反函数的导数
高等数学 2-3反函数的导数、复合函数求导法则
思考题
若 在 不可导， 在 可导，且 ，则 在 处（）．
（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（3）
例： 在 处不可导，
取 在 处可导，
在 处不可导，所以1错
在 处可导，
在 处可导，所以2错
证：
于是有
例1
解：
同理可得
例2
解：
特别地
二、复合函数的求导法则
定理
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证：
推广：
例3
解：
例4
解：例5解：Fra bibliotek例6解：
例7
解：
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）;
复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;
章节题目
第三节反函数的导数、复合函数求导法则
内容提要
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
重点分析
复合函数的求导法则
难点分析
利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链导法
抽象函数求导
习题布置
：1（单）、2（单）、3（单）、5
备注
教学内容
一、反函数的导数
定理
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
反函数的导数
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； ）必可导； ）必不可导； ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
反函数的导数
2
3
y
1 2
1 x2 12x
1 3( x
2)
x x2 1
1 3( x 2)
例7
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
e
sin
1 x
(sin
1
)
sin 1
ex
cos
1Leabharlann (1 )x
xx
1 x2
1 sin
ex
cos
1 x
.
对数微分法:
y' y(ln y)'
6、 y e arctan x ；
7、 y arcsin x ； arccos x
8、y arcsin 1 x . 1 x
三、设 f ( x)，g( x) 可导，且 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 ,求函数
y f 2 ( x) g 2 ( x) 的导数 .
四、设 f ( x)在 x 0处可导，且 f (0) 0 ， f (0) 0 ,
sin x
例4 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例5 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
反函数的导数 复合函数的求导法则
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
反函数求导公式大全
反函数求导公式大全1. 反函数的概念反函数是解决方程的一种方法，与正函数相对应。
在正函数中，给定一个自变量，可以求出一个唯一的因变量。
但有时候我们需要找到一个与因变量相对应的唯一自变量。
这时候就需要使用反函数。
2. 反函数求导的意义反函数的求导可以帮助我们求得一个函数的反函数的导数。
这对于解决一些问题非常有用。
例如，如果我们要求某个函数值的变化率，但很难求出该函数的导数，但是如果我们可以找到这个函数的反函数，那么我们就可以利用反函数的导数来计算该函数值的变化率。
3. 反函数的基本公式- 如果y=f(x)在区间I上是单调增加的，则其反函数x=g(y)在相应区间J上也是单调增加的。
反函数的导数可以使用公式g'(y) = 1/f'(x)- 如果y=f(x)在区间I上是单调减少的，则其反函数x=g(y)在相应区间J上也是单调减少的。
反函数的导数可以使用公式g'(y) = -1/f'(x)4. 反三角函数的导数公式反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
这些函数的求导公式如下：- 反正弦函数的导数：(arcsin x)' = 1 / sqrt(1-x^2)- 反余弦函数的导数：(arccos x)' = -1 / sqrt(1-x^2)- 反正切函数的导数：(arctan x)' = 1 / (1+x^2)5. 反双曲函数的导数公式反双曲函数也包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数等。
这些函数的求导公式如下：- 反双曲正弦函数的导数：(arcsinh x)' = 1 / sqrt(1+x^2)- 反双曲余弦函数的导数：(arccosh x)' = 1 / sqrt(x^2-1)- 反双曲正切函数的导数：(arctanh x)' = 1 / (1-x^2)6. 实例分析对于函数y=x^2，在区间[0,+∞)上单调增加。
其反函数为x=sqrt(y)，在区间[0,+∞)上也是单调增加。
大学高等数学 2-3反函数的导数 复合函数求导法
( 2) f [ g ( x )] | x | x 在 x 0处可导，
4 4
例4 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
ห้องสมุดไป่ตู้
学习动物精神
• 12、善解人意的海豚：常常问自己：我是 主管该怎么办才能有助于更好的处理事情 的方法。在工作上善解人意， 会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。
学习动物精神
• 11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成 不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能 创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。
由y f ( x )的单调性可知
于是有
y 0,
y 1 , x x y
f ( x )连续,
又知 ( y ) 0
y 0 ( x 0),
y 1 1 f ( x ) lim lim x 0 x y 0 x ( y ) y 1 即 f ( x ) . ( y )
y 故 f ( u0 ) ( lim 0) 则 y f ( u0 )u u u 0 u y u u lim lim [ f ( u0 ) ] x 0 x x 0 x x u u f ( u0 ) lim lim lim f ( u0 )( x0 ). x 0 x x 0 x 0 x
3
1 7、 ； 8、 . 2 2 (1 x ) 2 x(1 x ) 2 1 x (arccos x )
一、反函数的导数.
