根的存在性证明(零点定理)
函数零点存在性定理
个零点.
函数零点存在性定理
【变式训练】 △ ＝(m ＋1)2 －16 ＞0
f(0) ＝4≥0 f(3) ＝9－3(m＋1) ＋4≥0
判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点函数零点存在性定理二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的当它通过零点时变号零点变号零点函数值变号
知识点——
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【二次函数零点的判定】 二次函数y ＝ax2 ＋bx＋c 的零点个数，方
程ax2 ＋bx＋c＝0 的实根个数见下表。
判别式 △＞0零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根
无零点
函数零点存在性定理
【二次函数零点的性质】
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(变 号零点)，函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
函数零点存在性定理
【函数零点存在性的判定方法】
对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于 函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处 理？
如果函数y＝f（x）在区间[a，b] 上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b) ＜0 ，那 么，函数 y＝f（x）在区间(a，b) 内有零点.即存 在c ∈ (a，b)，使得f(c) ＝0 ，这个 c也就是方程 的根.
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断 的，上述性质同样成立.
函数零点存在性定理
【二次函数的零点的应用】
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函 数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的 符号，观察函数的一些性质.
方程的根与零点定理
解决不等式问题
利用零点定理，我们可以找到满足不等式条件的$x$ 的取值范围。
求解函数的极值
通过寻找函数零点，我们可以确定函数的极值点。
零点定理与方程根的关系
零点定理是求解方程根的一种重要工具，通过寻找函数零点，我们可以找到方程的近似解。
对未来学习的思考与展望
深入学习数学分析
我希望能够深入学习数学分析， 掌握更多的定理和证明方法，提
高自己的数学素养。
拓展应用领域
我希望能够将所学的数学知识应用 到更多的领域中，如物理学、工程 学等，为实际问题提供解决方案。
持续思考与创新
在学习过程中，我会不断思考和创 新，探索更多的数学奥秘和应用前 景。
个，因此需要全面考虑各种情况。
05 总结与思考
本章重点回顾
方程的根的概念
01
方程的根是指使方程成立的未知数的值。
零点定理的应用
02
零点定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果连续函数
在区间两端取值异号，则在该区间内至少存在一个零点。
方程的根与零点定理的关系
03
通过零点定理，我们可以找到方程的根所在的区间，从而逼近
03 零点定理
定义与性质
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) cdot f(b) < 0$，则称$f(x)$ 在区间$(a, b)$内至少有一个零点。
性质
零点定理表明，如果函数在区间的两 端取值异号，则函数在该区间内至少 存在一个零点。
零点定理的应用
确定方程的根
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第5讲 零点存在的判定与证明(原卷版)
第5讲零点存在的判定与证明零点问题是导函数的一个重要研究方向，也是一个重点和难点，属于一元等式问题，其求解需要综合前面的极值、单调性和最值来考虑.而极值点本身又是导函数的零点,所以这里会层层环绕,分析起来比较麻烦,这是零点问题的一个难点.第二个难点是结合函数单调性和零点存在定理来赋值找零点，这里会涉及不等式放缩法,如果不太理解赋值问题,等学习了不等式放缩法后，专门讲解赋值问题,那时再回过头来理解.下面我们先来学习与零点相关的定义和定理.1.函数的零点：一般的,对于函数y=，我们把方程/(χ)=O的实数根χ0叫作函数y=∕(χ)的零点.2.零点存在性定理:如果函数y=/(x)在区间［〃,可上的图像是连续不断的一条曲线，并有/(β)∕(⅛)<0,那么函数y=∕(χ)在区间(〃乃)内必有零点，即3x0∈(α,b),使得/(x o)=O.注意:零点存在性定理使用的前提是/(x)在区间可连续,如果/(#是分段的,那么零点不一定存在.3.零点存在定理的推论:若/(力在［a,b］上是严格单调函数且连续，则/(。
)/(，)<。
