反函数的导数与初等函数

第四节 反函数的导数与初等函数的求导问题

一．反函数的导数

定理1：如果函数)(y x ϕ=在某区间y I 内单调、可导，且)(/y ϕ≠0，那末它的反函数)(x f y =在对应的区间x I 内也可导，并且有：)(1)(//y x f ϕ= 。 例1：函数x y arcsin =是y x sin =的反函数，y x sin =在区间]2,2[ππ-上单调可导，y dy

dx cos =，函数x y a r c s i n =在区间]1,1[-上单调可导，211cos 11x

y dy

dx dx dy -===， 2/11)(arcsin x x -=

2/11)(a r c c o s x x --=， 2/11)(arctan x x += 2

/11)co t (x x a r c +-= 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例2：求函数的1arctan 2-=x y 导数

二．基本求导法则与导数公式

1、基本初等函数的导数公式：

（1） 0)(/=c （2）1/)(-=μμμx x

（3） x x cos )(sin /= （4） x x sin )(cos /-=

（5）x x 2/sec )(tan = （6） x ctgx 2/csc )(-=

（7） x x x tan sec )(sec /⋅= （8）ctgx x x ⋅-=csc )(csc /

（9）a a a x x ln )(/⋅= （10）x x e e =/)(

（11） a x x a ln 1)(log /=

（12） x x 1)(ln /= （13） 2/11

)(arcsin x x -= （14） 2/11)(arccos x x --=

（15） 2/11)(arctan x x +=

（16）2

/11)cot (x x arc +-= 2、函数的和、差、积、商的求导法则： 设)(x u u =，)(x v v =，则：

（1） ///)(v u v u ±=± （2） //)(u c u c ⋅=⋅（c 为常数）

（3）/

//)(uv v u uv += （4）/])()([x v x u =)()()()()(2//x v x v x u x v x u - （)(x v ≠0）；

3、复合函数的求导法则：

设)(u f y =，而)(x u ϕ=，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为：)()(//x u f dx

du du dy dx dy ϕ⋅=⋅=。 4、双曲函数与反双曲函数的导数

由于双曲函数与反双曲函数都是初等函数，故其导数可由基本初等函数的求导公式及求导法则求出。 (1) x ch thx 2/1)(= (2) 2

//11)11ln 21()(x x x arthx -=-+= 三、幂指函数的求导方法

形如：)()(x v x u y =的函数称其为幂指函数

利用复合函数的求导法则

)

(ln )()(ln )()()(x u x v x u x v e e x u y x v ===，])()()()(ln )([)](ln )([))((//

)(ln )(/)(ln )(/)(/x u x u x v x u x v e x u x v e x u y x u x v x u x v x v +===。 例3：求函数x x y sin =的导数，)sin ln (cos sin /x

x x x x y x +

⋅=。 上一节 下一节 返回