n cosnx sinn x sinnx n sinn1 x cos x
n sinn1 xcosnx sinx sinnx cos x
n 1x. n sinn1 x sin
例10 求函数 y
x x x 的导数.
f ( u0 )( x0 ).
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例3 求函数 y ln sin x 的导数. 解
y ln u, u sin x .
dy dy du dv dx du dv dx
②对复合函数的分解比较熟练以后，就不必写 出中间变量，而采用下面例题的方法来计算.
例4 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
五、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）;
已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导;
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1 x
2
.
(arctan x )
1 ( arccot x ) . 2 1 x
例2
导数的商法则与反函数的导数
导数的商法则与反函数的导数在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
导数的商法则以及反函数的导数是求解导数的基本方法之一。
本文将详细介绍导数的商法则以及反函数的导数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、导数的商法则导数的商法则是求解两个函数商的导数的法则。
对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们都可导且g(x)≠0，则(f/g)' 的导数可以通过以下公式计算：(f/g)' = (f'g - g'f) / g²其中，f'表示函数f(x)的导数，g'表示函数g(x)的导数。
利用导数的商法则，我们可以更方便地求解复杂函数的导数。
例如，考虑函数h(x) = (2x² + 3x + 1) / (x - 1)。
根据导数的商法则，我们可以将h(x)的导数表示为：h'(x) = ((2x² + 3x + 1)'(x - 1) - (x - 1)'(2x² + 3x + 1)) / (x - 1)²进一步计算可得：h'(x) = ((4x + 3)(x - 1) - (2x² + 3x + 1)) / (x - 1)²化简后得到h'(x)的最终表达式。
通过导数的商法则，我们可以避免直接对复杂函数进行导数运算，简化求导的过程。
二、反函数的导数反函数是指两个函数f(x)和g(x)满足以下条件：f(g(x)) = x，g(f(x))= x。
反函数的导数可以通过导数的商法则来求解。
设函数f(x)在点x处可导，且f'(x) ≠ 0。
如果函数g(x)是f(x)的反函数，在点x处可导，则g'(x)可以通过以下公式计算：g'(x) = 1 / f'(g(x))通过反函数的导数，我们可以在已知一个函数的导数的情况下，求解其反函数的导数。
这在实际问题中具有广泛的应用。
函数导数和反函数导数的关系
函数导数和反函数导数的关系原函数的导数等于反函数导数的倒数。
设y=f(x),其反函数为x=g(y),可以得到微分关系式：dy=(df/dx)dx ,dx=(dg/dy)dy .那么,由导数和微分的关系我们得到,原函数的导数是df/dx = dy/dx,反函数的导数是dg/dy = dx/dy .所以,可以得到df/dx = 1/(dg/dx) .扩展资料：反函数存在定理定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。
如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。
总之能使f(x)=y 的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。
而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。
这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减，证明类似。
反函数求导
反函数求导引言在微积分中，我们学习了如何求函数的导数。
求导是一种重要的工具，可以帮助我们研究函数的性质和解决一些实际问题。
然而，有时我们需要求反函数的导数，即给定函数的反函数，我们想要求其导数。
本文将介绍如何求反函数的导数，并给出一些相关的例子。
反函数的定义在开始讨论反函数的导数之前，我们需要先了解反函数的定义。
给定函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，使得对于 f(x) 的定义域内的任意 x，都有 g(f(x)) = x 和 f(g(x)) = x 成立，则函数 g(x) 称为函数 f(x) 的反函数。
反函数的存在性需要满足一定的条件，例如 f(x) 必须是一一对应的，即每个 x 对应一个唯一的 y 值。
反函数的导数求法当我们知道一个函数的反函数存在时，我们希望能够求出其导数。
下面是求反函数导数的一般步骤：1.假设函数 f(x) 在区间 I 上有连续的导函数f’(x)。
2.设函数 f(x) 在区间 I 上是单调递增或单调递减的。
3.确定函数 f(x) 的反函数 g(x) 在对应区间 J 上的定义域。
4.对于 g(x) 的任意一点 x0，计算f’(x0) 的倒数，即1/f’(x0)。
5.最后，g’(x0) 的值等于1/f’(x0)。
需要注意的是，反函数的导数是在相应的定义域上求得的。
反函数的导数示例为了更好地理解反函数的导数的求法，下面将给出一些示例。
例子 1：求反函数导数假设有函数 f(x) = 2x + 3，我们希望求出其反函数的导数。
首先，计算函数 f(x) 的导数为f’(x) = 2。
由于 f(x) 在整个实数域上都是单调递增的，因此其反函数存在。