=>/(X)在(G的零点唯一.4.函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系.设函数为y="χ),则“X)的零点即为满足方程J(X)=O的根，若J(X)=g(χ)—MX),则方程可转变为g(χ)=M”,即方程的根在坐标系中为g(x)M(x)交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到.由此看来，函数的零点，方程的根,两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化：函数f(%)的零点O方程/(x)=0的根方程变形方程g(X)=⅛(x)的根O函数g3与h(x)的交点.在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化.【例】对于方程InX+x=0,无法直接求出根,可以拆分构造函数InX=-X图像的交点，画出图像可判定其零点必在中.求无参函数零点求解无参函数零点的一般解题步骤:第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点，画出函数大概的趋势图(能够描述函数性质的图像).第二步:在严格的单调区间［〃,可上找点,使得/(α)"b)<0n∕(x)在(GM上存在唯一零点.注意:若在区间可，，存在唯一极大值,且极大值小于零或者存在唯一极小值,且极小值大于零,则这个区间［〃,可上不存在零点.【例1】已知函数/(x)=X -------- 41nx.⑴求/(x)的单调区间.⑵判断了(X)的零点的个数,并说明理由.【例2】已知函数"力=；/—/—3%—2(X∈R).⑴求函数/(x)的单调区间.⑵判断函数/(“零点的个数,并说明理由.讨论含参函数零点个数一一分类讨论讨论含参函数y=/(Kx)在区间［〃,可上零点个数的一般解题步骤：第一步：利用导函数求出原函数的单调性和极值点，通常极值点/用参数表示：∙⅞=g(")∙第二步:讨论出函数在区间［〃,可上的单调性,通常分为极值点/=g(左)在区间可的左、中、右三种情况讨论.第三步：结合函数单调性和极值/(%)和零点存在定理的推论来确定零点个数,我们通常分为情况讨论：⑴函数在区间［〃,可上严格单调,若满足〃α)∕(b)<On在(〃/)上存在唯一零点.若不满足/(Q)/伍)<On/(x)在(G,Z?)上不存在零点.⑵若在区间［〃,b］上,存在唯一极大值/(x0),则分为下面三种情况：①极大值/(X。
专题9 方程根的存在性及个数--考研数学
2021考研高等数学17堂课主讲 武忠祥 教授专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
考研数学-专题9 方程根的存在性及个数
专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根.方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
根的存在定理
根的存在定理以根的存在定理为标题，我们来探讨一下这个重要的数学定理。
根的存在定理是数学中的一个重要定理，也被称为零点定理。
它是关于函数的根（即函数取零值的点）存在与否的一个判定条件。
根的存在定理在数学分析和代数学中有着广泛的应用，对于解方程、研究函数性质等都起到了重要的作用。
我们来看一下根的定义。
对于一个函数f(x)，如果存在一个数a，使得f(a) = 0，那么我们称a为函数f(x)的一个根。
根的存在定理则是判断函数是否存在根的一个重要工具。
根的存在定理有很多不同的形式和表述方式，下面我们介绍其中一种常见的形式——零点定理。
零点定理是根的存在定理的一种特殊情况，它主要是用来判断连续函数是否存在根的。
零点定理的表述如下：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号（即f(a) * f(b) < 0），那么在(a, b)之间一定存在一个根。
这个定理的证明比较复杂，我们在这里不做展开。
但是我们可以通过一个简单的例子来理解这个定理的应用。
假设我们要证明方程x^2 - 3x + 2 = 0在区间[1, 2]上存在一个根。
首先，我们可以计算出f(1) = 0和f(2) = 0，并且f(1)和f(2)异号。
根据零点定理，我们可以得出在(1, 2)之间一定存在一个根。
实际上，我们可以通过解方程x^2 - 3x + 2 = 0来验证这个结论。
解方程得到的解为x = 1和x = 2，而这两个解正好落在了区间[1, 2]之间。
根的存在定理不仅适用于多项式函数，还适用于更一般的函数形式。
只要函数在某个区间上连续，并且函数值在区间的两个端点上异号，那么在这个区间内一定存在一个根。
除了零点定理，根的存在定理还有其他的形式和推广。
比如，拉格朗日中值定理可以看作是根的存在定理的一种推广形式。
拉格朗日中值定理是说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)之间存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间两端点的斜率，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
零点存在定理
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法 代数法： 求出对应方程的f x =0的根 几何法： 画出函数的图象
练习： （1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零 所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、 函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的 零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有 几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函 数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？ 若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间
利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究
利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究零点定理（Rolle's theorem）是数学中一个重要定理，它有助于我们证明函数在某一给定区间中是否存在实数根，从而在针对实现某个特定功能的方程组中取得更进一步的瓣解。
