张荣军判断零点的存在性定理

课题：判断函数零点的存在性

---------根的存在性定理

学习目标：

（一）知识与技能：

2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法：

自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观：

1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值

2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史..

重点难点：

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性.

课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今

天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…

问题·探究

（一）回顾旧知，“温故知新”。

1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）.

2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函

数)(x f y =有零点.

巩固练习：求下列方程的根．

（1）0652

=+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x

（二）提出问题，“星河探秘”。（零点存在性）

问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？

（1）观察二次函数32)(2

--=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？

○

1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）

． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．

（2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？

○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．

○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．

○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．

（4）观察上面（3）的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异）

（三）讨论探索，发现“新大陆”。

根的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f 在区间)(b a ,内有零点，即存在)(b a c ,∈，使得0)(=c f ，

思考与探索：观察下列函数图像，回答问题

（1） （2） （3） （4）

分组讨论：（1）函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？ （2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？ （3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？ （4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？

（5）若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内有零点，一定得出f (a )·f (b )<0的结论吗？ （6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数呢，零点的个数是惟一的呢？ 小结：

1.函数在区间][b a ,有零点⇔图像连续且0)()(<⋅b f a f （缺一不可）

2.推论：若函数)(x f y = 在区间][b a ,上连续且严格单调，且0)()(<⋅b f a f ，则存在∃1的实数0x )(b a ,∈，st.0)(0=x f .

（四）观察感知，“身临其境”

例1求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数.

解：用计算器或计算机作出)(,x f x 的对应值表和图像

分析：

变式练习：你能判断出方程 ㏑x = - x 2 + 3 实数根的个数吗？ 分析1：用根的存在性定理和推论。 分析2：数形结合，判断函数的交点。

（五）数学遨游（参阅新教材模块1第91页）

1.阿尔.花拉子米（约780-850）给出一次方程和二次方程的一般解法。

2.1541年，意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法。

3.意大利数学家费拉里（1522-1565）攻破了四次方程的解法。

4.数学史上，人们希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但通过长期的努力仍无结果。

1778，法国数学大师拉格朗日（Lagrange.1736-1813）自费出版了《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，首先提出了五次方程的根式解不存在的猜想，1824，挪威数学家阿贝尔（Abel。1802-1829）成功的证明了五次以上方程无根式解。1828，天才数学家伽罗瓦（1811-1832.）提出了一般代数方程能用根式求解得判定定理。

5.数学王子提出代数基本定理。

（六）反思小结,“春风再度玉门关”

1．根的存在性定理及其推论。

2.函数零点的存在性和零点个数的判断。