接下来，考虑以 y= 2x + 3 为方程，转换为 x = (y - 3) / 2，即得到反函数 g(x) = (x - 3) / 2。
对于任意的 x0，我们有f’(x0) = 2。
根据反函数求导的公式，反函数的导数g’(x0) = 1 / f’(x0) = 1 / 2。
反函数求导
反函数求导
反函数在数学中一般指满足某种关系的一类函数，它们的定义域和值域在某种变换下是完全对立的。
函数求导，是指给定函数的某个点，通过求出函数在该点的切线斜率，来研究整个函数在该点的极值以及函数的变化情况。
反函数求导，就是求取从反函数到另一函数的求导。
由于反函数是完全对立的，所以在反函数求导时，要注意反函数围绕原函数的对称性，即求取的导数的正负符号与原函数左右点的计算正负值相反。
例如，对于函数f(x) = x^2，反函数为f^-1(x) = sqrt(x)，则求取f^-1(x)的导数，在x = 8时，由于f(8)=-8，f(8)=-1，则f^-1(x)的导数应为1/2。
反函数求导的具体过程是：
1.先，将原函数按对称性改写为f(g(x))的形式；
2.后，用求导法则来进行求导，从而可以得到f(g(x))的导数；
3.后，用变量替换法将f(g(x))的导数展开为g(x)的导数。
反函数求导的应用非常广泛，它可以用来求解某种函数的极值点，可以用于求解微分方程，也可以用来求解复杂的函数的极值问题。
总的来说，反函数求导是一项数学理论，它通过求取反函数到另一函数的导数，可以让我们更好地理解函数，并得出更好的解决方案。
反函数求导技术的应用不仅仅可以帮助我们更加准确地求解函数及
其极值，而且还能够为更复杂函数的求解提供有效的帮助。
- 1 -。
利用反函数求导数
利用反函数求导数在微积分中，求导数是一个非常重要的概念。
当我们已知一个函数的导数时，可以根据一些规则来求得该函数的反函数的导数。
本文将介绍利用反函数求导数的方法和相关的例子。
一、反函数的定义和性质在介绍利用反函数求导数之前，我们首先需要了解反函数的定义和性质。
1. 反函数的定义：如果函数f(x)和g(x)满足对于任意的x，都有f(g(x))=x以及g(f(x))=x，那么g(x)为f(x)的反函数。
2. 反函数的性质：若f(x)为可导函数，且在某一点x_0处f'(x_0)≠0，则f(x)在该点的反函数g(x)也是可导的，并且g'(x_0)=1/f'(x_0)。
二、利用反函数求导数的方法接下来，我们将详细介绍利用反函数求导数的方法。
1. 已知函数求反函数：如果我们已知一个函数f(x)，要求其反函数f^(-1)(x)的导数，可以按照以下步骤进行计算：（1）假设y=f(x)，则有x=f^(-1)(y)。
（2）对等式两边同时求导，得到1=（f^(-1)(y))' * y'。
（3）解出（f^(-1)(y))'，即得到f^(-1)(x)的导数。
2. 例子：求反函数的导数我们以常见的指数函数和对数函数为例，来具体计算反函数的导数。
（1）指数函数和对数函数的关系：设f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f(x)的反函数为g(x)=log_a(x)。
（2）求g(x)=log_a(x)的导数：因为a^g(x)=x，所以对该等式两边同时求导得到：a^(g(x)) * g'(x) = 1。
根据等式左边的结果和指数函数的性质，我们可以得到： g'(x) = 1 / (x * ln(a))。
三、实例分析下面通过一个具体的实例来展示利用反函数求导数的过程。
例子：已知函数f(x)=2^x+1，求f^(-1)(x)在x=3处的导数。
解：（1）求f(x)的导数：f'(x) = (2^x+1)' = ln(2) * 2^x。
反函数导数公式大全表(反函数导数公式大全)
反函数导数公式大全表（反函数导数公式大全）(arcsinx)'=1/√(1-x^2)的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)的求导：(arctanx)'=1/(1+反三角函数求导公式是什么?1、的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)2、的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)3、的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)4、的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)为限制为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx。
相应地。
反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π2；反余切函数y="arccot"x 的主值限在0<y<π。
1、反正弦函数正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
[-1，1]，[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1]，值域[0，π]。
3、反正切函数正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
5、反余切函数余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
6、反正割函数正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。
反函数导数
反函数导数
反函数条件：f(x)可导，且f′(x)≠0，则存在反函数x=φ(y)。
解释：一个函数如果有反函数的就必须是单调的，而且不存在两个值，值与值之间是一一对应的，并且因变量和自变量之间是双射的，否则在原函数和反函数这两个函数一定会存在一对多和多对一的情况。
反函数的定义为：
x=f−1(y)
这里f−1表示f的逆映射。
该反函数的导数和直接函数的导数关系十分简单：
dxdy=1dydx
一种非正式但十分方便的说法是：反函数的导数等于直接函数的倒数。