简言之，零点定理可以用来验证某一方程在某个区间内是否存在实数根。
零点定理的基本原理是：若满足条件的函数在闭区间[a,b]上连续，并且α,beta 分别为a,b 在函数f(x) 的值均为0 的点，则在[a, b] 将存在某个点c 使得f ' (c)= 0。
一般来讲，零点定理可以应用于有理函数，但有时也可以证明初等函数在给定区间上有实数根。
其重要性不言而喻，尤其是在几何学中，某些正弦波、余弦波和正切的性质的证明等都深受其影响。
而在统计学、抽样理论等方面也有着广泛的应用。
通过分析定理的定义和原理，可以发现，区间[a,b]的限定性是零点定理的关键要素，将定义和原理部分改写一下：若满足条件的函数在闭区间[a,b]上连续，并且已知f(a)和 f(b)分别为有限数量的常数，则在[a, b] 中将存在某个点c使得f ' (c)= 0，也即在[a, b] 中是存在一个根。
也可以说，若函数在某一给定的区间[a,b] 上连续，且在a,b的端点的值不等式，那么函数在该区间内存在至少一个实数根。
事实上，当使用零点定理时，应尽量选定集合[a,b]，使其能够局限性地描述函数，这样可以在较短的运算时间内有效地计算。
另外，当函数不能被完全归纳到有理函数中时，也可以使用零点定理来证明函数实根存在性问题。
至此，可以看出，零点定理在证明函数实根存在性问题方面具有显著的作用。
零点定理
0abbb Nhomakorabeabb
bb
b b bb x
b
结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点；
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 (b)<0。
f f(a)·
• 思考2：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连 续的单调函数, 并且在闭区间的两个端点 上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个 函数在(a,b)内的零点个数能确定吗？
叫做函数y=f(x)的零点。
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数
2、等价关系
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
练习1：求下列函数的零点：
y 2x 8 y 2 log 3 x . （1 ） ; （2 ）
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (1) x 4
<上______( 有 有/无)零 ③ 在区间(c,d) 点； f(c).f(d) _____ 0 （＜或＞）． < 3 2 ○ 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞） ．
． f (2) · f (1) _____0（＜或＞）
<
<
结 论
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点存在性原理1543有有有有有有结论结论如果函数yfx?在区间??ab上的图象是连续不断的一条曲线并且有0fafb??那么函数yfx?在区间??ab内有零点即存在??cab?使得0fc?这个c也就是方程0fx?的根
证明方程根的存在性的方法
在数学的研究领域中，求解方程是一个重要的知识点，而证明方程根的存在性又是求解方程的关键一步.本文利用连续函数的介值定理，费马定理，微分中值定理，函数的单调性，最大值与最小值定理，泰勒公式，积分中值定理七种方法来解决这一问题，并给予了相应的方法步骤，例题简析及结论.1 利用连续函数的介值定理1.1 知识回顾：介值性定理：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ¹,若m 为介于()f a 与()f b 之间的任何实数(()f a <m <()f b 或()f a >m >()f b ),则至少存在一点0x Î(,)a b ,使得0()f x m =.根的存在定理:若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b <),则至少存在一点0x Î(,)a b ，使得0()0f x =.1.2 方法步骤：（1）构造合适的辅助函数；（2）选取合适的区间，使辅助函数在区间两端点的函数值不同或符号异号；（3）由介值性定理或根的存在定理得出结论.1.3 例题简析：例1. 设f 在[,]a b 上连续，且满足([,])[,]f a b a b Ì,证明在区间[,]a b 内，方程()f x x=至少有一根.分析： 通过引入一个辅助函数()()F x f x x =-,把原来要证明的()f x x =变为()0F x =,这就相当于证明方程()0F x =的根的存在问题，这种证明方法常见. 证明：令()()F x f x x =-.由于([,])[,]f a b a b Ì, 所以，对任何[,]x a b Î有()a f xb ＃.进而()a f a £,()f b b £. 若()a f a =或()b f b =,则取0x a =或b ,于是方程()f x x =至少有一根a 或b . 若()a f a <与()f b b <,则()()0F a f a a =-> ()()0F b f b b =-<由根的存在性定理得：存在0x Î(,)a b 使得000)()0(x f x F x =-=,即00)(f x x =于是，方程()f x x =在(,)a b 至少有一根0x .综上可得，在闭区间[,]a b 内，方程()f x x =至少有一根.2 利用费马定理2.1 知识回顾:费马定理:设函数f 在点0x 的某领域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为f 的极值点,则必有'0()0f x =.2.2 例题简析:例 2.