连续不间断，∴函数f (x )在(2,3)内必有零点，故方程f (x )＝0在(2,3)内必有实数根． 类型 用二分法求函数零点的近似值 ┃┃典例剖析__■典例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标 计算中点的函数值取区间 a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5 f (x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f (x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625 f (x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875 f (x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f (x 5)≈－0.171<0 [1.718 75,1.75] x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f (x 6)≈0.03>0[1.718 75,1.734 375]求函数精确到0.1的实数解．归纳提升：用二分法求函数零点的近似值，关键是找一个区间[m ，n ]，使f (m )·f (n )＜0.用二分法求函数零点的近似值的步骤如下：(1)依据图像估算初始区间(一般采用估值的方法完成)；(2)取区间[m ，n ]的中点c ＝m ＋n 2，计算f (c )，确定有解区间是[m ，c ]还是[c ，n ]，逐步缩小区间的长度，直到区间的长度小于2ε，求出此时的区间中点，即可得到函数零点的近似值．┃┃对点训练__■2．(1)用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( A ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2](2)用二分法求f (x )＝0的近似解，f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，f (1.25)＝－0.984，f (1.375)＝－0.260，下一个求f (m )，则m ＝__1.437 5__.解析：(1)二分法求变号零点时所取初始区间[a ，b ]，应满足f (a )·f (b )＜0.本题中函数f (x )＝x 3＋5，由于f (－2)＝－3，f (1)＝6，显然满足f (－2)·f (1)＜0，因此∃x 0∈(－2,1)，f (x 0)＝0，故函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是[－2,1]．(2)根据题意，方程f (x )＝0的根应该在区间(1.375，1.5)上，则m ＝1.375＋1.52＝1.437 5.类型 零点存在定理的综合应用┃┃典例剖析__■典例3已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m的取值范围．思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围．解析：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得⎩⎪⎨⎪⎧f(－1)>0，f(0)＜0，f(1)<0，f(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>0，2m＋1＜0，4m＋2<0，6m＋5>0，解得－56＜m＜－12，即实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负．(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系．┃┃对点训练__■3．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是__(－12，0)__.解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：由图可知⎩⎪⎨⎪⎧f(－2)＞0，f(0)＜0，f(1)＜0，f(3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a＞0，a＜0，3－5＋a＜0，27－15＋a＞0，解得－12＜a＜0.易混易错警示错用零点存在性定理┃┃典例剖析__■典例4函数f(x)＝2－4－x2(x∈[－1,1])的零点个数为__1__.错因探究：解答本题时易产生如下错解：因为f(－1)＝2－3＞0，f(1)＝2－3＞0，所以函数没有零点．事实上，由于f(x)在定义域内是大于等于0的，所以不能使用函数零点存在定理．解析：令2－4－x2＝0，解得x＝0，所以函数在[－1,1]上仅有一个零点．误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的．因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点．学科核心素养二分法的思想就是通过“无限逼近”思想来体现的，二分法不仅可以求根，还可以用于查找线路、水管、煤气管等的故障，也有用于实验设计、资料查询等，在日常生活中有着广泛的应用．┃┃典例剖析__■典例5在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了．课堂检测·固双基1．函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(B)解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是(C)A．－2.0B．－2.1C．－2.2D．－2.3解析：f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0，故选C．3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间__(1.25，1.5)__.解析：本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0，f(1.5)>0和f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25，1.5)．4．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x 12345 6f(x)136.13515.552－3.9210.8852.488232.064__2__解析：由题表可知函数f(x)的零点至少有一个在(2,3)内，一个在(3,4)内．5．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图像开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋(k －2)＋2k －1<04＋2(k －2)＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，23.。
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课题：判断函数零点的存在性
---------根的存在性定理
学习目标：
（一）知识与技能：
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法：
自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观：
1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值
2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史..
重点难点：
重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性.
课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今
天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。
如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…
问题·探究
（一）回顾旧知，“温故知新”。
1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）.
2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函
数)(x f y =有零点.
巩固练习：求下列方程的根．
（1）0652
=+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x
（二）提出问题，“星河探秘”。
（零点存在性）
问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？
怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？
（1）观察二次函数32)(2
--=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？
○
1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）
． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．
（2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？
○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．
○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．
○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．
（4）观察上面（3）的函数图象：
若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异）
（三）讨论探索，发现“新大陆”。
根的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f 在区间)(b a ,内有零点，即存在)(b a c ,∈，使得0)(=c f ，
思考与探索：观察下列函数图像，回答问题
（1） （2） （3） （4）
分组讨论：（1）函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？ （2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？ （3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？ （4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？
（5）若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内有零点，一定得出f (a )·f (b )<0的结论吗？ （6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数呢，零点的个数是惟一的呢？ 小结：
1.函数在区间][b a ,有零点⇔图像连续且0)()(<⋅b f a f （缺一不可）
2.推论：若函数)(x f y = 在区间][b a ,上连续且严格单调，且0)()(<⋅b f a f ，则存在∃1的实数0x )(b a ,∈，st.0)(0=x f .
（四）观察感知，“身临其境”
例1求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数.
解：用计算器或计算机作出)(,x f x 的对应值表和图像
分析：
变式练习：你能判断出方程 ㏑x = - x 2 + 3 实数根的个数吗？ 分析1：用根的存在性定理和推论。
分析2：数形结合，判断函数的交点。
（五）数学遨游（参阅新教材模块1第91页）
1.阿尔.花拉子米（约780-850）给出一次方程和二次方程的一般解法。
2.1541年，意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法。
3.意大利数学家费拉里（1522-1565）攻破了四次方程的解法。
4.数学史上，人们希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但通过长期的努力仍无结果。
1778，法国数学大师拉格朗日（Lagrange.1736-1813）自费出版了《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，首先提出了五次方程的根式解不存在的猜想，1824，挪威数学家阿贝尔（Abel。
1802-1829）成功的证明了五次以上方程无根式解。
1828，天才数学家伽罗瓦（1811-1832.）提出了一般代数方程能用根式求解得判定定理。
5.数学王子提出代数基本定理。
（六）反思小结,“春风再度玉门关”
1．根的存在性定理及其推论。
2.函数零点的存在性和零点个数的判断。