另一种简单的理解方式则是直接将导数看作“商”来处理。
因为这里所有的“商”对应的极限都是存在的。
反函数的导数怎么求
反函数的导数怎么求
y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
反函数的导数：
yarcsinx,
那么，siny=x,
求导得到，cosy *y'=1
即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx 的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。
1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。
2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作
y=f^(-1)(x)。
反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。
4、求导是数学计算中的一个计算方法。
5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商
的极限。
在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
6、除了在某几个原函数的导数为0的点以外，利用原函数的可导性就可以说明反函数可导了。
反函数求导-例题
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2
所以y‘=1/√1-x2。
同理可以求其他几个反三角函数的导数。
所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。
最后将y想法设法换成x即可。
扩展资料：
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的
值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
反函数高阶导数公式推导
反函数高阶导数公式推导一、反函数的导数反函数的定义为：x=f^{-1}(y) \tag{1}这里f^{-1}表示f的逆映射。
该反函数的导数和直接函数的导数关系十分简单：\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \\一种非正式但十分方便的说法是：反函数的导 (d\check{a} o) 数等于直接函数的倒(d \grave{a} o) 数。
教材中已经给出过严密的证明，这里不再赘述。
而另一种简单的理解方式则是直接将导数看作“商”来处理。
因为这里所有的“商”对应的极限都是存在的。
（在这篇回答里已经解释过：关于Leibniz记号)。
接下来讨论几个简单却又常在初学时容易犯晕的问题。
二、反函数的高阶导数同济习题2-3.4：设\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^\prime}，试导出\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}。
这里容易犯迷糊的问题：（1）\frac{d^2x}{dy^2} 不就已经是反函数的二阶导数了吗？（2）为什么\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3} 不能写成x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime}？解析：（1）没错！\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}本来就是反函数的二、三阶导数。
通常问这个问题的原因就是没有读清题意。
这道题的隐含的意思是，要我们包含y^\prime,y^{\prime\prime} 等符号的表达式来表示反函数的导数。
另外也要注意，y,y^\prime,y^{\prime\prime} 本质上都是关于 x 的函数，在它们有显式表达式时都是关于 x 的表达式。
（2）如果我们明确说明x=f^{-1}(y) 的话，用x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime} 来表示\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反函数的导数
首先证明反函数的求导公式：
定理：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)y （ϕ在点
y
的某邻域内连续，严格单
调且()0'0≠y ϕ，则()x f 在点()()00y x x ϕ=可导，且()()
00'1
'y x f ϕ=
证：设()()00y y y x ϕϕ-∆+=∆，()()00x f x x f y -∆+=∆因为ϕ在0y 的某邻域内连续且严格单调，故1
-=ϕf 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=∆y 时0=∆x ，并
且
当
且
仅
当
→∆y 时
→∆x ，由
()0
'0≠y ϕ，可得
()()00000'1lim
1lim lim
'y y
x x y x y x f y y x ϕ=∆∆=∆∆=∆∆=→∆→∆→∆。
例6 证明： （i ）(a a a
x
x
ln )'(
=其中）1
.0(≠>a a 特别地()
x x e e ='
. (ii) )arcsin '
(
x =
x
2
-11；
()x arccos '=—
x
2
-11
(iii)
()
x arctan '
=
x
2
11+；
()
x arc cot '
=—
x
2
11+
证
（i ）由于R x y a x
∈=
.为对数函数
，y x a
log
=
.),0(+∞∈y 的反函数，故由公
式（6）得到
()
a
x '
=
)(log '
1
y a =e
y
a
log =
a a
x
ln .
（ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是)
2.2(,sin π
π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到
()x arcsin '
=
()
y sin '
1
=
y
cos 1
=
y
sin 2
-11=
)1,1(.-112
-∈x x
同理可
证:
()
x arccos '
=—
)1,1(.-112
-∈x x
()
=
x arctan '
()
y tan '
1
=y sec
2
1
=
y tan 2
11
+=
x
2
11
+
,()+∞∞-∈,x ,
同理可证
()
x arctan '
=—
()+∞∞-∈+,.112
x x
反函数组与坐标变换 设函数组
()()y x v y x u u ,,,== （9） 是定义在xy 平面点集R B 2
⊂上的两个函数，对每一点()y x P ,B ∈，由方程组有uv 平面
上惟一的一点()R
Q 2
v u,∈
∈与之对应，我们称方程组确定了B 到
R 2
的一个映射（变换）
，记作T ，这时映射可写成如下函数形式 T:B R
2
→
,
()()v u Q y x P ,,
或写成点函数形式()B P P T Q ∈=,，并称()v u,Q 为映射下()y x P ,的象，而P 则是Q 的原象，记B 在映射T 下的象集为
B '
=()B T
反过来，若T 为一一映射（即不仅每一原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的象），这时每一点B Q '
∈
，由方程组（9）都有惟一的一点B P ∈与之相对应，由此所产生的新映
射称为映射T 的逆映射（逆变换），记作T
1
-，即
T 1-:
B B →'
P Q 或 ()B T Q Q P '
1
,∈=
- 亦即存在定义在上的一个函数组
()()v u y y v u x x ,,,== （10） 把它代入（9）而成为恒等式：
()()()()),,,,(),,,,u u v u y v u x v v v u y v u x ≡≡（ （11） 这时我们又称函数组（10）是函数组（9）的反函数组。
关于反函数组的存在性问题，其实是隐函数组存在性问题的一种特殊情形，这只需把方程组（9）改写成 ()0),(,,,=-=y x u u v u y x F ()()0,,,,=-=y x v v v u y x G （12）
并将定理应用与（12），便可得到函数组(9)在某个局部范围内存在反函数（10）的下述定理。
定理（反函数组定理） 设函数组（9）及其一阶偏导数在某区域R
D 2
⊂
上连续，点
p o
()y x o
,
0是D 的内点，且
()()()()
0,,,,,0
,
00≠∂∂==y x v u u
y x v y x u
则在点
()v p 0
0'
u 0，的某一邻域
U ⎪⎭
⎫
⎝⎛P 0'
内存在惟一的一组反函数（10），使得()()
v u y v u x y x 0
,000,00,==，且当()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈P U v u 0,'
时，有()()()()p U v u y v u x 0
,,,∈以及
恒等式（11),此外，反函数组（10）在⎪⎭
⎫ ⎝⎛P 0'
内存在连续的一阶偏导数，且
()()y x v u y u v x ,,/∂∂∂∂-=∂∂，()(),,,/y x v u y v u x ∂∂∂∂=∂∂
()()y x v u x v u y ,,/∂∂∂∂-=∂∂，()()
y x v u x u v y ,,/∂∂∂∂=∂∂。
由(13)看到：互为反函数组的（9）（10），它们的雅各比行列式互为倒数，即
()()()()
1,,.,,=∂∂∂∂v u y x y x v u 。