设函数()f x 在[0,2]上连续,在(0,2)可导,且(0)(2)0,(1)2f f f ===,试证明:对任意的实数l 必至少存在一点(0,2),x Î使得'()[()]1f f x l x x --=.分析：若能确定某一函数()f x 在给定闭区间[0,2]上的最优值必在该区间内部(0,2)达到，则由费马定理即刻可以断定方程'()0f x =在该区间内部(0,2)有一实根. 证明：欲证的结论等价于证明方程''[()()1][(())]0x x f x f x x e f x x e l l l l ---+-=-=在(0,2)内至少存在一实根，则构造辅助函数()(())x F x f x x e l -=-.显然()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且有(0)0F = (1)F e l -= 2(2)2F e l -=-， (2)(0)(1)F F F << 则函数()F x 在开区间(0,2)内点1x =处的函数值(1)F 大于其在端点处函数值(0)F 与(2)F即知在闭区间[0,2]上的连续函数()F x 的最大值必定能在开区间(0,2)内部的某一点x 处取到，于是由费马定理得''()[()()1]0,(0,2)F f f e l x x x l x l x x -=-+-=?因0e l x -¹ ，则原命题成立.2.3 结论：利用费马定理证明方程根的存在性方法是：找一个函数()F x ，使'()()F x f x =，证明()F x 在某点0x 处取到极值且'0()F x 存在.由费马定理知：'0()0F x =，即 0()0f x =.3 利用微分中值定理3.1 知识回顾：(1)罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在区间[,]a b 上连续(ii) f 在区间(,)a b 内可导（iii ）()()f a f b =则在(,)a b 内至少存在一点x ，使得'()f x 0=.（2）拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：(i) f 在闭区间[,]a b 上连续(ii) f 在开区间(,)a b 内可导则在(,)a b 内至少存在一点x ，使得'()f x =()()f b f a b a--. （3）柯西中值定理：设函数f 和g 满足（i ）在区间[,]a b 上都连续(ii) 在区间(,)a b 内都可导（iii ）'()f x 和'()g x 不同时为零(iv)()()g a g b ¹ 则存在x Î(,)a b , 使得''()()f g x x =()()()()f b f ag b g a --. 3.2 方法步骤：（1）根据题设条件，分析运用哪个中值定理；（2）灵活，恰当的构造辅助函数;（3）验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件；（4）得出结论.3.3 例题简析：例3. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明方程'()()(()))(()bf b af a b a f x xf x -=-+在(,)a b 内有根.分析：从证明的目标可发现等式左边分子为()xf x |x b =-()xf x |x a =,若令()()F x xf x =，则方程左边为()()F b F a -是某一函数在两个不同点处的值，可联想到拉格朗日中值定理，且恰好'()F x ='[()]xf x ='(())f x xf x +.证明：作辅助函数()()F x xf x =,则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b 内至少存在一点x ，使()()F b F a b a--='()F x 由于 '()F x ='(())f x xf x +可见 ()()bf b af a b a--= f (x )+x '()f x 即 '()()(()))(()bf b af a b a f f x x x -=-+ 于是方程'()()(()))(()bf b af a b a f x xf x -=-+在(,)a b 内至少有一根.例 4. 设函数()f x 在[0,1]上有二阶导数，且'(0)f =0，试证方程"()f x ='2()1f x x- 在区间(0,1)内有根.分析：所给问题为导函数在区间(0,1)内某点值的问题，可以考虑利用微分中值定理证明，如果将要证明的结论变形为"()f x (1-x )-2'()f x =0,由此认定'()F x ="()f x (1)x --2'()f x ,如果取'()(()1())f x x x F x f -=-,但是()F x 在[0,1]上不满足罗尔定理条件.如果将上式两端同乘以非零函数()G x ,使"'()()(1)2()()G x f x x G x f x x轾--犏臌=0,且()()'G 1x x 轾-臌=2()G x -,则可取()G x =2(1)x -,从而可设()F x =2'(1)()x f x -.证明：设()F x =2'(1)()x f x -,由题设条件可知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)(1)0F F == 由罗尔定理可知，存在x Î(0,1),使得'2"'()(1)()2(1)()F f f x x x x x =---=0由于x ¹1，可知 "'(1)()2()f f x x x --=0 '"2()()1f f x x x =- 即 方程"()f x ='2()1f x x -在区间(0,1)内有根. 3.4 结论：有关导数在区间内某点处值的关系式常可以考虑利用微分中值定理证明.（1）如果关系式中出现某函数的导数在两个不同点处的值，常需两次利用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理来证明.（2）如果关系式中出现某函数的二阶导数在某点处值，常可考虑对该函数的导函数利用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理来证明.（3）如果某关系式中出现两个函数的导数在某点处值，常可考虑利用柯西中值定理来证明.（4）如果某关系式中出现两个函数的导数在两个不同点处值，常可考虑两次利用柯西中值定理与拉格朗日中值定理证明.4 利用函数的单调性4.1 知识回顾：单调性定理：设()f x 在区间I (I 可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间，也可以是无穷区间)上连续，在I 内部可导（不需要在端点可导）（1）若x I Î内部，'()f x ≥0，则()f x 在区间I 上递增.（2）若x I Î内部，'()f x ≤0，则()f x 在区间I 上递减.（3）若x I Î内部，'()f x =0，则()f x 在区间I 上是常数函数.（4）若x I Î内部，'()f x ＞0，则()f x 在区间I 上严格递增.（5）若x I Î内部，'()f x ＜0，则()f x 在区间I 上严格递减.4.2 方法步骤：求具体连续函数在其定义域上或指定的区间上有几个零值点的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求出导数等于零或导数不存在的点；（3）列表;（4）讨论每个严格单调区间两端函数（或极限）值的情况;（5）结论.4.3 例题简析:例 6. 证明方程0ln 1cos 2x x xdx e p =--ò在区间(0,)+?内有且仅有两个不同的实根.证明: 由20001cos22sin 2sin 22xdx xdx xdx p p p-===蝌?， ln 22ln 220x x x x e e =-?-=. 设()ln 22,x F x x e =--求出F(x) 的单调区间,由于11(),x e F x e x xe -¢=-=令()0,F x ¢=得,x e =且)(x F 无导数不存在的点,下面列表 x0 (0,e) e (,e +?) +? ()F x ¢_ + )(x F0lim ()x F x +®=+?↘ 22- ↗ lim ()x F x ??=+? 由)(x F 在(0,e)内严格递减且在两端点函数(极限)值异号,知在(0,e)仅有一个根,)(x F 在(,)e +?内严格递增且在两端点函数(极限)值异号,知)(x F 在(,)e +?内仅有一个根,故原方程在(0,)+?内有且仅有两个实根.例7. 证明若()0q x <,则方程"()0y q x y +=的任一非零解至多有一个零点. 分析：可考虑用反证法，利用导函数'()y x 是单调函数这一性质找出矛盾. 证明：反证法设1x ,2x 是原方程的一个非零解()y x 的两个相邻的零点，不妨设1x <2x ,且在区间(1x ,2x )内()0y x >.由导数定义，'1()y x =1lim x x +®11()()y x y x x x --³0 '2()y x =2lim x x -®22()()y x y x x x --0£ 而由已知条件"y ()0q x y =-> x Î(1x ,2x ) 即'()y x 是单调增函数，故矛盾.因此，方程"()0y q x y +=的任一非零解至多有一个零点.4.4 结论：（1）利用闭区间上连续函数的介值性定理证明方程根的存在性，这是最常见的证明方法，而在讨论方程根的唯一性问题时，常常利用函数的单调性.（2）若()f x 在区间I 上连续且严格单调，则()f x 在I 内至多有一个零点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则()f x 无零点.若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则()f x 有一个零值点.（3）求具体连续函数()f x 在定义域内零值点的个数：首先求出()f x 的严格单调区间的个数，若有m 个严格单调区间，则至多有m 个不同的零值点.至于具体有几个，按照（2）研究每个严格单调区间是否有一个零值点.。
零点定理根的个数
零点定理根的个数我们来了解一下零点定理的基本概念。
零点定理是说，如果一个函数在某个区间内连续，并且在该区间的两个端点处函数值异号，那么在这个区间内至少存在一个根。
这个根的个数可以是1个，也可以是多个，但至少存在一个。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助理解零点定理的应用。
假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们要求这个函数在区间[0, 3]内的根的个数。
首先，我们可以计算一下函数在区间的两个端点处的函数值：f(0) = 3，f(3) = 0。
我们可以发现，这两个函数值异号，因此根据零点定理，这个函数在区间[0, 3]内至少存在一个根。
我们可以求解这个方程，得到x = 1，所以在区间[0, 3]内有一个根。
再举一个例子，假设我们有一个函数g(x) = sin(x)，我们要求这个函数在区间[0, π]内的根的个数。
我们知道，sin(x)函数在区间[0, π]内的函数值从正数逐渐减小到负数，因此在这个区间内至少存在一个根。
我们可以求解这个方程，得到x = π/2，所以在区间[0, π]内有一个根。
通过以上两个例子，我们可以看到，零点定理可以帮助我们判断一个函数在某个区间内有多少个根。
当然，零点定理只是判断根的存在性，并没有给出根的具体值。
对于一些复杂的函数，我们可能需要借助其他方法来求解根的值。
除了零点定理，还有一些其他的定理也可以用来判断函数的根的个数。
例如，中值定理和柯西中值定理等。
这些定理在微积分中都有重要的应用，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
总结一下，零点定理是微积分中的重要定理之一，它可以帮助我们判断一个函数在某个区间内有多少个根。
通过计算函数在区间的两个端点处的函数值，我们可以判断根的存在性。
当然，对于一些复杂的函数，我们可能需要借助其他方法来求解根的值。
除了零点定理，还有一些其他的定理也可以用来判断函数的根的个数。
这些定理在微积分中具有重要的应用，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
知识点34 函数的零点(方程的根)存在性与唯一性的证明
考频:4
知识点34 配套习题
例34.1(难度系数0.4) 证明方程 x n x n 1 x 2 x 1 0 在 (0, 1) 内必有唯一实数根 xn ，并求 lim xn .
n
解析：构造函数 f ( x) x n x n 1 x 2 x 1 ，利用零点定理证明方程 f ( x) 0 在 (0,1) 内至少有一实数根，再通过单调性来证明根的唯一性，最后通过数列极限 来求解即可. 证明：设 f ( x) x n x n 1 x 2 x 1 ，则 f ( x) 为闭区间 [0, 1] 上的连续函数. 因为 f (0) 1 0 ， f (1) n 1 0 ，所以由零点定理知，存在 xn (0,1) ，使
2 x2 1 3 ， lim f ( x ) lim ， lim f ( x) 0 ，从而若原方程有且仅 x x 0 x 0 9 x3 2 3 或k 0. 有一个实根，据介值定理得 k 9 f ( 3)
例34.4(难度系数0.4) 设在 [1, ) 上， f ''( x) 0 ， f (1) 2 ， f '(1) 3 ，证明：方程 f ( x) 0 在 (1, ) 内只有 一个实根. 解析：本题为函数 f ( x) 零点的存在性与唯一性问题.在用零点定理时需要用 拉格朗日中值定理找到一个函数值小于零的点，方法类似例34.2. 证明：当 x (1, ) 时， f ''( x) 0 ， f '( x) 递减， f '( x) f '(1) 3 0 ，因此 f ( x) 单 调减，因此 f ( x) 0 在 (1, ) 内最多只有一个实数根. 又 f (1) 2 0 ， f ( x) f (1) f '( )( x 1) 2 (3)( x 1) 5 3x ，取 x ，则
判别代数方程根的存在性的几种方法
判别代数方程根的存在性的几种方法摘要：代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。
有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。
在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。
本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。
总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读。
关键词：代数方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Algebraic EquationWang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer Science Abstract：Algebraic equations usually mean equations of integral expression, that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including equation of integral expression, fractional equation and irrational equation. During learning mathematics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions’zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theorem of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence1 引言中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。
判断零点的存在性定理
课题：判断函数零点的存在性---------根的存在性定理学习目标：（一）知识与技能：2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法：自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观：1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史..重点难点：重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性.课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。
如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…问题·探究（一）回顾旧知，“温故知新”。
1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）.2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.巩固练习：求下列方程的根．（1）0652=+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x（二）提出问题，“星河探秘”。
（零点存在性）问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．（4）观察上面（3）的函数图象：若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异）（三）讨论探索，发现“新大陆”。
根的存在性证明问题的解法
在高等数学中经常会出现一类题：即证明根的存在性。
今天就来借两道经典的母题来对此类题目的证明做个总结。
一、此类题目的两种思路证明连续函数f(x)在区间[a,b]上根的存在性，最常用的思路有两种：1、利用零点定理。
也就是说只要证明f(x)在[a,b]存在两点c<d （可能有c=a,b=d ，但也可能没有），且f(c)*f(d)<0即可，那么f(x)在[c,d]上必存在零根。
2、利用罗尔定理。
首先构造f(x)的原函数F(X)（即F ’(x)=f(x)），然后证明在[a,b]上有点c,d （c<d,可能有c=a,b=d,也可能没有），使得F(c)=F(d)，那么根据罗尔定理，在[c,d]上必有一点t ，使得F ’(t)=0，也就是f(t)=0，因此题目得证。
解答这类题目，关键还在于多练习，多做题目找感觉和经验，尤其是对于F(x)的构造，技巧性较大，更加需要经验的积累。
本文的最后会给出常见的F(x)的构造方法。
二、一道典型例题，小试牛刀下面我我们就来证明一道典型的例题来试一试上面的两种思路吧。
题目：已知()()()()012/2/3/10n a a a a n +++⋯++=，证明方程010n n a a x a x ++⋯+=在(0,1)上至少有一个根。
解法一：我们利用零点定理来解答。
我们直接令()01 n n f x a a x a x =++⋯+然后观察a n x n 与a n /(n+1)这两项的关系，发现有101n n n a a x dx n =+⎰，那么我们就可以得到()11010010 (210)n n n f x dx a a x a x dx a a a n =++⋯+⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭=⎰⎰ 如果f(x)在(0,1)上恒大于0，那必有()100f x dx >⎰矛盾，如果f(x)在(0,1)上恒小于0，则有()100f x dx <⎰矛盾。
因此在（0,1）内必有两点c<d ，使得f(c)*f(d)<0。
利用零点存在性定理解决方程根的问题
2 f ( x) x2 4x 3 4 f ( x) log2 x 1
探究： 观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象填下表
y
2
1 －2
－1 0 1 2 －1
－2 －3
－4
34x
问：函数在区间 [-2,1]上是否有零 点？ 函数在区间[2,4] 上是否有零点？ 为什么？
x -2 1
1.对于函数f(x)在定义域内连续，且f(2007)<0,
练
一 f(2008)<0, f(2009)>0,则下列叙述正确的（ D ）
A.函数f(x)在（2007,2008）内不存在零点
练
B.函数f(x)在（2008,2009）内不存在零点
C.函数f(x)在（2008,2009）内存在零点，并且仅有一个
第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未 知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。 韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与 系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与 系数关系的结论称为“韦达定理”）。
1、函数零点的定义 函数 y f (x) 的图像与横轴的交点的横坐标
x
a
b x
思考3:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，
且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)为
什么是至少有一个零点？
（要结合函数的单调性）bax Nhomakorabeaa
b x
思考：增加什么条件时，函数在区间(a,b)上 只有一个零点？
推论：在零点存在的条件下，如果函数 在[a , b]上单调，函数f(x)在 区间（a , b）上存在唯一零点。
-2 -1.5 0
1
2
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根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续
0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,
[b b a b a a ++，如果0)2
(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2
(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为
],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(2222
22<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①
[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②n
n n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞
→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，
],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
根据区间的性质③，0)()(<n n a f b f ，矛盾。
综上所述，只有0)(=ξf ，且],[b a ∈ξ。
定理获证。
注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而n n b a ,实际上是函数零点的近似值。